第四章 马尔可夫链
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
第四章 马尔可夫链
股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法：根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景：广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强： 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型， 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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汇报人：儿
特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利 用马尔可夫链 对文本进行分 类，如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
,a click to unlimited possibilities
第四章 马尔可夫链
一步转移概率
定义4.2 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔 可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移概率， 简称转移概率，其中i,jI。 定义4.3 若对任意的i,jI，马尔可夫链{Xn,nT } 的转移概率pij(n)与n无关，则称马尔可夫链是 齐次的，并记pij(n)为pij。
如果d>1，就称i为周期的， 如果d=1，就称i为非周期的。
引理4.1 如果i的周期为d，则存在正整数M，对一切 ( nd ) n≥M ，有 p ii 0。
例4.6
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}，转移概率如 下图所示。
1 1
8
9
1
1 3
2
1
7
1
1 6
1
3
1
5
2 3
4
1
从状态1出发再返回状态1的可能步数为T={4,6,8,10, }，T的最大公约数为2，从而状态1的周期为2。
P{ X n j | X n1 i}P{ X n1 i} pi (n 1) pij
iI iI iI
(3)(4)为(1)(2)的矩阵表示。
定理4.3 设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数i1, i2,,inI和n1 ，有性质
P{ X1 i1 ,, X n in } pi pii1 pi1i2 pin1in
证明： (1) p j (n) P{ X n j} P{ X 0 i , X n j}
P{ X n j | X 0 i}P{ X 0 i}
iI ( p i p ijn ) iI iI
(2) p j (n) P{ X n j} P{ X n1 i , X n j}
马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
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3、马尔可夫链举例
第四章马尔可夫链
i1
Pi , j 0
j . i 1 ,i-1 , i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
.
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移p12 p1n Pp21 p22 p2n
称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有 如下性质：
1. pij 0, i, jI
2. pij 1, i, jI jI
满足上述两个性质的矩阵成为随机矩阵
.
定义4.4
称条件概率 p i(n ) j P { X m n j|X m i}i,j I,m 0 ,n 1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率，并称
0 1 1
.
马尔可夫链的状态分类
周期、非周期 常返、非常返
其中，常返分为正常返、零常返 非周期的正常返称为遍历状态
到达和互通
.
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 状态转移图如下图
8
9
2
7
1
3
6
5
4
观察状态1
.
定义4.6 如集合{n: n≥1,pii(n)>0}非空，则称该集合的 最大公约数d=d(i)=G.C.D{n:pii(n)>0}为状态i 的周期。如d>1就称i为周期的，如d=1就称i 为非周期的。
.
随机过程课件-马尔可夫链
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
第四章 马尔可夫链
第四章 马尔可夫链随机过程在不同时刻下的状态之间一般具有某种关系，马尔可夫（Markov ）过程就是描述一类状态之间具有某种特殊统计联系的随机过程.Markov 过程在近代物理学、生物学、管理科学、信息处理与数字计算方法等领域都有重要的应用.按其状态和时间参数是连续的或离散的，它可分为三类：（1）时间、状态都是离散的Markov 过程，称为Markov 链；（2）时间连续、状态离散的Markov 过程，称为连续时间的Markov 链；（3）时间、状态都连续的Markov 过程.本章主要讨论Markov 链，有关连续时间的Markov 链的相关理论将在下章讨论.4.1 马尔可夫链的概念和例子独立随机试验模型最直接的推广就是Markov 链模型，早在1906年俄国数学家Markov 对它进行研究而得名，以后Kolmogorov 、Feller 、Doob 等数学家发展了这一理论.4.1 .1 Markov 链的定义假设Markov 过程{,}n X n T ∈的参数集T 是离散时间集合，即{0,1,2,}T =，相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态集012{,,,}I i i i =.定义 4.1 设有一随机过程{,}n X n T ∈，若对于任意整数n T ∈和任意011,,,n i i i I +∈，条件概率满足11001111{|,,,}{|}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======则称{,}n X n T ∈为离散时间的Markov 链，简称Markov 链（Markov chains ）或马氏链.从定义可以看出：Markov 链具有Markov 性（即无后效性），如果把时刻n 看作现在，那么，1n +是将来的时刻，而0,1,2,,1n -是过去的时刻.Markov 性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来的状况与过去的状况无关，而且Markov 链的统计特征完全由条件概率11{|}n n n n P X i X i ++==所决定. 