高中数学人教A版选修2-2阶段质量检测(三) B卷

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人教版A数学选修2-2全册章节测试试题全集(检测卷

第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为( B ) (1)lim Δt →0 f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt ；(2)lim Δt →0f (t 0)－f (t 0＋Δt )Δt；(3)f ′(t 0)； (4)f ′(t )． A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(3)D ．(2)(4)2．下列积分等于2的是( C ) A ．2x d x B ．(12x ＋1)d xC ．1d xD ．12x d x[解析] 2x d x ＝x 2|20＝4； (12x ＋1)d x ＝(14x 2＋x )|20＝3； 1d x ＝x |20＝2； 12x d x ＝12ln x |21＝12ln2. 3．(2019·全国Ⅱ卷文，8)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )A ．2B ．32C ．1D ．12[解析] 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴ T ＝π，∴ 2πω＝π，∴ ω＝2. 故选A ．4．(2019·青岛高二检测)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( B ) A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B ． 5．函数f (x )＝x 2x －1( B )A ．在(0,2)上单调递减B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减 [解析] f ′(x )＝2x (x －1)－x 2(x －1)2＝x 2－2x (x －1)2＝x (x －2)(x －1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.∴x ∈(－∞，0)和x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， x ∈(0,1)和x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，故选B ．6．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( D )[解析]观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C．如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确，故选D．7．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(C) A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)． ∴x >1，故选C ．8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( A ) A ． 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2[解析] 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短，则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.9．(2019·沈阳一模)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( D ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点[解析] 由于f (x )＝x e x ，可得f ′(x )＝(x ＋1)e x ，令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＝0可得x ＝－1，令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0可得x ＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数；令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＜0可得x ＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数，所以x ＝－1为f (x )的极小值点．故选D ．10．(2019·全国Ⅲ卷理，6)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( D )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1[解析] y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴ 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵ 切线方程为y ＝2x ＋b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D ． 11．把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( C )A ．12B ．1πC ．2 1D ．2π[解析] 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)·(x －6)．当x ＝2时，V 最大，此时底面周长为6－x ＝4,42＝21，故选C ．12．已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( C )A ．a >2B ．a <3C ．a ≤1D ．a ≥3[解析] 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式ax －1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.所以选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标为(－ln2,2). [解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln2，∴x 0＝－ln2， ∴y 0＝e ln2＝2，∴点P 的坐标为(－ln2,2)．14．(2019·南开区二模)已知f (x )＝x (2016＋ln x )，f ′(x 0)＝2017，则x 0＝1. [解析] f ′(x )＝2016＋ln x ＋1＝2017＋ln x ，又∵f ′(x 0)＝2017，∴f ′(x 0)＝2017＋ln x 0＝2017，则ln x 0＝0，x 0＝1.15．(2019·海淀区校级期末)已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的最小值为1. [解析] 函数的定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2·1x ＝2x 2－2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )≥0⇒x ≥1; f ′(x )≤0⇒0＜x ≤1，所以函数在(0,1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增所以函数在x ＝1时取得最小值，f (x )min ＝f (1)＝1 故答案为1.16．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12a ln x ，且f ′(1)的最大值为－12，则实数a 的值为－2.[解析] f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，则f ′(1)＝3a ＋12a .∵a <0，∴f ′(1)＝－[(－3a )＋12－a]≤－2(－3a )×12－a＝－12.当－3a ＝12－a，即a ＝－2，取“＝”．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ，(1)当c ＝0时，f (x )在点P (1,3)处的切线平行于直线y ＝x ＋2，求a ，b 的值； (2)若f (x )在点A (－1,8)，B (3，－24)处有极值，求f (x )的表达式． [解析] (1)当c ＝0时，f (x )＝x 3－2ax 2＋bx . 所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b . 依题意可得f (1)＝3，f ′(1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝3，3－4a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.(2)f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b .由题意知－1,3是方程3x 2－4ax ＋b ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－1＋3＝4a3，－1×3＝b3，解得a ＝32，b ＝－9，由f (－1)＝－1－2a －b ＋c ＝8，a ＝32，b ＝－9，可得c ＝3，所以f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3. 检验知，合题意．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.19．(本题满分12分)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．[解析]如图所示，设切点A (x 0，y 0)，过切点A 的切线与x 轴的交点为C ．由y ′＝2x 知A 点处的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)．设由曲线y ＝x 2(x ≥0)与过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ． ∵S 曲边△AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3| x 0＝13x 30， S △ABC ＝12BC ·AB ＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 3，∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，∴x 0＝1，∴切点A 的坐标为(1,1)，即过切点A 的切线方程为2x －y －1＝0.20．(本题满分12分)当0<x <π2时，试证：sin x >x －x 36.[解析] 设函数f (x )＝sin x －x ＋x 36，显然f (0)＝0，则f ′(x )＝cos x －1＋x 22＝x 22－2sin 2x2＝2[(x 2)2－(sin x2)2]．又因为0<x <π2，x >sin x ，所以x 2>sin x 2>0，(x 2)2－(sin x2)2>0.故f ′(x )>0，函数f (x )在(0，π2)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0，即sin x >x －x 36.21．(本题满分12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间大体满足关系：P ＝⎩⎨⎧16－x，1≤x ≤c ，23，x >c ，(其中c 为小于6的正常数)(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数． (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ [解析] (1)当x >c 时，P ＝23，所以T ＝13x ·2－23x ·1＝0.当1≤x ≤c 时，P ＝16－x，所以T ＝(1－16－x )·x ·2－(16－x )·x ·1＝9x －2x 26－x.综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为：T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x ，1≤x ≤c ，0，x >c . (2)由(1)知，当x >c 时，每天的盈利额为0，当1≤x ≤c 时，T ′＝(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝2(x －3)(x －9)(6－x )2，令T ′＝0，解得x ＝3或x ＝9. 因为1<x <c ，c <6，所以(ⅰ)当3≤c <6时，T max ＝3，此时x ＝3. (ⅱ)当1≤c <3时，由T ′＝2x 2－24x ＋54(6－x )2＝2(x －3)(x －9)(6－x )2知函数T ＝9x －2x 26－x 在[1,3]上递增，所以T max ＝9c －2c 26－c，此时x ＝c .综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．22．(本题满分14分)(2019·全国Ⅱ卷理，20)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明：曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0 )处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．[解析] (1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e<x 1<e 2)，即f (x 1)＝0. 又0<1x 1<1，f ⎝⎛⎭⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点．(2)证明：因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B ⎝⎛⎭⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x 上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x 在点B ⎝⎛⎭⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2019·运城期中)下列表述正确的是( D ) ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理； ③类比推理是由特殊到一般的推理； ④分析法是一种间接证明法． A ．①②③④ B ．②③④ C ．①②④D ．①②[解析] 根据题意，依次分析4个命题：对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；则正确的是①②. 故选D ．2．(2019·全国Ⅱ卷文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误. 综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A ．3．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( C )A ．0B ．1C ．52D ．5[解析] ∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，∴令x ＝－1，则有f (1)＝f (－1)＋f (2)， ∴f (2)＝2f (1)．又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1，∴f (5)＝f (3＋2)＝f (3)＋f (2) ＝2f (2)＋f (1) ＝2＋12＝52.4．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a 0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( D )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0[解析] 命题的结论是“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列{x n }既不是递增数列，也不是递减数列”，即“存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0.”故应选D ．6．如果p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．已知p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( B )A ．p (n )对所有正整数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 都成立C ．p (n )对大于或等于2的正整数n 都成立D．p(n)对所有自然数n都成立[解析]∵p(n)对n＝2成立，2为偶函数，∴根据题意知p(n)对所有正偶数n都成立．故选B．7．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是(A)[解析]从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A．8．(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D) A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．9．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( C )A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2kD ．2k ＋1[解析] 左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n －1；由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k ＋1时末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k，∴应增加的项数为2k .故选C ．10．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( A )[解析] 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A ．11．已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b －log a a >0⇔log a ba >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <101b a>1，即⎩⎨⎧ 0<a <101b >a . 当⎩⎨⎧0<a <101b >a时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0. ∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平面上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶时的走法f (n )等于( D )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)[解析] 到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n －1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2019·大武口区校级一模)甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是3.[解析] 由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3. 故答案为3.14．在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .[解析] 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”15．观察分析下表中的数据：F ＋V －E ＝2. [解析] 本题考查归纳推理． 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2.16．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于5.[解析] 根据题意，列出检验方程组， ⎩⎪⎨⎪⎧1⊕1⊕0⊕1＝1，1⊕0⊕0⊕1＝0，1⊕0⊕1⊕1＝1，显然第一个式子和第三个式子错误，第二个式子没有影响，所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元，只有x 5，验证一下把x 5换成0，上式检验方程组都成立，所以x 5出错了，即k ＝5.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知n ≥0，试用分析法证明：n ＋2－n ＋1<n ＋1－n . [解析] 要证n ＋2－n ＋1<n ＋1－n 成立，需证明n ＋2＋n <2n ＋1.