角度制、弧度制、诱导公式
诱导公式
诱导公式【达标要求】熟记诱导公式，能够运用诱导公式进行简单的三角函数的化简及证明.【知识梳理】诱导公式一：(其中k∈Z) 用弧度制可写成sin(α+ k·360o) = sinαsin(α+2kπ) = sinαcos(α+k·360o) = cosα，cos(α+2kπ) = cosα，ta n(α+k·360o) = tanαtan(α+2kπ) = tanα诱导公式二：(其中k∈Z) 用弧度制可写成sin(k·360o－α) = －sinαsin(2kπ－α) = －sinα，cos(k·360o－α) = cosαcos(2kπ－α) = cosα，ta n(k·360o－α) = －tanαta n(2kπ－α) = －tanα诱导公式三：(其中k∈Z) 用弧度制可写成sin(k·180o-α) = sin αsin(π-α) = sin αcos(k·180o-α) = - cos αcos(π-α) = - cos αtan(k·180o-α) = - tan αtan(π-α) = - tan α诱导公式四：(其中k ∈Z )sin(-α) = -sin αcos(-α) = cos αtan(-α) = -tan α诱导公式五：(其中k ∈Z ) 用弧度制可写成 sin(180o + α) = -sin α sin(π + α) = -sin α cos(180o + α) = -cos α cos(π + α) = -cos α tan(180o + α) = tan α tan(π + α) = tan α诱导公式六：(其中k ∈Z ) 用弧度制可写成ααcos )90sin(=-o ααπcos )2sin(=-ααsin )90cos(=-oααπsin )2cos(=-tan(o 90－ α) =cot α tan(2π－ α) =cot α诱导公式七：(其中k ∈Z )ααcos )90sin(=+o ααπcos )2sin(=+ ααsin )90cos(-=+oααπsin )2cos(-=+tan(o 90+ α) =－cot α tan(2π+ α) =－cot α【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”； 【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)2,0[π内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。
高考数学 三角函数
tan 例、已知 1, 求 tan 1 sin 3 cos 2 （ 1 ） , (2) sin sin cos 2 sin cos
一、概念
1.3、诱导公式
k k sin( ), cos( ) 2 2
奇变偶不变，符号看象限
一、概念
f ( x) f (2a x) : 函数关于直线x a轴对称 f ( x) f (2a x) : 函数关于点（a， 0）中心对称
（2）变形
ab f (a x) f (b x) : 函数关于直线x 轴对称 2 ab f (a x) f (b x) : 函数关于点（ ， 0）中心对称 2
O
M
Ax
正弦线：MP 余弦线：OM 正切线：AT
例、若x (0, ), 求证： sin x x tan x 2
一、概念
1.2、任意角的三角函数——同角三角函数关系
sin tan cos
sin cos 1
2 2
一、概念
1.2、同角三角函数关系——切割化弦
倍
三、图像
1.2、y=Asin(ω x+ψ )——图像变换
三、图像
1.3、y=Asin(ω x+ψ )——图像的向量变化
特别关注：向量
设函数图像按向量
平移后：
m (a, b) 进行平移
x
y
( x a)
( y b)
三、图像
1.3、y=Asin(ω x+ψ )——图像的向量变化
一、概念
1.3、诱导公式
例、y sin(x )( [0,2 ])是偶函数，则 （） 例、y sin(x )( [0,2 ])是奇函数，则 （） 例、y sin(x )是偶函数，则 （） 例、y sin(x )是奇函数，则 （）
(精心整理)高中数学三角函数专题(重要知识点和经典方法大合集)
专题复习—— 三角函数（一）知识梳理1、 角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad ππ⎧=≈⎪⎪⎨⎛⎫⎪=≈ ⎪⎪⎝⎭⎩2、 扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n R l n n R αααππ⎧=⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩①弧长弧度制为弧度)②扇形面积S ①弧长角度制为角度)②扇形面积S3、 同角三角函数恒等式22sin sin cos 1cos (sin tan cos cos sin ααααααααααα⎧⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎪⎪⎪±⎪⎩⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎧=⎪⎪⎪⎪±⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎩①其中“”由所在象限确定）②③推论其中“”由所在象限确定）4、 诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k απαπαααπαπαααπαπααααπααααπααααπαα+=+=-⎧⎧⎪⎪+=+=-⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩-=--=⎧⎧⎪⎪-=-=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22ππααααππααααππααααππαααα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎨-=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪-=+=-⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎧⎪-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-+=⎪⎪⎩⎩⎩公式六推论1推论25、差（和）角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tanαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=+⎪+=-⎪⎪-=-⎪⎪+=+⎨-⎪-=⎪+⎪+⎪+=⎪-⎩余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tanαααααααααααααααααααα⎧⎪=⇒=⎪⎪=-⎪⎪-⎪=-⇒=⎨⎪+⎪=-⇒=⎪⎪⎪=⎪-⎩7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c C⎧===∆⎪⎪===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪=⎪⎪===⎪⎩①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A Abca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cab⎧+-=+-⇒=⎪⎪+-⎪=+-⇒=⎨⎪⎪+-=+-⇒=⎪⎩9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc A⎧=⎪⎪⎪=++∆⎨⎪⎪==⎪⎩为底，h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tωϕπωϕωπωϕω⎧=++⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎩最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxππππππππππππππ-⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎧+∈=⎪⎪⎨⎪+∈=-⎪⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：,;(6)2.Rx k k Zk k Zπππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧+∈⎪⎪⎨⎪⎪∈⎪⎩⎩为上的奇函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kππππππππππππ-⎧-∈⎪⎨+∈⎪⎩∈=⎧⎨+∈=-⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：为上的偶函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2Zk k Zππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∈⎧⎪⎪⎪⎨∈⎪⎪⎩⎩②为中心对称图形，对称中心为（,0),13、正切函数y=tanx1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan(5),0),.2x x k k Z Rk k k Zk k Z kxkk Zπππππππππ⎧⎧⎫≠+∈⎪⎨⎬⎩⎭⎪⎪+∈⎪⎪⎪∈≠⎨⎪=⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪⎩⎩（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数.①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为(14、简谐运动sin()y A xωϕ=+[)2=1(0,0,0,)2xA xTπωωωπωϕϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎪=>>∈+∞⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩①振幅：A②周期：T③频率：f=其中④相位：x+⑤初相：=0时的相位2222sin cos)(tan)0)sin cos)(tan)ba xb x a b xaa aa xb x a b xbωωωϕϕωωωϕϕ⎧+=++=⎪⎪⎨>⎪+=+-=⎪⎩①其中15、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下：证明：asin xω+bcos xω22a b+22a b+sin xω22a b+cos xω),①22a b+=cosϕ22a b+=sinϕ,则asin xω+bcos xω22a b+xωcosϕ+cos xωsinϕ)22a b+xω+ϕ) (其中tanϕ=ba)② 22a a b+=sin ϕ22b a b+ϕ,则asin x ω+bcos x ω22a b +x ωsin ϕ+cos x ωcos ϕ) 22a b +x ω-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 注：其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出；或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 例：化简32cos 2y x x =+.法一：逆用差（和）角公式3132cos 22(2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)2666y x x x x x x x πππ=+=+=+=+法二：应用辅助角公式32cos 22sin(2)6y x x x π=+=+ (其中3tan 363πϕϕ==⇒=)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用 例1: 在△ABC 中，C ＝2B ，AB AC ＝43. (1)求cos B ；(2)若BC ＝3，求S △ABC . 解：(1)由C ＝2B 和正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B ＝AB 2AC ＝23 (2)设AC ＝3x ，则AB ＝4x . 由余弦定理得(3x )2＝(4x )2＋32－2×4x ×3cos B ，即9x 2＝`16x 2＋9－16x ∴7x 2－16x ＋9＝0 解得x ＝1或x ＝97当x ＝1时，AC ＝3，AB ＝4 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×4×3×53＝2 5.当x ＝97时，AC ＝277，AB ＝367 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1) 2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C由正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ① 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A12cos cos 2bc A bc A ∴-=⇒=- 又0A π<< 23A π∴=. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1 ∴sin B ＝sin C ＝12又0,022B C ππ<<<<∴B ＝C ∴△ABC 是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：sin cos )(tan )ba xb x x aωωωϕϕ+=+=其中例3：已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+，x R ∈（1） 求f(x)的最小正周期及最大值； （2） 求函数f(x)的单调递增区间； （3） 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域 .解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（1） f(x)的最小正周期为22T ππ==，最大值为max ()1f x =. （2） 由222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得3,88k x k k πππππ-+≤≤+∈∴函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）02x π≤≤52444x πππ∴≤+≤sin(2)14x π≤+≤ 0)114x π∴≤++≤即0()1f x ≤≤∴函数f(x)的值域为1⎡⎤⎣⎦即时训练：已知函数22(sin cos )y x x x =++x R ∈（1） 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间； （2） 当02x π<<时，求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41 B ．