【备战2016】(湖北版)高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义(含解析)理
【备战2016】(四川版)高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义(含解析)文
第十三章 推理与证明、新定义一．基础题组1.【四川，文】【2009四川，文12】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是( )A . 0B .21 C . 1 D . 25 【答案】A2.【2009四川，文16】设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a .若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换.现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换；③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =.其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【答案】①③④3.【2010四川，文16】设S 为实数集R 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：○1集合{S a =+ a,b 为整数}为封闭集；○2若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ○3封闭集一定是无限集； ○4若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【答案】①②则1x y T -=-∉，所以T 不是封闭集.故填①②.【命题意图】本题主要考察新概念问题，属于创新问题，考查学生对新概念的理解、认知能力及知识的迁移能力.4.【2011四川，文16】函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）【答案】②③④5.【2014四川，文15】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。
专题14 推理与证明、新定义(第02期)-决胜2016年高考全国名校试题理数分项汇编(新课标Ⅰ特
第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试 理14】分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照 的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当3n ≥时，第*()n n N ∈行空心．．圆点个数n a 与第1n -行及第2n -行空心．．圆点个数12n n a a --，的关系式为 ；第12行的实心．．圆点的个数是 ．【答案】12n n n a a a --=+；55考点：归纳法．数列的递推式．2. 【唐山一中2014—2015学年度第二学期期末考试 理9】用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为 （ ）A.2k+1B.2（2k+1）C.112++k kD.132++k k ∙ ∙∙【答案】B【解析】试题分析：当k n =时，原式是()()()k k k k ++++......21，当1+=k n 时，变为()()()()()2212......32+++++k k k k k k ，所以增乘的代数式是()()()()12212212+=+++k k k k 考点：数学归纳法3. 【海南省嘉积中学2014—2015学年度第二学期高三大测（五） 理12】定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，若函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．γαβ>>B ．βαγ>>C ．αβγ>>D ．βγα>> 【答案】A考点：1.函数的导数；2.方程的实根.4. 【山东省潍坊中学2016届高三上学期开学考试 理6】下列推理过程是演绎推理的是A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠D ．在数列{}n a 中， 12a =，121(2)n n a a n -=+≥，由此归纳出{}n a 的通项公式【答案】C【解析】试题分析：A 是类比推理；B 是归结推理；C 是演绎推理：大前题是：两条直线平行，同位角相等；小前题是：A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角；结论为：A B ∠=∠．故选：C ．考点：推理与证明．5. 【临川一中2016届高三数学月考试卷 理12】定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③()f x =，④()x f x e -=， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ）A. 1B.2C. 3D.4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都可以，所以选C.考点：新定义.6. 【河北定州中学2016届高三第一次月考 理12】若函数)(x f 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数)(x f 为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①xx f 1)(=；②x x f 2)(=；③)2lg()(2+=x x f ；④x x f πcos )(=．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）． A ． ①③ B ． ②④ C ． ①② D ． ③④【答案】B【解析】试题分析：对于①，若存在实数0x ，满足)1()()1(00f x f x f +=+，则111100+=+x x ，所以0(010020=/=++x x x 且)10-=/x ，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数0x ，满足+0(x f )1()()10f x f +=，则222001+=+x x ，解得10=x ，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数0x ，满足00(1)=()(1)f x f x f ++，则++20)1lg[(x )21lg()2lg(]2220+++=x ，化简得0322020=+-x x ，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到==+34cos )131(πf 21-，21cos 3cos )1()31(-=+=+ππf f ，即+=+)31()131(f f )1(f ，因此④是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B ．考点：新定义题.7. 【江西省名校学术联盟2016届高三第一次调研（一）考试 理6】给出以下数阵，按各数排列规律，则n 的值为122353416164565655nA.66B.256C.257D.326【答案】C考点：归纳推理.8. 【江西省名校学术联盟2016届高三第一次调研（一）考试 理12】已知定义域为A 的函数()f x ，若对任意的12,x x A ∈，有1212()()()f x x f x f x +-≤，则称函数()f x 为“定义域上的M 函数”，以下五个函数：①()23,f x x x R =+∈；②211(),,22f x x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦； ③211()1,,22f x x x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦；④()sin ,0,2f x x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；⑤2()log ,[2,)f x x x =∈+∞，其中是“定义上的M 函数”的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C考点：1.新定义问题；2.函数性质的应用.二．能力题组1. 【唐山一中2014—2015学年度第二学期期末考试 理16】观察下列等式： 21211=-41314131211+=-+- 61514161514131211++=-+-+- 。
高三数学(理)百所名校好题速递分项解析汇编 专题14 推理与证明、新定义(第01期)
第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考8】老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况， 四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了． （ ） A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙【答案】D 【解析】试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D ． 考点：合情推理．2. 【山东潍坊一中2016届高三10月考5】下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则A ∠+B ∠=︒180B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{}n a 中，11=a ，)2()11(211≥-+=-n a a a n n n ，计算432,,a a a ，由此推测通项n a 【答案】A考点：归纳推理、演绎推理、类比推理的区别。
3. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考16】 定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >= 122max{,2}()nn n a a a n N *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为 ．【答案】7254考点：周期数列．【名师点晴】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（象本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题． 4. 【山东潍坊一中2016届高三10月考13】观察下列式子：232112<+，353121122<++，474131211222<+++，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为 ． 【答案】1n 12n )1(131211222++<+++++n 【解析】试题分析：由归纳推理易知，答案为1n 12n )1(131211222++<+++++n 。
