2013年中考数学复习专题
2013年中考数学总复习资料
2013年中考数学总复习资料各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢2013年中考数学总复习资料22、（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD 平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD 的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．考点：四边形综合题．分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD 就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．解答：解：（1）∵AD‖BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°．∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠BCD=60°+75°=135°．如图5，当AD=CD时，∴AB=AD=BC=CD．∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，∵AC=CD．CE⊥AD，∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∵AB=AD=BC，∴BF=BC，∴∠BCF=30°．∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC．∵AB‖CE，∴∠BAC=∠ACE，∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，∴∠BCD=15°×3=45°．点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．23、(2013年南京压轴题)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
2013年浙江中考数学第一轮复习课件 专题突破强化训练专题五三角形
A． 1∶ 2 B． 2∶ 3 C． 1∶ 3 D． 1∶4
DE 解析：∵ AD、BE 是△ABC 的两条中线，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE∥AB ， ＝ AB 1 .∴△EDC∽△ABC，∴S△EDC∶S△ABC＝1∶4. 2
答案：D
2 3．如图，在▱ABCD 中，E 为 AD 的三等分点，AE＝ AD，连结 BE，交 AC 于点 F，AC 3 ＝12，则 AF 为( )
25 π， S2＝2π， 8
1 1 1 1 AB2 2 2 2 解析：如图，在 Rt △ABC 中，AB ＝AC ＋BC ，∴ π·AB ＝ π·AC ＋ π·BC ，∴ π· ＝ 8 8 8 2 4 1 AC2 1 BC2 25 9 π· ＋ π· ，即 S1＝S 2＋S3.∴S 3＝ S1－ S2＝ π－2π＝ π. 2 4 2 4 8 8
(2) △ABE≌△ CAD → ∠ ABE＝∠CAD → ∠BFD＝∠BAC＝60°
【解析】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝ 60° ，AB＝AC.在△ABE 和△CAD 中， ∵AB＝AC，∠BAE＝∠C，AE＝CD . ∴△ABE≌△CAD. (2)∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE＝∠CAD. ∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD， ∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60° .
12．如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作 BF ⊥a 于点 F，DE⊥a 于点 E，若 DE＝8，BF＝ 5，则 EF 的长为________．
解析：可证△ABF≌△DAE，可得 AF＝DE＝8，AE＝BF＝5.∴EF＝8＋5＝13.
答案：13
13 ． 如图 ，已 知 AC ＝ BD ，要 使△ ABC ≌ △ DCB ， 则只 需添 加 一个 适当 的 条件是 ________．(填一个即可 )
2013-2014中考数学专题复习学生版第二讲 实数的运算
第二讲实数的运算【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。
A．6个B．5个C．4个D．3个点评：本题主要考查了无理数的估算和数轴，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．对应训练1．（2013•内江）下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A．-5 B．C．1 D．4考点二：估算无理数的大小A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间点评：此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．对应训练考点三：有关绝对值的运算例3 （2013•咸宁）在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a-b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为-671．点评：本题考查了数轴、绝对值以及两点间的距离．根据已知条件得到a＜0＜b是解题的关键．对应训练．考点四：实数的混合运算。
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．对应训练考点五：实数中的规律探索。
例5 （2013•永州）我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．i点评：本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．对应训练【聚焦山东中考】A．- B．- C．-2 D．-1A．5B．-5C．6D．-63．（2013•日照）计算-22+3的结果是（）A．7 B．5 C．-1 D．-5 4．（2013•聊城）（-2）3的相反数是（）A．-6 B．8 C．- 16D．165．（2013•菏泽）如果a的倒数是-1，那么a2013等于（）A．1 B．-1 C．2013 D．-2013 【备考真题过关】一、选择题1．（2013•广州）比0大的数是（）A．-1 B．-12C．0 D．12．（2013•重庆）在-2，0，1，-4这四个数中，最大的数是（）A．-4 B．-2 C．0 D．1 3．（2013•天津）计算（-3）+（-9）的结果等于（）A．12 B．-12 C．6 D．-6 4．（2013•河北）气温由-1℃上升2℃后是（）A．-1℃B．1℃C．2℃D．3℃5．（2013•自贡）与-3的差为0的数是（）A．3 B．-3 C．13D．-136．（2013•温州）计算：（-2）×3的结果是（）A．-6 B．-1 C．1 D．6 7．（2013•厦门）下列计算正确的是（）A．-1+2=1 B．-1-1=0 C．（-1）2=-1 D．-12=1 8．（2013•南京）计算：12-7×（-4）+8÷（-2）的结果是（）A．-1 B．1 C．D．710．（2013•南京）设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题．．．20．（2013•天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5；(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=11按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是13．三、解答题。
2013年中考数学真题试题(解析版)
