最新弧度制和弧度和角度的转换
1.2弧度制及弧度制与角度制的换算
位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
3、讨论： B
度转化为弧度
180
注意几点： 1．度数与弧度数的换算也可借助“计算 正实数 正角 器” 零角 0 2 ．今后在具体运算时，“弧度”二字和 《中学数学用表》进行 单位 负实数 负角 符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 任意角的集合 实数集R sin表示rad角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后， 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
l ④角的弧度数的绝对值: r
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1 =
180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18' 弧度转化为度 180
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
第2讲---弧度制和弧度制和角度制的换算
第2讲弧度制和弧度制与角度制的换算一、基本内容1、角度制：角度制规定60分等于，60秒等于 .2、弧度制：（1）长度等于半径的长的圆弧所对的圆心角叫做的角，记作 ,这种以弧度为单位来度量角的制度叫做 .（2）在半径为r的圆中，弧长为L的弧所对的圆心角为rad，则=.3、角度制与弧度制的换算= rad，=rad rad，1rad= .4、弧度制下扇形的面积公式为 S=LR=∣∣.二课堂探究互动题型一弧度制的概念问题例1、下列各命题中，假命题是（）A、“度”与“弧度”是度量角度的两种不同的度量单位；B、1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；C、根据弧度的定义，一定等于弧度；D、不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关.解析：思考题1、下列各种说法中正确的是（）A、一弧度是一度的圆心角所对的弧；B、一弧度是长为半径的弧；C、一弧度是一度的弧与一度的角之和；D、一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.解析：题型二角度与弧度的互化问题例2、（1）将化成弧度；解析：（2）将13.5 rad化成度；解析：（3）时间经过4小时，时针、分针个转过多少度？等于多少弧度？解析：思考题2、（1）把化成弧度；（精确到0.001）解析：（2）把-化成度.解析：题型三用弧度制表示终边相同的角、象限角及区间角例3、把下列各角化成0到2的角加上2k(k)的形式，并指出它们是第几象限角.（1）；（2）-；（3）；（4）-.解析：思考题3、将下列用弧度制表示的角化为2k，，的形式，并指出它们所在的象限.（1）-；（2）；（3）-20；（4）-2.解析：题型四扇形的弧长与面积公式的运用问题例4、求下列各题：（1）已知扇形的周长为20cm，面积为9，求扇形圆心角的弧度数；解析：（2）若某扇形的圆心角为，半径为15cm，求扇形面积；解析：（3）若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形面积达到最大？最大值是多少？解析：思考题4、已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数.解析：题型五弧度制下角的集合关系问题例5、集合M={x∣x=，}，N={x∣x=，}.则（）A、M=N； B、M N； C、N M； D、M.解析：思考题5、已知集合M={x∣x=，}，P={x∣x=，},则P与M 之间的关系是（）A、P M；B、M P；C、M=P；D、M N=.解析：三课堂练习1、终边在第三象限的角平分线上的角的集合为（）A、{∣=2k+,k}；B、{∣=2k+,k}；C、{∣=2k-,k}；D、{∣=2k-,k}.解析：2、与角终边相同的最小正角是 .解析：3、扇形圆心角为2弧度，所对弦长为2，求所对的弧长.解析：4、如图，动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q方向每秒钟转弧度，求P、Q时间及P、Q点各自走过的弧度.解析：5、已知扇形OAB的圆心角为=，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积. 解析：弧长L=r=，OA=OB=6，∴AB=6，圆心到AB的距离d=3，∴弓形的面积S=扇形=.。
弧度制和弧度制与角度制的换算
2 180
28
2、把弧度换成角度：
[总结]
2rad 360
带 者常可用来
rad 180
180º 代 换； 不 带
1rad 180 57.30 5718
者 可用 其 弧 度 数 乘 以57.30º 来 求近似 值。
例2、把 3 rad ,-2.1 rad 化成度。
5
解： 3 rad 3 180 108
5
5
2.1rad 2.157.30 120.33
注意：
1、用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad” 可省略，而只写这个角所对应的弧度数；但用 角度制表示角时，“度”或“0”不能省去。
2、用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写
r 作 为 圆 心 角 时 所 对 弧 的长 ，r是 圆 的 半 径 ， 这 种 以 弧 度 作 为 单 位 来 度 量角 的 单 位 制 ， 叫 做 弧 度制
二、角度与弧度的换算：
1、把角度换成弧度：
360 2rad
180 rad
1
180
rad
0.01745rad
[总结]
C o
B
r
1 rad
r
A
弧AB的长等于半径r，则弧 AB所对的圆心角是 1弧度的角.
