三角矩阵空间强保持秩可交换的加法满射
三角矩阵代数的表示论
三角矩阵代数的表示论三角矩阵代数在表示论中扮演着重要的角色。
表示论是数学中研究代数结构的一门学科，它研究的是将代数结构抽象地表示为矩阵形式，从而能够更好地理解和研究代数结构的性质和相互关系。
三角矩阵代数是表示论中的一个重要分支，它研究的是具有特殊形式的矩阵，即三角矩阵。
在代数学中，矩阵是一种重要的数学工具，它可以用来表示线性变换、向量空间和代数结构等概念。
而三角矩阵是一种特殊的矩阵，它具有以下形式：\[A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\]其中，对角线上方的元素都为0。
三角矩阵的特殊形式使得它在表示论中具有独特的性质和应用。
在表示论中，我们关心的是将一个代数结构表示为矩阵形式，并通过矩阵的性质来研究代数结构的性质和相互关系。
三角矩阵代数为我们提供了一种特殊的矩阵表示方式，使得我们可以更加简洁和直观地描述和研究代数结构。
三角矩阵代数在表示论中的应用非常广泛。
例如，在量子力学中，三角矩阵可以用来表示算符的本征值和本征向量，从而帮助我们理解和计算量子系统的性质。
在线性代数中，三角矩阵可以用来简化矩阵运算和求解线性方程组，从而简化计算过程。
在组合数学中，三角矩阵可以用来表示图的邻接矩阵，从而帮助我们研究图的性质和算法。
除了在理论研究中的应用，三角矩阵代数在实际问题中也具有重要的应用价值。
例如，在信号处理中，三角矩阵可以用来表示滤波器的传递函数，从而帮助我们设计和优化信号处理系统。
在统计学中，三角矩阵可以用来表示协方差矩阵，从而帮助我们分析和建模多变量数据。
矩阵的秩及习题处理
02
难题练习包括复杂的矩阵计算、多个知识点融合的思维能力和解题
技巧，为后续的学习和研究打下坚实的基础。
感谢您的观看
THANKS
将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一 个上三角矩阵的乘积，其中分解后的 矩阵的秩等于原矩阵的秩。
03
习题处理
基础题练习
基础题练习是巩固矩阵秩理论知识的关键，通过这些题目可以熟悉矩阵秩 的定义、性质和计算方法。
基础题练习包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆、求矩阵的逆或行列式等 基本问题。
这些题目通常比较简单，但却是理解矩阵秩的基础，对于后续的学习非常 重要。
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则线性方程组无解。
在向量空间中的应用
向量空间的基
矩阵的秩等于向量空间的一组基所含向量的个数。
向量空间的维数
矩阵的秩等于向量空间的维数。
在矩阵分解中的应用
矩阵的三角分解
将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和 一个上三角矩阵的乘积，其中分解后 的矩阵的秩等于原矩阵的秩。
矩阵的QR分解
中等题练习
01
中等题练习是在掌握基础题的基础上，进一步提高 解题能力的关键环节。
02
中等题练习包括利用秩的性质进行矩阵的化简、利 用秩解决线性方程组的问题等。
03
通过这些题目，可以加深对秩的理解，提高利用秩 解决实际问题的能力。
难题练习
01
难题练习是对于已经熟练掌握矩阵秩理论知识的学生
的进一步提高。
矩阵的秩及习题处理
目录
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵的秩的应用 • 习题处理
01
矩阵的秩的定义与性质
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行或列向量中线性无关向量的最大数量。
