15-4参考答案

5．如图所示，质量为 m 的小球系在劲度系数为 k 的轻弹簧一端，弹簧的另一端固定在 O 点。 初始时， 弹簧在水平位置， 原长为 l 0 处于自然状态。 小球由位置 A 释放， 下落到 O 点
正下方位置 B 时， 弹簧的长度变为 l， 则小球到 B 点时的速度大小为
v B = 2 gl −
k (l − l 0 ) 2 。 m
时间间隔内，该力对物体做的功？ 解：该题两种解法： 该题两种解法：其一： 其一：用变力做功
x = 3.0t − 4.0t 2 + 1.0t 3 2 得出： dx = (3 − 8t + 3t )dt dx dv v= = 3 − 8t + 3t 2 a= = −8 + 6t dt dt dA = F .dx = ma.dx = (54t 3 − 216t 2 + 246t − 72)dt
R
X
O
r r A = ∫ F ⋅ d r = ∫ Fx d x + ∫ F y d y
= ∫0R F0 x d x + ∫0R F0 y d y = F0 R 2
3．如图，一质量为 m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为 h 处，该物体 从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为 k，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能 获得的最大动能是 m 2 2 [ C ] (A) mgh (B) mgh −
Y
2. 一质 点在 如图 所示 的坐 标平 面内 作圆 周运 动， 有一 力
v v v F = F0 ( x i + y j ) 作用在质点上。在该质点从坐标原点运动 v 到 ( R, R ) 位置过程中，力 F 对它所作的功为 [A ] ( A ) F0 R 2 ( B ) 2 F0 R 2 ( C ) 3F0 R 2 r 解：由功的定义， F 力的功为 ( D ) 4 F0 R 2
1 mv 2 − 0 2
即质点到达无穷远处的速率为
v=
2A 2k = m m r0
F (N)
40
4．一质量为 m = 5 kg 的物体，在 0 到 10 秒内，受到如图所示的变
力 F 的作用，由静止开始沿 x 轴正向运动，而力的方向始终为 x 轴 的正方向，则 10 秒内变力 F 所做的功为 解：方法一： 方法一：由 F-t 图可知，物体各时段受力为 。
A = ∫ dA = ∫ (54t 3 − 216t 2 + 246t − 72)dt = 528(J )
0
4
其二： 其二：用动能定理
2．某弹簧不遵守胡克定律，若施力 F，则相应伸长为 x，力与伸长量的关系为
mg = kx ⇒ x =
mg ， 以此位置作为重力势能 0 点， 根据机械能守恒： 根据机械能守恒： k 1 1 mg 2 mg (h + x) = mvmax + kx 2 ，将 x = 代入得到 2 2 k 2 1 mg 1 mg m2 g 2 2 mvmax = mg h + − k = mgh + 2 k 2 k 2k
20
O 5
10
t (s)
8t (0 s ≤ x ≤ 5 s) F = 20 (5 s ≤ t ≤ 10 s)
0 ~ 5 秒内应用动量定理： 5 秒末速度
∫ 8 t dt = mv
0
5
5
−0 得
v5 =
4 × 52 = 20 (m⋅ s −1 ) 5
5 ~ 10 秒内再应用动量定理： 10 秒末速度
m2 g 2 (C) mgh + 2k
m g 2k m2 g 2 (D) mgh + k
h
解：以 m、弹簧、 弹簧、地球所组成的系统作为研究对象， 地球所组成的系统作为研究对象，系统机械能守恒。 系统机械能守恒。 物体动能最大时， 位于物体所受合 即弹力等于重力的地方： 物体动能最大时， 位于物体所受合外力为零的地方， 外力为零的地方， 即弹力等于重力的地方：
−1
m
B
A=
1 1 mv 2 − mgR = × 2 × 6 2 − 2 × 9.8 × 4 = − 42.4 (J ) 2 2
四、计算题： 计算题：
1 ． 一 个 力 作 用 在 一 个 3.0 kg 的 类 质 点 物 体 上 ， 物 体 的 位 置 作 为 时 间 的 函 数 为
x = 3.0t - 4.0t 2 + 1.0t 3 ，式中 x 以 m 为单位， t 以 s 为单位。求：在 t =0 s 至 t=4.0 s 的
t 2 ~ t 3 间，v 减小 ∆E k < 0, W2 < 0
t3 ~ t4 间， v 增大 ∆E k > 0, W3 > 0