只需证明(n ＋2＋n )2<(2n ＋1)2，只需证明n ＋1>n 2＋2n ，只需证明(n ＋1)2>n 2＋2n ，只需证明n 2＋2n ＋1>n 2＋2n ，只需证明1>0.因为1>0显然成立，所以原命题成立．18．(本题满分12分)已知函数f (x )满足下列条件：(1)f (12)＝1，(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )，(3)f (x )的值域为[－1,1]．试证明：14不在f (x )的定义域内．[证明] 假设14在f (x )的定义域内，因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (14)＝f (12×12)＝f (12)＋f (12)＝2.又f (x )的值域为[－1,1]，2∉[－1,1]，所以14不在函数f (x )的定义域内．19．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan(x ＋π4)＝1＋tan x1－tan x；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．[解析] (1)证明：根据两角和的正切公式得 tan(x ＋π4)＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x，即tan(x ＋π4)＝1＋tan x1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ).所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．20．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2， ①注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .②∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．21．(本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2为定值．那么对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有命题：AB是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，猜想k OM ·k AB 的值，并证明．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有 ⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x22，y 0＝y 1＋y 22.k OM ＝y 0x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，即k OM ·k AB ＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 21－y 22x 21－x 22. 将A 、B 坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1中可得：x 21a 2－y 21b 2＝1 ① x 22a 2－y 22b2＝1②①－②得：x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，∴y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2，即k OM ·k AB ＝b 2a 2.22．(本题满分12分)(2019·马鞍山高二检测)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n∈N * .猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．[解析] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝11＋x 2k ＋2－11＋x 2k (1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝ x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．第三章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( D )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i[解析] 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 故选D ．2．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i ＝( D )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i[解析]3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i2＝1＋2i.3．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( A ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i. 4．若a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，则a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解之得a ＝0. 5．如果复数z ＝2－1＋i，则( C ) A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i[解析] 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C ．6．若复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i ， ∴z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第四象限． 7．对于下列四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数；②如果复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝－5i ，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆； ③|cos θ＋isin θ|的最大值是2，最小值为0；④x 轴是复平面的实数，y 轴是虚轴．其中正确的有( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①正确．因为若z ∈R ，则|z |≥0，若z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2>0.②正确．因为|z 1|＝5，|z 2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z 3|＝5，|z 4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错．因为|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．故选D ．8．复数z 1＝(1－i 1＋i )2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是( D )A ．10B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i[解析] ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴PQ →对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.故选D ．9．(2019·全国Ⅰ卷理，2)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( C ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1[解析] 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵ |z －i|＝1， ∴ |x ＋y i －i|＝1，∴ x 2＋(y －1)2＝1.故选C ．10．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限．11．(2019·成都高二检测)若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i(sin B －cos A )对应的点位于复平面内的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析] ∵A 、B 为锐角三角形的内角， ∴π2<A ＋B <π，∴A >π2－B ，B >π2－A ，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，sin B >sin(π2－A )＝cos A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos B －sin A <0sin B －cos A >0， ∴对应点在第二象限，故选B ．12．若复数z 1z 2≠0，则z 1z 2＝|z 1z 2|是z 2＝z 1成立的( D ) A ．充要条件 B ．既不充分又不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件[解析] z 1，z 2都是复数，复数z 1z 2≠0成立，则z 1，z 2是非零复数，此时当z 2＝z 1时，表明两复数z 1，z 2是一对共轭复数，故z 1z 2＝|z 1|2，|z 1z 2|＝|z 2|2, 能得出z 1z 2＝|z 1z 2|成立；反之，若z 1z 2＝|z 1z 2|成立，则z 1z 2是正实数，故不一定得出z 2＝z 1.故可得出z 1z 2＝|z 1z 2|是z 2＝z 1成立的必要不充分条件，故选D ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝±(7－i).[解析] 解法1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则 (1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意，得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪z2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5. 故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)．解法2：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0，且k ∈R ，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝5 2.∴k ＝±50.故ω＝±(7－i)．14．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是①②③.[解析] ①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否是实数；④若z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，则z 2＝－b 2<0，①②③均是错误命题，④是正确的．15．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝－1. [解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 16．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是cos(α＋β). [解析] z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知z ＝1＋i ，a ，b ∈R ，若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．[解析] ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ，∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b 2i －1－i ＋1＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i ＝a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 18．(本题满分12分)已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z∈R .(2)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．[解析] (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m (m 2＋2m －4)m －1＝0，解得m ＝0或m ＝－1±5.所以当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上． 19．(本题满分12分)已知z ＝a －i1－i，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．[解析] ∵z ＝a －i1－i ，代入ω＝z (z ＋i)，得ω＝a －i 1－i (a －i 1－i ＋i)＝(a －i )(a ＋1)(1－i )2＝(a －i )(a ＋1)－2i ＝(1＋a i )(a ＋1)2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i ， ∴ω的实部为a ＋12，虚部为a (a ＋1)2，由已知得a (a ＋1)2－a ＋12＝32，解得a 2＝4，∴a ＝±2. 又a >0，故a ＝2. |ω|＝|a ＋12＋a (a ＋1)2i|＝|2＋12＋2(2＋1)2i| ＝|32＋3i|＝352. 20．(本题满分12分)已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a 的取值范围．[解析] ∵z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ＝1＋ii＝1－i ，∴|z |＝ 2.又⎪⎪⎪⎪ωz ＝|ω||z |≤2，∴|ω|≤2.而ω＝z ＋a i ＝(1－i)＋a i ＝1＋(a －1)i ，(a ∈R )，则12＋(a －1)2≤2⇒(a －1)2≤3，∴－3≤a －1≤3，1－3≤a ≤1＋ 3.即a 的取值范围为[1－3，1＋3]． 21．(本题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．[解析] 依题意得z 1＋z 2为实数，因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.所以a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝(38，－1)，OZ 2→＝(－1,1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.22．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.第一、二章学业质量标准检测本检测仅供教师备用，学生书中没有时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设1a <1b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b >2ab ；③ab |a |＋|b |.这4个不等式中恒成立的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ∵1a <1b<0，∴0>a >b ，∴a 2<b 2，ab <b 2，②④显然不正确．2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D ．3．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A )A ．nn －4＋8－n (8－n )－4＝2B ．n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C ．nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2D ．n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2[解析] 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.4．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )A ．■ C ．□D ．○[解析] 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．5．(2019·淄博三模)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是( A )A ．(S △ABC )2＝S △BCO ·S △BCDB ．(S △ABD )2＝S △BOD ·S △BOC C ．(S △ADC )2＝S △DOC ·S △BOCD ．(S △BDC )2＝S △ABD ·S △ABC [解析] 由已知在平面几何中，若△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，AO ⊥面BCD ，O 为垂足，则(S △ABC )2＝S △BOC ·S △BDC ．故选A ．6．已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( D ) A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)112[解析] 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.故选D ．7．函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( C )[解析] 由图象知，f (x )在x <0时，图象增→减→增，x >0时，单调递增，故f ′(x )在x <0时，其值为＋→－→＋，在x >0时为＋，故选C ．8．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[解析] 观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f (－x )＝f (x )知f (x )为偶函数，故g (x )为奇函数，从而g (－x )＝－g (x )．9．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B ．10．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1]( A ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A ．11．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎨⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B ．12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝( B )A ．1 C ．4D ．5[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2017＝x 1＝2，故应选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ＝12，b ＝14，c ＝14.[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.14．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是57.[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38.[解析] 平面内⎝⎛⎭⎫a 22类比到空间⎝⎛⎭⎫a 23＝a 38. 16．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥－1}.[解析] 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}，所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a < 3.[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac <3a 2，即(a －c )(2a ＋c )>0，因为a －c >0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b >0，所以(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．。