21 C ．41- D ．21- 【答案】C 【解析】试题分析：21tan =α，将原式上下同时除以αcos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα，故选C.考点：同角三角函数基本关系学*科网 【变式演练1】已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】 试题分析：212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯考点：两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 下列式子结果为3的是（ ） ①tan25tan353tan25tan35︒+︒+︒︒； ②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 分析：由公式可得.详解：，故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6. 【2015高考福建，文6】若5sin13α=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．125B．125-C．512D．512-【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sinα、cosα、tanα三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．6.（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.学科*网点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若72sin 410A π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（ ）A ．35 B ． 45 C ． 35或45 D ． 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 04A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，且22cos 1sin 4410A A ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选B. 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将sin A 拆成sin 44A ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2．【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3α=，则sin21cos2αα=+（ ）A ． 3-B ． 13-C ． 13D ． 3 【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos αααααα===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】000sin65sin35cos30cos35-=（ ） A ． 3-B ． 12-C ． 12D ． 3【答案】C 【解析】由题得()00000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===，故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设()0,90α∈︒︒，若()3sin 7525α︒+=-，则()()sin 15sin 75αα︒+⋅︒-= ( )A ．110 B ． 2 C ． 110- D ． 2-【答案】B【解析】()()sin 75cos 15αα-=+， 所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022ααα++=+ 而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522αααα⎡⎤⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦⎣⎦ ， ()75275,255α+∈ ，又因为()sin 7520α+<，所以()752180,255α+∈，可求得()4cos 7525α+=- ， 那么()()()22342sin 302sin 752cos 7525510ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，那么()12sin 3022α+=，故选B. 5．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】34310- 【解析】∵3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭∴4sin 5α=- ∴3143343cos cos cos sin sin 333525πππααα-⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为343-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
三角函数诱导公式规律口诀
诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。
接下来分享三角函数诱导公式规律口诀。
三角函数诱导公式规律公式一到公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变。
公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。
即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。
（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）三角函数诱导公式口诀奇变偶不变，符号看象限。
第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“－”；第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。
一全正，二正弦，三双切，四余弦。
三角函数的诱导公式诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系设α为任意角，弧度制下的角的表示：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα。
(完整版)诱导公式总结大全
e an dAl l t h i ng si nt he i r诱导公式1 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos α tan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan αe an dAl l t 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan α ·cot α＝1 sin α ·csc α＝1 cos α ·sec α＝1 商的关系 sin α/cos α＝tan α＝sec α/csc α cos α/sin α＝cot α＝csc α/sec α 平方关系 sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
