广东省深圳市2017届高三第二次调研考试数学(理科)试题 Word版含答案
绝密★启用前
试卷类型：A
深圳市2017年高三年级第二次调研考试
数学（理科） 2017.4
本试卷共7页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
（1）集合{}2|20A x x x =-<，{}2B x x =<则( )
（A ）A B φ= （B ）A B A = （C ）A B A = （D ）A B R =
（2）已知复数z 满足()1i i z +=
，其中i 是虚数单位，则 z =( ) （A ）1i - （B ）1i + （C ）11i 22
- （D ）11i 22+ （3）下列函数中既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )
（A ）cos y x = （B ）y = （C ）2x y = （D ）lg y x = （4）设实数()0,1a ∈,则函数()22(21)1f x x a x a =-+++有零点的概率为( )
（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14
（5）某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( )
（A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）42
（6）在平面直角坐标系中，直线y =与圆22:1O x y +=交于A 、B 两点，α、β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan()αβ+的值为( )
（A ）- （B ） （C ）0 （D ）
（7）已知函数()22sin(),,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦
的图象如图所示，若()()12f x f x = ，且12x x ≠ ，则()12f x x +的值为( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（8）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )
（A ）y x =± （B ）2y x =± （C ）3y x =± （D ）2y x =±
（9）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
（A ）36 （B ）48 （C ）64 （D ）72
（10）执行如图所示的程序框图，若输入n =10，则输出k 的值为( )
（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4
（11）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( )
（A ）1
,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1,42⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
（C ）1,32⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
（D ）2,52⎛ ⎝⎭
（12）设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x x e λλ-
≥恒成立，则λ的最小值为( )
（A ）1e （B ）12e （C ）2e （D ）
3e
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）已知向量(,1)x =a ,与向量(9,)x =b 的夹角为π，则x =___________．
（14）若函数()1m f x x x =+
-(m 为大于0的常数)在()1,+∞上的最小值为3，则实数m 的值为____________．
（15）已知M ，N 分别为长方体1111ABCD A B C D -的棱11,AB A B 的中点，若
12AB AD AA ===，则四面体1C DMN -的外接球的表面积为_______．
（16）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形
面积的方法—“三斜求积术”，即△ABC 的面积S =a 、
b 、
c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边.若b =2，且tan C =△ABC 的面积S 的最大值为____________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 为其前n 项和，125,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）证明139,,S S S 成等比数列；
（Ⅱ）设121,n n a b a ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（18）（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C 中，D 为BC 的中点，∠BAC =90°，∠A 1AC =60°，AB =AC =AA 1=2． （Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；
（Ⅱ）当BC 1=4时，求直线B 1C 与平面ADC 1所成角的正弦值．
（19）（本小题满分12分）
随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．
（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月份（即x 7时）的市场占有率；
（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行
频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
报废年限
车型
1年 2年 3年 4年 总计 A
20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值．．．．．．
为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，动圆C 与圆()22114x y -+=
外切，且与直线12x =-相切，记圆心C 的轨迹为曲线T .
（Ⅰ）求曲线T 的方程；
（Ⅱ）设过定点(),0Q m (m 为非零常数)的动直线l 与曲线T 交于A 、B 两点，问：在曲线T 上是否存在点P （与A 、B 两点相异），当直线P A 、PB 的斜率存在时，直线P A 、PB 的斜率之和为定值.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数()()222
x a f x x e x =--，其中a R ∈,e 为自然对数的底数. （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能与x 轴相切，求实数a 的值；否则，请说明理由；
（Ⅱ）若函数()2y f x x =+在R 上单调递增，求实数a 能取到的最大整数值．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，点3,,3,62A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭
，直线l 平行于直线AB ，且将封闭曲线 :2cos (0)3C πρθρ⎛⎫=-≥ ⎪⎝
⎭所围成的面积平分. 以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．
(Ⅰ)在直角坐标系中，求曲线C 及直线l 的参数方程；
(Ⅱ)设点M 为曲线C 上的动点，求22MA MB +取值范围．
（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()212,f x x a x a a R =+-+-∈．()()224
241g x x x x =--+- .
（Ⅰ）若()
22141f a a ->- ，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数 x ，y ，使()()0f x g y +≤ ，求实数a 的取值范围．。
广东深圳市2017届高三第二次调研考试数学理试题
2
y
1 外切，且与直线 x
4
1
相切，
2
∴圆心 C 在直线 x
1
的右侧，且点
C 到点
1,0 的距离比点
C 到直线 x
2
1
的距离大
1，
2
2
即 x0
1
11
，且 x0
2
22
2
x0 1
y02 ，
∴ x0 1
2
x0 1
y02 ，两边平方并化简整理得
y02 4x0 ，
即曲线 T 的轨迹方程为 y2 4x ．
（ 2）假设在曲线 T 上存在点 P 满足题设条件，不妨设 P x0, y0 , A x1, y1 , B x2, y2 ，
）
A． 3
B ． 2 C.