高中数学人教A版选修2-2习题综合检测3(能力卷) Word版含答案

第三章综合检测(能力卷)时间分钟，满分分．一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)．已知是虚数单位，、∈，则“＝＝”是“(＋)＝”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．既不充分也不必要条件．充分必要条件[答案][解析]本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当＝＝时，(＋)＝(＋)＝，反之，(＋)＝－＋＝，则－＝＝，解＝，＝或＝－，＝－，故＝，＝是(＋)＝的充分不必要条件，选.．设复数＝－－(为虚数单位)，的共轭复数是，则等于( )．－＋．－－．＋．－＋[答案][解析]由题意可得＝＝＝－＋，故选.．复数＝(∈，为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[答案][解析]＝＝＝[(－)－(＋)]，其实部为(－)，虚部为－(＋)，由(\\(－>，,－(＋(>.))得(\\(>，<－.))此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．．已知复数＝－＋，则＋＝( )．－－．－＋＋．－[答案][解析]因为＝－＋，所以＋＝－－＋＝－.．若θ∈，则复数(θ＋θ)＋(θ－θ)在复平面内所对应的点在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[答案][解析]θ∈时，θ＋θ<，θ－θ>，故对应点(θ＋θ，θ－θ)在第二象限．．(·全国卷Ⅰ理，)设(＋)＝＋，其中，是实数，则＋＝( )．．[答案][解析]因为(＋)＝＋＝＋，所以＝＝，＋＝＋＝＝，选.．(·成都高二检测)若，为锐角三角形的两个内角，则复数＝(－)＋(－)对应的点位于复平面内的( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[答案][解析]∵、为锐角三角形的内角，∴<＋<π，∴>－，>－，∴>(－)＝，>(－)＝，∴(\\(－<－>))，∴对应点在第二象限，故选.．(·南宁高二检测)复数满足条件：＋＝－，那么对应的点的轨迹是( )．圆．椭圆．双曲线．抛物线[答案][解析]设＝＋(，∈)，∴＋＝－＝∴＝整理得：＋＋＋＝.故选.．已知复数＝(－)＋(、∈)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )．[答案][解析]因为(－)＋＝，所以(－)＋＝，所以点(，)在以()为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－≤≤.。