因此，如何确定这个条件概率，是研究Markov 链理论和应用中十分重要的问题之一. 4.1.2 转移概率定义 4.2 称条件概率1(){|}ij n n p n P X j X i +=== （4.1）为Markov 链{,}n X n T ∈在时刻n 的一步转移概率，其中,i j I ∈，简称转移概率（transition probability ）.一般地，转移概率()ij p n 不仅仅与状态,i j 有关，而且与时刻n 有关，如果()ij p n 不依赖时刻n 时，则称Markov 链具有平稳转移概率.定义 4.3 若对任意,i j I ∈，Markov 链{,}n X n T ∈的转移概率()ij p n 与n 无关，则称Markov 链是齐次的（或称时齐的）（time homogeneous -），并记()ij p n 为ij p . 下面只讨论齐次Markov 链，并且通常将“齐次”两字省去.定义 4.4 设P 表示一步转移概率ij p 所组成的矩阵，且状态空间{1,2,}I =，则1112121222...........................n n p p p P p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为系统状态的一步转移概率矩阵（transition probability matrix ），它具有性质： （1）0,,ij p i j I ≥∈； （2）1,ijj Ipi I ∈=∈∑.（2）式说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1，通常称满足性质（1）（2）的矩阵为随机矩阵.定义 4.5 称条件概率(){|},n ij m n m p P X j X i +=== ,,0,1i j I m n ∈≥≥ （4.2）为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移概率，并称()()()n n ij P p =为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移矩阵.其中()()0,1n n ij ij j Ip p ∈≥=∑，即()n P 也是一个随机矩阵.特别地，当1n =时，(1)ij ij p p =，此时，一步转移矩阵(1)P P =.我们还规定(0)0,1,iji jpi j ≠⎧=⎨=⎩Markov 链n 步转移概率满足重要的Chapman Kolmogorov -方程（简称C K -方程）。
第四章-马尔可夫链-随机过程
计算 n 步转移概率的方法。
切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切n,m 0，一切 i，j，有(4.2.1)
P nm ij
Pikn Pkmj
k0
证明：
P nm ij
P{ X nm
j|
X0
i}
P{Xn k | X0 i}P{Xnm j | Xn k, X0 i}
顾客数构成一个泊松过程。所以，
Pi, j
e t (t )i1 j dG(t ), j 1,
0
(i 1 j)!
i 1
这是因为若一个来客发现有 i 个人在系统中，那么下一个来客将
发现人数为 i+1 减去已服务完毕的人数，易知有 i+1-j 个人被服
务完毕的概率(对相继来到之间的时间取条件)等于上式的右端。
0
0
0 P43
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客 依照一个任意的更新过
程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步
假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来
到时见到系统中的顾客数，以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客
不可被 d 整除的 n 有 Piin 0，且 d 是具有此性质的最大整数(d 是
{n : Piin 0}的最大公约数)。(若对一切 n>0， Piin 0，则定义 i 的周 期是无穷大。)具有周期 1 的状态称为非周期的(aperiodic)。以 d(i)记 i 的周期。
例设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}， 转移概率如下图
P nm ij
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于是: (1)
P{X 0 0, X 2 1}
P{ X 0 0}P{ X 2 1 | X 0 0}
1 5 5 ; 3 16 48
基础部张守成 2014年6月27日星期五
(2) P{X 2 1}
P{X0 0}P{X 2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X 2 1 | X 0 1}
第四章 马尔可夫链
基础部张守成
一、马尔可夫链的定义和转移概率
1、马尔可夫性(无后效性)
当已知随机过程在时刻 t i 所处的状态的条件下, 过程在t(>ti)所处的状态与过程在时刻ti以前所处的 状态无关,这种特性称为马尔可夫性或 “无后效性”. 具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程. 过程“将来”的情况和“过去”的情况 无关.
( 2) 问从第二状态至少几 步才能到第三状态 ?
(3) 求2步转移概率矩阵.
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解
(1) 有4个状态
(2) 从第二状态至少2步才能到第三状态
13 36 5 12 PP 5 24 1 4 13 36 5 12 11 14 1 2 1 9 1 6 1 12 0 1 6 0 . 1 4 1 4
(4) p01 0.5995.
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课堂练习
设齐次马氏链的转移概率矩阵为
1 3 1 P 2 1 4 0 1 1 3 3 1 0 2 1 0 4 1 0 2 0 0 . 1 2 1 2
(1) 问马尔可夫链有几个 状态?
一步转移概率
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说明: 改变游动的概率规则,就可得到不同方式的 随机游动和相应的马氏链. 如果把1改为吸收壁，即一旦到达1点，将永 远留在1点,相应链的转移概率矩阵只需把P的第 一行改成 (1,0,0,0,0).
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例2 取球问题 有甲、乙两袋球,开始时甲袋有3只球,乙袋有 2球；以后,每次任取一袋,并从袋中取出一球放入 另一袋(若袋中无球则不取). 以Xn表示第n次抽取后甲袋的球数,n=1,2,… I={0,1,2,3,4,5}, 则{Xn,n=1,2,…}是一随机过程， 且当Xn=i时,Xn+1=j的概率只与i 有关，与n时刻 之前的结果是无关的，从而是一个齐次马氏链. 其一步转移概率矩阵为：
P{ X n1 j | X n i } = Pij .