5.如图所示， 圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动， 判断下列说法中正确的是[ A ] (A)重力和绳子的张力对小球都不作功。 (B)重力和绳子的张力对小球都作功。 (C)重力对小球作功，绳子张力对小球不作功 (D)重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。 答：(A)对。 无论是重力还是绳子张力与小球位移都时候重直，所 以都不作功。 三、填空题： 填空题：
I = ∫ Fdt =S
0
10
F −t
1 = × 5 × 40 + 5 × 20 = 200 N.S 2
−1 1
根据动量定理：
I = ∆P = P − P = mv ⇒ v = 40(m.s
2
)
根据质点的动能定理，10 秒内变力作的功为
A=
1 2 1 mv10 − 0 = × 5 × 40 2 = 4000 (J) 2 2
∫
10
0
20dt = mv10 − mv5 得
20(10 − 5) + v5 = 20 + 20 = 40 (m ⋅ s −1 ) 5 1 2 1 根据质点的动能定理，10 秒内变力作的功为 A = mv10 − 0 = × 5 × 40 2 = 4000 (J) 2 2 v10 =
方法二：根据定积分的几何意义， F-t 曲线下的面积就等于物体从 0-10S 内受到的冲量。 方法二
r 解 ： 不受外力作用的系统， 不受外力作用的系统 ， ∑ F外 = 0 ， 动量是守恒的。 动量是守恒的 。 而机械能守恒的条件是： 而机械能守恒的条件是 ： ∑ A外 + ∑ A非保内 = 0 ，不受外力作用的系统只能保证外力做功的代数和为 0，不能
保证非保守内力做功的代数和为 0，所以机械能不一定守恒。 所以机械能不一定守恒。 [ T ] 2．质点系的内力可以改变系统的总动能，不能改变系统的总动量。 解：质点系的内力的矢量和为 质点系的内力的矢量和为 0，所以不会改变系统的总动量， 所以不会改变系统的总动量，而质点系内力做功的代数 和不一定为 0，因而可以改变系统的总动能。 因而可以改变系统的总动能。 F ] 3．质点运动过程中，作用于质点的某力一直没有做功，表明该力对质点的运 动没有产生任何影响。 解：比如单摆运动中绳子的拉力， 比如单摆运动中绳子的拉力，时刻与位移垂直， 时刻与位移垂直，不做功， 不做功，但是它对摆球的运动当然 有影响。 有影响。 [ F ] 4．保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 解：保守力做功数值上等于相关势能增量的负值 保守力做功数值上等于相关势能增量的负值。 于相关势能增量的负值。所以当保守力作正功时， 所以当保守力作正功时，系统内相应 的势能会减少。 的势能会减少 [ F ] 5．图示为连接 a 点和 b 点的三条路径。作用力 F 对 一质点做功，经由图示方向和路径，功的示数表示在图中。由 此可以判断 F 是保守力。 解：保守力做功的特点： 保守力做功的特点：做功与路径无关。 做功与路径无关。 二、选择题： 选择题： 1. 一个质点同时在几个力作用下的位移为 ∆ r = 4i − 5 j + 6 k 力F [
1．质量为 10 kg 的质点，在合外力作用下做曲线运动，该质点的速度为 v = 4t i + 16k
2
v
v
v
(SI) ，则在 t = 1 s 到 t = 2 s 时间内，合外力对该质点所做的功为
1200
J。
v v v 2 解： 由 v = 4t i + 16k ：
1 1 v t = 1s v = 4i + 16k ⇒ E = mv = m(v + v ) = 1360 J
r r
3．一个质量为 m 的质点，仅受到力 F = k r / r 3 的作用，式中 k 为常数， r 为从某一定点
r
到质点的矢径。该质点在 r = r0 处被释放，由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率 为 。
r
解：由功的定义，在该过程中变力 F 作的功为 根据质点的动能定理有： A =
∞ r r ∞k k A = ∫ F ⋅ dr = ∫ 2 ⋅ dr = r0 r0 r r0
从 A 滑到 B，在 B 处速度的大小为 v = 6 m⋅ s ， 已知圆的 半径 R = 4m，则物体从 A 到 B 的过程中摩擦力对它所作的功 A= − 42 .4 ( J ) 。 -44J 也对。 也对。 解：以 B 点为重力势能零点， 点为重力势能零点，由功能原理， 由功能原理，摩擦力作的功为
v
v
v
v
v
v (SI ) , 其中一个力为恒
v
v v v = 6i − 5 j + 7 k
] ( A ) 67 J
(SI) ，则此力在该位移过程中所作的功为
( B ) 91J
[ B
( C ) 17 J
( D ) − 67J
r
解：由功的定义， F 力的功为
r r r v r r r r A = F ⋅ ∆r = (6i − 5 j + 7 k ) ⋅ ( 4i − 5 j + 6k ) = 24 + 25 + 42 = 91(J)