人教A版数学选修2-2学业质量标准检测3

最大、最小值相等都是 1.④正确．故选 D ．
8．复数
z1＝
1－ (1＋
i i
)
2，
z2＝
2－
i3
分别对应复平面内的点
(D)
A ． 10
B．－ 3－i
C．1＋ i
D． 3＋ i
[解析 ] ∵z1＝ (－ i) 2＝－ 1， z2＝ 2＋ i，
P， Q，则向量 P→Q对应的复数是
→ ∴PQ对应的复数是 z2－ z1＝ 2＋ i－ (－ 1)＝ 3＋ i. 故选 D．
cosαcosβ－ sinαsinβ＋ (cosαsinβ＋ sinαcosβ)i
＝ cos(α＋ β)＋ sin(α＋ β)i
故 z1·z2的实部为 cos(α＋ β)．三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17． (本题满分 10 分)已知 z＝ 1＋ i， a，b∈ R，若 zz22＋－azz＋＋1b＝ 1－ i，求 a， b 的值． [解析 ] ∵z＝ 1＋ i，∴z2＝ 2i，
个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数； ③ x＋ yi＝ 1＋ i 的充要条件为 x＝ y＝ 1 是错误的，因为没有表明 x，y 是否是实数；④若 z＝ bi( b≠ 0)为纯虚数，则 z2＝－ b2<0，①
②③均是错误命题，④是正确的． 15．设 a∈ R，若复数 (1＋ i)( a＋ i) 在复平面内对应的点位于实轴上，则 a＝－ 1. [解析 ] (1＋ i)( a＋ i) ＝ (a－1)＋ (a＋ 1)i ，由已知得 a＋ 1＝ 0，解得 a＝－ 1. 16．已知复数 z1＝ cosα＋ isin α， z2＝ cosβ＋ isin β，则复数 z1·z2 的实部是 cos(α＋ β). [解析 ] z1·z2＝ (cosα＋ isin α)(cosβ＋ isin β)

高中数学阶段质量检测(三)数系的扩充与复数的引入新

阶段质量检测(三) 数系的扩充与复数的引入班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(江西高考)已知集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2．复数z ＝－21＋i(i 为虚数单位)的虚部为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．03．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i5．在复平面内，复数11＋i ，11－i (i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i6．(安徽高考)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i7．(陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 228．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z1－2i的共轭复数是________．12．计算：[(1＋2i)·i 100－i]2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 230＝________.13．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________.14．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.16．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i＋2.求： (1)z 1z 2；(2)z 1z 2.17．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求a 的取值范围．18．(本小题满分14分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．答案1．选C 由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4ii 2＝－4i.2．选B 因为z ＝－2－＋－＝－1－i ，所以复数z 的虚部为－1.3．选B ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴“ab＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．4．选D z ＝－3＋i2＋i＝－3＋－＋－＝－5＋5i 5＝－1＋i ，所以其共轭复数为z －＝－1－i. 5．选A11＋i ＝12－12i ，11－i ＝12＋12i ，故在复平面内对应的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，对应的复数为12.6．选C 因为z ＝1＋i ，所以zi＋i·z ＝－i ＋1＋i ＋1＝2.7．选D 对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．8．选D 整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应的点位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＜0，m 2－m －6＞0，解得3＜m ＜4.9．选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.10．选B 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.11．解析：由图知z ＝2＋i ，则z 1－2i ＝2＋i1－2i＝＋＋－＋＝i ，其共轭复数是－i.答案：－i12．解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－215－215＝(1＋i)2＋i ＝3i.答案：3i 13．解析：a ＋ii＝a ＋－i－＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝ a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案： 314．解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a＋2＋b＋5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限．答案：四15．解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.16．解：因为z 2＝15－5i ＋2＝15－5i3＋4i＝－－＋－＝25－75i25＝1－3i ，所以： (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i ； (2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝2－3i1＋3i 1－3i 1＋3i ＝11＋3i 10＝1110＋310i.17．解：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝4－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|＜|z 1|， ∴4－a2＋4＜13，∴a 2－8a ＋7＜0，解得1＜a ＜7. ∴a 的取值范围是(1,7)．18．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由z2－i为实数，得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．。

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测(三)Word版含解析(20191223194330)