湖北省各地2016届高三最新数学理试题分类汇编：复数、推理与证明
湖北省各地2016届高三最新数学理试题分类汇编复数、推理与证明一、复数1、（黄冈市2016高三3月质量检测）若复数z 满足201520161zi i i=++ （i 为虚数单位），则复数z ＝A ．1B ．2C ．iD ．2i2、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C.5z z ⋅=D.z iz =3、（荆门市2016届高三元月调考）复数231iz i+=+（i 为虚数单位）在复平面上的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4、（湖北省七市（州）2016届高三3月联合调研） i 505的虚部为 (A) -i (B) i (C)-l (D) l 5、（潜江、天门、仙桃市2016届高三上学期期末联考）已知复数1i2iz -=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在坐标平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、（武汉市2016届高中毕业班二月调研）设i 是虚数单位，若复数ia --417，R a ∈是纯虚数，则实数a 的值为A.-4B.-1C.4D.17、（武汉市武昌区2016届高三元月调研）已知(z －1＋3i)(2－i) ＝4 ＋3i （其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数），则z 的虚部为(A) 1 (B) －1 (C) i (D) －i8、（孝感市六校教学联盟2016届高三上学期期末联考）在复平面中，满足等式|34|||i i z -=+的复数z 所对应点的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆9、（湖北省优质高中2016届高三下学期联考）已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z-的共．轭．复数是（ ） A ． 13i -+ B ． 13i + C ．13i - D ．13i --10、（湖北省八校2016届高三第一次（12月）联考）欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11、（湖北省部分重点中学2016届高三第一次联考）复数23i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A. 2- B. 2 C. 3i - D. 3-12、（孝感市2016届高三上学期第一次统考）已知i 是虚数单位，则复数221i i ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭的值为A 、iB 、－iC 、1D 、－1参考答案：1、B2、C3、A4、D5、D6、C7、A8、C9、B 10、B 11、D 12、B二、推理与证明1、（黄冈市2016高三3月质量检测）将向量1a u r =(x 1，y 1)，2a u u r =(x 2，y 2)，…n a u u r=(x n ,y n )组成的系列称为向量列{n a u u r}，并定义向量列{n a u u r }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+u u r u r u u r u u r．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项 的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。
【备战2016】(上海版)高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义(含解析)文
专题13 推理与证明、新定义一．基础题组1. (2009上海,文14)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)为报刊零售点.请确定一个格点__________为发行站,使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】(3,3)2. 【2008上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ）Ａ．»AB B ．»BCC ．»CD D ．»DA【答案】DAB C DO y Ω3. 【2006上海,文12】如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.【答案】44. 【2005上海,文16】用n 个不同的实数n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++Λ等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【答案】－1080。
【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义(含解析)文
专题14 推理与证明、新定义1. 【2009高考北京文第8题】设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域2. 【2006高考北京文第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示.图中x 1,x 2,x 3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 A.x 1>x 2>x 3B.x 1>x 3>x 2C.x 2>x 3>x 1D.x 3>x 2>x 13. 【2011高考北京文第14题】设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。
记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则(0)N = ； ()N t 的所有可能取值为 。
4. 【2014高考北京文第14题】顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.5. 【2009高考北京文第14题】设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.6. 【2011高考北京文第20题】（本小题共13分）若数列12,:,(2)n n A a a a n ⋯≥满足1k k a a +|-|=1 (1,2,,1)k n =⋯-，则称n A 为E 数列。
【备战2016】(湖北版)高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义(含解析)
【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义（含解析）一．选择题1. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.13782.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的（ ） A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】试题分析：本题考查充分条件和必要条件的基本概念，以及逻辑思维能力、推理能力.定义新运算，是高考命题经常使用的一种手段。
因为c b a ≤≤，则可知max{,,}a b c c b c a a =，min{,,}a b c a b b c a b c =或，所以当倾斜度为1时，即满足11=⨯=⨯c b a c b a a c 或，即b c =或a b =.因此当三角形为等边三角形时，则1===a c c b b a ，满足倾斜度为1，反之，若满足倾斜度为1，则三角形也可为等腰三角形.故选择B.3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x = ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④4.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.355113 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=， 所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中π的近似计算，容易题. 5. 【2015高考湖北，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30二．填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于②的式子： .○2式可以用语言叙述为： . 【答案】②的式子：32443R R ππ'（）＝； ○2式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于它的表面积函数. 【解析】试题分析：V 球＝343R π，又32443R R ππ'（）＝ 故○2式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”.2.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -=________.（用k 表示）3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的 71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.10 6 3 1 ···【答案】(1)3,1,6 (2)79。
【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义(含解析)理
专题14 推理与证明、新定义1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （ ） （A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A考点：创新题型.3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【答案】B考点：合情推理，中等题.4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算. 【答案】1(3)22n n n + 考点：信息题。