角度制、弧度制、诱导公式
第一章：三角函数第一课时一、知识清单1．任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角α的终边在第几象限，则称α为第几象限角；角还可以分为象限角和坐标轴上的角。
注：与α终边相同的角连同α在内构成集合为{}360,S k k Zββα==+⋅︒∈2．弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1rad （弧度）的角. 角度与弧度的互化公式：0rad=180π 1rad=57.3°3扇形的弧长公式：l = r α（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）； 扇形的面积公式：S 21122lr r α==4.三角函数的定义：α终边上任意一点P （非原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； 比值r x 叫做α的余弦，记作αcos ，即cos x r α=；比值x y 叫做α的正切，记作αtan ，即tan y xα=；（1）三角函数在各象限的符号： 正弦、余弦分别对应纵、横坐标 （2）特殊角三角函数值： 0°30°45°60°90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 270°sin cos二、方法技巧题型一 角的概念辨析例1 下列各命题正确的是（ ）A ．0°~90°的角是第一象限角B ．第一象限角都是锐角C ．锐角都是第一象限角D ．小于90°的角都是锐角 题型二 终边相同的角例2 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）A ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，457360|ααB ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，97360|ααC ．}{Zk k ∈︒+︒⋅=，263360|αα D ．}{Z k k ∈︒-︒⋅=，263360|αα例3 如果角α与β终边相同，则有（ ）A ．α-β=πB ．α+β=0C ．α-β=2k π（k ∈Z ）D ．α+β=2k π（k ∈Z ） 题型三 已知角α所在象限，求角2α、2α所在象限问题例4 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角若α是第一象限角，则2α是第几象限角？α是第二象限角，则3α是第几象限角？题型四 弧度制的概念问题例6 下列诸命题中，假命题是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关题型五 角度与弧度互化问题例7 （1）将112°30′化为弧度 （2）将125π-rad 化为度题型六 与弧长、扇形面积有关问题例8 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数题型七 用弧度表示终边相同角的问题例9 将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤题型八 由两角终边的位置确定两角的关系例10 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是（ ） A ．α=-β B ．α=180°+βC ．α=k ²360°+β（k ∈Z ） D. α= k ²360°+180°+β（k ∈Z ）题型九 实际应用题例 11 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？例12 一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车用每小时30km 的速度通过，10s 间转过多少弧度？题型十 三角函数的定义及应用例13 已知角θ终边上一点P （x ,3）（x ≠0），且x 1010cos =θ，求θθtan ,sin题型十一 三角函数值在各象限的符号例14 下列各三角函数值：①sin 1125°；②1237sin 1237tanππ⋅；③4cos 4sin ；④1cos 1sin -.其中为负值的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4巩固练习一、选择题1．sin(－270°)＝( )A ．－1B ．0 C.12D ．12．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D. 2 3．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6 4．已知角α的终边上一点的坐标为]32cos ,32[sinππ，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π65．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧P A 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )6．设集合}|{},,32|{πσπσππσσ<<-=∈-==N Z k k M ，则N M ＝________. 7．已知3πα=。
三角函数概念,弧度值,诱导公式
三角函数的概念、弧度制【自主梳理】 1．任意角（1）角的概念的推广： （2）终边相同的角：2．弧度制： ，弧度与角度的换算：360︒= rad ，1︒= rad ，1rad = ︒． 3．弧长公式： ， 扇形的面积公式： ． 4．任意角的三角函数（1）任意角的三角函数定义s i nα= ，cos α= ，tan α= ， （2）三角函数在各象限内正负 5．三角函数线 【自我检测】1．512π= 度． 2．330-︒是第 象限角．3．在[0,2)π上与116π-终边相同的角是 ．4．角α的终边过点(1,2)-,则cos α= ．5．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 6．若sin 0α<且tan 0,α>则角α是第 象限角． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）若18045(),k k Z α=⋅︒+︒∈则α为第 象限角．（2）已知α是第三象限角，则2α是第 象限角．（3）角α的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点3(cos ,)5A α，则cos sin αα-= ．（4）函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域为_____ _________．【例2】（1）已知角α的终边经过点(,6),P x --且5cos 13α=-，求x 的值；（2）α为第二象限角，(P x 为其终边上一点，且cos ,4x α=求sin ,tan αα的值．【例3】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．（1）若60,10,R cm α=︒=求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值(0)C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．三、课后作业1．角α是第四象限角，则180α︒-是第 象限角． 2．若6α=-，则角α的终边在第 象限．3．已知角α的终边上一点(4,3)(0)P a a a -<，则sin α= ． 4．