2019-2020学年数学选修2-2 阶段质量检测（三）(时间： 120 分钟满分：150分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(1 ＋i)(2 ＋i)＝()A． 1－ i B． 1＋ 3i C．3＋ i D． 3＋ 3i解析：选B(1＋ i)(2 ＋i)＝2＋i2＋3i＝ 1＋ 3i.2．复数z＝i(i＋ 1)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．－ 1－i B．－ 1＋i C．1－i D． 1＋ i解析：选 A∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴z＝－1－i.3．若复数 (1 －i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是()A． (－∞，1) C． (1，＋∞)解析：选 B因为B．(－∞，－1)D．(－1，＋∞)z＝(1－ i)(a＋ i)＝ a＋ 1＋(1－a)i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1 －a)，又此点在第二象限，所以 {a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1.a1＋i) 4．设 a 是实数，且＋是实数，则 a 等于 (1＋ i213A．B．1C．D．2 22解析：选 Ba1＋i a 1－ i1＋ i a＋1 1－a＋＝＋＝＋i，1＋i222221－a由题意可知＝0，即 a＝ 1.25．设复数 z 满足 (1＋ i)z＝2i，则 |z|＝ ()12C．2D． 2 A．B．22解析：选 C2i2i 1－i＝i(1 －i)＝1＋i，因为 z＝＝1－i1＋i1＋i所以 |z|＝ 2.1－ i6．复数2＝a＋bi(a ，b∈R， i 是虚数单位 )，则 a2 －b2 的值为 ()2A．－ 1B．0 C．1D．21－ i1－ 2i＋i2解析：选 A2＝＝－i＝a＋bi，所以a＝0，b＝－1，所以a222－b2 ＝0－1＝－ 1.7．已知 f(n) ＝ in－i－ n(i2 ＝－ 1，n∈N)，集合 {f(n)|n ∈N} 的元素个数是 () A．2 B．3C．4D．无数个1f(0) ＝i0－ i0＝0，f(1) ＝i－i－ 1＝ i－＝2i，if(2) ＝ i2－i－ 2＝ 0， f(3) ＝i3－i－3＝－ 2i，由in 的周期性知 {f(n)|n ∈N} ＝{0，－ 2i,2i} ．108．已知复数 z＝－2i(其中i是虚数单位)，则|z|＝()3＋iA．2 3 B．22C．3 2 D．33解析：选 C复数z＝3－i－2i＝3－3i，则|z|＝32，故选 C.9．z1 ＝(m2 ＋ m＋1)＋(m2 ＋m－4)i ，m∈R，z2＝3－ 2i，则“m＝ 1”是z1“＝z2 ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A m＝ 1 时， z1 ＝3－2i＝z2 ，故“m＝1”是z1“＝ z2”的充分条件．由z1＝ z2，得 m2 ＋m＋1＝ 3，且 m2 ＋m－ 4＝－ 2，解得 m＝－ 2 或 m＝ 1，故“m ＝1”不是z1“＝z2”的必要条件．10．设有下面四个命题：1p1 ：若复数 z 满足∈R，则z∈R；zp2：若复数 z 满足 z2 ∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1 ，z2满足 z1z2 ∈R，则 z1 ＝ z 2；p4：若复数 z∈R，则 z ∈R.其中的真命题为 ()A． p1，p3B．p1 ，p4C． p2，p3D． p2，p4解析：选 B11a－bi设复数 z＝a ＋bi(a ，b∈R)，对于 p1 ，∵ ＝＝∈R，∴z a＋bi a2 ＋b2b＝ 0，∴z∈R，∴p1 是真命题；对于 p2 ，∵z2＝ (a＋bi)2 ＝ a2－b2 ＋2abi ∈R，∴ab ＝0，∴a＝0或 b＝0，∴p2不是真命题；对于 p3 ，设 z1 ＝ x＋ yi(x，y∈R) ，z2＝ c＋ di(c ，d∈R)，则 z1z2 ＝(x＋yi)(c ＋di)＝ cx－dy ＋(dx ＋cy)i ∈R，∴dx＋ cy＝0，取 z1 ＝1＋2i，z2 ＝－ 1＋2i， z1≠z 2，∴p3 不是真命题；对于 p4 ，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝ 0，∴z ＝a－bi＝ a∈R，∴p4 是真命题．a b1－111 ．定义运算＝ad －bc，则符合条件z ＝4＋2i 的复数 z 为 ()c d ziA． 3－ i B．1＋3iC． 3＋ i D．1－3i1 －1解析：选 A由定义知＝zi＋z，z zi4＋2i得 zi＋z＝4＋2i，即 z＝＝3－i.1＋ i12 ．若 1＋2i 是关于 x 的实系数方程 x2 ＋bx ＋c＝ 0 的一个复数根，则 ()A． b＝ 2， c＝ 3B． b＝－ 2，c＝3C． b＝－ 2，c＝－ 1 D ．b＝2，c＝－ 1解析：选 B 由题意可得 (1＋ 2i)2＋b(1 ＋2i)＋ c＝ 0?－ 1＋ b＋ c＋ (22＋2b)i ＝ 0，－1＋b＋c＝0，b＝－ 2，所以?2 2＋2b ＝0c＝3.二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)－的共轭复数．若－13 ．设 i 是虚数单位， z 是复数 z z·z i＋2＝2z，则 z 等于________．－－解析：设 z＝a＋bi(a ，b∈R)，则 z＝ a－ bi，又 z·z i＋2＝2z ，所以 (a2 ＋b2)i ＋2＝2a ＋2bi ，所以 a＝1，b＝1，故 z＝ 1＋ i.答案： 1＋i－－14 ．设 z2＝ z1－i z1(其中 z 1 表示 z1 的共轭复数 )，已知 z2 的实部是－ 1，则z2 的虚部为 ________．－解析：设 z1 ＝a＋bi(a ，b∈R)，则 z2 ＝z1－ i z 1＝a＋bi－ i(a－bi) ＝(a－ b)－(a－b)i ，因为 z2 的实部是－ 1，即 a－b＝－ 1，所以 z2 的虚部为 1.答案： 115 ．若关于x 的方程x2＋(2 －i)x＋ (2m －4)i ＝0 有实数根，则纯虚数m＝________.解析：设 m＝bi(b ∈R，且 b≠0)，方程的实根为x0，则 x20＋ (2－i)x0 ＋ (2bi －4)i＝ 0，即(x20＋ 2x0 －2b) －(x0 ＋ 4)i＝0，x0 ＋4＝0，即x20＋2x0 －2b ＝0.解得 x0 ＝－ 4，b＝4. 故 m＝ 4i.答案： 4i16 ．已知复数 z＝a＋bi(a，b ∈R)且a b5＋1－2i＝，则复数 z 在复平面对1 － i3＋ i应的点位于第 ________象限．a b 5解析：∵a ，b ∈R 且＋＝，1－i 1－2i 3＋ia 1＋ib 1＋2i 3－i 即＋＝，252∴5a ＋5ai ＋2b ＋ 4bi ＝ 15－ 5i ，5a ＋2b ＝15， a ＝7，即＝－5，解得5a ＋4b b ＝－ 10 ，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限．答案：四三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )17 ．(本小题 10 分 )实数 k 为何值时，复数 z ＝(k2 －3k －4)＋ (k2－ 5k －6)i 是：(1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数； (4)0.解： (1) 当 k2 －5k － 6＝ 0，即 k ＝6，或 k ＝－ 1 时， z 是实数．(2) 当 k2－5k －6≠0，即 k ≠6，且 k ≠－1 时， z 是虚数．k2－ 3k －4＝0，(3) 当即 k ＝4 时， z 是纯虚数．k2－ 5k －6≠0，k2－ 3k －4＝0，(4) 当即 k ＝－ 1 时， z 是 0.k2－ 5k －6＝0，18 ．(本小题 12 分)计算下列各题：(1)1 2＋ 2i)5 ＋11 ＋i 7;( 4＋1 －i i1＋i3 12＋ 2i (2) －－ i 12＋ 1－ 3i 8.2 21 1 1＋i解： (1) ( 2＋ 2i)5 ＋ 4＋ 7i 1＋ i 1－i1 ＝－ i ·( 2)5 ·[(1＋ i)2]2 ·(1 ＋i)＋12＋i7＋i 21＝ 16 2(－1＋i)－－i41＝－ 16 2＋＋(162－1)i.43 12＋ 2i (2) －－ i 12＋ 82 21－ 3i3 1 1＋i3 8＝ (－i)12 ·－－ i 12＋ 12 2 － i2 21 31 3 [ 1＋i 2]4 · － i2 2＝－＋ i 12 ＋3 2 21－i 3 32 21 3＝－＋ i 3 4＋(－8＋8 3i)2 2 ＝1－8＋83i ＝－ 7＋ 8 3i.19 ．(本小题 12 分)已知复数 z 满足 |z|＝1＋3i － z ，求1 ＋i23 ＋4i 2的值．2z解：设 z ＝ a ＋ bi(a ，b ∈R)，∵|z|＝ 1＋3i －z ，∴a2 ＋b2 －1－3i＋a＋bi＝ 0，a2＋b2 ＋a－1＝0，则b－3＝0，a＝－ 4，解得∴z＝－ 4＋3i，b＝ 3.1＋ i 2 3＋ 4i 22i － 7＋ 24i24 ＋7i∴＝＝＝3＋4i.2z 2 －4＋3i4－ 3i20 ．(本小题 12 分)已知 z＝1＋i，a，b 为实数．(1)若ω＝z2＋3 z －4，求 |ω|；z2 ＋az＋ b(2) 若＝1－i，求a，b的值．z2－z＋1解： (1) 因为ω＝z2＋3 z － 4＝(1＋i)2 ＋3(1 －i)－4＝－ 1－ i，所以 |ω|＝－1 2＋－1 2＝ 2.z2＋ az＋b(2) 由条件＝1－i，z2 －z＋11＋i 2＋a 1＋i ＋b得＝1－i，1＋ i 2－ 1＋ i ＋ 1a＋b ＋ a＋2 i即＝1－i.i所以 (a＋b) ＋(a＋2)i ＝1＋i，a＋ b＝ 1，a＝－ 1，所以解得a＋ 2＝ 1，b＝2.21 ．(本小题 12 分)已知复数 z1 满足 (1＋ i)z1 ＝－ 1＋5i，z2＝a－2－i，其中 i为虚数单位， a∈R，若 |z1－ z 2|<|z1| ，求 a 的取值范围．－1＋ 5i解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，z 2＝a－2＋i，1＋i∴|z1 － z 2|＝|(2 ＋3i)－ (a－2＋i)|＝ |4－a＋2i|＝4－ a 2＋ 4，又∵|z1| ＝13 ，|z1－ z2 |<|z1| ，∴4－a 2＋4< 13 ，∴a2 －8a ＋7<0 ，解得 1<a<7.∴a 的取值范围是 (1,7) ．22 ．(本小题 12 分)已知 z＝m＋ 3＋ 33i，其中 m∈C，且m ＋3为纯虚数，m －3(1)求 m 对应的点的轨迹；(2)求|z|的最大值、最小值．解： (1) 设 m＝ x＋ yi(x ，y∈R)，则m＋ 3 x＋3 ＋ yi x2 ＋y2－ 9 －6yi＝＝，m－ 3 x－3 ＋ yi x－ 3 2 ＋y2m＋3x2 ＋y2 － 9＝ 0，∵为纯虚数，∴m－3y≠0，即{x2＋y2＝32 y≠0.∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为 3 的圆，除去 (－3,0) ，(3,0) 两点．(2) 由(1) 知|m|＝3，由已知 m＝z－(3＋3 3i)，∴|z－(3 ＋3 3i)|＝3.∴z 所对应的点 Z 在以 (3,3 3) 为圆心，以 3 为半径的圆上．由图形可知 |z|的最大值为 |3＋3 3i| ＋3＝9；最小值为 |3＋33i|－ 3＝ 3.。