请问:周角、平角、直角的弧度数分别是多少？
B r
o
r
A
B’ r’
o’ r’ A’
2、弧度制的定义：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一
个负数，零角的弧度数是0； 角的弧度数的绝对值| | l ，其中l是以角
（1）仅出现度的，可以直
接乘以
弧度制与角度制的换算公式
弧度制与⾓度制的换算公式
弧度制与⾓度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。
⾓的度量单位通常有两种，⼀种是⾓度制，另⼀种就是弧度制。
弧度制
⽤弧长与半径之⽐度量对应圆⼼⾓⾓度的⽅式，叫做弧度制，⽤符号rad表⽰，读作弧度。
等于半径长的圆弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓。
由于圆弧长短与圆半径之⽐，不因为圆的⼤⼩⽽改变，所以弧度数也是⼀个与圆的半径⽆关的量。
⾓度以弧度给出时，通常不写弧度单位。
弧度制的精髓就在于统⼀了度量弧与⾓的单位，从⽽⼤⼤简化了有关公式及运算，尤其在⾼等数学中，其优点就格外明显。
⾓度制
⽤度(°)、分(′)、秒(″)来测量⾓的⼤⼩的制度叫做⾓度制。
⾓度制：规定周⾓的360分之⼀为1度的⾓，⽤度作为单位来度量⾓的单位制叫做⾓度制。
单位换算
⾓度制中，1°=60′，1′=60″，1′=(1/60)°，1″=(1/60)′。
⾓度制就是运⽤60进制的例⼦。
运算法则
两个⾓相加时，°与°相加，′与′相加，″与″相加，其中如果满60则进1。
两个⾓相减时，°与°相减，′与′相减，″与″相减，其中如果不够则从上⼀个单位退1当作60。
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
弧度制和弧度制与角度制之间的换算
弧度制与角度制之间的换算
1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
⑴平角=π rad 、周角=2π rad
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r
l =α（l 为弧长，r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad
∴ 1︒=rad rad 017453.0180≈π
8.447157)180(1'''︒≈︒=π
rad 3．（1）弧长公式：α⋅=r l
比公式180
r n l π=
简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
（2）扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 这比扇形面积公式 360
2
R n S π=扇 要简单 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化
例1用弧度制表示：
1 终边在x 轴上的角的集合
2 终边在y 轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
例2．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位
为：m ？
例3已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
学案7：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算新知提炼1．弧度制(1)定义：以 为单位来度量角的制度叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(3)记法：弧度单位用符号“ ”表示，或用弧度两个字表示．在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写．(4)求法：正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 ．如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ．2．角度制与弧度制的换算(1)弧度制与角度制的互化(换算)360°＝ rad ；180°＝ rad ；1°＝ rad ≈0.01745 rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°＝57°18′.(2)特殊角的度数与弧度数的对应表3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数．则扇形的弧长：l ＝n πr 180＝ ；扇形的面积：S ＝ ＝ ＝ ． 小试身手1．－75°的弧度数是( )A ．－π3B ．－5π12C ．－5π6D ．－5π72．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( ) A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π33．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________． 题型探究题型一 弧度制的概念[学生用书P4]例1 下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径大小有关方法归纳必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强对这一新概念的利用，才能快速地掌握．跟踪训练 下列四个命题中，不正确的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度题型二 角度制与弧度制的互化[学生用书P5]例2 将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.方法归纳角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad. (3)在某一指定范围内求某种特性的角：①解不等式求对应k 的值；②将k 赋值找出相应的角．跟踪训练 1.把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z ，0≤α＜2π)的形式是( )A ．－6π－π4B ．－6π＋7π4C ．－8π－π4D ．－8π＋7π42．在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．题型三 扇形的弧长和面积问题[学生用书P5]例3 (1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________cm 2.(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．求解策略扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．跟踪训练 1.半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长为( )A ．π3 cmB ．π23cm C ．2π3 cm D ．2π23cm 2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？当堂检测1．把－8π3化成角度是( ) A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60°2．将245°化为弧度为________．3．角－2912π的终边在第________象限． 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.【参考答案】新知提炼1．(1)弧度(2)半径长(3) “rad ”(4)正数，负数， 02． (1) 2π；π；π1803． |α|·r ； n πr 2360 12l ·r 12|α|·r 2． 小试身手1．B2．C3．