勾股定理复习 课件(3)
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2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
2022秋八年级数学上册 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 3直角三角形的判定授课课件华东师大版
知1－讲
例5 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边
上的点，且AB＝4，CE＝
1 4
BC，F为CD的中
点，连结AF，AE，EF，问：△AEF是什么三
角形？请说明理由．
知1－讲
导引：直接判断EF2＋AF2与AE2的关系不太容易， 1
但由于“AB＝4，CE＝ 4 BC，F为CD的中 点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的 长，然后判断EF2＋AF2与AE2的关系，从而 得到三角形的形状．
知1－讲
解： (1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＝180°－25°－65°＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202 ＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)∵三角形的三边长满足b2－a2＝c2， 即b2＝a2＋c2， ∴此三角形是直角三角形，且b是斜边长．
知2－讲
解： ∵AB2 + BC2 = (n2 －1)2 + (2n)2 =n4 － 2n2 + 1 + 4n2 =n4 + 2n2 + 1 =(n2 + 1) 2
想一想，为什么 选择AB2 + BC2 ？ AB、BC、CA的 大小关系是怎样 的？
=AC 2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
导引：先将等式两边同时分解因式，然后通过对分 解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．
解：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
知1－讲
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.
数学七上3.1《探索勾股定理》课件(3)
本文介绍了旧北京街大街小巷各种吆 喝声。围绕吆喝声，介绍了吆喝声所代表 的经营品种、介绍了各种吆喝声的具体内 容、表现方式以及音韵节奏
课文讲解
1、作者围绕北京的吆喝声介绍了什么?他对 北京的吆喝声怀有怎样的感情?
在作者看来，北京小贩货郎的叫卖声简直就 是一种“戏剧性”的艺术。作者介绍了从白天的 叫卖声到夜晚的叫卖声，从卖吃食的、放留声机 的，到乞讨的，还有富有四季特色的叫卖声等等， 从中流露出作者对北京的吆喝声怀有一种特殊的 感情，那就是愉悦和怀想。
2、给下列加横线的字注音。 招徕（ lái ） 囿（yòu ） 钹（ bó ） 铁铉（xuàn） 饽饽（bō） 荸荠（bíqí） 佐料（ zuǒ） 秫秸秆（shú jiē）
3、找出错误的字并改正。 合辙压韵 油嘴滑舌 隔合 荸荠 佐料 随机应变 招徕 吹虚 口齿伶厉 铁铉
改正：压一押 合一阂 虚一嘘 厉一俐
萧乾(1910—1999)原名萧丙乾，蒙 古族，北京人。作家、记者、翻译家。 早年毕业于燕京大学。曾任《大公报》 编辑、记者，伦敦大学讲师，《大公报》 驻英特派员。1946年回国后，历任复旦 大学教授、《人民中国》(英文)副总编 辑，《文艺报》副总编辑、中央文史馆 馆长。萧乾因心肌梗塞及肾衰竭，于 1999年2月11日在北京医院逝世，享年 九十岁。
5、阅读文章第十自然段。思考：这一段结构 有何特点?找出本段的中心句。
本段的中心句“四季叫卖的货色自然都不 同”，本段的结构可以说是总分式。这一段写吆 喝声按从春到冬的顺序展开。春天一到，万物复 萌，小贩们走街串巷卖春鲜儿。夏天卖西瓜和雪 花糕，秋天卖“喝了蜜的大柿子”。到了冬天， 热乎乎的烤白薯和一串串糖葫芦，经小贩们一叫 卖，也颇为诱人。
过程与方法目标：
勾股定理ppt课件
B 图2-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
(1)若a=3, b=4,求c的长(2)若a=5, c =12,求b的长
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？
(2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？
x622232 42
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相
对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长
为
( C)
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直
≈4.96（米）
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
做一做：
A
625
P
勾股定理复习课件
h
1.如图，已知长方体的长、宽、高分 别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
解:连结BD，在直角三角形 ABD中，根据勾股定理 A’
BD AB AD 4 3 5
2 2 2 2 2 2
D’ B’
C’
BD 5
在直角三角形D’ BD 中，根 据勾股定理
BD'2 DD '2 BD 2 12 2 52 13 2 BD' 13(cm）。
4.若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平 方,则这个三角形一定不是直角三角形( ).