高中数学人教A版选修-阶段质量检测(三)数系的扩充与复数的引入含解析

的点关于实轴对称． ∴C 项正确．
2
值时？ (1)z 是实数.
(2)z 是纯虚数．
(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由 m2＋3m＋2＝0 且 m2－2m－2＞0，解得 m＝－1 或 m＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由 lg(m2－2m－2)＝0，且 m2＋3m＋2≠0，
5．已知(1－z i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(1－i)2
(1－i)2 －2i －2i(1－i)
解析：选 D 由 z ＝1＋i，得 z＝ 1＋i ＝1＋i＝(1＋i)(1－i)＝－1－i，故选 D.
6．设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z，则2－z z等于(
求得 m＝3，故当 m＝3 时，复数 z 为纯虚数．
(3)由 lg(m2－2m－2)＞0，且 m2＋3m＋2＞0，解得 m＜－2 或 m＞3，故当 m＜－2 或 m ＞3 时，复数 z 对应的点位于复平面的第一象限．
18．(本小题满分 12 分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求 z 及zz. 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi. ∴(1＋2i) (a－bi)＝4＋3i，
当 z＝－1－i 时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以 A (－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以 S△ABC＝1. 22．(本小题满分 12 分)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，求 z2. 解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i， ∴z1－2＝11－＋ii＝(1＋(1i－)(1i)－2 i)＝－22i＝－i， ∴z1＝2－i. 设 z2＝a＋2i(a∈R)，则 z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测Word版含解析

