一种基于贝叶斯估计双树复小波图像去噪算法

一种基于贝叶斯估计的双树复小波图像去噪算法
摘要：为了去除图像中的高斯噪声，本文根据贝叶斯最大后验概率估计，把双树复小波变换和拉普拉斯分布模型结合起来，提出了一种基于贝叶斯估计的图像去噪算法。

实验表明，本文算法能明显的改善和提高主观视觉效果和峰值信噪比。

关键词：双树复小波；图像去噪；贝叶斯估计；拉普拉斯模型
中图分类号：tp391
去噪一直是图像处理中的经典问题，是图像预处理中的一个重要环节，为图像分割、图像融合和图像压缩等后续操作奠定基础。

小波变换因其具有良好的局部化分析和多分辨率分析等特性，在图像去噪领域得到了广泛的应用和研究[1]。

目前，基于小波变换的去噪方法是图像去噪的主流方法，主要有：小波阈值法、基于统计特性的贝叶斯估计法、基于奇异性检测的方法等。

传统的离散小波变换（dwt）虽然具有许多优异特性如：低熵性、去相关性、多分辨率分析、选基灵活性等，但也存在一定的局限性：（1）离散小波变换在采样时由于缺乏平移不变性，会导致图像出现伪吉布斯现象；（2）传统的离散小波变换只能分解成水平、垂直和对角三个方向，方向选择性有限；（3）震荡性；（4）频谱重叠性。

这些缺点给小波变换在实际应用中带来了一些问题[3]。

nick g. kingsburg在1998年提出了双树复小波变换（dc-cwt）技术，dc-cwt保留了一般小波的优点，而且还具近似平移不变性、有限冗余性、良好的方向选择性和完全重构性等特点，很好的解决
了上述离散小波变换存在的问题[5]。

本文在dc-cwt的基础上，结合贝叶斯最大后验概率估计技术和拉普拉斯分布模型，提出了一种基于贝叶斯估计的双树复小波图像去噪算法。

1 双树复小波变换
双树复小波变换是在实小波理论的基础上发展起来的，使用过采用技术，是对离散小波变换的改进。

它通过使用两个滤波器并行对输入信号进行处理，可以表示为：ψ（t）=ψh（t）+ψg（t）j （1）其中ψh（t），ψg（t）分别为复小波的实部和虚部，是两个独立的实小波变换。

在复小波变换中有两个平行的小波树：树a和树b，分别表示复小波的实部和虚部；树a对图像的行进行处理，树b 对图像的列进行处理。

和实小波一样，复小波每一级分解后都有低频和高频。

假设h0（n），h1（n）分别表示树a的低通和高通滤波器，g0（n），g1（n）分别表示树b的低通和高通滤波器。

树a和树b在采样时，为了不丢掉树a和树b在采样时而舍弃的系数，树a和树b必须有一个采样周期的延时，这样就可以保证树b能采样到树a采样时丢弃的系数。

对一维双树复小波ψ（t）=ψh（t）+ψg（t）j，ψh（t），ψg （t）为近似的希尔伯特变换对，则二维双树复小波就是一维双树复小波的张量积，其式为：
ψ（x，y）= ψ（x）ψ（y）（2）
其中：ψ（x）= ψh（x）+ψg（x）j，ψ（y） =ψh（y）+ψg
（y）j （3）
把式（3）代入式（2）中，就得：
ψ（x，y）= （ψh（x）+ψg（x）j）（ψ（y） =ψh（y）+ψg（y）j）=（ψh（x）ψh（y）- ψg（x）ψg（y）+（ψg（x）ψh（y）+ ψh（x）ψg（y））j （4）
双树复小波在分解二维信号时，一般用滤波器先对列后对行进行处理，这样就可以得到6个高频子带和2个子带，这6个高频子带分别对应图像中的6个方向（±75°、±45°、±15°），因此，双树复小波有更多的方向选择，可以提高和增强某个方向上的边缘和纹理特征信息。

2 基于贝叶斯估计的拉普拉斯模型图像去噪算法
2.1 拉普拉斯分布模型
把图像的小波系数建立为某种数学统计模型，可以提高和改善图像的处理效果。

一般的小波系数统计模型分成三类：层内模型、层间模型和混合模型，拉普拉斯分布模型属于层内模型，模型中只有一个参数，计算量小，数学表达式简单，可以近似得到贝叶斯估计值。

对于受到加性高斯噪声ε（均值为0，服从n（0，σ2）分布）污染的观测图像可以表示为：g=s+ε，s为真实干净的图像。

对观测图像g进行双树复小波变换，就得：y=w+n，y，w，n，分别表示观测图像、真实干净图像和噪声的复小波系数。

在观测图像g中去除噪声ε，就是在y中尽可能的恢复出w的估计值w′。

在拉普拉斯分布模型中，复小波系数的概率密度函数为：
2.2 贝叶斯最大后验概率估计（map）
加性高斯噪声ε经过双树复小波变换后，也是均值为0，服从n （0，σ2）分布，且与图像无关。

因此，噪声的复小波系数n的概率密度函数为：
那么，根据贝叶斯最大后验概率估计，就得到w的近似值w′：2.3 贝叶斯估计去噪算法
在式（10）中，知道了复小波系数的边缘标准差σ和噪声方差σn2，就可以计算w的近似值w′（y）。

噪声方差估计使用鲁棒性中值法：
综上所述，本文去噪算法步骤为：
（1）对图像进行双树复小波分解；（2）按式（11）、（12）、（13）计算小波系数的边缘标准差和噪声方差；（3）根据式（10）对复小波系数进行估计；（4）把估计值进行双树复小波逆变换，得到去噪后的图像。

3 实验结果
在本文实验中，采用matlab7.0对图像baboon进行测试，客观的评价标准使用峰值信噪比（psrn），利用donoho的软阈值法、离散小波贝叶斯估计法（dwt-gsm）和本文算法对噪声标准差为15、20、25、30的高斯噪声进行去噪比较。

表1给出了不同噪声标准差的去噪结果，图1显示了噪声标准差为20时，三种方法对图像baboon的去噪效果。

从表1和图1中可以看出，本文算法得到的
psrn明显要高一点，主观视觉效果也比另外两种方法好。

4 结语
由于双树复小波变换具有许多优异特性，可以提高和改善图像去噪效果。

本文根据拉普拉斯分布模型和贝叶斯最大后验概率估计，提出了一种基于贝叶斯估计的双树复小波图像去噪算法，仿真实验结果表明，本文算法在主观视觉效果和峰值信噪比上都好于其它两种方法。

参考文献：
[1]袁博.一种新的双密度复小波域图像去噪算法[j].计算机科学，2011，38（3）：292-294.
[2]张汗灵.基于复小波变换与层间模型的图像去噪[j].光电工程，2006，33（11）：109-112.
[3]刘芳等.基于复小波邻域隐马尔科夫模型的图像去噪[j].电
子学报，2005.
作者简介：范建坤（1979-），男，河南开封人，安顺学院讲师，研究方向：信息隐藏，图像处理。

作者单位：安顺学院计算机与网络管理中心，贵州安顺 561000；安顺学院艺术系，贵州安顺 561000
基金项目：贵州省科技厅、安顺市合作基金项目：保护隐私的路径规划（黔科合j字lka[2012]20号）。