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【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义（含解析）理一．选择题1.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷3】设P 和Q 是两个集合、定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且、如果{}2|log 1P x x =<、{}|21Q x x =-<、那么P Q -等于（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|23x x <≤2.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数、n *∈N ）、则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列、则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：他们研究过图1中的1、3、6、10、…、由于这些数能够表示成三角形、将其称为三角形数；类似的、称图2中的1、4、9、16、…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.13784.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数1x 、2x 、……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x 、最小数为min {}12,,......n x x x 。
已知ABC 的三边长位a,b,c （a b c ≤≤）、定义它的倾斜度为max ,,.min ,,,a b c a b c l b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则“l =1”是“∆ABC 为等边三角形”的（ ）A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A5.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】若实数a 、b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且、则称a与b 互补、记(),a b a b ϕ=-、那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 、如果对于任意给定的等比数列{}n a 、 {()}n f a 仍是等比数列、则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x = ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 ( )A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④【答案】C 【解析】试题分析：等比数列性质、212++=n n n a a a 、①()()()()122212222++++===n n n n n n a f a a a a f a f ； ②()()()12221222222+++=≠==+++n a a a a a n n a f a f a f n n n n n；③()()()122122++++===n n n n n n a f a a a a f a f ；④()()()()122122ln ln ln ++++=≠=n n n n n n a f a a a a f a f .选C.7.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数、以十六乘之、九而一、所得开立方除之、即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V 、求其直径d 的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断、下列近似公式中最精确的一个是（ ）A ．d ≈．d ≈．d ≈．d ≈【答案】D 【解析】 试题分析：346b 69()d ,===3.37532b 16616157611==3==3.14,==3.142857230021d a V A a B D πππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。
8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】若函数)(x f 、)(x g 满足⎰-=110)()(dx x g x f 、则称)(x f 、)(x g 在区间]1,1[-上的一组正交函数、给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==.其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.3 【答案】C9.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土、这是我国现存最早的有系统的数学典籍、其中记载有求“囷盖”的术：置如其周、令相承也.又以高乘之、三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h 、计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A.227 B.258C.15750D.35511310. 【2015高考湖北、理9】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z 、{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 、定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈、则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30二．填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成1(1)rnn C +、就得到一个如下图所示的分数三角形、成为莱布尼茨三角形、从莱布尼茨三角形可看出1111(1)(1)r x rn n n n C n C nC -=++＋、其中x =r ＋1 。
令2211111113123060(1)n n na nC n C -=++++++＋、则lim n n a →∞=1111 22111 363 1111 41212411111 52030205 111111 63060603061111111 742105140105427…－（12＋13＋…＋1n ）〕＝1－1n ＋1n 1＋－12＝12＋1n 1＋－1n所以lim n n a →∞=122.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】观察下列等式：2122213222111,22111,326111,424ni ni n i i n n i n n n i n n n ====+=++=++∑∑∑ 444311111,52330ni i n n n n ==++-∑ 24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测、当x ≥2（k ∈N*）时、1111,,12k k k a a a k +-===+ a k -2= .3..【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色、4n ≤时、在所有不同的着色方案中、黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断、当n=6时、黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种.、至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种。
（结果用数值表示）【答案】21 43 【解析】试题分析：由图：设黑色正方形互不相邻的着色方案共有n a 种、则12342,3,5,8a a a a ====、于是这个数列满足21n n n a a a ++=+、所以5613,21a a ==。
至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有66243a -=种。
4.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22、121、3443、94249等．显然2位回文数有9个：11、22、33、…、99．3位回文数有90个：101、111、121、…、191、202、…、999．则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个． 【答案】90 n109⨯5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10、…、第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥、以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式、由此计算()10,24N = 。
【答案】1000【解析】试题分析：观察2n 和n 前面的系数、可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列、 故()2,241110N n n n =-、()10,241000N ∴= .6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】设()x f 是定义在()+∞,0上的函数、且()0>x f 、对任意0,0>>b a 、若经过点))(,(a f a 、))(,(b f b -的直线与x 轴的交点为()0,c 、则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数、记为),(b a M f 、例如、当())0(1>=x x f 时、可得2),(ba cb a M f +==、即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时、),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当())0_____(>=x x f 时、),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 【答案】（1）)0()(>=x x x f ；（2）)0()(>=x x x f .。