2019-2020学年数学选修2-2模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i(i为虚数单位)的虚部是() 2＋iA．1512B．iC．iD．5525解析：选D因为i＝2＋ii2－i2＋i2－i12＝＋i，所以复数55i的虚部为2＋i25，故选D.2．已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(4，＋∞)C．(－1,4)D．(－4，－1)解析：选C复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a<4，则实数a的取值范围是(－1,4)．故选C.3．用反证法证明“若a＋b＋c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”，应()A．假设a，b，c至少有一个大于1B．假设a，b，c都大于1C．假设a，b，c至少有两个大于1D．假设a，b，c都不小于1解析：选D假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1，故选D.114．设a ＝3dx ，b ＝1－2dx ，c ＝1x1x1x3dx ，则a 、b 、c 的大小关系是 000()A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a解析：选A 由题意可得a ＝1x 01 1 3 1x 3dx ＝ 1 －＋1 31 0 ＝3 2 x3 2 1 0 3 2 ＝；b ＝1－1 0 3 x2 1x 2dx ＝1－3 21 0 ＝1－ 21－0＝；c ＝ 33 1x3dx ＝ 0x 4 4 1 0 1 ＝.综上，a>b>c.4 5．由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①解析：选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5 是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．已知点列：P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，P4(1,3)，P5(2,2)，P6(3,1)，P7(1,4)， P8(2,3)，P9(3,2)，P10(4,1)，P11(1,5)，P12(2,4)，⋯，则P60的坐标为()A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)解析：选D 横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横纵坐标之和为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个．因此横纵坐标之和为2,3，⋯，11的点共有1＋2＋3＋⋯＋10＝55个，横纵坐标之和为12的有11个．因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D.7.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝3 ax2＋bx＋2 c的单调递增区间是() 3A．(－∞，－2]B. 12，＋∞C．[－2,3]D. 98，＋∞解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2 ＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－39，c＝－18.∴y＝x2－x－6，y′＝2x－2499.当x＞时，y′＞0，∴y＝x2489－x－6的单调递增区间为4 98，＋∞.故选D.8．如图，在平面直角坐标系x Oy中，圆x2＋y2＝r2(r>0)内―→―→―→切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若OP＝mOA＋nOB(m，n1∈R)，则是m2，n2的等差中项．现有一椭圆4x2a2y2＋＝1(a>b>0)b2―→―→―→内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为()14 A.12 B.2 C.D．12x2a2 解析：选A图，设P(x，y)，由＋y2b2＝1知A(a，b)，B(－―→―→―→a，b)，由OP＝mOA＋nOB可得x＝m－na，y＝m＋nb，代入x2y2＋＝1a2b212可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以m2＋n2＝214，即m2，n2的等1差中项为.49．已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为() A．(1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，3]解析：选B∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.10．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是()A．f(－1)＝f(1)B．f(－1)>f(1)C．f(－1)<f(1)D．不确定解析：选B因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1).11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)3 解析：选B由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnxx3＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝x x＋3x－1x2.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)<x2－1成立的实数x的取值范围为() A．{x|x≠±1}B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－1,0)∪(0,1)解析：选B构造函数g(x)＝x2f(x)－x2，x∈R，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－2x＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]．由题意得2f(x)＋xf′(x)－2<0恒成立，故当x<0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x>0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．因为x2f(x)－f(1)<x2－1，所以x2f(x)－x2<f(1)－1，即g(x)<g(1)，当x>0时，解得x>1;当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以g(x)是偶函数，同理解得x<－1.故实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝3i－1，∴|z|＝32＋－12＝10.答案：10x14．已知f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．x2＋1x解析：f(x)＝的导数为f′(x)＝x2＋1 1－x2，在点(1，f(1))处的切线的斜率为1＋x2212 f′(1)＝0，切点为1，1 ，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.21答案：y＝215．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，则y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．则p，y，y′变化关系如下表：(20,30p30(30，＋∞))y＋0－′极y大值故当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3－150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．答案：302300016．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1 堆只有一层，就一个球；第2、3、4、⋯堆最底层(第一层)分别按下图①②③所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________，f(n)＝________(用含n的式子表示)．解析：设第n堆第一层乒乓球数为g(n)，则g(1)＝1，g(2)＝1＋2，g(3)＝1＋2＋3，⋯，nn＋1 则g(n)＝1＋2＋3＋⋯＋n＝2n2＋n＝.2所以f(3)＝g(1)＋g(2)＋g(3) ＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10.f(n)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋⋯＋g(n)＝11(12＋1)＋(22＋2)＋⋯＋2212(n2＋n)＝12[(12＋22＋⋯＋n2)＋(1＋2＋3＋⋯＋n)]＝12n n＋12n＋16nn＋1＋2nn＋1n＋2＝6.答案：10 n n＋1n＋26三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)(1)计算1＋i25i2＋；3＋4i(2)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＋2iz＝3＋i，求复数z.解：(1)原式＝2i2＋5i3－4i3＋4i3－4i5i3－4i32＋42 ＝i＋4＋3i＝i＋＝545＋85i.(2)(x＋yi)＋2i(x－yi)＝3＋i，即(x＋2y)＋(2x＋y)i＝3＋i，x＋2y＝3，x＝－13，即解得2x＋y＝1， 5y＝.3∴z＝－15＋i.3318．(本小题12分)设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac ＋logbc≥4lgc.证明：法一：∵ab＝10，∴lga＋lgb＝lgab＝1，lgclgc则l ogac＋logbc＝＋lgalgb ＝l gclga＋lgblga·lgb＝lgclga·lgb.∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，lga＋lgb2112＝，4lgalgb则l ga·lgb≤≥4，又c＞1，lgc＞0.lgc∴≥4lgclga·lgb即logac＋logbc≥4lgc.法二：要证logac＋logbc≥4lgc，只需证lgclgalgclgb＋≥4lgc.又因为c>1，所以lgc>0，故只需证11＋lgalgb≥4，即证l ga＋lgb lga·lgb≥4.又因为ab＝10，所以lga＋lgb＝lg(ab)＝1，1故只需证≥4.lga ·lgb又因为lga>0，lgb>0，所以0<lga ·lgb ≤ l ga ＋lgb 2 2＝1 21 4 2＝， 1则≥4成立．lga ·lgb 所以原不等式成立，即logac ＋logbc ≥4lgc.119．(本小题12分)已知函数f(x)＝x3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，且曲线3上一点P2 2，y0处的切线斜率为 1 3 .(1)求曲线在P 点处的切线方程； (2)求函数f(x)的极大值和极小值．1解：(1)因为函数f(x)＝x3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，所以b ＝1.3又y ′＝x2－a ，所以 2 2 2－a ＝ 1 3 1，所以a ＝，6所以f(x)＝ 11x3－x ＋1，36所以y0＝f2 2＝1，故点P 21，1，所以切线方程为y －1＝ 23x － 2 2，即2x －6y ＋6－2＝0.1(2)由(1)可得f ′(x)＝x2－，6令f′(x)＝0，得x＝±6. 6当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表：－x错误!6 错误!错误!6，＋∞66f′(x)＋0－0＋极极f(x)大值小值因此，当x＝－6时，函数f(x)有极大值为f－666＝1＋6，当x＝546时，6 6函数f(x)有极小值为f＝1－66.5420．(本小题12分)已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)≥h(x)，x得m≤在(1，＋∞)上恒成立．lnx令g(x)＝xlnxlnx－1 ，则g′(x)＝，lnx2当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．(2)由已知可得k(x)＝x－2lnx－a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点．2x－2φ′(x)＝1－＝，xx当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln2，φ(3)＝3－2ln3，要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2lnx有两个交点，则2－2ln2＜a＜3－2ln3.即实数a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln3)．21．(本小题12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，x－1f′(x)＝＋lnx－1＝lnx－x 1x .因为y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．1ln4－1又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln2－＝>0，22故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.1由α>x0>1得<1<x0.α又f 1＝α111fα－1ln－1＝＝0，－αααα故1是f(x)＝0在(0，x0)内的唯一根．α所以f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．(本小题12分)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧A B上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．解：(1)根据题意∠A CB＝90°，|AC|＝xkm，|BC|＝400－x2km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为4，对城B的影响度为x2k，因此，总影400－x2响度y＝4k＋(0<x<20)．x2400－x2又垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有4k＋＝0.065，102＋1022400－102＋10224 解得k＝9，故y＝f(x)＝x29＋(0<x<20)．400－x2(2)f′(x)＝－8x3＋18x400－x22＝18x4－8×400－x22x3400－x22＝x3＋80010x2－1600x3400－x22.令f′(x)＝0，解得x＝410或x＝－410(舍去)．所以当x∈(0,410)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(410，20)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．故在x＝410处，函数f(x)取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A的距离为410m时，对城A和城B的总影响最小．。

2021_2020学年高中数学阶段质量检测(三)(含解析)新人教A版选修2_2 (2)

