D12习题课(2)

习题课 (二)
二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy 2 令 p ( x) d y dy dx f ( x, ) dx dx 2 dy 2 令 p ( y) d y dy dx f ( y, ) dx dx 2
y
1 sin 2 x (1 பைடு நூலகம் ) cos 2 x , 2 2
x 2
例2.
且满足方程
求 f (x) .
f ( x) sin x
x ( x t ) f (t ) d t 0 x x f (t ) d t t 0 0
提示: f ( x) sin x x
故通解为
y y x y x 0 0 , y
x 0
0
y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
这说明第二宇宙速度为 11.2 km s
例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 为 k),
s
求质点的运动规
提示: 由题设 F ds k t , 两边对 s 求导得:
s0
牛顿第二定律
ds d 2 s k 2 dt dt m ds 2 2 k t C1 … dt m

f (t ) d t , 则
f ( x) cos x 0 f (t )d t x f (x) x f (x) f ( x) sin x f ( x)
问题化为解初值问题: 最后求得
x
f ( x) f ( x) sin x
f (0) 0 ,
f (0) 1
其特征方程:
∴齐次方程通解为 特征根:
设非齐次方程特解为 故非齐次方程通解为
代入原方程得
1 x e 3
代入初始条件可得 故所求级数的和
o
y
y
质量 m 体积 B
d y 重力 浮力 阻力 m 2 mg B k v dt dv d y dv v 注意: dy d t dy
2
得
dv m v m g B k v dy
y 0
o
y
y
质量 m 体积 B
初始条件为 v
0
用分离变量法解上述初值问题得
m m ( m g B ) m g B k v y v ln 2 k m g B k
为使 v 0 , v0 应满足
2G M v0 ④ R 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 GM m 2 m g ( g 9.81m s ) 2 h 2 故 G M R g , 代入④即得
v0 2 R g 2 63 105 9.81
11.2 103 (m s)
则方程变为 提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
练习题: P327 题 2

即
( 欧拉方程 )
解初值问题: 则原方程化为
通解: 利用初始条件得特解:
y y x, x 2 例1. 求微分方程 y 4 y 0 , x 2
满足条件
处连续且可微的解.
提示:
解满足
特征根 : r1,2 i , 设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得
d2 h GM 2 2 dt h dh h t 0 R, v0 dt
②
③
dh d2 h dv 设 v(h), 则 2 v , 代入原方程②, 得 dt dh dt dv GM GM v 2 vdv 2 dh dh h h 1 2 GM v C 两边积分得 2 h 1 2 GM 利用初始条件③, 得 C v0 2 R 1 2 1 2 1 1 因此 v v0 G M 2 2 h R 1 2 1 2 1 注意到 lim v v0 G M h 2 2 R
1 y C1e C2 e sin x 2 3 由初始条件 y (0) 0, y (0) , 得 2 C1 1, C2 1
x x
故所求初值问题的解为
y e e
x
x
1 sin x 2
二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 解: 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: d2 h GM m (G 为引力系数) m 2 2 dt h 又设卫星的初速度 为 v0 ,已知地球半径 R 63 105， 则有初值问题:
d x d2 x y 2 ( y ) 2 0 dy dy dx y 2 d x dy y 2 2 dy ( y ) ( y ) 3 代入原微分方程得 y y sin x ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 x x Y C1e C2 e
作业
P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) 8; *11(1)
备用题 1. 设二阶非齐次方程
而对应齐次方程有解
有特
微分方程的通解 .
解: 将 y x 2 代入 y ( x) y 0,
1 1 再将 y 代入 y y f ( x) x x 1 3 故所给二阶非齐次方程为 y y 3 x x 方程化为
d 2s dt m 2 k ds dt d ds 2 2 k dt dt m
开方如何定 + – ?
例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 , 此时链条受力
ye
p( x) dx

p( x) d x d x C f ( x) e
2. (1) 验证函数
满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 的和. (02考研)
解: (1)
所以
(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足
y y e x y y(0) 0 y (0) 1,
o x x
d2 x 20 2 2( x 10) g 1 g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
此时链条滑下来 所需时间为
练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知
(03考研)
上式两端对 x 求导, 得:
设①的特解为 y A cos x B sin x, 代入①得 A＝0, 1 B , 故 y 1 sin x, 从而得①的通解: 2 2
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
y a y 2 0 P327 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
当 x = 20 m 时, (s)
思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的
数学模型是什么 ?
不考虑摩擦力时的数学模型为 d2 x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为