【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修1-1

3.1.3 导数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．2．过程与方法培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力．3．情感、态度与价值观经过FLASH动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．●重点、难点重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．(教师用书独具)●教学建议为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．(2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．(3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．●教学流程创设问题情境，引出问题：导数是否有一定的几何意义呢？⇒引导学生结合切、割线知识，用“逼近”思想探究出导数的几何意义.⇒通过引导学生回答所提问题进一步理解导数的几何意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生对导数的几何意义加深理解，为应用埋下伏笔.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求曲线的切线方程的方法.⇒在深入理解导数几何意义的基础上完成例3及其变式训练，学会其几何意义的综合应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第49页)1．我们知道，导数f ′(x 0)表示函数f (x )在x 0处的瞬时变化率，反映了函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况，那么，导数f ′(x 0)是否有一定的几何意义呢？【提示】 f ′(x 0)有几何意义．割线PP n 的变化趋势是什么？【提示】 点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 3．第2题图中割线PP n 的斜率k n ＝f x n －f x 0x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，此斜率与切线PT 的斜率有何大小关系？【提示】 k n 无限趋近于切线PT 的斜率．1．设点P (x 0，f (x 0))，P n (x n ，f (x n ))是曲线y ＝f (x )上不同的点，当点P n (x n ，f (x n ))(n 定位置的直线PT 称为过点P 的切线，且PT 的斜率k ＝li m x n →x 0f x n －f x 0x n －x 0＝f ′(x 0)．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率，在点P 的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．000是一个确定的数；当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称为f (x )的导函数，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx.【问题导思】导函数f (x )与函数在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)相同吗？它们有什么区别与联系？ 【提示】 不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f ′(x 0)是一个具体的值，f ′(x )是由于f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义在I 上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数．(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.(对应学生用书第49页)b]上的图象可能是( )【思路探究】(1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？【自主解答】因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．【答案】 A1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．已知y＝f(x)的图象如图3－1－1所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )图3－1－1A．f′(x A)＞f′(x B)B．f′(x A)＝f′(x B)C．f′(x A)＜f′(x B)D．f′(x A)与f′(x B)大小不能确定【解析】由y＝f(x)的图象可知，k A＞k B，根据导数的几何意义有：f′(x A)＞f′(x B)．【答案】 A(2)求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．【思路探究】(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？【自主解答】(1)y′＝limΔx→0x＋Δx2＋x＋Δx＋－x2＋x＋Δx＝2x＋1，∵(1,3)在曲线上，∴切线斜率k＝y′|x＝1＝2×1＋1＝3.∴所求切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.(2)y′＝2x＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，则切线斜率为k＝2x0＋1＝y0x0＋1.∵y0＝x20＋x0＋1，∴x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0，当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y ＋3＝0，故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.1．如果所给点P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，即得切线的斜率k ＝f ′(x 0)，再根据点斜式得出切线方程．2．如果所给点P 不是切点，应先设出切点M (x 0，y 0)，再求切线方程．要特别注意“过点P 的切线”这一叙述，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上．求曲线y ＝1x 在点A (12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．【解】 ∵Δy ＝f (12＋Δx )－f (12)＝21＋2Δx －2＝－4Δx1＋2Δx ，∴Δy Δx ＝－41＋2Δx， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝12＝lim Δx →0 －41＋2Δx ＝－4. ∴切线方程为y －2＝－4(x －12)，即4x ＋y －4＝0.方程．【思路探究】 设切点Px 0，y 0→求导数y ′＝f x →由k ＝4，求x 0→确定切点P x 0，y 0→求切线方程【自主解答】 设P 点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . ∴y ′|x ＝x 0＝2x 0，又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2，∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4， ∴点P 的坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点．2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题．已知曲线C ：y ＝x 3.求：(1)曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程； (2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 【解】 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程，得y ＝1， ∴切点为P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x3Δx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2， ∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8)．(对应学生用书第51页) 错把所给点当作切点致误已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． 【错解】 f ′(3)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0＋Δx2－7]－2－Δx＝lim Δx →0 (12＋2Δx ) ＝12.故切线斜率为12.由直线的点斜式方程，得切线方程为y －9＝12(x －3)， 即12x －y －27＝0.【错因分析】 点P 不是切点，故切线斜率不是在x ＝3处的导数．【防范措施】 求曲线的切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，否则极易出错． 【正解】 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝limΔx →0x 0＋Δx2－7]－x 20－Δx＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. 