九年级(下)第六章 二次函数：第5课时 二次函数的图象和性质(四)
27.2 二次函数的图象与性质(4)(第5课时)
27．2 二次函数的图象与性质（4）(第5课时)一、知识衔接由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数________________(222+=x y )的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数_________________(2)3(2-=x y )的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ 二、实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、．并观察三个图象之间的关系．,把函数y=221x y =的图象沿x 轴向 平移 个单位长度,可得2)1(21-=x y 的图象;再把函数2)1(21-=x y 的图象沿y 轴方向向 平移 个单位长度就可以得到函数2)1(212--=x y 的图象. 即．把抛物线y ＝－12x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得x… -3-2 -10 12 3... 221x y = (2)9 221 021 229 … 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．三、归纳1. 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中______________________的值；左右平移，只影响__________________________的值，抛物线的____ _________________不变，所以平移时，可根据 ______________的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．2、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x-h)2y ＝a (x －h)2＋k开口方向顶点 对称轴 最值增减性（对称轴右侧）3．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________．例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．四、课堂练习 1．y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ）A ．y ＝12(x －2)2＋3B ．y ＝12(x ＋2)2－3C ．y ＝12 (x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________． 五、作业：1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．4.已知函数()9232+--=x y 。
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时PPT课件(华师大版)
例 3 [教材补充例题]
2
(1)已知 0≤x≤1,那么函数 y=-2x +8x-6 的
最大值是 ( B )
B.0
A.-6
C.2
D.4
2
(2)函数 y=x +2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是 ( C )
A.4 和-3
B.-3 和-4
C.5 和-4
D.-1 和-4
第5课时
二次函数最值的应用
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第5课时
二次函数
二次函数最值的应用
目标突破
总结反思
第5课时
二次函数最值的应用
目标突破
目标一 能用二次函数模型解决几何图形中的最值
例 1 [教材补充例题] 如图 26-2-4,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12
第5课时
二次函数最值的应用
2
2
则 y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x +360x-9600=-3(x-60) +1200.
∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,y 有最大值,最大值为 1200,∴销售该
苹果每天能获得的最大利润是 1200 元.
上面的解答过程正确吗?如果不正确,错在哪里?并写出正确的
cm,BC=24 cm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动(不
与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动(不
与点 C 重合),点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发.
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
第5课时：二次函数的图象与性质(4)
第六章 二次函数 第5课时：二次函数的图象与性质（4）班级 姓名 学号学习目标：1、会用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式；2、会用公式法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标；3、理解函数c bx ax y ++=2的性质。
问题探索： 知识回顾： 1、填表：2①++x x 42＝(x ＋ )2； ②+-x x 272＝(x － )2； ③++=++22)3(126x x x ； ④+-=+-22)27(137x x x .探索与思考1：函数322++=x x y 的图象是抛物线吗?问题1：用配方法将二次函数4212++-=x x y 化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它的开口方向、对称轴、 顶点坐标.练一练：用配方法把下列二次函数化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标.(1)4822+-=x x y ； (2)xx y 232--=；(3)142+--=x x y ； (4)92312+-=x x y .探索与思考2：二次函数的顶点坐标公式.用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式. 问题2：用公式法求下列二次函数的顶点坐标. (1)2122--=x x y ； (2)22134x x y -+=. (3)13432-+=x x y ； (4)x x y 6232--=.探索与思考3：二次函数c bx ax y ++=2的性质.二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )， 对称轴是 的直线(当0=b 时， 对称轴是 ). (1)若0>a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . (2)若0<a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . 练一练：填表：问题3：已知二次函数21222-++-=m x x y 。
九年级数学下册27.2二次函数的图象与性质2.5二次函数y=ax2bxc的图象与性质第5课时课件华东师大版
2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，
如图，以水平地面为x轴，出水点为原
点，建立平面直角坐标系，水在空中
划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：
米)的一部分，则水喷出的最大高米 (D)1米
【解析】选A.直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最
大高度为 4ac b2 4 (1) 0 42 4.
2.实际问题中确定最值 【问题】某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80 元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品 每月的销售量就减少10件. (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函 数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为 多少？
图象过点(10，300)，(12，240)，
即可得
10k 12k
b b
解30得0，
240，
……kb …60…300，，……………2分
∴y=-30x+600.………………………………………………3分
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
即点(14，180)，(16，120)均在函数y=-30x+600的图象上，
第5课时
1.求二次函数最值的方法 (1)配方法：y=ax2+bx+c化为y=a_(_x_-_h_)_2_+_k_的形式，当自变量x=_h_ 时，函数y最大(小)=_k_.如二次函数y=3x2+6x+4可化为 y=3_(_x_+_1_)_2+_1_，因为a=3_>_0，所以函数y有最_小__值，所以当 x=_-_1_时，y的最_小__值为_1_.
4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，点P从点A 开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以 1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的 面积最大时，运动时间t为_____ s．
北师大版九年级数学下册课件：二次函数的图像与性质
例１５.若二次函数y=ax2＋bx＋c 的x与y的部分对应值如下表，则当ｘ＝１时，y的值为
例１６.已知二次函数 ，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，下列说法错误的是（ ）
例１７.已知抛物线 经过点 和（－ａ， y1 ），则y1的值是_________．
C
分析：用数形结合的思想解决问题．视察图象，在 y 轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，所以 y3＜y2＜y1.