已知圆O 的周长为3，,A B 是圆上两点，弧AB 长为1，则AOB ∠= 弧度． 5．若角120︒的终边上有一点(4,),P a -则a 的值为 ． 6．已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角α的终边上，且[0,2)απ∈，则α的值为 ．7．有下列各式：①sin1125;︒②3737tan sin ;1212ππ⋅③sin 4;tan 4④sin(1)-，其中为负值的序号为．8．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于,A B 两点，已知,A B 两点的横坐标分别为10，则s i n c o s αβ⋅= ．9．若一扇形的周长为16cm ，则当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?最大值是多少?10．已知角α的终边落在直线2y x =上，求角α的正弦、余弦和正切值．同角三角函数的基本关系与诱导公式【自主梳理】1．同角三角函数的基本关系式：平方关系： 商数关系：【自我检测】1．cos 210︒= ．2．α为第二象限角，8tan 15α=-，则sin α= ． 3．2sin ()cos()cos()1παπαα+-+⋅-+= ． 4．1sin ,5α=则cos()2πα+= ．5= ． 6．已知1tan ,2α=则sin 3cos sin cos αααα-=+ ．二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）已知8cos ,17α=-则tan α=________． （2）已知1cos(75),3α︒+=且18090,α-︒<<-︒则cos(15)α︒-= ．（3）已知sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----，则化简()f α= ．（4）若tan 3,α=则221sin sin cos 2cos αααα=-- ， sin cos αα=______________．【例2】（1）已知sin cos αα+=sin cos αα及44sin cos αα+的值；（2）已知1sin cos (0)5αααπ+=<<，求tan α的值．【例3】（1）化简：⋅；（2）设()sin()cos()f x a x b x παπα=+++，其中,,a b R α∈，且0,(a b k k Z απ≠≠∈若(2009)5,f =求(2012)f 的值．三、课后作业1．已知3(,),tan 2,2αππα∈=则cos α= ． 2．记cos(80),k -︒=则tan100︒= ．3．已知角α终边上一点22(sin ,cos ),33P ππ则角α的最小正值为 ． 4．若sin cos 2,sin cos αααα+=-则3sin(5)sin()2παπα-⋅-= ．5．cos(),63πα-=则5cos()6πα+= ．6．已知角α终边上一点(3,4)(0)P a a a <，则cos(540)α︒-= ．7=_________．8．已知A 为锐角，1lg(1cos ),lg ,1cos A m n A+==-则lgsin A = ______________．9．已知1cos()2πα+=-,且α是第四象限角，计算： （1）sin(2)πα-;（2）[][]sin (21)sin (21)()sin(2)cos(2)n n n Z n n απαπαπαπ+++-+∈+⋅-．10．已知α是三角形的内角，且1sin cos 5αα+=． （1）求tan α的值； （2）把221cos sin αα-用tan α表示出来，并求值．。
【高中数学必修四】专题1.3 三角函数的诱导公式
第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式1．诱导公式的内容公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π+α）=sin α （k ∈Z ） cos （2k π+α）=cos α （k ∈Z ） tan （2k π+α）=tan α （k ∈Z ）公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）= –sin α cos （π+α）=–cos α tan （π+α）= tan α公式三： 任意角α与–α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）： sin （–α）=–sin α cos （–α）= cos α tan （–α）=–tan α公式四： 利用公式二和公式三可以得到π–α与α的三角函数值之间的关系： sin （π–α）= sin α cos （π–α）=–cos α tan （π–α）=–tan α 公式五：任意角α与2π–α的三角函数值之间的关系： sin （2π–α）=cos α cos （2π–α）=sin α 公式六： 任意角α与2π+α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）=cos αcos （2π+α）=–sin α 推算公式：23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）=–cos α sin （23π–α）=–cos α cos （23π+α）=sin α cos （23π–α）=–sin α 2．诱导公式的规律三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在象限________的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin （360°＋120°）＝sin120°，sin （270°＋120°）＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．学！科网 3．诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数―――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360° 0°到360°的三角函数――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数K 知识参考答案：2．不变锐角原三角函数值3．锐角1．诱导公式的简单应用【例1】sin585°的值为A ．－22B ．22C ．－32D ．32【答案】A【解析】sin585°=sin （360°+180°+45°）=sin （180°+45°）=－sin45°=－22．故选A ． 【名师点睛】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视． 【例2】已知21cos cos 2αα+=，若()3tan π4αα-=，是第二象限角，则1ππsin sin 22αα+-⋅=A ．910B ．5C ．109D ．10【答案】D【名师点睛】（1）化简三角函数式的结果要求所含三角函数名称最少，次数最低，含有特殊角的要写出出函数值．（2）对含有kπ±α（k∈Z）形式的角，要对k的奇偶性分类讨论．2．应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路①化大角为小角；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．（2）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3–α与π6+α；π3+α与π6–α；π4+α与π4–α等．②常见的互补的角：π3+θ与2π3–θ；π4+θ与3π4–θ等．