7.1.2弧度制及其与角度制的换算——练习题
弧度制及其与角度制的换算练习题
弧度制及其与角度制的换算练习题1. 中心角为135∘的扇形，其面积为S1，其围成的圆锥的表面积为S2，则S1S2=()A.118B.138C.811D.8132. 小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢1小时，则时针转过的角的弧度数是（）A.π3B.π6C.−π3D.−π63. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为，则角θ的余弦值为（）A. B. C. D.4. 在△ABC中，关于x的方程(1+x2)sin A+2x sin B+(1−x2)sin C＝0无实数根，则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形5. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为2π3，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）A.220平方米B.246平方米C.223平方米D.250平方米6. 在单位圆中，150∘的圆心角所对的弧长为（）A.2π3B.3π4C.5π6D.π7. 如图，PM是圆O的切线，M为切点，PAB是圆的割线，AD // PM，点D在圆上，AD 与MB交于点C．若AB＝6，BC＝4，AC＝3，则CD等于（）A.169B.43C.916D.348. 半径为1cm，圆心角为150∘的弧长为（）A.5 3cmB.5π3cm C.56cm D.5π6cm9. 已知扇形的弧长为π，面积为2π，则这个扇形的圆心角的弧度数为()A.π4B.π2C.2D.410. 天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为( ).A.己丑年B.己酉年C.壬巳年D.辛未年11. （1）已知a=835∘，β=256π．将a用弧度制表示为________，它为第________象限角；将β用角度制表示________，在[−720∘, 0∘]内与它终边相同的角为________． 11.（2）角的终边落在y=√3x(x>0)上的角的集合为________，角的终边落在y=√3x的角的集合为________．12. 若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为________rad．13. 你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是________．14. 走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于________．15. 如图，动点P，Q从点A(3, 0)出发绕⊙O作圆周运动，若点M按逆时针方向每秒钟转π3rad，点N按顺时针方向每秒钟转π6rad．则当M、N第一次相遇时，点M转过的弧长为________．16. 一个扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角为________．17. 用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？18. 如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动，已知A点1分钟转过θ(0∘<θ< 180∘)，2分钟到第三象限，16分钟后回到原来的位置，求θ．19. 已经cos(2θ−3π)=725，且θ是第四象限角，（1）求cosθ和sinθ的值；（2）求cos (π2−θ)tan θ[cos (π+θ)−1]+sin (θ−3π2)tan (π−θ)cos (−θ)的值．20. 设α1＝−570∘，α2＝750∘，β1=3π5，β2=−π3． （1）将α1，α2用弧度制表示出来并指出它们各自的终边所在的象限；（2）将β1，β2用角度制表示出来，并在−720∘∼0∘范围内找出它们终边相同的所有角．参考答案与试题解析弧度制及其与角度制的换算练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积扇形面积公式弧度制的应用【解析】设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×3π4=3π4，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=3π4，r=38，扇形的面积S1=12×1×3π4=3π8，圆锥的表面积S2=S1+πr2=3π8+9π64=33π64，∴S1S2=811．故选C．2.【答案】B【考点】弧度制【解析】他需要将表的时针逆时针旋转周角的112，即可转过的角的弧度数．【解答】他需要将表的时针逆时针旋转，则转过的角的弧度数是π6，3.【答案】B【考点】弧度制【解析】设角θ所在的扇形的半径为r，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得＝，解得θ＝，即可求解cosθ的值．【解答】设角θ所在的扇形的半径为r，则由题意，可得＝，可得cosθ＝cos＝-．4.【答案】B【考点】三角形的形状判断【解析】先运用正弦定理，把角化为边，再将方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2−4(a−c)(a+c)<0，即可判断三角形形状．【解答】由正弦定理，可得sin A=a2R ，sin B=b2R，sin C=c2R，则关于x的方程(1+x2)sin A+2x sin B+(1−x2)sin C＝0，即为(1+x2)a+2xb+(1−x2)c＝0方程整理为(a−c)x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b2−4(a−c)(a+c)<0，∴a2>b2+c2，∴cos A<0∴A为钝角，5.【答案】C【考点】扇形面积公式【解析】在Rt△AOD中，由题意OA=20，∠DAO=π6，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得∠AOB=2π3，OA=20，在Rt△AOD中，∠AOD=12∠AOB=π3，∠ADO=π2，所以∠DAO=π6，所以OD=12AO=12×20=10，所以矢即CD=20−10=10，由AD=AO⋅sinπ3=20×√32=10√3，所以弦即AB=2AD=2×10√3=20√3，所以弧田面积=12（弦+矢）×矢=12(20√3+10)×10≈223平方米．故选C.6.【答案】C【考点】弧长公式【解析】由题意，150∘=5π6，利用弧长公式可得．【解答】由题意，150∘=5π6，∴在单位圆中，150∘的圆心角所对的弧长为5π6，7.【答案】A【考点】与圆有关的比例线段【解析】证明△BMA∽△AMC，得出MC=43，再利用相交弦定理，求出CD．【解答】由题意，连接AM，∵PM是圆O的切线，M为切点，∴∠PMA＝∠PBM，∵AD // PM，∴∠PMA＝∠MAC，∴∠MAC＝∠ABM，∵∠AMB＝∠CMA，∴△BMA∽△AMC，∴BMAM =MAMC=BAAC，∵AB＝6，AC＝3，∴BM＝2AM，AM＝2MC，∴BM＝4MC，∴4+MC＝4MC，∴MC=43．由相交弦定理可得3CD=43×4，∴CD=169．8.【答案】D【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：150∘=5π6，∴弧长=5π6×1=5π6．故选：D．9.【答案】A【考点】扇形面积公式【解析】首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果．【解答】解：根据扇形的面积公式S=12lr，可得：2π=12×πr，解得：r=4，再根据弧长公式l=4α，解得扇形的圆心角的弧度数是π4. 故选A．10.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】本题主要考查周期性及归纳推理.【解答】解：由题意可知，天干地支纪年法的周期为60，从1949年到2009年，恰好一个周期，即2009年是“己丑”年，再到2029年，又过去20年，因为天干的周期是10，地支的周期是12，所以天干过两个周期，地支过一个周期又8年，所以天干是“己”，地支是“酉”，所以2029年是“己酉”年.故选B.二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）11.【答案】16736π,二,1125∘,−690∘，−330∘{α|α=60∘+k⋅360∘, k∈Z}，,{α|α=60∘+n⋅180∘, n∈Z}．【考点】弧度制【解析】（1）根据角度值和弧度制转化关系式求出即可．（2）由终边相同的角的定义，先写出终边落在射线y=√3x(x>0)的角的集合，再写出终边落在射线y=√3x (x<0)的角的集合，最后求两个集合的并集即可【解答】解：（1）∵a=835∘，β=256π．