矩阵论知识要点范文
矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
根据数学线性代数知识点总结
根据数学线性代数知识点总结
线性代数是数学中的一个重要分支，涉及向量空间、线性变换、矩阵、行列式等内容。
下面是对数学线性代数知识点的总结：
1. 向量空间
向量空间是由一组向量构成的集合，满足向量加法和数乘运算
的闭合性、结合性、交换律和单位元等性质。
常见的向量空间包括
二维平面和三维空间。
2. 线性变换
线性变换是指保持向量加法和数乘运算的运算规则不变的变换。
线性变换可以通过矩阵乘法来表示，其中矩阵的列向量是线性变换
后的结果向量。
3. 矩阵
矩阵是一个有限个数的数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法运算。
矩阵乘法是将一个矩阵的行
与另一个矩阵的对应列相乘再相加得到新的矩阵。
4. 行列式
行列式是矩阵的一种特殊表示形式，用于判断矩阵是否可逆、计算线性变换的缩放因子等。
行列式的计算可以通过列展开法或按行展开法进行。
以上是数学线性代数的一些基本知识点总结，通过学习和理解这些知识，可以更好地应用线性代数解决实际问题。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲适用专业数学与应用数学（师范）、数学与应用数学总学时 168学分 10一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用高等代数是数学与应用数学专业（师范）、数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课，其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。
本课程的教学目的是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
高等代数课程是中学代数的继续和提高。
通过本课程的教学，要使学生加深对中学代数的理解。
本课程在教学中要求学生确切理解高等代数中的基本概念，不仅要正确掌握这些概念的内涵，还要了解这些概念的实际背景。
对于一些基本的重要概念，还要求了解它们产生与发展的过程及概念推广的原则；与中学代数有直接联系或者平行的概念，要求学生能与中学数学中相应概念加以比较，以确立较高的观点。
对于高等代数中的基本理论，要求学生掌握基本理论的结果，对于典型定理还要求掌握论证方法或思想，同时要求学生能了解严谨的理论体系，体会建立这种体系的抽象的代数方法。
通过本课程的教学，要求学生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的能力；较好地掌握基本的论证方法与基本的计算方法，特别要掌握基本的线性代数计算法。
（二）本大纲制订的依据根据本专业人才的培养目标所需要的基本理论和基本技能的要求，根据本课程的教学性质、条件和教学实践而制定。
（三）大纲内容选编原则与要求1．本大纲所列各单元讲授顺序与北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（高等教育出版社第二版）所列基本相同，讲授时可根据具体情况作适当调整。
2．为了避免教学上的难点过于集中，有些定理的掌握可以侧重于定理的结果和证明定理的方法，以达到掌握基本的代数方法的目的。
3．每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（习题课、作业、问题探讨）以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能力的目的。