【例3】下列关系式中正确的是A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°【答案】C【解析】∵cos10°=sin80°，sin168°=sin（180°–12°）=sin12°，∴sin11°<sin168°<cos10°．故选C．【例4】求证：()()()()()π11πsin2πcosπcos cos229πcosπsin3πsinπsin2αααααααα⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+⎪⎝⎭=–tanα【答案】答案详见解析【解析】左边=()()()()sin cos sin sincos sin sin cosαααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tanα=右边，∴等式成立．【名师点睛】解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公式，将各三角函数化成同角的三角函数，从一边向另一边推导，或证明两边都等于同一个式子．1．sin2012°=A ．sin32°B ．–sin32°C ．sin58°D ．–sin58°2．若sin （π–θ）<0，tan （π–θ）<0，则角θ的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．27πlog cos 4⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为A ．–1B ．12-C ．12D 2 4．sin13π6等于 A ．3 B ．–12C ．12D 3 5．sin330°=A ．12B ．–12C 3D ．3 6．如果sin （π–α）=13，那么cos （π2+α）等于A ．–13B ．13C 22D ．227．已知cos （π2+α）5，且|α|<π2，则tan α等于A ．–2B ．–12C ．2D ．128．计算：sin 2π3=A ．3B 3C 2D ．2 9．计算sin （π–α）+sin （π+α）=A ．0B ．1C ．2sin αD ．–2sin α10．8πtan3的值为 A 3 B ．3 C 3 D ．311．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan （π+α）的值是A．4 3B．34C．43-D．34-12．已知()1sinπ2α-=-，则sin（–2π–α）=____________．13．已知sin（π2+α）=35，α∈（0，π2），则sin（π+α）=____________．14．已知()3sin30α︒+=，则cos（60°–α）的值为A．12B．12-C3D．3 15．如果A为锐角，()()1sinπcosπ2A A+=--，那么=A．22B．22C3D．316．若()5cos2πα-且π2α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则sin（π–α）A．5B．23-C．13-D．23±17．已知π3tan44α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2cosπ4α⎛⎫-⎪⎝⎭=A．725B．925C．1625D．242518．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x–y=0上，则()()3πsin cosπ2πsin sinπ2θθθθ⎛⎫++-⎪⎝⎭⎛⎫---⎪⎝⎭=A．–2 B．2C．0 D．2319．化简；（1）()()()()()sin πsin 2πcos π3πsin 3πcos πcos 2αααααα+---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭（2）cos20°+cos160°+sin1866°–sin （–606°）20．计算：sin 25π26πcos63++tan （25π4-）21．已知f （α）=()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭--- （1）化简f （α）（2）若α是第二象限角，且cos （π2+α）=–13，求f （α）的值．22．已知α为第三象限角，()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----（1）化简f（α）（2）若3π1 cos25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，求f（α）的值．学-科网23．已知tan（π–α）=–3，求下列式子的值：（1）tanα；（2）()()()()sinπcosπsin2πcosπ3πsin cos22αααααα--+--+-⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．24．（2016上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x–π3）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为A．1 B．2 C．3 D．425．（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=___________．26．（2017上海）设a 1、a 2∈R，且()121122sin 2sin 2a a +=++，则|10π–a 1–a 2|的最小值等于___________．27．（2016四川）sin750°=___________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C B A A B A D 11 14 15 16 17 18 24 DCDBBBB1．【答案】B【解析】sin2012°=sin （5×360°+212°）=sin212°=sin （180°+32°）=–sin32°．故选B ．4．【答案】C 【解析】sin 13π6=sin （2π+π6）=sin π162=．故选C ． 5．【答案】B【解析】sin330°=sin （270°+60°）=–cos60°=–12．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵sin （π–α）=sin α=13，那么cos （π2+α）=–sin α=–13，故选A ．7．【答案】A 【解析】由cos （π2+α）=5，得–sin α=5，即sin α=5，又|α|<π2，∴–π02α<<，则cos α2251sin α-，则tan α=5sin 15cos 225αα==-．故选A ．8．【答案】B【解析】sin 2π3=sin（π–π3）=sinπ33=．故选B．9．【答案】A【解析】sin（π–α）+sin（π+α）=sinα–sinα=0．故选A．10．【答案】D【解析】∵tan 8π3=tan（3π–π3）=–tanπ3=–3．故选D．11．【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sinα=35，∴cosα=–21sinα-=–45，∴tanα=sincosαα=–34，则tan（π+α）=tanα=–34．故选D．14．【答案】C【解析】cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）3，故选C．15．【答案】D【解析】∵sin（π+A）=–sin A=–12，∴sin A=12，又A为锐角，∴A=π6；∴cos（π–A）=–cos A=–cosπ6=3．故选D．16．