2013年中考数学试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．=9 =﹣2（2．（3分）（2013•济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称3．（3分）（2013•济南）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物．28.34．（3分）（2013•济南）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）5．（3分）（2013•济南）图中三视图所对应的直观图是（）6．（3分）（2013•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（），9．（3分）（2013•济南）一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过n次抛掷所出现的点数之和大于n=．10．（3分）（2013•济南）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）=，=×（OB×OA=，=11．（3分）（2013•济南）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）12．（3分）（2013•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）（2013•济南）cos30°的值是．cos30°==．故答案为：14．（4分）（2013•济南）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短．15．（4分）（2013•济南）甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：经计算，=10，=10，试根据这组数据估计甲中水稻品种的产量比较稳定．=）﹣）的平均数为[﹣﹣16．（4分）（2013•济南）函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为﹣2 ．先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到然后变形+得=xy=+==17．（4分）（2013•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．∴CE=CF=﹣a==2+=2+三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（6分）（2013•济南）先化简，再求值：÷，其中a=﹣1．﹣••﹣19．（8分）（2013•济南）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5正正11192（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？1913220．（8分）（2013•济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．AD=121．（10分）（2013•济南）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？y=y=（2≤x≤3）22．（10分）（2013•济南）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表1和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值表2．列≤a23．（10分）（2013•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．∴BD=100BD=100=100米．24．（12分）（2013•济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．=3．=，，y=，t+1t+1+2 =PM•CM+PN•OM﹣（），﹣的最大值为。
2013年中考数学第一轮复习资料(中)
第一部分 数与代数数与式 实数83代数式84整式与分式85 第1课时整式85第2课时因式分解86 第3课时分式87第4讲二次根式89 第二章方程与不等式 第1讲方程与方程组90第1课时一元一次方程与二元一次方程组 第2课时分式方程91 第3课时一元二次方程93 第2讲不等式与不等式组 94 第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系 97 第2讲一次函数99 第3讲反比例函数101 第4讲二次函数103第二部分第四章三角形与四边形 第1讲相交线和平行线106 第2讲三角形108 第1课时三角形108第2课时 等腰三角形与直角三角形 110第3讲四边形与多边形112 第1课时多边形与平行四边形 112第2课时特殊的平行四边形 114 第3课时梯形116 第五章圆第1讲圆的基本性质118 第2讲与圆有关的位置关系120 第3讲与圆有关的计算122 第六章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转 124第2讲视图与投影126 第3讲尺规作图127 第4讲图形的相似130第一章 第1讲 第2讲 第3讲90空间与图形第5讲解直角三角形132第三部分统计与概率第七章统计与概率第1讲统计135第2讲概率137第四部分中考专题突破专题一归纳与猜想140专题二方案与设计141专题三阅读理解型问题143专题四开放探究题145专题五数形结合思想147中考数学基础题强化提高测试中考数学基础题强化提高测试中考数学基础题强化提高测试中考数学基础题强化提高测试中考数学基础题强化提高测试中考数学基础题强化提高测试2013年中考数学模拟试题（ 2013年中考数学模拟试题（基础题强化提高测试114921513153415551576159)161)165第五章圆第1讲圆的基本性质A级基础题1 .下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（）A . 4个B . 3个C. 2个D . 1个2. （2012年江苏苏州）如图X5 —1 —1，已知BD是O O的直径，点A, C在O O上, AB= BC，/ A OB = 60 ° 则/ BDC 的度数是（）A . 20 °B . 25 ° C. 30 ° D . 40 ° W w .图X5 — 1 - 1图X5 — 1—2图X5 —1—33. （2011年四川成都）如图X5 —1 —2,若AB是O 0的直径，CD是O 0的弦，/ ABD =58 ° 则/ BCD =（）A. 116°B. 32°C. 58°D. 64°4. （2012年四川广元）如图X5 —1—3, A, B 是O 0上两点.若四边形ACB0是菱形，O 0的半径为r，则点A与点B之间的距离为（）A. ,2rB. . 3rC. rD. 2r5. （2011年四川乐山）如图X5 —1 —4, CD是O 0的弦，直径AB过CD的中点M.若/B0C = 40 ° 则/ ABD =（）A. 40°B. 60°C. 70°D. 80°图X5 — 1 — 48. (2012年贵州六盘水)当宽为3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交 点处的读数如图 X5 — 1 — 7(单位：cm),那么该圆的半径为 _________ cm. 9.(2011年福建漳州)如图X5 —1 — 8, AB 是O 0的直径，卩 ：1 ' ,Z COD = 60 °(1) △ AOC 是等边三角形吗？请说明理由；(2) 求证：OC // BD.10. (2011年湖南长沙)如图X5 — 1 — 9,在O O 中，直径AB 与弦CD 相交于点 P , Z CAB=40°, Z APD = 65°(1) 求Z B 的大小；(2) 已知圆心O 到BD 的距离为3,求AD 的长.6. （2012年山东泰安）如图X5 — 1 — 5, 结论不成立的是（）A . CM = DM B.C . Z ACD = Z ADC D . OM = MD7. （2011年甘肃兰州）如图X5 — 1 — 6, Z BAC = 90° OA = 1, BC = 6，则O O 的半径为（A . 6B . 13 C. 13尺泰安 AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB ,垂足为M ，下列 O O 过点B , C ,圆心0在等腰Rt △ ABC 的内部, )图 X5 — 1— 811. （2012年宁夏）如图X5 — 1 — 10,在O O 中，直径 AB 丄CD 于点E ,连接CO 并延长12. （2012年湖南长沙）如图X5 — 1 — 11, A , P , B , C 是半径为8的O O 上的四点，且 满足/ BAC = Z APC = 60°B 级中等题13. （2012年安徽）如图X5 — 1 — 12,点A , B , C , D 在O O 上，点O 在/ D 的内部，四 边形OABC 为平行四边形，则/ OAD +Z OCD = ___________ ° .