域上2×2三角矩阵空间保可交换的加法映射
维普资讯
・
７ ４・
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
２０ ０ ７年
因 Ｅ Ｉ Ｅ２ Ｉ与 ２交换 ， 有 Ｉ Ｉ 与 ２交换 ， ｔ Ｉ ２ ． ｘＩ与 ２交换 ， Ｎ ２ 也就 是 ／（ Ｉ Ｅ２＝Ｅ２ ｔ Ｉ 得 口 （ ＝０。 Ｉ ２ ） ２ ｘＩ ｆ（ ）， ２ｆ ）
设 Ｆ是一个域 ， （ ） Ｆ 表示 Ｆ上 ２ 三角矩阵代数 ， ２ ｘ
是２ ２ ｘ 单位阵。
表示 （ ） ｆ 位置为 １ ， 其余位置为 ０ 的矩阵 ，
１ 三角矩阵空间上保矩 阵交换 的加法满射
定义 １ 若 （ ） Ｆ 上的矩阵 ＡＢ满足Ａ Ｂ ， Ｂ＝ Ａ，则称矩阵 ＡＢ交换 。 ，
其 中 ： （ ＝口 （ 一Ｏ （ ＝Ｃ （ 一ｃ（ ； ｇＩ ） ３ｆ ； ｇ ２ｆ ＝ｃ（ 。 ｆ Ｉ ） ３ｆ ３ｆ ｌ ） ） ｆ ） ） ｆ ｌ ｆ＝Ｏ （ （ ） ２（ ） Ｉ ） ｆ
Ｔ（ ） ２ 上保交换的映射。 Ｆ
引理 １ 假设 Ａ＝（，∈Ｔ（ ） 口 ） ２ ，则对于任意的Ｂ∈Ｔ（ ） Ｆ ２Ｆ ，有 Ａ Ｂ＝Ｂ Ａ，当且仅当 Ａ为数量阵。
证 充分性 显然 成立 。证 明必 要 性 。
假 ｌ： 因与 意 （交 ，ＢＥ’计得＝，取 ＝Ｉ ２ 设＝ ｝ 任的∈ Ｆ 换Ｉ＝２ 算 口 再 ＋ ， ： ， ） ［ Ｉ经 Ｙ ， 经
当且仅当 Ａ Ｂ＝Ｂ 的加 法 满 射 ｆ 的形 式 ， 同时 得 到 Ｔ（ ） 自身满 足 ．２ Ａ ・Ａ ，当且 仅 当 Ａ ２ 到 Ｆ Ａ …Ａ ＝ － Ｉ ．
ｇ Ａ ） （ ） （ ★ ＝ｇ Ａ ） （ ） （ Ｉ 的加法映射 ｇ形式和 Ｔ（ 到 自身满足 Ａ Ａ …Ａ ，） ，） （ ． ２…ｇ ） （ ★ｇ …ｇ ） ｇ ２Ｆ） Ｉ２ ★ 《Ａ 《 …Ａ《 Ｉ ２ ”，
高等代数使用教材及辅导材料
高等代数使用教材及辅导材料课程：高等代数高等代数北京大学数学系几何与代数教研室高等教育出版社 1978高等代数丘维声高等教育出版社 1996高等代数张禾瑞郝炳新高等教育出版社 1983高等代数习题课教材钱芳华黎有高卜淑云邓培民广西师范大学出版社 1997高等代数解题方法许甫华张贤科清华大学出版社 2001高等代数习题课参考书张均本高等教育出版社 1991线性代数试题选解魏宗宣中南工业大学出版社 1986用MAPLEV学习线性代数丘维声（译）高等教育出版社施普林格出版社 2001高等代数教学大纲数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。
三角矩阵
三角矩阵在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。
三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。
上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。
三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。
比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。
有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。
一个可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。
描述一个如下形状的矩阵：被称为下三角矩阵；同样的，一个如下形状的矩阵：被称为上三角矩阵。
上（下）三角矩阵乘以系数后也是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。