【答案】B【解析】∵cos（2π–α）=cosα5，α∈（–π2，0），∴sinα=21cosα-=–23，则sin（π–α）=sinα=–23．故选B．17．【答案】B【解析】∵π3tan44α⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22ππcos sin 44αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222πsin 4ππsin cos 44ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221πcos 41πsin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭21191162511π9tan 4α==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选B ． 18．【答案】B【解析】由已知可得，tan θ=2，则原式=cos cos 2cos sin 1tan θθθθθ---=--=2．故选B ．20．【答案】–1【解析】sin 25π26πcos 63++tan （25π4-） =π2ππsin 4πsin 8πtan 6π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =π2ππ11sin cos tan 1163422+-=--=-． 21．【答案】（1）f （α）=cos α；（2）()22f α=． 【解析】（1）f （α）=()()()()()3πsin 3πcos 2πsin sin cos cos 2cos πsin πcos sin αααααααααα⎛⎫--- ⎪⋅⋅-⎝⎭=----⋅=cos α． （2）α是第二象限角，且cos （π2+α）=–sin α=–13，∴sin α=13， ∵α是第二象限角，∴()222cos 1sin f ααα==--=．22．【答案】（1）f （α）=–cos α；（2）f （α）． 【解析】（1）∵α为第三象限角，∴()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---- =()()()cos sin tan tan sin ααααα---=–cos α． （2）∵3π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴–sin α=15，解得sin α=–15， ∴可得cos α=． ∴f （α）=–cos α． 23．【答案】（1）3；（2）–4．【解析】（1）∵tan （π–α）=–tan α=–3，∴tan α=3．（2）()()()()sin πcos πsin 2πcos π3πsin cos 22αααααα--+--+-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos sin cos cos sin αααααα+++=- 2sin 2cos cos sin αααα+=-2tan 21tan αα+=- 813=-=–4． 24．【答案】B【解析】∵对于任意实数x 都有sin （3x –π3）=sin （ax +b ），则a =±3．若a =3，此时sin （3x –π3）=sin （3x +b ），此时b =–π3+2π=5π3，若a =–3，则方程等价为sin （3x –π3）=sin （–3x +b ）=–sin （3x –b ）=sin （3x –b +π），则–π3=–b +π，则b =4π3，综上满足条件的有序实数组（a ，b ）为（3，5π3），（–3，4π3），共有2组，故选B ．25．【答案】13【解析】∵在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=13，∴sinβ=sin（π+2kπ–α）=sinα=13．故答案为：13．27．【答案】1 2【解析】sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=12，故答案为：12．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章：三角函数第一课时一、知识清单1．任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角α的终边在第几象限，则称α为第几象限角；角还可以分为象限角和坐标轴上的角。
注：与α终边相同的角连同α在内构成集合为{}360,S k k Zββα==+⋅︒∈2．弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1rad （弧度）的角. 角度与弧度的互化公式：0rad=180π 1rad=57.3°3扇形的弧长公式：l = r α（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）； 扇形的面积公式：S 21122lr r α==4.三角函数的定义：α终边上任意一点P （非原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； 比值r x 叫做α的余弦，记作αcos ，即cos x r α=；比值x y 叫做α的正切，记作αtan ，即tan y xα=；（1）三角函数在各象限的符号： 正弦、余弦分别对应纵、横坐标 （2）特殊角三角函数值： 0°30°45°60°90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 270°sin cos二、方法技巧题型一 角的概念辨析例1 下列各命题正确的是（ ）A ．0°~90°的角是第一象限角B ．第一象限角都是锐角C ．锐角都是第一象限角D ．小于90°的角都是锐角 题型二 终边相同的角例2 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）A ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，457360|ααB ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，97360|ααC ．}{Zk k ∈︒+︒⋅=，263360|αα D ．}{Z k k ∈︒-︒⋅=，263360|αα例3 如果角α与β终边相同，则有（ ）A ．α-β=πB ．α+β=0C ．α-β=2k π（k ∈Z ）D ．α+β=2k π（k ∈Z ） 题型三 已知角α所在象限，求角2α、2α所在象限问题例4 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角若α是第一象限角，则2α是第几象限角？α是第二象限角，则3α是第几象限角？题型四 弧度制的概念问题例6 下列诸命题中，假命题是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关题型五 角度与弧度互化问题例7 （1）将112°30′化为弧度 （2）将125π-rad 化为度题型六 与弧长、扇形面积有关问题例8 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数题型七 用弧度表示终边相同角的问题例9 将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤题型八 由两角终边的位置确定两角的关系例10 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是（ ） A ．α=-β B ．α=180°+βC ．α=k ²360°+β（k ∈Z ） D. α= k ²360°+180°+β（k ∈Z ）题型九 实际应用题例 11 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？