交AD 于点F ，且CF 丄AD.求/ D 的度数.图 X5 — 1 — 10a图 X5 — 1 — 9AB（1）求证：△ ABC 是等边三角形;图 X5 — 1 — 11D14.（2011年福建福州）如图X5 — 1 — 13,在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB切小圆于点C 若/ AOB = 120°，则大圆半径 R 与小圆半径r 之间满足（）A . R = . 3rB . R = 3rC . R = 2rD . R = 2 2r15. （2011年云南曲靖）如图X5 — 1 — 14，点A , B , C , D 都在O O 上，OC 丄AB ,/ ADC =30°.（1）求/ BOC 的度数; ⑵求证：四边形 AOBC 是菱形.C 级拔尖题16. （2011年江苏南京）如图X5 — 1 —15，在平面直角坐标系中，O P 的圆心是（2, a ）（a >图 X5 — 1— 15A . 2 3B . 2 + 2C . 23D . 2+ .317. （2011年上海）如图X5 — 1 — 16,点C , D 分别在扇形 AOB 的半径OA , OB 的延长线上，且OA = 3, AC = 2, CD 平行于AB ,并与弧 AB 相交于点 M ,N.图 X5 — 1 — 14(1)求线段0D的长;1⑵若tan/ C= 2，求弦18. (2012年上海)如图X5 —1 —17,在半径为2的扇形AOB中，/ AOB= 90°点C是弧AB 上的一个动点(不与点A，B重合)，OD丄BC, OE丄AC,垂足分别为D, E.(1) 当BC = 1时，求线段OD的长；(2) 在厶DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；⑶设BD =X，第2讲与圆有关的位置关系A级基础题1•若O O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与O O的位置关系是( )A .点A在圆内B .点A在圆上C .点A在圆外D .不能确定2. （2012年江苏无锡）已知O O的半径为2,直线I上有一点P满足PO = 2,则直线I与O O的位置关系是（）A .相切B.相离C .相离或相切D .相切或相交3. （2012年湖南衡阳）已知O O的直径为12 cm，圆心O到直线I的距离为5 cm,则直线I与O O的交点个数为（）A . 0 B. 1 C. 2 D .无法确定4. （2010年浙江温州）如图X5 —2- 1,在厶ABC中，AB = BC = 2，以AB为直径的O O与BC相切于点B,则AC =（）图X5 —2—1A. .2B. .3C. 2 2D. 2 .35. （2010年甘肃兰州）如图X5 —2—2，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）图X5 —2—2A . 2B . 3C. ,3D . 2 36 . （2012年黑龙江）如图X5 —2 —3，已知AB是O O的一条直径，延长AB至点C,使AC= 3BC, CD与O O相切，切点为D，若CD= 3 怎，则线段BC= .D -------------7 . （2012年四川广元）平面上有O O及一点P,点P到O O上一点的距离最长为6 cm,最短为2 cm,则O O的半径为_______________ cm.8 . （2012年江苏扬州）如图X5 —2 —4, PA, PB是O O的切线，切点分别为A, B两点, 点C在O O上，如果/ ACB = 70°那么/ P的度数是_______________ .9. （2012年湖南株洲）如图X5 —2 —5，已知AD为O O的直径，B为AD延长线上一点，BC 与O O 切于点C ,Z A = 30 ° 求证：(1)BD = CD ;(2) △ AOC ^A CDB.10. (2010年广东中山)如图X5 — 2— 6, PA 与O O 相切于点 A ，弦AB 丄OP , OP 与O O 相交于点 D ，已知 OA = 2, OP = 4.(1) 求/ POA 的度数; (2) 计算弦AB 的长.B 级中等题E _____________ H---------- U图 X5 — 2— 711. (2012 年山东济南)如图 X5 — 2— 7,在 Rt △ ABC 中，/ B = 90 ° AB = 6, 其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于图 X5 — 2 -5图 X5 — 2— 6则矩形EFGH的周长是________ .垂足为C，BC = 8，以AB 或BC，12. (2012年四川自贡)如图X5 —2- 8, AB是O O的直径，AP是O O的切线，A是切点, BP与O O交于点C.⑴若AB = 2,/ P= 30 °求AP的长；(2) 若点D为AP的中点，求证：直线CD是O O的切线.£C级拔尖题13. 如图X5 —2—9(1)，一个圆形电动砂轮的半径是20 cm，转轴OA长是40 cm.砂轮未工作时停靠在竖直的档板OM上，边缘与挡板相切于点 B.现在要用砂轮切割水平放置的薄铁片(铁片厚度忽略不计，ON是切痕所在的直线).(1) 在图X5 —2—9(2)的坐标系中，求点A与点A1的坐标；(2) 求砂轮工作前后，转轴OA旋转的角度和圆心A转过的弧长.注：图X5 — 2 —9(1)是未工作时的示意图，图X5 —1—26(2)是工作前后的示意图.选做题14. (2012年江西)已知，纸片O O的半径为2,如图X5 —2 —10(1)，沿弦AB折叠操作.(1)如图X5 —2—10(2),当折叠后的J'经过圆心O时，求八的长；图X5 —2—9(2) 如图X5 —2- 10(3)，当弦AB = 2时，求折叠后所在圆的圆心O '到弦AB的距离；(3) 在图X5 —2—10(1 )中，再将纸片O O沿弦CD折叠操作.①如图X5 —2—10(4),当AB // CD，折叠后的；!与「，所在圆外切于点P时，设点O 到弦AB, CD的距离之和为d，求d的值；②如图X5 —2—10(5),当AB与CD不平行，折叠后的；!与「，所在圆外切于点P时，N为CD的中点.试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论.图X5 —2—10第3讲与圆有关的计算A级基础题1 . (2012年湖南衡阳)一个圆锥的三视图如图X5 —3 —1,则此圆锥的底面积为()设点M为AB的中点，点⑷— 3— 3图 X5 — 3 — 45. （2012年福建漳州）如图X5 — 3— 4，一枚直径为4 cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周, 圆心移动的距离是（ ）2 n cm B . 4 n cm C . 8 n cm D . 16 n cm图 X5 — 3— 5（2012年湖南衡阳）如图X5 — 3 — 5, O O 的半径为6 cm ,直线AB 是O O 的切线，切 弦BC // A0•若/ A = 30°则劣弧就的长为 _________________ cm.（2011年内蒙古乌兰察布）已知0为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在0M 上.一只蜗牛从点 P 出发，绕圆锥侧面爬行，回到点 P 时所爬过的最短路线的痕迹如图 X5 —3 — 6,若沿0M 将圆锥侧面剪开并展开，所得的侧面展开图是 （ ）230 n cm B .250 n cm D .2 25 n cm2100 n cmA . C . 2. （2012年四川自贡）如图X5 — 3 — 2，圆锥形冰淇淋盒的母线长是 则该圆锥形底面圆的面积是 （）13 cm ,高是 12 cm ,A .B .C . 10 n 25 n 60 n 65 n 2cm2cm2cm2 cm边扇形” 3.如果一个扇形的弧长等于它的半径, 的面积为（）那么此扇形称为“等边扇形”， 则半径为2的“等n B . 1 C . 2（2012年湖南娄底 小圆与正方形各边都相切， 的面积是（ ）A . 4 nB . 3 nC .4. 2D ・§n）如图X5 — 3 — 3，正方形MNEF 的四个顶点在直径为 4的大圆上, AB 与CD 是大圆的直径，AB 丄CD , CD 丄MN ，则图中阴影部分J 丿6. 点为B ,7. 图 X5 — 3 -2DA10.（2012年浙江舟山）如图X5 — 3— 8,已知O O 的半径为2，弦AB 丄半径 OC ,沿AB 将弓形 ACB 翻折，使点 C 与圆心 O 重合，则月牙形（图中实线围成的部分 ）的面积是11. （2011年江苏宿迁）如图X5 — 3— 9,把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇 形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面 （衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是 ________ cm.12. （2011年浙江湖州）如图X5 — 3— 10,已知AB 是O O 的直径，弦CD 丄AB ,垂足为E , / AOC = 60° OC = 2.