这些事实说明：所有上（下）三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。
然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。
特殊的三角矩阵严格三角矩阵一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为零。
所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。
所有的严格三角矩阵都是幂零矩阵。
单位三角矩阵一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为1。
单位三角矩阵都是幺幂矩阵。
高斯矩阵高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。
这类矩阵是高斯消去法中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。
一个下三角的高斯矩阵为：高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。
实际上，即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。
性质一个同时是上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵必然是对角矩阵。
单位矩阵是唯一同时为单位上三角矩阵和单位下三角矩阵的矩阵。
分别计算乘积A*A与AA*的系数并进行比较后就可以发现：一个同时为三角矩阵和正规矩阵的矩阵也必然是对角矩阵（因为正规矩阵满足A*A='AA*）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
引理 ３ 对于 ＝，…， ， Ａ ＝ “’ 川 １ ２ ，设 口 ∈ ？
杨雅 琴 ，吴 险峰
（ 齐齐哈尔大学理学 院，黑龙江 齐齐 哈尔 １ １０ ６０ ６）
摘要 ： Ｆ是一个特征不为 ２ 的域 ， ∽ 表示 Ｆ 上 × 三角矩阵代数 ， 刻画 了 ∽ 到 自身满足 ｒ ｋ ＡＡ …Ａ ） ａ （ Ｉ２ 女 ＝ ｎ
ｒｎ Ａ （Ａ （ …Ａ （） 当且仅 当 ｒ ａｋ（ ￣ ） ｒ ） ｒ女） Ｉ ２ ａ ｕ 其中 ｆ 女 女是 ｋ元对称群 。 ∈Ｓ ，Ｓ （ ） （ ） （ ）＝ｒｎ （（ Ｉ ｈＡｒ ）…ｈ Ａ （ ） 的加法映射形式 ， Ｉ ２ …ｈＡ女） ａ ｋ ｈ Ａ （） （ （ ） （ ）） ） ２ 女
作者简介： 杨雅琴 （ ９ １ ） １ 一 ，女，吉林省洮安人 ，讲师，硕士 ． ７ 从事代数学的研究 ，Ｅ ｍ ｌ ｙ ｃｙ ６． ｒ － ａ ：ｙ ｐ ＠１３ Ｏ 。 ｌ ｑ Ｃｎ
维普资讯
第 ２期
三角矩 阵空 间强保持秩可交换的加法满射
・ ３・ ８
ＩＡ＋ ０；当Ｐ ＝－ 口 时 ，Ｊ Ｐ ２ “ ２“ Ａ＋ＰＩ０ 其它情况两式都有不为零。 ， ｓ 反 之 ，假设 ａ ， １ ｉ ≤，是 Ａ的 ２个 非零对 角元 。当 Ｐ ＝ 口 Ｐ ｉ口 ≤ ≠Ｊ ？ ｉ “ 一 ＝－ 时，Ｉ Ｐ｝０ ２ Ａ＋ 和 ＩＡ＋Ｐ ０ ２ 都成立 ，矛盾。所以引理 ２成立。
ｒｎ （ （ ） ，则称 厂是 Ｔ（ 上 的保 秩 Ｉ的映射 。 ａｋ 厂 ）＝１ Ｆ） 定 义 ４ 设集 合 Ｇ＝｛ Ｂ Ｉ ｎ （ Ｂ）ｒｎ Ｂ ， ＡＢｅ ｝ （ ）ｒ ｋ Ａ ＝ａｋ（Ａ） ， ｒ【 ，若 【 ∈Ｇ ，由定 义 １知 ， ｉｓ秩 交 ， ａ ４ ｔ
换。