例12 一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车用每小时30km 的速度通过，10s 间转过多少弧度？题型十 三角函数的定义及应用例13 已知角θ终边上一点P （x ,3）（x ≠0），且x 1010cos =θ，求θθtan ,sin题型十一 三角函数值在各象限的符号例14 下列各三角函数值：①sin 1125°；②1237sin 1237tanππ⋅；③4cos 4sin ；④1cos 1sin -.其中为负值的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4巩固练习一、选择题1．sin(－270°)＝( )A ．－1B ．0 C.12D ．12．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D. 2 3．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6 4．已知角α的终边上一点的坐标为]32cos ,32[sinππ，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π65．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧P A 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )6．设集合}|{},,32|{πσπσππσσ<<-=∈-==N Z k k M ，则N M ＝________. 7．已知3πα=。
(1)写出所有与α终边相同的角； (2)写出在)2,4(ππ-内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则2β11．已知θθcos |cos |-=，且0tan <θ，试判断θθθθsin cos cos sin -的符号．12．如图，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P 、Q 各自走过的弧长．第二课时一、知识清单：1、三角函数的诱导公式公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin )2(απ+k ＝sin )(Z k ∈α cos )2(απ+k ＝cos )(Z k ∈αtan )2(απ+k ＝tan )(Z k ∈α cot )2(απ+k ＝cot )(Z k ∈α公式二： 设α为任意角，απ+的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin )(απ+＝－sin α cos )(απ+＝－cos α tan )(απ+＝tan α cot )(απ+＝cot α公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin )(α-＝－sin α cos )(α-＝cos α tan )(α-＝－tan α cot )(α-＝－cot α公式四： 利用公式二和公式三可以得到απ-与α的三角函数值之间的关系：sin )(απ-＝sin α cos )(απ-＝－cos α tan )(απ-＝－tan α cot )(απ-＝－cot α公式五： 利用公式一和公式三可以得到απ-2与α的三角函数值之间的关系：sin )2(απ-＝－sin α cos )2(απ-＝cos αtan )2(απ-＝－tan α cot )2(απ-＝－cot α公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin αtan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan αsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin αtan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin αtan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin αtan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan α （以上k ∈Z ）注意：在做题时，将α看成锐角来做会比较好做。
规律总结上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α（k ∈Z ）的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ，cot →→tan. （奇变偶不变，符号看象限）2、三角函数的图象和性质1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22xk ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22xk ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2xk ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴2）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中, 五个关键点是:)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ- 函 数性 质余弦函数x y cos =,]2,0[π∈x 的图像中, 五个关键点是:)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ- 要求：能够熟练绘制正余弦函数图象.二、方法提炼（补充课本例题讲解） 例1. 化简：（1）)1050sin()600cot()420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-（2）cos(sin(2)sin()cos(πααπαππα+)⋅+--⋅--)化简：（1）sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-. （2）24sin(2)cos()33n n ππππ+++，（n Z ∈）.例2.21)cos(-=+απ，计算)cos()sin(2)12(sin 2)12(sin παπαπαπαn n n n -∙+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++()Z k ∈.)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅--⋅--例3.已知1sin()33πα-=，则cos ?6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭例4.已知关于x 的方程()22310x x m --+=的两个根()()sin ,cos .0,2θθθπ∈（1）求m 的值.（2）方程的两根及此时θ的值？.273021cos ,sin 2παπαα<<=+-的两根，且的方程是关于已知ax x x.)900sin()180cos()6cos()2sin()6tan(的值求αααπαπαπ-︒︒--+--例 5求下列函数的定义域: (1)1sin 2+=x y (2)x x y cos 162-+-=巩固练习（1）求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域。