（1） 求OE 和CD 的长； （2） 求图中阴影部分的面积.D）已知一个圆的半径为 5 cm ,则它的内接六边形的边长为9. （2011年山东聊城）如图X5 — 3 — 7，圆锥的底面半径 OB 为10 cm ，它的展开图扇形的 半径AB 为30 cm ，则这个扇形的圆心角 Aa 的度数为 _________图 X5 — 3— 7图 X5 — 3 — 6C & （2012年四川巴中B 级中等题13.某花园内有一块五边形的空地如图 X 5 — 3— 11,为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积)2 2 2 2A . 6 n mB . 5 n mC . 4 n mD . 3 n m14. _______________________________________________________________ （2012年四川凉山州）如图X5 — 1 — 12,在由小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为 ____________________________________________ （结果保 留n ）15. （2011年广东深圳）如图X5 — 3— 13（1），已知在O O 中，点C 为劣弧AB 上的中点， 连接AC 并延长至D ，使CD = CA ，连接DB 并延长DB 交O O 于点E ,连接AE.（1） 求证：AE 是O O 的直径；（2） 如图X5 — 3— 13（2）,连接EC , O O 半径为5, AC 的长为4,求阴影部分的面积之和（结 果保留n 与根号）.图 X5 — 3 - 10图 X5 — 3— 11图 X5 — 3— 12图 X5 — 3—13C级拔尖题16. (2011年四川广安)如图X5 —3- 14,圆柱的底面周长为6 cm, AC是底面圆的直径,2高BC = 6 cm,点P是母线BC上一点，且PC = 3BC.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是()C图X5 —3—14 r 6）A. 14 cm. nB. 5 cmC. 3 .5 cmD. 7 cm选做题17. （2012年湖南岳阳）如图X5 —3—15，在O O 中, AD = AC，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接(1) 求证：AC2= AB •F ；(2) 若O O的半径长为2 cm,BC./ B= 60°求图中阴影部分的面积.AB . 8C . 9D . 10第六章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转A 级基础题2. （2012年辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，A . （— 1,— 2）B . （1 , — 2）C . （2, — 1）D . （ — 2,1）3 . （2012年浙江义乌）如图X6 — 1 — 1,将周长为8的厶ABC 沿BC 方向平移1个单位得 到厶DEF ，则四边形 ABFD 的周长为（）6 8 10 12 （2012年贵州遵义）把一张正方形纸片按如图 X6 — 1 — 2（1）、（2）对折两次后，再按如图 个三角形小孔，则展开后的图形是 （ ）图 X6 — 1 — 25 . （2012年四川资阳）下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形； ⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星.这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （）A . 1种B . 2种C . 3种D . 4种6 . （2012年湖北武汉）如图X6 — 1 — 3，矩形 ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形 ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处.若AE = 5，BF = 3，贝U CD 的长是（）1.下列图形中，是轴对称图形的是点P （—1,2）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A .B .C .D .4.X6— 1 — 2(3)挖去图 X6 — 1— 1B图 X6 — 1 — 57. ____________________________________________________ （2012年广西玉林）在平面直角坐标系中， 一青蛙从点A （— 1,0）处向右跳2个单位长度， 再向上跳2个单位长度到点 A '处，则点A '的坐标为 ___________________________________________ .8. （2012年福建厦门）如图X6 — 1— 4,点D 是等边△ ABC 内的一点，如果△ ABD 绕点A 逆时针旋转后能与△ ACE 重合，那么旋转了 __________ 度.（2012年浙江温州）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图 X6 — 1 —5•将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是 度.9. （2012年湖南岳阳）如图X6 — 1 — 6,在Rt A ABC 中，/ B = 90°沿AD 折叠，使点B 落在斜边 AC 上，若AB = 3, BC = 4，贝U BD = ____________ .11 . （2012年四川凉山州）如图X6 — 1—乙梯形ABCD 是直角梯形. （1） 直接写出点A , B , C , D 的坐标； （2）画出直角梯形 ABCD 关于y 轴的对称图形，使它与梯形ABCD 构成一个等腰梯形;（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形12. （2011年广东珠海）如图X6 — 1— 8,将一个钝角△ ABC （其中/ ABC = 120 °绕点B 顺 时针旋转得△ A 1BC 1,使得点C 落在AB 的延长线上的点 C 1处，连接AA 1. （1）写出旋转角的度数；（2）求/ A 1AC = Z C 1.1A -11-]/ T/(■（不要求写作法）.a D c图 X6 — 1图 X6 — 1 — 7-4B 级中等题13. (2012 年山东济南)如图 X6 — 1 — 9,在 Rt△ ABC 中，/ C = 90 ° AC = 4,将厶 ABC沿CB 向右平移得到△ DEF ，若平移距离为2,则四边形ABED 的面积等于 ______________ .14.(2012年黑龙江大庆)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(3, 1),将OA 绕原点按逆时针方向旋转30°得OB ,则点B 的坐标为()A . (1 , 3)B . (— 1, .3)C . (0,2)D . (2,0)15. (2012年江苏南京)如图X6 — 1 — 10,在 Rt △ ABC 延长线上，且 BD = AB ,过点 B 作BE 丄AC ,与BD 的垂线 (1) 求证：△ ABC ◎△ BDE ;(2) △ BDE 可由△ ABC 旋转得到，利用尺规作出旋转中心C 级拔尖题16. (2012年山东济宁)如图X6 — 1— 11,在平面直角坐标系中，有一Rt △ ABC ，且A(—1,3), B( — 3, — 1), C(— 3,3)，已知△ A 1AC 1 是由△ ABC 旋转得到的.(1) 请写出旋转中心的坐标是 ________ ，旋转角是 _________ 度；(2) 以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△ A 1AC 1顺时针旋转90° 180°的三角形； (3) 设Rt △ ABC 两直角边BC = a , AC = b ,斜边AB = c ,利用变换前后所形成的图 X6 —案证明勾股定理.5 -中，/ ABC = 90 °点D 在BC 的 DE 交于点E.0(保留作图痕迹，不写作法 ).? 厂IL!,4图 X6 — 1— 9 I ___rt —H~I图X6 — 1 —11 -4选做题17. （2011年江苏南通）如图X6 —1 —12 , O为正方形ABCD的中心，分别延长OA, OD 到点F ,E，使OF = 2OA,OE= 2OD，连接EF.