∴a=835180π=16736π，它为第二象限角；β=254×180∘=1125∘，[−20∘, 0∘]内与它终边相同的角为−690∘，−330∘；（2）∵直线y=√3x的斜率为，则倾斜角为60∘，∴终边落在射线y=√3x(x>0)上的角的集合是S1={α|α=60∘+k⋅360∘, k∈Z}，终边落在射线y=√3x(x<0)上的角的集合是S2={α|α=240∘+k⋅360∘, k∈Z}，∴终边落在直线y=√3x上的角的集合是：S={α|α=60∘+k⋅360∘, k∈Z}∪{α|α=240∘+k⋅360∘, k∈Z}={α|α=60∘+2k⋅180∘, k∈Z}∪{α|α=60∘+(2k+1)⋅180∘, k∈Z}={α|α=60∘+n⋅180∘, n∈Z}．12.【答案】2【考点】弧长公式【解析】设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有{2R+Rα=812αR2=4，故可求扇形的圆心角．【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则{2R+Rα=812αR2=4⇒{α=2R=2．故答案为：2．13.【答案】−2π【考点】弧长公式弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】弧长公式弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】4π【考点】弧度制【解析】根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角速度和时间求出P点到达的位置，再根据三角函数的定义求出此点的坐标，利用弧长公式及l=αR求出P点走过的弧长．【解答】解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，可得t⋅π3+t⋅|−π6|=2π，即π2t=2π．∴t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在π3⋅4=4π3的位置，试卷第11页，总13页因此第一次相遇时，P 点走过的弧长为43π×3=4π．故答案为：4π． 16.【答案】 2【考点】 扇形面积公式 弧长公式 【解析】由题意列方程组可解半径r 和弧长l ，代入α=lr 计算可得．【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则由题意可得12lr =4，2r +l =8，解得l =4，r =2，∴ 扇形的圆心角α=lr =2，故答案为：2.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 17. 【答案】 当半径r =152cm 时，扇形面积的最大值是2254cm 2．【考点】 扇形面积公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l +2r =30， ∴ l =30−2r ，从而S =12⋅l ⋅r =12(30−2r )⋅r =−r 2+15r =−(r −152)2+2254．∴ 当半径r =152cm 时，l =30−2×152=15cm ，扇形面积的最大值是2254cm 2，试卷第12页，总13页这时α=lr =2rad ． 18.【答案】解：A 点2分钟转过2θ，且180∘<2θ<270∘， 16分钟后回到原位，∴ 16θ=k ⋅360∘， θ=k⋅360∘16=k⋅45∘2，且90∘<θ<135∘，∴ θ=67.5∘或θ=90∘（舍）． ∴ θ=67.5∘． 【考点】 弧度制 【解析】通过题意求出2θ的范围，利用16分钟回到原位，求出θ的值即可． 【解答】解：A 点2分钟转过2θ，且180∘<2θ<270∘， 16分钟后回到原位，∴ 16θ=k ⋅360∘， θ=k⋅360∘16=k⋅45∘2，且90∘<θ<135∘，∴ θ=67.5∘或θ=90∘（舍）． ∴ θ=67.5∘． 19. 【答案】解：由cos (2θ−3π)=cos (−π+2θ)=−cos 2θ=725，即cos 2θ=1−2sin 2θ=−725，（1）∵ θ是第四象限角， ∴ sin θ=−45．∵ cos 2θ=2cos 2θ−1=−725 ∵ θ是第四象限角， ∴ cos θ=35．（2）由cos (π2−θ)tan θ[cos (π+θ)−1]+sin (θ−3π2)tan (π−θ)cos (−θ)=sin θ−tan θ⋅cos θ−tan θ−cos θtan θ⋅cos θ=sin θ−sin θ−sin θcos θ−cos θsin θ=cos θ−1−cos θ−cos θsin θ=−35−1−35+3545=89．【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】 （1）（2）利用诱导公式和同角三角函数关系式化简即可求解． 【解答】解：由cos (2θ−3π)=cos (−π+2θ)=−cos 2θ=725，即cos 2θ=1−2sin 2θ=−725，（1）∵ θ是第四象限角， ∴ sin θ=−45．试卷第13页，总13页∵ cos 2θ=2cos 2θ−1=−725∵ θ是第四象限角， ∴ cos θ=35． （2）由cos (π2−θ)tan θ[cos (π+θ)−1]+sin (θ−3π2)tan (π−θ)cos (−θ)=sin θ−tan θ⋅cos θ−tan θ−cos θtan θ⋅cos θ=sin θ−sin θ−sin θcos θ−cos θsin θ=cos θ−1−cos θ−cos θsin θ=−35−1−35+3545=89．20. 【答案】α1＝−570∘＝−570×π180=−19π6，在第二象限；α2＝750∘＝750×π180=25π6，在第一象限； β1=3π5=108∘，终边相同的角k ⋅360∘+108∘，−720∘∼0∘范围内与它们终边相同的所有角−612∘，−252∘．β2=−π3=−60∘，终边相同的角k ⋅360∘−60∘，−720∘∼0∘范围内与它们终边相同的所有角−420∘．【考点】 弧度制 【解析】利用角度与弧度的互化，即可得出结论． 【解答】α1＝−570∘＝−570×π180=−19π6，在第二象限；α2＝750∘＝750×π180=25π6，在第一象限； β1=3π5=108∘，终边相同的角k ⋅360∘+108∘，−720∘∼0∘范围内与它们终边相同的所有角−612∘，−252∘．β2=−π3=−60∘，终边相同的角k ⋅360∘−60∘，−720∘∼0∘范围内与它们终边相同的所有角−420∘．。
学案3：7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算新知初探1．度量角的两种制度(1)角度制：①定义：用作单位来度量角的制度．②1度的角：把圆周等分，则其中1份所对的圆心角是1度．(2)弧度制：①定义：以为单位来度量角的制度．②1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角．③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝lr.点睛用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的互化(1)180°＝rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：运用．小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度＝1°.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．()2．若α＝k π＋π3，k ∈Z ，则α所在的象限是( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长是( )A.4π3B.πC.2π3D.π34．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.课堂讲练题型一 角度与弧度的换算典例 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.类题通法角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．活学活用将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.题型二 用弧度制表示角的集合 典例 已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．类题通法用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．活学活用1．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．题型三扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角．题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 类题通法弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 提醒 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．参考答案新知初探 1．(1)①度 ②360(2)①弧度 ②半径长 2．(1)π 小试身手1．【答案】(1)× (2)√ (3)× 2．【答案】C 3．【答案】C4．【答案】(1)120° (2)－7π6课堂讲练题型一 角度与弧度的换算 典例 解：(1)72°＝72×π180＝2π5.(2)－300°＝－300×π180＝－5π3.(3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°. (4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. 活学活用解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.题型二 用弧度制表示角的集合 典例 解：(1)2 005°＝2 005×π180 ＝401π36＝⎝⎛⎭⎫5×2π＋41π36，又π<41π36<3π2， ∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z )， 由－5π≤2k π＋41π36＜0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.活学活用1．【答案】－8π＋7π4【解析】因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4.2．解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 题型三 扇形的弧长公式及面积公式 题点一：利用公式求弧长和面积1．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.。
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
7.1.2弧度制及其与角度制的换算课标要求素养要求1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.教材知识探究摄氏度与华氏温度“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度．”摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0 ℃，沸点为100 ℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度．人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”．按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212 ．“华氏温标”是经验温标之一．在美国的日常生活中，多采用这种温标．规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度．华氏温度用字母“F”表示．摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.问题 1.温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？2．摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？3．今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？提示 1.弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角．2．可以，1°＝π180rad，1 rad＝180°π.3．弧度书写方便简单．1．度量角的两种单位制单位圆中长为1个单位的弧所对的圆心角就是1弧度的角角度制定义用度作为单位来度量角的制度1度的角把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，记作1°.1°＝60′，1′＝60″弧度制定义以弧度为单位来度量角的制度1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角.1弧度记作1 rad2.弧长公式在半径为r的圆中，若弧长为l的弧长所对的圆心角为αrad.则α＝lr，由此得到l＝αr．即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．3．角度制与弧度制的换算牢记180°＝π rad，1 rad＝180°π4.扇形的弧长及面积公式牢记公式是解决数学问题的关键设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则教材拓展补遗[微判断]1．1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(×)提示1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(√)3．160°化为弧度制是89π rad.(√)4．1 rad的角比1°的角要大．(√)5．扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30.(×) 提示扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度．[微训练]1．下列命题为假命题的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D 为假命题，故选D. 答案 D2．2 340°转化为弧度为________． 解析 2 340×π180＝13π. 答案 13π3．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为________． 解析 由S ＝12|α|r 2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4. 答案 3π44．若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限． 解析 2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．答案 一 [微思考]对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？ 提示 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k ·360°＋π6(k ∈Z )，β＝2k π＋60°(k ∈Z )等写法都是不规范的，应写为α＝k ·360°＋30°(k ∈Z )，β＝2k π＋π3(k ∈Z )题型一 角度与弧度的互化 进行角度与弧度之间换算的桥梁是π=180° 例1 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－800°；(3)7π12；(4)－45π. 解 (1)20°＝20×π180＝π9；(2)－800°＝－800×π180＝－409π； (3)7π12＝7π12×180°π＝105°；(4)－45π＝－45π×180°π＝－144°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则n 180＝απ. 【训练1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－5π12×180°π＝－75°. 题型二 用弧度制表示区域角的集合 在书写时，注意角度制与弧度制不能混用例2 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．解 (1)以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )，以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2π3＋2k π<α<7π6＋2k π，k ∈Z .规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角．(4)按逆时针方向书写． 训练2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6， 又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )， 又－5π≤γ<0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π； 当k ＝－2时，γ＝－176π； 当k ＝－1时，γ＝－56π.题型三 扇形的弧长公式与面积公式的应用 例3 已知扇形AOB 的周长为10 cm.(1)若这个扇形的面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S 转化为关于半径r 的二次函数. 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，(1)依题意有⎩⎨⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4.当r ＝1时，l ＝8 cm ，此时，θ＝8 rad>2π rad ，舍去； 当r ＝4时，l ＝2 cm ，此时，θ＝24＝12 rad.(2)由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ， S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254(0<r <5)．当r ＝52时，S 取得最大值254， 这时l ＝10－2×52＝5， ∴θ＝5r ＝552＝2 rad.规律方法 弧长公式及扇形面积公式的应用类问题的解决方法首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l ，R ，S 四个量“知二求二”代入公式．在求解的过程中要注意：(1)看清角的度量制，选用相应的公式；(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．【训练3】 (1)若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2(2)一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． (1)解析 ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202 ＝80π(cm 2)． 答案 B(2)解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ， 得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.一、素养落地1．通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度． 二、素养训练1．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.74π－8π C.π4－10πD.74π－10π解析 －1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为7π4－10π，选D. 答案 D2．已知扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析 设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，∴α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr ＝α，即扇形的圆心角大小不变．答案 A3．若α∈(0，π)，且α与角－5π3终边相同，则α＝________． 解析 －5π3＝－2π＋π3，故α＝π3.答案 π34．已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216.∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216.基础达标一、选择题1．与α＝π12＋2k π(k ∈Z )终边相同的角是( ) A ．345°B ．375°C ．－11π12 D.23π12解析 因为k ＝1，α＝π12＋2π＝375°，所以选B. 答案 B2．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12解析设扇形的半径为R，由题意可得6 R ＝3，则R＝2，扇形的面积S＝12lR＝12×6×2＝6.答案 B3．如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为() A．sin 2 B.2sin 1C．2sin 1 D．tan 1解析由图可知，弦长AB＝2，所以半径为1sin 1，由弧长公式可得l AB＝αr＝2sin 1，故选B.答案 B4．若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A．1∶3 B．2∶3C．4∶3 D．4∶9解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则R＝r＋rsinπ6＝r＋2r＝3r.∴S内切＝πr2.S扇形＝12αR2＝12×π3×R2＝12×π3×9r2＝32πr2.∴S内切∶S扇形＝2∶3.答案 B5．下列表示中不正确的是()A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上的角的集合是{α|α＝π2＋kπ，k∈Z}C．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k·π2，k∈Z}D．终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α＝π4＋2kπ，k∈Z}解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }． 答案 D 二、填空题6．若3π4的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为________．解析 ∵l ＝|α|r ，∴r ＝l α＝4.答案 47．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．解析 ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－3π2＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2 8．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 34三、解答题9．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|kπ＋π6<θ<kπ＋π2，k∈Z}．10．已知α＝1 690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋25 18π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋2518π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋2518π<4π，∴－9736<k<4736(k∈Z)．∴k＝－2，－1，0，1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.能力提升11．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B ＝________．解析如图所示，∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．答案[－4，－π]∪[0，π]12．用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，从而S＝12lr＝12(30－2r)r＝－r2＋15r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r－1522＋2254(0＜r＜15)．∴当半径r＝152cm时，l＝30－2×152＝15 (cm)，扇形面积的最大值是2254cm2，这时α＝l r＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为152cm时，面积最大，为2254cm2. 创新猜想13．(多选题)下列命题正确的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.23π6是第四象限角解析 A 选项，60°＝π3，正确；B 选项，－103π＝－600°，正确；C 选项中－150°＝－150×π180＝－56π，错误；D 选项中23π6＝4π－π6，为第四象限角，正确．故选ABD.答案 ABD14．(多空题)如图所示，长为3，宽为1的长方体形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一铁块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，则点A 走过的路程是__________，扇形ABA 1的面积S 为__________．解析 在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝AB ×π2＝3＋1×π2＝π；在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝A 1C ×π2＝1×π2＝π2；在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝A 2D ×π3＝3×π3＝3π3.所以点A 走过的路程为l 1＋l 2＋l 3＝（9＋23）π6. BA ＝12＋（3）2＝2.∠ABA 1＝π2，S ＝12α·r 2＝12·π2·22＝π. 答案 （9＋23）π6π。
7.1.2弧度制及其与角度制的换算—2020-2021学年高一下学期人教B版第三册同步习题
弧度制及其与角度制的换算一、选择题1．－25π6的角是( ) A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角2．若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 23．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z }B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．{α|α＝2k π＋π6，k ∈Z }4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题5．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把35π化成度＝________.6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________．7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．三、解答题8．已知角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值．9．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值．10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .弧度制及其与角度制的换算1．解析：因为－25π6＝－π6－4π， 所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角． 答案：D2．解析：r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)． 答案：A3．解析：∵30°＝30×π180 rad ＝π6rad ， ∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选D. 答案：D4．解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.答案：C5．解析：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝⎛⎭⎫3π5×180π°＝108°. 答案：(1)38π (2)108° 6．解析：－570°＝－(570×π180 )rad ＝－196π rad ， －196π＝－4π＋56π. 答案：－4π＋56π 7．解析：设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6. 答案：π68．解析：∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3， ∴α与π3的终边相同． ∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )．∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π. 当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)； 当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)； 当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)． ∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9. 9．解析：(1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10， 则α＝l r＝2(rad)． 故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.10．解析：(1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3， 而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
高中数学人教B版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(3)
人教B 版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(3)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.半径为3cm 的圆中，有一条弧AB 长度为π2cm ，则此弧AB 所对的圆心角为( )A. 30°B. 15°C. 40°D. 20°2.若弧度为2α(0<α<π2)的圆心角所对弦长为m ，则该圆心角所对的弧长为( )A. amsinαB. amcosαC. am2sinαD. αm2cosα3.平面区域{y ≥xy ≥−√3x x 2+y 2≤2的面积是( )A. 5π12B. 5π6C. 7π12D. 7π64.若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )A. sin θ2>0B. cos θ2>0C. tan θ2>0D. sin θ2cos θ2<05.下列说法正确的是( )A. 小于90°的角是锐角B. 锐角是第一象限角，反之亦然C. 角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关D. 若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立6.将23弧度化为角度的结果为( )A. (120π)° B. 120°C. (π270)°D. 270°7.−120°的弧度数是( )A. −5π6B. −4π3C. −2π3D. −3π48.如图所示，扇形OPQ 的半径为2，圆心角为π3，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是( )A. 2√33B. 2√3C. √3D. 23二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）9.如图，三棱锥A−BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2√6，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是 ______．10.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为．11.已知一个扇形的周长是，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为___________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）12.用弧度制表示终边在x轴上的角的集合．13.若分针走过2小时30分，则分针转过的角是______．14.时间经过4h，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？15.已知弧长50cm的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径(可用计算工具，精确到1cm)．16.已知一个扇形的周长为l，当扇形的半径和中心角分别为多大时，扇形的面积最大？【答案与解析】1.答案：A解析：解：l=nπ×3180°=π2，解得：n=30°，故选：A．本题主要考查了弧长公式，属于基础题．利用弧长公式计算即可．2.答案：A解析：解：设圆的半径为r，由弧度为2α(0<α<π2)的圆心角所对弦长为m，则sinα=m2r=m2r，r=m2sinα；该圆心角所对的弧长为l=2αr=mαsinα．故选：A．根据三角函数定义求出圆的半径，再计算圆心角所对的弧长．本题考查了三角函数的定义与弧长计算问题，是基础题．3.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图，则区域是圆心角是5π12是扇形，故面积是5π24×π×2=5π12．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，结合相应的面积公式即可得到结论．本题主要考查平面区域的应用，以及扇形的面积公式，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．4.答案：C解析：解：∵θ为第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z．则π4+kπ<θ2<π2+kπ，k∈Z，∴θ为一或三象限角，得tanθ2>0．故选：C．由θ的范围求得θ2的范围，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．5.答案：C解析：解：对于A，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零度的角或负角，∴A错误；对于B，锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角，∴B错误；对于C，角α的三角函数值，与α的终边有关系，但与终边上点P的位置无关，C正确；对于D，α∈R时，tan α=sinαcosα不一定成立，如α=π2+kπ，k∈Z时，∴D错误．故选：C．A中，小于90°的角不一定是锐角；B中，锐角是第一象限角，反之不成立；C中，角α的三角函数值，与α的终边有关系，与终边上点P的位置无关；D中，α=π2+kπ，k∈Z时，tanα不存在．本题考查了任意角的概念与应用问题，也考查了三角函数的概念与应用问题，是基础题．6.答案：A解析：解：∵1rad=(180π)°，∴23=23×(180π)°=(120π)°．故选：A．把1弧度=(180π)°代入即可化为角度制．本题考查弧度与角度的互化，关键在于掌握二者的互化公式，属于基础题．7.答案：C解析：解：−120°的弧度数−120×π180=−2π3故应选C．考查角度制与弧度制的转化，属于基本知识型题．8.答案：A解析：解：如图，记∠COP=α，在Rt△OBC中，OB=2cosα，BC=2sinα，在Rt△OAD中，OA=√33DA=√33BC=√33×2sinα．所以AB=OB−OA=2cosα−2√33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα2√33sinα)⋅2sinα=4sinαcosα4√33sin2α=2sin2α+2√33cos2α−2√33=4√3sin(2α+π6)−2√33．由于0<α<α3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=√3−2√33=2√33．因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为2√33．故选：A．如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．9.答案：2√3π解析：解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=2√3，在△AOD中，AO=DO=2√3，又AD=2√6，∴cos∠AOD=AO2+DO2−AD22⋅AO⋅DO =√3)2√3)2√6)22×2√3×2√3=0，则∠AOD=π2，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的14圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是12×2π×OA=2√3π．故答案为：2√3π．由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查了空间想象能力和理解能力，训练了圆的周长公式的应用，是中档题．10.答案：解析：解析：试题分析：扇形面积公式，即(必须为弧度制)．考点：扇形面积公式．11.答案：解析：12.答案：解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z}．解析：直接写出终边在x轴上的角的集合即可．本题考查轴线角，是基础题．13.答案：−900°解析：解：分针走过2小时30分，是2.5周角，角度数是2.5×360°=900°；又分针是顺时针旋转，转过的角是−900°．故答案为：−900°．根据分针走过2小时30分，是2.5周角，结合分针是顺时针旋转，转过的角是负角，求出即可．本题考查了角度制的推广与应用问题，是基础题．14.答案：解：时针经过1小时旋转了30°，则经过4h，时针旋转了120°，为2π；3分针经过1小时，旋转了360°，则经过4h，分针旋转了1440°，为8π．解析：分别求出经过1小时时针与分针各转的度数，乘以4得到经过4h时针、分针各转的度数，进一步转化为弧度制．本题考查象限角与轴线角，考查实际问题中时针、分针的旋转大小问题，是基础题．15.答案：解：设这条弧所在圆的半径为r，则50=200×π180r，解得r=45π．解析：直接利用弧长公式即可本题考查了利用弧长公式求圆半径，属于基础题．16.答案：解：设扇形面积为s，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l−2r，所以S=12(l−2r)r=−(r−l4)2+l216．故当r=l4，且α=2时，扇形面积最大．解析：设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．。
高中数学人教B版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(2)
人教B 版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(2)一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 下列说法正确的是( )A. 第一象限的角是锐角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. −831°是第二象限角D. −95°与625°是终边相同的角2. 将23弧度化为角度的结果为( ) A. (120π)° B. 120° C. (π270)° D. 270°3. 一个半径为2的扇形的面积的数值是4，则这个扇形的中心角的弧度数为()A. 1B. √2C. 2D. 44. 下列说法正确的是( )A. 第一象限角一定小于90°B. 终边在x 轴正半轴的角是零角C. 若a +β=k ⋅360°(k ∈Z)，则α与β终边相同D. 钝角一定是第二象限角5. 在半径为2cm 的圆中，面积为4cm 2的扇形的圆心角是( )rad ．A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知扇形的圆心角为56π，半径为4，则该扇形的面积是( )A. 53πB. 103π C. 203π D. 403π7. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=√3，点E 为棱AB 上的动点，则D 1E +CE 的最小值为( )．A. 2√2B. √10C. 2+√2D. √5+18. 扇形的圆心角与半径相等，面积为4，这个扇形的圆心角等于( )A. √43B. 2C. π4D. π2 9. 扇形的半径为1，周长为4，则扇形的圆心角弧度数的绝对值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）10. 下列转化结果正确的是( )A. 67°30′化成弧度是3π8B. −10π3化成角度是−600°C. −150°化成弧度是−7π6D. π12化成角度是15°11. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是( )A. 设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，则动点P 的轨迹为双曲线B. 设定C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则动点P 的轨迹为椭圆 C. 方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D. 双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点 12. 下列说法正确的是( )A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 1°的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC. 1rad 的角比1°的角要大D. 用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）13. 把下列弧度化成度：(1)π12；(2)−4π3； (3)3π10．14. 要在半径OA =100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度(可用计算器，精确到1°)．15.已知在半径为8的圆O中，弦AB的长为8．(1)求弦AB所对圆心角α(0<α<π)的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于A，例如361°是第一象限角，但不是锐角，故A错；对于B，例如460°是第二象限角，190°是第三象限角但460°>190°，故B错；对于C，−831°=−360°×3+249°是第三象限的角，故C错；对于D，625°=−95°+2×360°，故D对．故选：D．对于选项A，B，通过举反例说明其不成立；对于C，D利用终边相同的角的形式，得到结论．解决角的终边所在的象限问题，一般利用与α终边相同的角的集合公式{β|β=2kπ+α}(k∈Z)，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵1rad=(180π)°，∴23=23×(180π)°=(120π)°．故选：A．把1弧度=(180π)°代入即可化为角度制．本题考查弧度与角度的互化，关键在于掌握二者的互化公式，属于基础题．3.答案：C解析：解：设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S=12αr2=12α×22=4，解得：α=2．故选：C．半径为r的扇形圆心角的弧度数为α，则它的面积为S=12αr2，由此结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数α的方程，解之即得该扇形的圆心角的弧度数．本题在已知扇形的面积和半径的情况下，求该扇形圆心角的弧度数．着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题．4.答案：D解析：解：对于选项A：第一象限角是，角的终边落在第一象限的叫第一象限角，故错误．对于选项B：终边落在x轴正半轴的角可能是360°，故错误．对于选项C：a=−β+k⋅360°(k∈Z)，则α与−β终边相同，故错误．对于选项D：因为钝角的取值范围为(90°,180°)，所以钝角一定是第二象限角．故正确．故选：D．直接利用相关的定义的应用求出结果．本题考查的知识要点：象限角和轴线角的应用，主要考考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题型．5.答案：B解析：解：半径为2cm的扇形，面积为4cm2的扇形中，设弧长为l，则12l×2=4，∴l=4，∴扇形的圆心角为：42=2rad．故选：B．利用扇形的面积公式求出扇形的弧长，然后求出扇形的圆心角．本题考查扇形面积公式的应用，扇形圆心角的求法，考查计算能力．6.答案：C解析：解：∵扇形的圆心角α为5π6，半径r为4，∴S=12r2α=12×42×5π6=20π3．故选：C．利用扇形的面积公式即可求得结论．本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：画出几何体的图形，连结D1A，延长至G，使得AG=AD，连结C1B，延长至F，使得BF=BC，连结EF，则ABFG为正方形，连结D1F，则D1F为D1E+CE的最小值，D1F=√1+9=√10．∴D1E+CE取最小值√10．故选：B．连结D1A，延长至G，使得AG=AD，连结C1B，延长至F，使得BF=BC，连结EF，连结D1F，则D1F为D1E+CE的最小值，由此能求出D1E+CE的最小值．本题考查线段和的最小值的求法，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键，是中档题．8.答案：B解析：解：设扇形的圆心角大小为α(rad)，半径为r，则r=α，可得扇形的面积为S=12r2α=12×α2×α=4．解得：扇形的圆心角大小为α=2．故选：B．由题意根据扇形的面积公式即可求解．本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．9.答案：B解析：解：设扇形的圆心角的弧度数为α，扇形弧长为l，周长为L，圆的半径为r，由题意可得：r=1，L=4，可得：l=L−2r=4−2×1=2，则由l =αr ，可得：α=21=2．故选：B ．利用扇形的周长及半径，可求弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角的弧度数，从而得解． 本题考查扇形的周长与弧长公式，考查了数形结合思想，属于基础题． 10.答案：ABD解析：解：对于A ，67°30′=67.5°×π180∘=3π8，故A 正确； 对于B ，−10π3=−10π3×180°π=−600°，故B 正确；对于C ，−150°=−150°×180°π=−5π6，故C 错误； 对于D ，π12=π12×180°π=15°，故D 正确．故选：ABD ． 直接利用角度与弧度的互化，求解即可．本题考查弧度与角度的互化，考查计算能力，是基础题．11.答案：CD解析：解：对于A ，动点P 的轨迹仅为双曲线的一支或为一条射线，所以A 错；对于B ，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )知，点P 弦AB 中点，弦AB 定长， 所以弦AB 中点距圆心定长，所点P 的轨迹是圆，所以B 错；对于C ，解方程2x 2−5x +2=0，得两根为2和12，所以12可作为椭圆离心率，2可作双曲线的离心率，所以C 对；对于D ，设双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1的半焦距分别为c 12=25+9=34，c 22=35−1=34， 所以c 1=c 2，所以D 对．故选：CD ．A 根据双曲线定义判断；B 根据圆的轨迹特点判断；C 根据离心率特征判断；D 分别计算半焦距判断即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥曲线的基本概念，属基础题．12.答案：ABC解析：解：对于A ，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故选项A 正确；对于B ，周角为360°，所以1°的角就是周角的1360，周角为2π弧度，所以1rad 的角是周角的12π，故选项B 正确；对于C ，根据弧度制与角度制的互化，可得1rad =180°π>1°，故选项C 正确；对于D ，用用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项D 错误． 故选：ABC ．利用角度制与弧度制的定义以及它们之间的关系对四个选项逐一分析判断即可． 本题考查了角的概念的理解，主要考查了角度制与弧度制的理解，属于基础题． 13.答案：解：(1)π12=112×180°=15°；(2)−4π3=−43×180°=−240°； (3)3π10=310×180°=54°．解析：直接利用关系式π=180°进行角度与弧度的互化即可得解．本题考查弧度制化角度制，关键是熟记π=180°，是基础题．14.答案：解：由题意可得圆心角∠AOB =112100=2825=1.12，∴圆心角∠AOB 为1.12弧度．解析：由弧长公式变形可得∠AOB =112100，化简即可．本题考查弧长公式，属基础题． 15.答案：解：(1)∵在半径为8的圆O 中，弦AB 的长为8，∴△OAB 为等边三角形，∴弦AB 所对的圆心角α=π3；(2)由(1)可得弧长l =8×π3=8π3， 弓形的面积S =S 扇形−S △OAB=12×8π3×8−12×82×√32 =32π3−16√3．解析：本题考查扇形和三角形的面积公式，属基础题．(1)由题意可得△OAB 为等边三角形，可得α=π3；(2)由(1)和弧长公式可得l的值，而S=S扇形−S△OAB，由扇形和三角形的面积公式可得．。
新高考 高中数学 必修三 课件+类型题7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
解析 (1)202°30′＝202.5°＝4025×18π0＝98π. (2)－152π＝－152π×18π0°＝－75°. (3)解法1 (化为弧度)： α＝15°＝15×1π80＝1π2，θ＝105°＝105×18π0＝71π2. 显然1π2＜1π0＜1<172π. 故α<β<γ<θ＝φ.
解法2 (化为角度)： β＝1π0＝1π0×18π0°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝172π×18π0°＝105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°. 故α<β<γ<θ＝φ.
3．在半径为5的圆中，43π的圆心角所对的弧长为( )
40π A. 3
20π B. 3
10π C. 3
8π D. 3
解析 l＝r·α＝5×43π＝203π. 答案 B
4．若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所
夹的扇形面积为( )
A．4 cm2
B．2 cm2
C．4π cm2
D．2π cm2
加深理解：弧度制与实数之间的对应关系 角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在 角的集合与实数集 R 之间建立一种一一对应的关系，即每一个 角都有唯一的一个实数(例如这个角的度数或弧度数)与它对 应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(例如弧度数或度 数等于这个实数的角)与它对应．
牢记：弧度制下与角度制下的扇形弧长和面积公式
练：将下列角度与弧度互化 (1)480°； (2)－1120°； (3)－136π； (4)16π.
3
解析 (1)480°＝480×1π80＝83π； (2)－1120°＝－1120×1π80＝－596π； (3)－136π＝－163π×18π0°＝－390°； (4)163π＝136π×18π0°＝960°.
学案7：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算新知提炼1．弧度制(1)定义：以 为单位来度量角的制度叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(3)记法：弧度单位用符号“ ”表示，或用弧度两个字表示．在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写．(4)求法：正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 ．如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ．2．角度制与弧度制的换算(1)弧度制与角度制的互化(换算)360°＝ rad ；180°＝ rad ；1°＝ rad ≈0.01745 rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°＝57°18′.(2)特殊角的度数与弧度数的对应表3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数．则扇形的弧长：l ＝n πr 180＝ ；扇形的面积：S ＝ ＝ ＝ ． 小试身手1．－75°的弧度数是( )A ．－π3B ．－5π12C ．－5π6D ．－5π72．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( ) A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π33．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________． 题型探究题型一 弧度制的概念[学生用书P4]例1 下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径大小有关方法归纳必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强对这一新概念的利用，才能快速地掌握．跟踪训练 下列四个命题中，不正确的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度题型二 角度制与弧度制的互化[学生用书P5]例2 将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.方法归纳角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad. (3)在某一指定范围内求某种特性的角：①解不等式求对应k 的值；②将k 赋值找出相应的角．跟踪训练 1.把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z ，0≤α＜2π)的形式是( )A ．－6π－π4B ．－6π＋7π4C ．－8π－π4D ．－8π＋7π42．在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．题型三 扇形的弧长和面积问题[学生用书P5]例3 (1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________cm 2.(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．求解策略扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．跟踪训练 1.半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长为( )A ．π3 cmB ．π23cm C ．2π3 cm D ．2π23cm 2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？当堂检测1．把－8π3化成角度是( ) A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60°2．将245°化为弧度为________．3．角－2912π的终边在第________象限． 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.【参考答案】新知提炼1．(1)弧度(2)半径长(3) “rad ”(4)正数，负数， 02． (1) 2π；π；π1803． |α|·r ； n πr 2360 12l ·r 12|α|·r 2． 小试身手1．B2．C3．(1)π10(2)54° 题型探究例1 D【解析】 根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径大小无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．跟踪训练 D【解析】选D.本题考查弧度制下角的度量单位：1弧度的概念．根据1弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．对照各选项，可知D 不正确．例2【解】 (1)20°＝20180π＝π9. (2)－15°＝－15×π180＝－π12. (3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝⎛⎭⎫－115π×180π°＝－396°. 跟踪训练 1.D【解析】因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4. 2．解：因为2π5＝25×180°＝72°， 所以与角2π5终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°范围内，与角2π5终边相同的角为72°，432°. 例3 π.【解析】 (1)设扇形弧长为l ，因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)， 所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)． 所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(cm 2)． (2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.② ①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解之得R 1＝1，R 2＝4.当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad. 跟踪训练 1.D【解析】因为120°＝2π3， 即|α|＝2π3， 所以弧长l ＝|α|·r ＝2π3·π＝2π23(cm)．故选D. 2．解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100. 所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大， 这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 当堂检测1． B【解析】－8π3＝－83×180°＝－480°. 2．49π36【解析】245°＝245×π180＝49π36. 3．四【解析】－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限． 4．32π 【解析】S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.。
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7.1.2弧度制及其与角度制的换算
一、选择题
1.下列转化结果错误的是( )
A ．60°化成弧度是π3
B ．－103
π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76 π D ．π12
化成度是15° 2.若圆的半径变成原来的2倍,扇形的弧长也变成原来的2倍,则( )
A .扇形的面积不变
B .扇形的圆心角不变
C .扇形的面积增加到原来的2倍
D .扇形的圆心角增加到原来的2倍
3.若α＝－3，则角α的终边在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4.若α是第四象限角，则π－α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A ．π6
B ．π3
C ．3
D ．3
6.将1920°转化为弧度数为( )
A ．163
B ．323
C ．16π3
D ．32π3 7．把－114
π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4
B ．－π4
C ．π4
D ．3π4
8.集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( )
A ．
B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C ．{α|－4≤α≤4}
D ．{α|0≤α≤π}
9．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2
B ．sin 2
C ．2sin 1
D ．2sin 1
10．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点
的距离为2，若α＝π4
，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2)
B ．(2，1)
C ．(2，2)
D ．(1,1)
11．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 12.已知
,则角α的终边所在的象限是( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、填空题
13．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．
14．已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2.
15．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3
，则扇形的弧长＝________，半径＝ ． 16．若角α的终边与85 π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4
角的终边相同的角是________．
三、解答题
17．已知角α＝1200°.
(1)将α改写成β＋2k π (k ∈Z , 0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
18.已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；
(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
19.某时钟的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t=0时,点A 与钟面上标12的点B 重合.设秒针端点A 转过的路程为d cm,所形成的扇形面积为S cm 2, 求当t ∈[0,60]时d 与S 关于时间t (s)的函数关系式．
20．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3
弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6
弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．
7.1.2弧度制及其与角度制的换算答案 一、选择题1. C 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 7. A 8. B 9. C 10. D 11.C 12. A 、B
二、填空题13.π5，π3，7π15 14. 360π 15. π3，2 16. 2π5 ，9π10 ，7π5 ，19π10
三、解答题
17. 解析：(1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3
， 又π2<2π3<π，∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角． (2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2k π＋2π3
，k ∈Z ， ∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16
.∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1或k ＝0. 故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3，2π3
. 18. 解析：(1)因为α＝60°＝π3rad ，所以l ＝α·R ＝π3×10＝10π3
(cm). (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12
．故扇形圆心角为12rad. (3)由已知得l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12
(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25， 所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.
19. 解析：因为秒针的旋转方向为顺时针, 所以t s 后秒针端点A 转过的角α=-
rad,
所以秒针端点A 转过的路程为d=|α|·r=(cm), 所以转过的扇形面积为S=
|α|·r 2=(cm 2).所以d=(t ∈[0,60]),S=(t ∈
[0,60]). 答：d=(t ∈[0,60]),S=(t ∈[0,60])
20.解析： 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3
＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4. 所以第一次相遇时所用的时间是4秒．
第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝4π3
的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－
2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为4π3×4＝16π3
， 点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝2π3×4＝8π3
.。