由于2×32－7＝11≠9，故点P (3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得 9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2，或x 0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0，或16x －y －39＝0.1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)，相应地，切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．导数f ′(x )，是针对某一区间内任意点x 而言的，函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(对应学生用书第51页)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交【答案】 B2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在【解析】 由x ＋2y －3＝0知斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.【答案】 B3．抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线l 的斜率为____． 【解析】 k ＝f ′(1)＝4 【答案】 44．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2.求f (1)与f ′(1)的值．【解】 由题意f (1)＝12×1＋2＝52.由导数的几何意义得f ′(1)＝k ＝12.(对应学生用书第105页)一、选择题1．(2013·临沂高二检测)设函数f (x )满足lim Δx →0f－f －ΔxΔx＝－1，则曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12 D ．－2【解析】 ∵lim Δx →0f－f －ΔxΔx＝f ′(1)＝k ＝－1，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是－1. 【答案】 B2．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 ∵点(－1,0)不在抛物线y ＝x 2＋x ＋1上，故点(－1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D 符合．【答案】 D3．函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图3－1－2所示，则在y ＝f (x )的图象上A ，B 的对应点附近，有( )图3－1－2A ．A 处下降，B 处上升 B ．A 处上升，B 处下降C ．A 处下降，B 处下降D ．A 处上升，B 处上升【解析】 ∵所给图象的导函数的图象，且A 点处y ＜0，B 点处y ＞0，故原函数图象上A 处下降，B 处上升．【答案】 A4．(2013·鹤壁高二检测)如图3－1－3所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )图3－1－3A.12B ．1C ．2【解析】 由图象知f (5)＝－5＋8＝3. 由导数几何意义知f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 【答案】 C5．(2013·黄冈高二检测)已知曲线y ＝4x在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，则直线l 的方程为( ) A ．4x －y ＋9＝0B ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上均不对【解析】 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝－4，∴k ＝－4，∴切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0，设l ：4x ＋y ＋c ＝0，由题意17＝|c ＋8|42＋12，∴c ＝9或－25，应选C.【答案】 C 二、填空题6．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 【解析】 由题意lim Δx →0a＋Δx 2＋b －a －bΔx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，∴ba＝2.【答案】 27．(2013·杭州高二检测)曲线f (x )＝3x ＋x 2在点(1，f (1))处的切线方程为__________． 【解析】 k ＝lim Δx →0 ＋Δx ＋＋Δx 2－3－12Δx＝5.∵f (1)＝4.由点斜式得y －4＝5(x －1)，即y ＝5x －1. 【答案】 y ＝5x －18．y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝α(x )的图象如图3－1－4所示：图3－1－4而下图是其对应导数的图象：则y ＝f (x )对应________；y ＝g (x )对应________；y ＝α(x )对应________． 【解析】 由导数的几何意义，y ＝f (x )上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y ＝f (x )对应B.y ＝g (x )上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y ＝g (x )对应C.y ＝α(x )图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y ＝α(x )对应A.【答案】 B C A 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2.(1)求f ′(x )；(2)求f (x )在x ＝2处的导数． 【解】 (1)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2＋2－(x 2＋2) ＝(Δx )2＋2x ·Δx ， ∴ΔyΔx＝2x ＋Δx . ∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝2x . (2)f ′(2)＝f ′(x )|x ＝2＝2×2＝4. 10．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，求：(1)点P 处的切线的斜率； (2)点P 处的切线方程． 【解】 (1)由y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 13x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx3Δx＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2] ＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4.所以点p 处的切线的斜率等于4.(2)在点p 处的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.11．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3.(1)求f ′(x )，g ′(x )，并判断f ′(x )和g ′(x )的奇偶性；(2)若对于所有的实数x ，f ′(x )－2＜ag ′(x )恒成立，试求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x ； g ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2. f ′(x )和g ′(x )的定义域为R ，故定义域关于原点对称，∵f ′(－x )＝－2x ＝－f ′(x )， ∴f ′(x )为奇函数．∵g ′(－x )＝3(－x )2＝3x 2＝g ′(x )， ∴g ′(x )为偶函数．(2)由f ′(x )－2＜ag ′(x )，得3ax 2－2x ＋2＞0对任意实数x 恒成立， ①当a ＝0时，转化为－2x ＋2＞0恒成立，即x ＜1，不合题意； ②当a ≠0时，由3ax 2－2x ＋2＞0对所有实数x 都成立得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝－2－4×2×3a ＜0，解得a ＞16.综上，a 的取值范围是(16，＋∞).(教师用书独具)在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．【解】 f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以 2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P (－32，94)．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P (－12，14)．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求a 的值； (2)求切点的坐标．【解】 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点．f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx3－x ＋Δx 2＋1－x 3－x 2＋Δx＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为(－13，2327)或(1,1)．当切点为(－13，2327)时，2327＝－13＋a ，a ＝3227.当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． 所以a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．。