将厶EOF绕点O逆时针旋转a角得到△ EQF1（如图X6 —1 —13）.（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；⑵当a= 30时，求证：△ AOE1为直角三角形.*----------- Ed A L 图X6 —1 —124 F,aijc 图X6 —1 —第2讲视图与投影A级基础题1. 下列结论正确的是（）①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的；②物体在任何光线照射下，影子的方向都是相同的；③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个2. （2012年四川资阳）如图X6 —2—1是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（）A B C D3. （2012年江苏宿迁）如图X6 — 2 —2是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图, 则组成这个几何体的小立方体的个数是（）d 图 X6 — 2 —2A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个4. （2012年福建厦门）如图X6 — 2— 3是一个立体图形的三视图，则这个立体图形是（）A .圆锥B .球C .圆柱D .三棱锥5. （2012年云南）如图X6 — 2— 4是由6个相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯 视图是（）6 •李刚同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是• □— BCD）如图X6 — 2 — 5所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它和正三角形，则左视图是 （）A .矩形B .正方形C .菱形D .正三角形9.一个几何体的三视图如图X6 — 2 — 6，那么这个图 X6 — 2 -37. （2011年浙江温州 的主视图是（ ）& （2010年浙江杭州 ）若它的主视图和俯视图分别是正方形左观圏X6 — 2 —5几何体是（）图 X6— 2 -610. （2012年衢州）长方体的主视图、俯视图如图X6 — 2 — 7所示，则其左视图面积为（）A . 3B . 4C . 12D . 1611. （2012年四川自贡）画出如图X6 — 2 — 8所示立体图的三视图.图 X6 — 2— 8!-.'1 ■■/ 图 X6 — 2— 9B 级中等题13•关于盲区的说法正确的有 （）① 我们把视线看不到的地方称为盲区； ② 我们上山与下山时视野盲区是相同的；③ 我们坐车向前行驶，有时会发现一些高大的建筑物会被比它矮的建筑物挡住; ④ 人们常说“站得高，看得远”，说明在高处视野盲区要小，视野范围大. A . 1个 B . 2个X6 — 2 — 10所示是它的三视图，则这一堆方便面图 X6 — 2— 712.分别画出图 X6 — 2 — 9中几何体的主视图、左视图和俯视图.丛上面看14 .若干桶方便面摆放在桌子上，如图AB 主规图D俯视图俯视图从左边共有（生视图左观图i ：图X6 —2 —10最多可以是 个.图 X6 — 2— 11图 X6 — 2 — 12C 级拔尖题16. （2011年山东东营）如图X6 — 2— 13,观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找 规律：如图（1）中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图 ⑵中：共有8 个小立方体，其中 得见，8个看不见；…，则第 共有1个小立方体，其中 7个看得见，1个看不见；如图 ⑶中：共有27个小立方体，其中 （6）个图中，看得见的小立方体有 _______ 个.19个看图 X6 — 2 — 1317.如图 X6 — 2 — 14, 筑物的一端DE 所在的直线 方向前进，小明一直站在点一段街道的两边沿所在直线分别为 AB ，PQ ，并且AB // PQ ，建 MN丄AB 于点M ，交PQ 于点N ，小亮从胜利街的 A 处，沿着AB P 的位置等待小亮. （1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置 （用点C 标出）;C 到胜利街口的距离.第3讲尺规作图A 级基础题1•下列各条件中，不能作出唯一三角形的条件是 （）A .已知两边和夹角15. （2012年黑龙江大庆）用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图 X6 — 2- 11, 得到的几何体的三视图如图 X6 — 2— 12.若小明从八个小立方体中取走若干个， 剩余的小立方 体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图仍是图 X6 — 2— 12,则他取走的小立方体 ■■图 X6 — 2 — 14NC. 已知两角和夹边D. 已知两角和其中一角的对边12. （2011年浙江绍兴）如图X6 — 3 — 1,在厶ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于-AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M , N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD.若厶ADC 的周A . 7B . 14C . 17D . 203. （2012年河北）如图X6 — 3 — 2,点C 在/ AOB 的OB 边上，用尺规作出了 CN // OA , 在作图痕迹中,■'是()c M B图 X6 — 3— 2A . 以点 C 为圆心， OD 为半径的弧B .以点 C 为圆心， DM 为半径的弧 C . 以点 E 为圆心， OD 为半径的弧D . 以点E 为圆心， DM 为半径的弧 w W w .4. 下列关于作图的语句，正确的是 )A .画直线AB = 10厘米 B .画射线OB = 10厘米C .已知A , B , C 三点，过这三点画一条直线D .过直线AB 外一点画一条直线和直线 AB 平行 5.已知线段 AB 和CD ，如图X6 — 3— 3,求作一线段，使它的长度等于AB + 2CD.Z _______ 匚 ___________ ■图 X6 — 3— 36. 试把如图X6 — 3 — 4所示的角四等分（不写作法）.图 X6 — 3 — 4长为10, AB = 7,则厶ABC 的周长为（图 X6 — 3— 17. （2012年广西玉林）已知等腰厶ABC的顶角/ A = 36°如图X6 —3—5）.（1）作底角/ ABC的平分线BD ,交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹,& （2012年贵州铜仁）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口 A , B 的距离相等，且到广场管理处 C 的距离等于A 和B 之间距离 的一半，A , B , C 的位置如图X6 - 3-6,请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置（要 求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图 ）.9. （2012年山东青岛）如图X6 -3- 7已知：线段 a , c ,/ a 求作：△ ABC ，使 BC = a , AB = c ,/ ABC = / a10. （2012年浙江绍兴）如图X6 - 3-8, AB // CD ，以点A 为圆心，小于 AC 长为半径作1 圆弧，分别交AB , AC 于E , F 两点，再分别以 E , F 为圆心，大于？EF 长为半径作圆弧，两 条圆弧交于点P ,作射线AP ，交CD 于点M.（1） 若/ ACD = 114 ° 求/ MAB 的度数；（2） 若CN 丄AM ，垂足为 N ,求证：△ ACNMCN .c ______图 X6 - 3 -8然后用墨水笔加墨）；（2）通过计算，说图 X6 — 3 -6ABD 和厶BDC 都是等腰三角形.图 X6 - 3 - 7作法：（1）分别作 __________ ，两平分线交于点 0; ⑵过点0作 _____ 的垂线段，交BC 于点D ； （3）以点—为圆心，以 __ 的长为半径，画圆， 那么，所画的O 0就是△ ABC 的 _______ .12. （2011年山东青岛）如图X6 — 3— 10，已知线段a 和h.