也可以用特殊值法计算得到答案．
３.１． y=x2 ＋１与y=-x2 －１的图像与性质
１．向上向下平移２. 顶点坐标（０,１），（０.－１）
３.２． y=ａx2 ＋ｃ与y=-x2 ＋ｃ的图像与性质
A．
例12．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④ ， 则的大小关系为
13．如图，抛物线 的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），ａ－ｂ＋ｃ的值为————
例１４.如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
例１８.将抛物线 的解析式向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 ．
例１９.如果二次函数y=（-2k+4）x2-3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是________
k＜2
例２０.已知函数y=（k﹣2）xk²﹣4k+5+2x是关于x的二次函数．求：（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
Ｋ＝１或ｋ＝３
例２１.已知抛物线y= +mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件
A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1， 顶点坐标：(1，-2)
动脑筋 画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第5课时)》示范教学设计
二次函数的图象和性质（第5课时）教学目标1．针对具体的系数取值，能画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象，并能指出如何由y ＝ax 2的图象平移得到．2．能根据表达式说出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过自主画图探索活动，增进学生对抛物线自身特点的认知与对二次函数图象和性质的理解，体会数形结合思想的应用．教学重点抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系．教学难点理解a ，h ，k 三个字母系数对二次函数图象的影响．教学过程知识回顾二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质：【设计意图】通过复习已经学过的二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质的知识，为引出新课“二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究新知【问题】在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x =-，()2122y x =--，()21212y x =--+的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，再分别画出它们的图象．根据所画图象，学生回答：教师提问：结合所画图象，观察三个二次函数的顶点坐标和对称轴有什么关系？ 学生观察图象，思考并回答，教师总结．教师追问：三个二次函数图象之间的位置有什么关系？教师提示：可以类比前面研究“抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系”的方法来思考问题．学生根据提示，分小组讨论，并作答．抛物线212y x =-向右平移2个单位长度，就得到抛物线()2122y x =--．抛物线()2122y x =--向上平移1个单位长度，就得到抛物线()21212y x =--+．教师总结：它们的图象只有位置不同．【设计意图】巩固学生对描点法画函数图象的认识，为进一步探究抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系作铺垫．二、典例精讲【例1】画出函数()21112y x =-+-的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．怎样移动抛物线212y x =-可以得到抛物线()21112y x =-+-？【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，画出它的图象．根据所画图象，学生回答：抛物线()21112y x =-+-的开口向下，对称轴是x ＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．教师提问：抛物线212y x =-和抛物线()21112y x =-+-有什么关系？学生分小组讨论，尝试利用函数平移知识作答，教师总结．【归纳】一般地，抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定．【新知】抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的特点：（1）当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下． （2）对称轴是x ＝h ． （3）顶点坐标是(h ，k )．（4）如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小． 【例2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？【师生活动】教师提出问题，学生分小组讨论，并派学生代表回答．【答案】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线经过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3，解得34a =-．因此()23134y x =--+(0≤x ≤3)． 当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管长2.25 m ．【设计意图】通过例1和例2的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计一、二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象与性质二、抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax ²(a ≠0)的位置关系课后任务完成教材第37页练习．。
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第5课时二次函数的图象和性质（四）（附答案）
1．(1)抛物线y＝2(x＋2)2、y＝2x2－3与y＝2(x＋1)2的___________________________相同，____________________________不同；
(2)将抛物线y＝2x2沿x轴向_______平移_______个单位长度，再沿y轴向_______平移
_______个单位长度，就可以得到抛物线y＝2(x＋2)2－3．
2．已知抛物线y＝3(x＋1)2＋7，当x＝_______时，y有最小值，为_______．
3．已知抛物线y＝－(x－5)2＋2，当x_______时，y随x的增大而减小．
4．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，则该图象在y轴右侧的部分与x轴交点的坐标是 ( )
A．（1
2
，0）
B．(1，0)
C．(2，0)
D．(3，0)
5．在同一平面直角坐标系中，画出下面函数的图象，并标出它们的顶点坐标和对称轴． (1)y＝(x＋3)2－1； (2)y＝－(x－4)2＋3．
6．将二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象先沿y轴向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是_______．
7．已知二次函数y＝a(x－h)2＋3，当x>2时，y随x的增大而减小；当x<2时，y随x，的增大而增大，则a_______0，h＝_______．
8．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，4)，则此抛物线对应的函数关系式为_____．9．（2011．无锡）下列二次函数中，以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
10．（2010．荆州）若把函数y＝x的图象用E(x，x)记，函数y＝2x＋1的图象用E(x，2x ＋1)记，则要得到E(x，x2－2x＋1)，可以由E(x，x2) ( )
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
11．（2011．广安）若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ( )
A．m＝1 B．m>1 C．m≥1 D．m≤1
12．已知抛物线y1＝a(x－h)2＋k与y2＝(x＋3)2－4的开口方向和形状都相同，且y1的最低点的坐标是（－2，－1）．
(1)求y1对应的函数关系式．
(2)试说明抛物线y1是由抛物线y2经过怎样的平移得到的．
(3)求抛物线y1与x轴的两个交点的坐标．
13．（2011．南通）已知A(1，0)、B(0，－1)、C（－1，2）、D（2，－1）、E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其中的三个点．
(1)试说明C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
参考答案
1．(1)开口方向和形状顶点和对称轴 (2)左 2 下 3 2．－1 7 3．>5 4．B 5．图略(1)顶点坐标为（－3，－1），对称轴为直线x＝－3 (2)顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x＝4
6．（－3，6）7．< 2 8．y＝x2－2x＋5 9． C 10．D 11． C 12． (1) y1＝(x＋2)2－1 (2)将抛物线y2先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线y1(3)抛物线y1与x轴的两个交点分别为(－1，0)、（－3，0） 13．(1)略(2)不可
能(3)
3
8
11
8 a
k
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩。