弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。
从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。
通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
附录（表格和图）：。
弧度制和弧度制与角度制的换算
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[再练一题] 1.把56°15′化为弧度是( )
5π
5π
A. 8
B. 4
5π
5π
C. 6
D.16
【解析】 56°15′＝56.25°＝2245×1π80＝51π6.
【答案】 D
【导学号：72010003】
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用弧度数表示角
(1)与角23π终边相同的角是( ) 11 A. 3 π B.2kπ－23π(k∈Z) C.2kπ－130π(k∈Z) D.(2k＋1)π＋23π(k∈Z)
解惑：________________________________________________________
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[小组合作型] 角度与弧度的互化与应用
(1)将下列角度与弧度进行互化. ①20°＝________；②－15°＝________； ③71π2＝________；④－151π＝________. (2)把－157°30′化成弧度为________. (3)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)
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(2)若α是第三象限的角，则π－α2是( ) A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角
【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成2kπ＋α，(k∈Z，α∈[0,2π))形式来判 断；(2)可由α范围写出π－α2范围后，根据k为奇数或偶数来确定π－α2终边位置.
阶
阶
段
段
一
三
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
弧度制及弧度制和角度制的换算
弧度制的概念和换算总结要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοοοο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π例1：把.0367化成弧度'ο解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='οο例2：把rad 53π化成角度. οο1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=παο布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=πποοοο1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法οοο21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=οο也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 一、自主学习1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．2．平角、周角的弧度数：平角=π rad 、周角=2π rad3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 5、角度制与弧度制的换算：（ 1）．∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ； ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad（2）．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α⋅=r l ，由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。
②扇形面积公式 lR S 21=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
6．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系二．例题例1：把11230'化成弧度（用π表示）o R Sl例2： 把3 rad 5π化成度例3：填写下表：例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长: ⑴3⑵ 165例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2，求扇形中心角的弧度数．随堂练习1．下列命题中，真命题是( )A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小2．把－8π3化成角度是( )A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60° 3．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π64．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.。
第2讲---弧度制和弧度制和角度制的换算
第2讲弧度制和弧度制与角度制的换算一、基本内容1、角度制：角度制规定60分等于，60秒等于 .2、弧度制：（1）长度等于半径的长的圆弧所对的圆心角叫做的角，记作 ,这种以弧度为单位来度量角的制度叫做 .（2）在半径为r的圆中，弧长为L的弧所对的圆心角为rad，则=.3、角度制与弧度制的换算= rad，=rad rad，1rad= .4、弧度制下扇形的面积公式为 S=LR=∣∣.二课堂探究互动题型一弧度制的概念问题例1、下列各命题中，假命题是（）A、“度”与“弧度”是度量角度的两种不同的度量单位；B、1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；C、根据弧度的定义，一定等于弧度；D、不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关.解析：思考题1、下列各种说法中正确的是（）A、一弧度是一度的圆心角所对的弧；B、一弧度是长为半径的弧；C、一弧度是一度的弧与一度的角之和；D、一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.解析：题型二角度与弧度的互化问题例2、（1）将化成弧度；解析：（2）将13.5 rad化成度；解析：（3）时间经过4小时，时针、分针个转过多少度？等于多少弧度？解析：思考题2、（1）把化成弧度；（精确到0.001）解析：（2）把-化成度.解析：题型三用弧度制表示终边相同的角、象限角及区间角例3、把下列各角化成0到2的角加上2k(k)的形式，并指出它们是第几象限角.（1）；（2）-；（3）；（4）-.解析：思考题3、将下列用弧度制表示的角化为2k，，的形式，并指出它们所在的象限.（1）-；（2）；（3）-20；（4）-2.解析：题型四扇形的弧长与面积公式的运用问题例4、求下列各题：（1）已知扇形的周长为20cm，面积为9，求扇形圆心角的弧度数；解析：（2）若某扇形的圆心角为，半径为15cm，求扇形面积；解析：（3）若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形面积达到最大？最大值是多少？解析：思考题4、已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数.解析：题型五弧度制下角的集合关系问题例5、集合M={x∣x=，}，N={x∣x=，}.则（）A、M=N； B、M N； C、N M； D、M.解析：思考题5、已知集合M={x∣x=，}，P={x∣x=，},则P与M 之间的关系是（）A、P M；B、M P；C、M=P；D、M N=.解析：三课堂练习1、终边在第三象限的角平分线上的角的集合为（）A、{∣=2k+,k}；B、{∣=2k+,k}；C、{∣=2k-,k}；D、{∣=2k-,k}.解析：2、与角终边相同的最小正角是 .解析：3、扇形圆心角为2弧度，所对弦长为2，求所对的弧长.解析：4、如图，动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q方向每秒钟转弧度，求P、Q时间及P、Q点各自走过的弧度.解析：5、已知扇形OAB的圆心角为=，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积. 解析：弧长L=r=，OA=OB=6，∴AB=6，圆心到AB的距离d=3，∴弓形的面积S=扇形=.。
弧度制和弧度制与角度制的换算
2 180
28
2、把弧度换成角度：
[总结]
2rad 360
带 者常可用来
rad 180
180º 代 换； 不 带
1rad 180 57.30 5718
者 可用 其 弧 度 数 乘 以57.30º 来 求近似 值。
例2、把 3 rad ,-2.1 rad 化成度。
5
解： 3 rad 3 180 108
5
5
2.1rad 2.157.30 120.33
注意：
1、用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad” 可省略，而只写这个角所对应的弧度数；但用 角度制表示角时，“度”或“0”不能省去。
2、用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写
r 作 为 圆 心 角 时 所 对 弧 的长 ，r是 圆 的 半 径 ， 这 种 以 弧 度 作 为 单 位 来 度 量角 的 单 位 制 ， 叫 做 弧 度制
二、角度与弧度的换算：
1、把角度换成弧度：
360 2rad
180 rad
1
180
rad
0.01745rad
[总结]
C o
B
r
1 rad
r
A
弧AB的长等于半径r，则弧 AB所对的圆心角是 1弧度的角.
请问:周角、平角、直角的弧度数分别是多少？
B r
o
r
A
B’ r’
o’ r’ A’
2、弧度制的定义：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一
个负数，零角的弧度数是0； 角的弧度数的绝对值| | l ，其中l是以角
（1）仅出现度的，可以直
接乘以
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
弧度制和弧度制与角度制之间的换算
弧度制与角度制之间的换算
1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
⑴平角=π rad 、周角=2π rad
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r
l =α（l 为弧长，r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad
∴ 1︒=rad rad 017453.0180≈π
8.447157)180(1'''︒≈︒=π
rad 3．（1）弧长公式：α⋅=r l
比公式180
r n l π=
简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
（2）扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 这比扇形面积公式 360
2
R n S π=扇 要简单 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化
例1用弧度制表示：
1 终边在x 轴上的角的集合
2 终边在y 轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
例2．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位
为：m ？
例3已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
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弧度 0
64
2 32 3
3 4
5 6
角度 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600
弧度 7 6
5 4
4 3
3 2
5 3
7 4
1 1 2
6
2 3 3 y 2
3
4
4
5
6
6
0
O
x
7
1 1
6
5
6
4
7
4
3 5
4
3
2
3
角度与弧度的换算公式：
∵1800= rad
4
29
③ 6
5 4 第二象限角
6
2.集合M xx k 2 4 ,k Z ,N xx k 4 2 ,k Z ,
则有(C )
A.MN B. M N C. M N D. M N
方法一：从“数”的角度列举； 方法二：从“数”的角度化为相同结构(两法：带或
不带 )；
3
④
540
10
弧度制下终边相同的角、轴线角、象限角的表示：
1.与α终边相同的角的集合2k,k Z； 与α终边共线的角的集合 k,kZ。
说明：在用四则运算表示角时，单位要统一，不能出 现诸如300+2kπ,或π/2+k.3600等错误表示法！
2.终边落在x轴的正半轴的角的集合 2k,kZ；
x轴的负半轴的角的集合2k,k Z；
方法三：从“形”的角度列举； 方法四：用几个具体的角进行“筛选”.
弧度制下扇形弧长和面积公式：
l
Or
1.扇形弧长公式：
l r
2.扇形面积公式：
l
S r2 r r2 1lr
2
2
2
做一做： 1.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形 面积。
S=4
2.已知一扇形的周长为c(c>0为常数），当扇形中心 角为多大时，扇形面积最大，并求出最大面积。
规定：
长度等于半径长的圆弧所对的 圆心角叫做1弧度的角.
B
r
O r A A O B 1 弧 度 1 ra d 1 ,
注：弧度单位可省略，3r、r/2的弧所对的圆心 角分别为多少？
答：分别为2弧度、3弧度、1/2弧度.
2.思考：圆心角的弧度数取决于什么呢？是半径还是 圆弧长？
弧度制和弧度制与角度制的 换算
复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定10角的？角度制 的单位有哪些，是多少进制的？
答：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度； 角度制的单位有度、分、秒三种，规定60分等于1度， 60秒等于1分，是60进制.
新概念
为使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角 的单位制-----弧度制.
∴10=
rad≈0.01745rad
180
1 rad=( 1 8 0 )0≈57018’ 做一做：
1.把下列各角从度化为弧度：
①2520 7 5
②11015‘ 1 6
③-12000
20 3
3 ④67030’ 8
2.把下列各角从弧度化为度：
2 ①3 1080 ②
5
(360 )0
③1 2
150
x=c/4时，Smax=c2/16.
谢谢
终边落在y轴的正半轴的角的集合 22k,kZ；
y轴的负半轴的角的集合 22k,kZ；
终边落在x轴上的角的集合 k,kZ ；
y轴上的角的集合
2k,kZ
。
3.第一象限角为：(2k,2k),kZ
2
第二象限角为： (2k,2k),kZ
2
第三象限角为： (2k,2k),kZ
2
第四象限角为： (2k,2k),kZ
2
一个特殊的映射
角的弧度数是一个量，表示弧长与半径的比， 是一个实数，这样在角集合与实数集之间就建立 了一个一一对应关系.
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
做一做：
1.把下列各角化为α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式，并判
定为第几象限角.
① 19
3
6 第一象限角 3
② 27
4
5 8 第三象限角
答：无关，若圆弧长为L，半径为r，则圆心角
l r
前面我们说到，1弧度比600稍小一点，那么1弧度 到底是多少度呢？你能否解决这个问题？
3.思考：一个周角的弧度数是多少？一个平角的弧度 数是多少？一个直角的弧度呢？
答：分别为2 , , 弧度. 2
特殊角的角度与弧度换算表：
角度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800