选择: 直角三角形的两条直角边长为a,b, 斜边上的高为h,则下列各式中总能成立 的是 ( D )
A. ab=h
2
B. a +b =2h
2
2
2
1 1 1 C. + = a b h
1 1 1 D. 2 + 2 = 2 a b h
4.互逆命题与互逆定理的概念
无理数在数轴上的表示
在数轴上表示 13 , 17 , 5，20
4.勾股定理及其逆定理的应用
①勾股定理可以解决直角三角形当中一些
与边有关的问题（直角边、斜边、斜边上
的高、面积等）
②勾股定理的逆定理可以判断一个三角形
是否是直角三角形(此时先找到最长边,再
看看两较短边的平方和是否等于长边的平
本章知识框图:
实际问题
(直角三角形边长计算)
互逆 定理
由形到数
勾股定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
勾股定理 的逆定理
题设
勾股定理 在Rt△ABC 中,∠C=900
勾股定理的逆定理 在△ABC 中, 三边 a,b,c满足a2+b2=c2
新人教版《勾股定理的逆定理》优质课件3
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
勾股定理课件ppt
THANKS
感谢观看
衡性非常重要。
03
地貌形成
地貌的形成过程中涉及到物体的高度和距离的关系，而这种关系可以用
勾股定理来描述，因此勾股定理可以帮助我们理解地貌的形成过程。
06
总结与回顾
勾股定理的重要性和应用价值
勾股定理是几何学中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关 系，对于解决几何问题具有关键作用。
建筑中的支撑结构需要精确计算和设计，勾股定理可以帮助建筑师确 定支撑结构的尺寸和形状，以确保建筑物的承重能力。
勾股定理在航天工程中的应用
确定飞行轨道
在航天工程中，勾股定理被用来确定飞行器的轨道和速度 ，以确保飞行器能够准确到达目标。
导航
飞行器在飞行过程中需要精确的导航，勾股定理可以帮助 飞行员计算出飞行器的位置和方向，以确保飞行器的安全 和准确性。
04
勾股定理的变式和推广
勾股定理的变式
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三条边满足勾 股定理的条件，那么这个三角形
是直角三角形。
勾股定理的推广
如果一个三角形的两条边长分别 为a和b，且它们的夹角为α，那 么这个三角形的第三条边长c满
足$c^2 = a^2 + b^2 2ab\cos(α)$。
勾股定理的变形
在现实生活中，勾股定理的应用非常广泛，例如在建筑、测量、航空等领域都有实 际应用。
通过对勾股定理的学习和应用，可以更好地理解几何学的基本概念和原理，提高解 决实际问题的能力。
学习勾股定理的收获和感悟
学习勾股定理需要掌握其基本 概念和定理，了解其历史背景 和证明方法。
通过学习和实践，可以培养自 己的逻辑思维能力和空间想象 力，同时提高对数学的兴趣和 热情。
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1.如图,一油桶高4米,底面 直径2米,一只壁虎由A到 B吃一害虫,需要爬行的最 短路程是多少?
B
A
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2.一长方体长宽高分别为 30cm,10cm,30cm,求A到 B的最短路程?
B
A
综合训练:
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1.一个直角三角形周长为60, 一直角边与斜边之比为4:5, 则此三角形三边分别为 __________ 2.如图,求半圆面积 (结果保留 ).
博达助教通
E D B
博达助教通
5.折叠矩形的一边AD,使点 D落在点F处,已知 AB=8cm,BC=10cm,求EC.
A D
E C
B
F
博达助教通勾股定理复习Fra bibliotek博达助教通
学习目标:
1.掌握勾股定理,会用拼图法验证 勾股定理.
2.能应用勾股定理解决实际问题.
3.掌握判断一个三角形是 直角三角形的条件.
问题导学: 1.勾股定理的内容是什么?
导学检测:
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1〉直角三角形三边长为6,8,x,则 x=_______. 10或2 7
2.已知直角三角形两直角边分别为
博达助教通
(1)△ABC中, A=15 , B=75 ; (2)△ABC中,a=12,b=16,c=20; (3)三边满足a -b =c ;
2 2 2
o
o
(4)三边满足(a+b)2-c2=2ab;
(5) A: B: C=1:5:6
博达助教通
3.如图,求阴影部分面积.
12
博达助教通
问题导学四: 立体图形中线路最短问题, 通常把立体图形的表面 展开 得到____ 平面 图形后, ____, 运用勾股定理或逆定理解 决.
8 2113 5,12,则三边上的高的和为____.
博达助教通
问题导学: 2.你会用下面的图形验证勾股定 理吗? a c a b b c
1.利用勾股定理验证三个 半圆面积之间的关系 SA+SB=SC
A C B
博达助教通
博达助教通
2.如图两阴 影部分都是 正方形,若它 们面积之比 为1:3,则它 们的面积分 9和27 别为___
6
6
博达助教通
3.如图,两个正方形面积 分别为64,49,则 AB=______
A
B
博达助教通
一架云梯长25米,斜靠在 一面墙上,梯子底端离墙7 米,如果梯子顶端下滑4米, 则梯子底部在水平方向上 滑动几米?
4.一直角三角 形纸片直角边 AC=6,BC=8, A 现将直角边 AC沿AD折叠, 使C与E重合, C 则CD=____.
问题导学: 3.如果一个三角形三边为a,b,c, 满足_________,则这个三角 形是 直角三角形. 4.四根长度分别为3,4,5,6的 木棒,取其中三根组成三角形, 4 种取法,能构成直角三 有__ 3,4,5 角形的是________
博达助教通
2.判断满足下列条件的三角形是不 是直角三角形?