Pij表示处于状态i的过程下一步转移到状态j的概率.
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, n}.
,in1 ,i , j I
P{ X n+1 j | X 0 i0 , X1 i1， , X n1 in1 , X n i ,}
解 由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转
晴天的概率为 1 3 , 晴天转雨天的概率为 1 2 ,
故一步转移概率矩阵为
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0
1
0 1 2 1 2 P 1 1 3 2 3
又由于
0 P
( 2)
1
0 5 12 7 12 1 7 18 11 18
P ( m n) P ( m ) P ( n)
即n步转移概率矩阵等于一步转移概率矩阵自乘n次. 为了数学处理便利，通常规定
p
(0) ij
1 i j P{ X m j | X m i } 0 i j
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例3 { X n , n 0}是具有三个状态 0,1,2 的齐次马氏
链 , 一步转移概率矩阵为
0
1
2
0 3 / 4 1 / 4 0 P 1 1 / 4 1 / 2 1 / 4 , 2 0 3 / 4 1 / 4
初始分布P{X 0 i} 1 / 3, i 0,1,2.
试求 : (1) P{X 0 0, X 2 1};
(2) P{X 2 1}.
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解
先求出二步转移概率矩阵 0 1
P (2)
2
0 P2 1 2
5 / 8 5 / 16 1 / 16 5 / 16 1 / 2 3 / 16 . 3 / 16 9 / 16 1 / 4
n 1
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定义
若fii=1，称状态i为常返的；
若fii<1，称状态i为非常返的.
(1) 若状态i为非常返的,则由该状态出发将 注： 以1-fii的概率永不返回. (2) 若状态i为常返的,则 f 概率分布，其期望值为
i nf ( n )
n 1
ii
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例5 设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4}，转移概 率如下图
1
1
1 2
2
1 2
1
3 4
1
易得状态2和3有相同的周期d=2.但是从状态3出发 经两步必定返回状态3，而从状态2出发一旦转移 到状态3后再也不能返回状态2.
为了区别这两种状态，下面引入常返性概念
故 5月 1日为晴天 , 5月3日为晴天的概率为
p
(2) 00
5 12 0.4167,
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又由于 P
(4)
0
1
0 0.4005 0.5995 , 1 0.3997 0.6003
故 5月 1日为晴天 , 5月 5日为雨天的概率为
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5 1 2 4 3 如果Q现在位于 1 （或5 ）这点上， 则下一时刻就以概率 1 移动到 2 （或4 ）这一点上 . 1和5这两点称随机游动.
理论分析:
以X n表示时刻 n时Q的位置，则 {X n，n 0,1, 2, }
记
具有这种平稳转移概率的马尔可夫链称为齐次的 Pij称为一步转移概率，由所有的一步转移概率构成 的矩阵
p11 p21 P p j1 p12 p22 pj2 p1 j p2 j p jj
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1)
(2)
0
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4、齐次马氏链的性质
定义：记 pi P X0 i , i I , 称为齐次马氏链的初始分布. 定理: 齐次马氏链完全由其初始分布和一步转移 概率矩阵确定. 证 P{ X 0 i0 , X1 i1 , , X n in }
P{ X 0 i0 , X1 i1 ,
0 pij 1
p
j
ij
1, i 1, 2,
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3、马尔可夫链举例
例1 一维随机游动 一随机游动的质点在如图所示直线的点集
I {1,2,3,4,5}上作随机游动,并且仅仅在1秒、 2秒
等时刻发生游动 .
1 2
3
4
5
游动的概率规则 如果 Q 现在位于点 i (1 i 5), 1 则下一时刻各 的概率向左或向右移动 一格， 3 1 或以 的概率在原处； 3
(n)
ii
,n 1
构成一
表示由i出发再返回到i的平均返回时间(步数）.
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定义 设i为常返态 若i <，则称常返态i为正常返的; 若i =，则称常返态i为零常返的.
P{ X 0 i0 , X1 i1 , P{ X 0 i0 , X1 i1 ,
, X n1 in1 }
P{ X n in X0 i0 , X1 i1 ,
, X n1 in1 }
, X n1 in1 } P{ X n in X n1 in1 } , X n1 in1 } Pi
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2、马尔可夫链的定义和转移概率
参数和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔
记为 { X n X (n), n 0， 1, 2, }. 可夫链,简称为马氏链 ，
状态空间为可列 I {1, 2, }或有限 I {1, 2,
马氏链的马尔可夫性可具体描述为：
对于任意的n T , 任意的状态i0 ,i1 ,
P (n)
) p(jn 2
显然有
(1)
( n) p2 j p(jjn )
( n) p1 j
( n) p ij 1, i 1, 2, j
0 p
( n) ij
1
(2)
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切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
是一个齐次马氏链. 其状态空间就是 I .
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一维随机游动的演示
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基础部张守成 2014年6月27日星期五
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