定 义 ５ 若 ｆ是 从 （ ） 自身 的映射且满 足 ｒ ｋ Ａ …Ａ ） ａｋ （ （ … （） Ｆ 到 ｎ ａ （ Ｉ２ ｋ ＝ｒ （ ， ２ 女 当且 仅 当 ｎ ） ） ）
ＩＡ＋ＰＪ 最 多一个 成 立 。 ２ ＝０
证 设 Ａ＝ ） （） （ ∈ Ｆ 是只有一个非零对角元口 １ ｉ 疗 ≤ ≤ 。设Ｐ＝ ） （ ∈
收 稿 日期 ：２０ — ２ ０ ０７ １— １
） 当Ｐ ＝ ａ 时， ， 一ｉ ，
基 金项 目 ：黑龙 江 省教育 厅科 学技 术研 究项 目 （１２ ３３ １５ １１）
维普资讯
第 ２ 卷第 ２ ４ 期
２０ 年 ３月 ０８
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｒａ ｆ ｑｉａｒ ｉｅｓｔ ｏｕｎ ｌ ｏ Ｑｉ ｈ ｖ ｒｉ Ｕｎ ｙ
Ｖｏ．４ Ｎｏ２ １ ， ． ２ Ｍａ ｃ ，０ ８ ｒｈ２ ０
三 角矩 阵 空 间强保 持 秩 可 交换 的加 法 满射
ｒｎ （ （ （ ） ａｋ ｆ Ａ ） …ｆ（ ． ， 称 厂是 （ 上 强保持 秩倒 序 可交换 的映射 。 ｋ 时 ， Ａ） 则 ） 引理 １ Ｊ ｌ Ｊ假设 ＝ 口） （） 则对于任意／Ｂ （） （， ，∈ Ｆ ， ￣ ｅ Ｆ 都有Ａ ＝ 当且仅当Ａ＝ 或 ∈ Ｊ Ｂ ０ ） 。 引理 ２ 设Ａ＝口 （ ∈Ｔ（） Ｆ 是只有一个非零对角元的矩阵当 且仅当 对任意Ｐ ） Ａ ＰＩ 和 ∈ 有Ｉ ＋ ＝ ０
Ａ 秩 交换 。 ．
定义 ２ 设 厂是 Ｔ（ ） 自身的映射 ， Ｆ到 若对于 Ｔ（ ） Ｆ 上的任意矩阵 Ａ Ｂ， ， 都有 ｆ Ａ＋ ） （ ＋ （ ） （ Ｂ ＝厂 ） ｆ Ｂ ，
则称 厂是 （ 上 的加法 映射 。 Ｆ）
定 义 ３ 设 厂是 Ｔ（ ） 自身 的 映射 ，若 对 于 Ｔ（ 上 满 足 ｒ ｋ（ ） 的 任 意 矩 阵 Ａ ，有 Ｆ 到 Ｆ） ａ Ａ ＝ｌ ｎ
关键词 ：域 ； ｎ ｎ三角矩阵空间 ；加法满射 ；秩可交换 ｘ 中图分类 号：０１ １ １ ５ ． ２ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ — ８ Ｘ ２０ ）２ ０ ８ — ３ ０ ７ ９４ （０ ８０ — ０ ２ ０
设 疗 ２ ｋ 是任意给定的整数 ， ， ２ Ｆ是一个特征不为 ２的域， Ｆ 的乘法群 ， Ｆ是
） 表示 Ｆ． ｎ ｎ ＿ ｘ １ ２
三角矩阵代数，
是 ｒ ｒ 位阵。 ｔ ｔ Ｘ 单
） （） 表示 Ｆ 中所有可逆矩阵的集合，
表示（ ） 位置为 １ ， 其余位置为０ 的矩阵， Ｊ
１ 三角矩阵空间上保 秩交换 的加法满射
定 义 １ 若 （ ） 的矩 阵 Ａ， ， Ａ 满 足 ｒ ｋ Ｉ２ 女 ＝ｒ ｋ （ ２ Ｆ 上 Ｉ …， 女 ２ ａ （ Ａ …Ａ ） ａ （ 『） ） ｎ ｎ １ Ａ（ …Ａ（） 女 ，对于全部 ） ｆ ｋ ∈Ｓ 都成立 ，其 中 是 ｋ 对称 群 ，则称 （ ） 的 ｋ 元 Ｆ上 元矩 阵组 ＡＡ …Ａ 秩 可交换 ；特 别地 ，当 。： ｋ ｒ ｋ ＡＡ … Ａ ） ｒｎ （ 女 …Ａ ） Ｉ Ｆ 上的七 ａ （ Ｉ２ ｎ 女＝ ａｋ Ａ Ａ Ｉ时， ｊ ￣ Ｔ（ ） ｉ 元矩阵组 Ｉ２ 女 Ａ …Ａ 秩倒序可交换 ； 当七 ２ ＝ 时， 称
ｒｎ （ （ ） ２…ｆ Ａ ）＝ｒ ｋｆ（ ）厂 『）…ｆ（ ） ， 中 ｆ ，女 七元对 称 群 ， 称 厂是 （ ａｋ ｆ Ａ。 厂（ ） （ 女） ａ （ Ａ ） （ （） ｎ ２ Ａ ） 其 ） ∈ Ｓ是 则 Ｆ） 上 强保 持秩 可交换 的映 射 。 当 ｒｎ （ 。２ ａｋ ＡＡ … ） ａｋ ＝ｒｎ （ 一…Ａ。当且 仅 当 ｒ ｋ （ ） ：…厂（ ）＝ 。 ） ｎ ａ （ 。 厂（ ） ） ） 上