求作：△ ABC ，使得 AB = AC ，BC = a ，且BC 边上的高 AD = h. 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.■ ____ 图 X6 — 3 — 10B 级中等题13.如图X6 — 3— 11,画一个等腰△ ABC ，使得底边 BC = a ，它的高 AD = h.图 X6 — 3 — 1114.为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点 P ，使P 到该镇 所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等 （A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如 图X6 — 3 — 12），请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置.要求： 写出已知，求作，不写作法，保留作图痕迹. 解：已知:求作:图 X6 — 3— 12 C 级拔尖题15. （2012年广西贵港）如图X6 — 3— 13，已知△ ABC ，且/ ACB = 90 ° (1) 请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹，不写作法和证明):11.如图 X6 — 3— 9,图 X6 — 3 -9① 以点A 为圆心，BC 边的长为半径作O A ;② 以点B 为顶点，在 AB 边的下方作/ ABD = Z BAC. (2) 请判断直线BD 与O A 的位置关系(不必证明).16. (2011年甘肃兰州)如图X6 — 3— 14,在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经 过网格的交点A , B , C.(1) 请完成如下操作：① 以点0为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面 直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心 D 的位置(不用写作法，保留作图痕 迹)，并连接AD , CD ;(2) 请在⑴的基础上，完成下列问题： ① 写出点的坐标： C _________ , D __________ ; ② O D 的半径= ____________ (结果保留根号);③ 若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 ____________ (结果保留n ； ④ 若E(7,0)，试判断直线EC 与O D 的位置关系，并说明你的理由.选做题 17. (2012年四川达州)数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平 分线，方法如下：作法：如图 X6 — 3— 15(1)，①在 0A 和0B 上分别截取 0D , 0E ,使0D = 0E. ② 分别以D , E 为圆心，以大于DE 的长为半径作弧，两弧在/ A0B 内交于点C. ③ 作射线0C ,则0C 就是/ A0B 的平分线.小聪的作法步骤：如图 X6 — 3— 15(2),①利用三角板上的刻度，在 0A 和0B 上分别截取 0M , 0N ，使 0M = 0N.② 分别过M , N 作0M , 0N 的垂线，交于点 P. ③ 作射线0P ，则0P 为/ A0B 的平分线.小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线. 根据以上情境，解决下列问题：(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ____________ ;X6 — 3-13 图 X6 — 3 —14co.■⑵A 1 2B 1 4C 2 1D 14 （1）图 X6 — 3- 151. （2010年广西桂林）如图X6 — 4 — 1,已知△ ADE 与厶ABC 的相似比为1 : 2,则厶ADE 与厶ABC 的面积比为（ ）A（2） 小聪的作法正确吗？请说明理由；（3） 请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）.第4讲图形的相似A 级基础题BL --------------- C图 X6 — 4— 11 : 16,则它们的周长之比为（）；比例线段的为（ ）4. （2011 年湖南怀化）如图 X6 — 4 — 2,在厶 ABC 中，DE // BC , AD = 5, BD = 10, AE = 3, 则CE 的值为（ ）A . 1 : 2B . 1 : 4C . 1 : 5D . 1 : 163•下列各组线段 （单位：cm ）中, A . 1,2,3,4 B . 1,2,2,4 C . 3,5,9,13 D . 1,2,2,32.若两个相似三角形的面积之比为图X6 — 4 -2A . 9B . 6C. 3D . 45.若厶ABC s\ DEF ,它们的周长分别为 6 cm和8 cm,那么下式中一定成立的是()A . 3AB=4DEB . 4AC= 3DEC . 3 / A = 4/ DD . 4(AB + BC+ AC)= 3(DE + EF + DF)6. 如果△ ABCA' B' C', BC = 3, B ' C'= 1.8，则△ A' B'。
二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)
二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1 （2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c 的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．对应训练1．（2013•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 （2013•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3思路分析：关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的两个交点的横坐标．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根．对应训练2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．-8 B．8C．±8 D．6考点四：二次函数综合性题目例4 （2013•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA= 12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设对应训练4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．对应练习1．（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）2．（2013）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．4．（2013）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．5．（2013）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=243米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的136．（2013）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M 作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．7．（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．8．（2013）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+32与直线y=x交于点A，点B在直线y=12x+32上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．9．（2013）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，3）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．2（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•大庆）已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．-4 B．0 C．2 D．32．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2-4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0-x1）（x0-x2）＜03．（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16 B．15 C．14 D．13二、填空题4．（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．5．（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．6．（2013•锦州）二次函数y=23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n-1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠A n-1B n A n=60°，菱形A n-1B n A n C n的周长为．三、解答题7．（2013•鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？8．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格x（元/个）…30 40 50 60 …销售量y（万个）… 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量9．（2013•达州）今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．（1）小华的问题解答：；（2）小明的问题解答：．10．（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=1590(02) 5130(26)x xx x+<≤⎧⎨-+<<⎩，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=100(02)5110(26)tt t<≤⎧⎨-+<<⎩。
2013年中考数学试题分87个专题整理汇编
2013年中考数学试题分87个专题整理汇编2013中考全国100份试卷分类汇编一次函数1、（2013陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2,m），B（n，３），那么一定有（）A．m>0，n>0B．m>0，n0D．m考点：一般考查的是一次函数或者反比例函数的图象性质及待定系数法求函数的解析式。
解析：因为A，B是不同象限的点，而正比例函数的图象要不在一、三象限或在二、四象限，由点A与点B的横纵坐标可以知：点A与点B 在一、三象限时：横纵坐标的符号应一致，显然此题不可能，点A与点B在二、四象限：点A在四象限得m2、（2013陕西）根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x－201y3p0A．1B．－1C．3D．－3考点：待定系数法求一次函数的解析式及由自变量的值确定对应的函数值。
解析：设y=kx+b，将表格中的对应的x,y的值代入得二元一次方程组，解方程组得k,b的值，回代x=0时，对应的y的值即可。
设y=kx+b，解得：k=－1，b=1,所以所以y=－x+1,当x=0时，得y=1,故选A．3、（2013•舟山）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：新定义．分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上．解答：解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．4、（2013泰安）把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜4考点：一次函数图象与几何变换．分析：直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，求出直线y=﹣x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．解答：解：直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），∵交点在第一象限，∴，解得：m＞1．故选C．点评：本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．5、（2013菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=﹣5、kb=6，那么该直线经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限考点：一次函数图象与系数的关系．分析：首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．解答：解：∵k+b=﹣5、kb=6，∴k＜0，b＜0∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，故选D．点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．6、（2013•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）A．y=2x+8B．y=﹣2+4xC．y=﹣2x+8D．y=4x考点：一次函数的性质．分析：根据一次函数的性质，k＜0，y随x的增大而减少，找出各选项中k值小于0的选项即可．解答：解：A、B、D选项中的函数解析式k值都是整数，y随x的增大而增大，C选项y=﹣2x+8中，k=﹣2＜0，y随x的增大而减少．故选C．点评：本题考查了一次函数的性质，主要利用了当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．7、（2013•娄底）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2考点：一次函数的图象．分析：根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解答：解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．故选C．点评：此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．8、（2013•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（）A.B.-2C.D.2考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：把点（1，2）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值．解答：解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），∴2=k，解得，k=2．故选D．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．9、（2013•益阳）已知一次函数y=x﹣2，当函数值y＞0时，自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；一次函数的性质．分析：由已知条件知x﹣2＞0，通过解不等式可以求得x＞2．然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：∵一次函数y=x﹣2，∴函数值y＞0时，x﹣2＞0，解得，x＞2，表示在数轴上为：故选B．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．。
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2013年中考数学复习专题—函数问题
1. （2012湖南长沙10分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售
单价x（元）之间的函数关系式为：
()
() 40x25x30
y
250.5x30<x35
⎧-≤≤
⎪
=⎨
-≤
⎪⎩
.
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
【答案】解：（1）∵25≤28≤30，
()
()
40x25x30
y
250.5x30<x35
⎧-≤≤
⎪
=⎨
-≤
⎪⎩
，
∴把28代入y=40﹣x得，y=12（万件）。
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件。
（2）①当25≤x≤30时，
W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，∴当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万。
②当30＜x≤35时，
W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣1
2
x2+35x﹣625=﹣
1
2
（x﹣35）2
﹣12.5，
∴当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万。
综合①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。
（3）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5，令W=67.5，则﹣x2+59x﹣782.5=67.5，化简得：x2﹣59x+850=0，
解得x1=25；x2=34。
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x≤30；
②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣1
2
x2+35.5x
﹣547.5，
令W=67.5，则﹣1
2
x2+35.5x﹣547.5=67.5，化简得：x2﹣71x+1230=0，
解得x1=30；x2=41。
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，
综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≤x≤35。
【考点】一、二次函数的应用。
【分析】（1）因为25≤28≤30，所以把28代入y=40－x即可求出该产品的年销售量为多少万件。
（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入－生产成本－投资成本，得到w和x的二次函数关系，再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。
（3）由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别令w=67.5，求出对应x的值，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。
2. （2012湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如图②，过点B作直线BE：y=1
3
x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣
5
3
），连接OE、BC，在
x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线C 1、C 2都过点A （﹣3，0）、B （3，0），
∴设它们的解析式为：y =a （x ﹣3）（x +3）。
∵抛物线C 1还经过D （0，﹣3），∴﹣3=a （0﹣3）（0+3），解得a =13。
∴抛物线C 1：y =13（x ﹣3）（x +3），即y =13
x 2﹣3（﹣3≤x ≤3）。
∵抛物线C 2还经过A （0，1），∴1=a （0﹣3）（0+3），a =﹣19
∴抛物线C 2：y =﹣19（x ﹣3）（x +3），即y =﹣19
x 2+1（﹣3≤x ≤3）。
（2）∵直线BE ：y =13
x ﹣1必过（0，﹣1），∴∠CBO =∠EBO （tan ∠CBO =tan ∠EBO =13
）。
∵由E 点坐标可知：tan ∠AOE ≠13
，即∠AOE ≠∠CBO ， ∴它们的补角∠EOB ≠∠CBx 。
若以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，只需考虑两种情况：
①∠CBP 1=∠EBO ，且OB ：BE =BP 1：BC ，
由已知和勾股定理，得OB =3，BE ，BC 。
∴3BP 1 得：BP 1=95，OP 1=OB ﹣BP 1=65。
∴P 1（65
，0） ②∠P 2BC =∠EBO ，且BC ：BP 2=OB ：BE ，即：
：BP 2=3，得：BP 2=509，OP 2=BP 2﹣OB =239。
∴P 2（﹣239
，0）． 综上所述，符合条件的P 点有：P 1（
65，0）、P 2（﹣239
，0）。
（3）如图，作直线l ∥直线BE ，设直线l ：y =13x +b 。
①当直线l 与抛物线C 1只有一个交点时：
1
3x +b =13
x 2﹣3，即：x 2﹣x ﹣（3b +9）=0。
由△=（－1）2＋4（3b +9）=0。
得37b=12
-。
此时，135x=y=212
-，。
∴该交点Q 2（135212
- ，）。
过点Q 2作Q 2F ⊥BE 于点F ，则由BE ：y =13
x ﹣1可用相似得Q 2F 的斜率为－3，
设Q 2F ：y =－3x ＋m 。
将Q 2（135212- ，）代入，可得17m=12
-。
∴Q 2F ：y =－3x 1712
-。
联立BE 和Q 2F ，解得125x=y=824--，。
∴F （125824
-- ，）。
∴Q 2到直线 BE ：y =13
x ﹣1的距离Q 2F ：。
②当直线l 与抛物线C 2只有一个交点时：13
x +b =﹣19x 2+1，即：x 2+3x +9b ﹣9=0。
由△=32＋4（9b －9）=0。
得3b=4。
此时，33x=y=24-，。
∴该交点Q 1（3324
- ，）。
同上方法可得Q 1到直线 BE ：y =1x ﹣1 。
∵=0840404020
<---， ∴符合条件的Q 点为Q 1（3324
- ，）。
∴△EBQ 的最大面积：
max 1145S BE 228
=⨯==。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。
【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。
（2）根据直线BE：y=1
3
x﹣1知，该直线必过（0，﹣1）点，那么∠EBO=∠CBO，
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可确定P点坐标。
（3）△EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当△EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离最大；由于点Q可能在抛物线C1或C2上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点．首先作直线l∥BE，分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值。