阶段质量检测〔三〕(时间：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(1＋i)(2＋i)＝( )A ．1－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．3＋3i 解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i. 2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i 解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．假设复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以{ a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i2是实数，那么a 等于( )A ．12B ．1C ．32 D ．2 解析：选Ba1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a2i ，由题意可知1－a2＝0，即a ＝1.5．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，那么|z |＝( )A ．12B ．22 C ． 2 D ．2 解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，那么a 2－b 2的值为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.7．f (n )＝i n－i －n(i 2＝－1，n ∈N)，集合{f (n )|n ∈N}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．无数个解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，由i n的周期性知{f (n )|n ∈N}＝{0，－2i,2i}．8．复数z ＝103＋i －2i(其中i 是虚数单位)，那么|z |＝( )A ．2 3B ．2 2C ．3 2D ．3 3解析：选C 复数z ＝3－i －2i ＝3－3i ，那么|z |＝32，应选C.9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，那么“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1〞是“z 1＝z 2”的充分条件．由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1〞不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．设有下面四个命题：p 1：假设复数z 满足1z ∈R ，那么z ∈R ；p 2：假设复数z 满足z 2∈R ，那么z ∈R ； p 3：假设复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，那么z 1＝z 2； p 4：假设复数z ∈R ，那么z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，那么z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，那么符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i＝3－i.12．假设1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，那么( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，所以⎩⎨⎧－1＋b ＋c ＝0，22＋2b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数．假设z ·z －i ＋2＝2z ，那么z 等于________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，那么z －＝a －b i ，又z ·z －i ＋2＝2z ，所以(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.答案：1＋i14．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，z 2的实部是－1，那么z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，那么z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i ，因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.答案：115．假设关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，那么纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，那么x 20＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0，即(x 20＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋4＝0，x 20＋2x 0－2b ＝0.解得x 0＝－4，bm ＝4i. 答案：4i16．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，那么复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i2，∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限．答案：四三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.18．(本小题12分)计算以下各题： (1)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7; (2)⎝⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 解：(1)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i )22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (2)⎝⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8 ＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i )2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i) ＝1－8＋83i ＝－7＋83i.19．(本小题12分)复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， ∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，那么⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3.∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i ＝3＋4i.20．(本小题12分)z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)假设ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)假设z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，即(a ＋b )＋(a ＋2)ii＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.21．(本小题12分)复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，假设|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴(4－a )2＋4<13， ∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．22．(本小题12分)z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数， (1)求m 对应的点的轨迹； (2)求|z |的最大值、最小值．解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，那么m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i(x －3)2＋y2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0.∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点． (2)由(1)知|m |＝3，由m ＝z －(3＋33i)， ∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；最小值为|3＋33i|－3＝3.。

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(B卷能力素养提升)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下面三个命题：
①0比－i大；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；
③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1.
其中，正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A ①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，
但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝
1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数．
2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( )
A．5 B.5
C．3 D.3
解析：选A ∵z＝2－i，∴z＝2＋i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.
3．若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C.2 D.3
解析：选C 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以

(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得 a－b＝0，a＋b＝2，解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝
12＋12＝2.
法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i1－i2＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝12＋12＝2.
4．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)·i
为“等部复数”，则实数a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选A 由已知可得z＝(1＋ai)·i＝－a＋i，所以－a＝1，即a＝－1.
5．已知a∈R，且0于( )
- 2 -

A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵00且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点
(a，a－1)位于第四象限．故选D.

6．已知复数z＝1＋3i1－i，则z的实部为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1

解析：选D 因为z＝1＋3i1－i＝1＋3i1＋i1－i1＋i＝－2＋4i2＝－1＋2i，故z的实部为－1.
7．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝bi1＋i，则复数a＋bi是( )
A．2－I B．2＋i
C．1＋2i D．1－2i

解析：选C 因为a＋i＝bi1＋i，整理得：(a＋i)(1＋i)＝bi，∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，由复数

相等的条件知： a－1＝0，a＋1＝b，解得 a＝1，b＝2，即a＋bi＝1＋2i，故选C.
8．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量
CA


对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析：选D CA＝CB－AB＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.
9．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )

A．|z－z－|＝2y
B．z2＝x2＋y2

C．|z－z－|≥2x
D．|z|≤|x|＋|y|
解析：选D |z|＝x2＋y2≤x2＋2|xy|＋y2＝|x|＋|y|2＝|x|＋|y|，D正确．

10．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数f1＋i3＋i对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

解析：选A 因为f1＋i3＋i＝2i3＋i＝15＋35i，所以选A.
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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则
|AB|＝________.
解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，
故|AB|＝－1－12＋3－12＝22.
答案：22
12．设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________．

解析：由iz＝－3＋i，得z＝－3＋ii＝－3＋i－ii－i＝1＋3i，则z的实部为1.
答案：1
13．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若z1z2复平面内对应的点在第四象限，
则实数a的取值范围为________．
解析：z1z2＝3－ai1＋2i＝3－ai1－2i1＋2i1－2i＝3－2a5－6＋a5i，因为z1z2复平面内对应的点在第四象限，

所以 3－2a>0，6＋a>0⇒－6答案：－6，32
14．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1、y1，x2、y2为实数)，定义运算“⊙”
为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原
点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．
解析：设OP 1＝x1＋y1i，OP2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义
知x1x2＋y1y2＝0，

∴OP1⊥OP2，∴∠P1OP2＝π2.

答案：π2
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)复数z＝1＋i3a＋bi1－i且|z|＝4，z对应的点在第一象限内，若复数
0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝1＋i2·1＋i1－i(a＋bi)＝2i·i·(a＋bi)＝－2a－2bi，
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
∵复数0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点，
- 4 -

∴|z|＝|z－z|，
把z＝－2a－2bi代入化简，得|b|＝1.②
又∵点在第一象限内，∴a<0，b<0.

由①②，得 a＝－3，b＝－1.
故所求a＝－3，b＝－1.
16．(本小题满分12分)已知z＝a－i1－i(a>0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差
等于32，求复数ω.
解：由已知，ω＝a－i1－i×a＋11－i
＝a＋1a－i－2i＝a＋11＋ai2
＝a＋12＋aa＋12i，
∴aa＋12－a＋12＝32，
∴a＝2(a>0)，
∴ω＝32＋3i.
17．(本小题满分12分)已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
解：(1)把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得
(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴a＝2，b＝2.
(2)设另一个根为x2，由根与系数的关系，得i－1＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
18．(本小题满分14分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．
解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
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故 b2－6b＋9＝0，a＝b.解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3＋3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，
|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝2，半径r＝22，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝2.