(1)π10(2)54° 题型探究例1 D【解析】 根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径大小无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．跟踪训练 D【解析】选D.本题考查弧度制下角的度量单位：1弧度的概念．根据1弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．对照各选项，可知D 不正确．例2【解】 (1)20°＝20180π＝π9. (2)－15°＝－15×π180＝－π12. (3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝⎛⎭⎫－115π×180π°＝－396°. 跟踪训练 1.D【解析】因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4. 2．解：因为2π5＝25×180°＝72°， 所以与角2π5终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°范围内，与角2π5终边相同的角为72°，432°. 例3 π.【解析】 (1)设扇形弧长为l ，因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)， 所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)． 所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(cm 2)． (2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.② ①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解之得R 1＝1，R 2＝4.当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad. 跟踪训练 1.D【解析】因为120°＝2π3， 即|α|＝2π3， 所以弧长l ＝|α|·r ＝2π3·π＝2π23(cm)．故选D. 2．解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100. 所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大， 这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 当堂检测1． B【解析】－8π3＝－83×180°＝－480°. 2．49π36【解析】245°＝245×π180＝49π36. 3．四【解析】－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限． 4．32π 【解析】S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.。
4-1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5
化成度。
解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度
0° 30° 45° 60° 90° 120°
0
6
4
3
2
2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的，
回 忆 是 梦 ゛ 幻到迷 茫づ微 笑是糖 ゛甜到 忧伤づ 萌妹扎 i女汉纸 i我非南湘为何甜美我
非 宛 如 为 何 奇葩离 歌浅唱 半世殇 半挽青 丝暮斜 阳你个 狠心的 丫头你 个嘴贱 的丫头 巴 黎 铁 塔 的 夕阳～ 东京铁 塔的灯 光～柠 檬甜蓝 莓酸教 主，我 要你的 桃子！ 桃子， 我 要 你 的 凡 凡！青 晨智宇 就是个 大美女 清晨致 雨就是 个小萝 莉度娘 谷嫂诺 澜你走 @一 菲 留 下 @黑 色 的喧哗 是优雅 的寂寞 白色的 淡定是 优雅的 孤独小 雨淅淅 小雪哗
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S= 1
2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º. 合 5
36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
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360＝2 rad ， 180＝ rad . 思考 1 等于多少弧度？
1＝
180
rad ；
1 rad 等于多少度？
1 rad ＝(
180
)
≈57.30＝5718' ．
角度制与弧度制的换算
180°= rad
1°= 180 rad
1 rad= 180
（一）角度换弧度时 no n rad
180
即 AB 的长 l 约为5.2cm.
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化
3.熟练特殊角的弧度数
度 0° 30 °45 ° 60 °90 ° 120 °135°150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5 23 46
4.弧长公式
（1）用弧度制表示终边在y轴上的所有角的集合。 （2）试将-300 写成弧度的形式 （3）教材P132，练习 A 组 4，B组3
(2)1弧度角的规定：
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
l=r
1 rad
Or
1rad 1
理解概念
如果圆的半径为 r， 圆心角所对的弧长为 l，
那么，圆心角 (正弧度数)等于多少？
l
r
弧长 l
r
圆心角(弧度) 1
2r
3r
r 2r
2
3
2
二、弧度与角度的换算：
讨论 一个圆周角是多少度？是多少弧度？
结束语
谢谢大家聆听！！！
14
角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系．
1.将 20化成弧度．
2.将7 化为角度。
4
3.填一填．
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧
度0
6
2 3
43 2 3 4
5
6
3 2
2
180°= rad
三、弧长公式
讨论 已知圆的半径为 r ，那么圆心角 所对
1.以度（ ） 为单位度量角的制度，我们称之为角度制。
2. 在平面几何中，1 的角是怎样定义的？
把一圆周360等分，则其中一份所对的圆心角是 1 度角．
3. 1 0 6 0 1 6 0
4.强调：度（ ）是不能省略的 如： 300
一、几个新概念
(1) 弧度制：
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制， 它的单位是弧度，单位符号是 rad（可以省略）.
的弧长 l 如何计算？
由弧度的定义，
l r
得到
l ＝ r．
弧度制下的弧长计算公式.
l ＝ || r
例3 已知 AB所对的圆心角为 60，半径为 5 cm， 求 AB的长 l (精确到0.1cm)．
解 因为 60 π 3
所以 l ＝ r ＝ π 5
60
3
3 .14 5 5 .2 3
（二）弧度换角度时
rad18o0
例1 把 6730 化成弧度．
解 6730' 135， 2
135π rad 3πra． d
2 180 8
例2 把 3 π rad 化成度．
5
解
3πra d3 18 0 10． 8，
思考：- 6730 =？
负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为 0．
弧度制和弧度和角度的转换
[教学目标】： 知识目标：1.理解弧度制的概念；
2.理解角度制与弧度制的换算； 3.掌握弧长公式 能力目标：1.会进行角度制和弧度制的换算，求弧长； 2.培养学生的计算技能. 情感目标：通过教学，使学生体会等价转化的思想. 【教学重点】： 掌握角度制与弧度制的换算，会求弧长. 【教学难点】： 弧度制概念的理解.