1
D ．1
4
3
3
4
5. 某学校需从 3 名男生和 2 名女生中选出 4 人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派
2
人且至少有 1 名女生，乙地和丙地各需要选派 1 人，则不同的选派方法的种数是 （ ）
A． 18
B
． 24 C. 36 D
． 42
6. 在平面直角坐标系中，直线 y 2x 与圆 O : x2 y2 1 交于 A、 B 两点， 、 的始边是 x 轴的非负半
斜求积术”，即 ABC 的面积 S
1 a2c2 4
a 2 c2 b2 2 ，其中 a、 b、 c 分别为 ABC 内角 2
A、 B、 C 的对边 . 若 b 2 ，且 tanC
3sin B ，则 ABC 的面积 S 的最大值为
．
1 3 cosB
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全word版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前，考生先将自己的XX 、XX 填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2．设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-， B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种理科数学试题第1页〔共4页〕7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23 B ．515 C ．510 D ．33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是A ．2-B ．23-C ．34- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届广东省高三上学期第二次统测数学(理)试题
高三第二次统测理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设A 、B 是非空集合，定义A ×B ={x x A B ∈ 且x A B ∉ }，己知 A ={22x x y x -=}，B ={22x y y =}，则A ×B 等于 （ ）A .(2，+∞)B .[0，1]∪[2，+∞) C.[0，1)∪(2，+∞) D.[0．1]∪(2，+∞) 2、在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有20x ≥；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( ) A ．q p ∧ B ．q p ⌝⌝∧ C ． q p ∧⌝ D ．q p ⌝∧4、已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f(x)的图象是 ( )5、已知复数a ＋3i1－2i为纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．66、已知a ＝5log 2 3.4，b ＝5log 4 3.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 3 0.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b7、在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③8、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π- D ．4,3π9、已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是（ ）10、已知函数22(1)()714(1)x axx f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若12,x x ∃∈R ，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,3](,5]-∞-B ．(,2)(3,5)-∞C ．[2,3]D ．[5,)+∞11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()(1)5,()g x f x g x '=++为()g x 的导函数，对x R ∀∈，总有()2g x x '>，则()24g x x <+的解集为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),1-∞ C ．R D ．()1,-+∞12.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m1-1 O yx 11π125π122-2O第Ⅱ卷 （非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
广东省深圳二模(数学理)(含答案)word版
绝密★启用前 试卷类型：A2017年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 若X ～),(p n B ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数iiz -=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知a ，b 是非零向量，则a 与b 不共线．．．是||||||b a b a +<+的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件4．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为A ．45B ．34C ．35D ．475．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若甲s ，乙s ，丙s 分别表示他们测试成绩的标准差，则 A ．丙乙甲s s s << B ．乙丙甲s s s << C ．丙甲乙s s s << D ．乙甲丙s s s <<6．已知△ABC 中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是23+，23－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于 A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或437．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种8．设},,20,20|),{(R ∈<<<<=c a c a c a A ，则任取A c a ∈),(，关于x 的方程022=++c x ax 有实根的概率为A ．22ln 1+B ．22ln 1-C ．42ln 21+D ．42ln 23-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知函数21121)(-+=x x f 的定义域是R ，则)(x f正视图左视图图1图2图3的值域是 ．11．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 ． 12．如果对于任意的正实数x ，不等式1≥+xax 恒成立，则a 的取值范围是 ． 13．如图5，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==.sin 1,cos ϕϕy x （ϕ为参数，)2,0[π∈ϕ）．若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图6，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．............第1行 ............第2行 (3)............第4行 ............第5行 (6)图5AB CD图6为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．18．（本小题满分14分）如图8，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形A D E F 翻折，使平面 ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面⊥BDE 平面BEC ； （2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．FE D CBAABCDFE图8图92468图7平面直角坐标系中，已知直线l :4=x ，定点)0,1(F ，动点),(y x P 到直线l 的距离是到定点F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为轨迹C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点)0,1(-E 可作圆M 的两条切线EA ,EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值．20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2＝λ，写出输出结果； （2）若输入2＝λ，求数列}{n a 的通项公式； （3）若输入2>λ，令1--=n n n pa pa c ，求常数p （1±≠p ），使得}{n c 是等比数列．21．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式；图10（3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，， =k ，使得等式201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出k x （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．2017年深圳市高三年级第二次调研考试试题数学(理科)参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．第9～13题为必做题，第14、15题为选做题，两题全答的，只计算前一题的得分．9． 10 10．⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 11． 4 12．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,41 13． 55 14．θρsin 2= 15．︒30三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合；（2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．解 （1）x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=， ………………1分当21＝ω时，⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， ………………2分 而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ，所以)(x f 的最大值为2， ……………4分 此时，π+π=π-k x 2242，∈k Z ，即π+π=k x 423，Z ∈k ， 相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x ． ……………6分 （2）（法一）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2)(πωx x f ，所以，8π=x 是)(x f 的一个零点⇔048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ， ………8分即π=π-πk 48ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω， 又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω，…10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． …………12分（法二）8π=x 是)(x f 的一个零点⇔08cos 8sin 8=π-π=⎪⎭⎫⎝⎛πωωf ，即18tan =πω． …………8分 所以48π+π=πk ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω， 又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω，10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ……12分17．（本小题满分12分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3率（精确到0.01）；（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天）的数学期望和方差．解 （1）设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，2468由已知47.03157.14==p ． ……………2分 因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立， 所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率)47.01(47.0223-⨯⨯=C P351231.0=35.0≈． ……………6分（2）由已知X ～)47.0,12(B ． …………………8分所以，X 的数学期望64.547.012)(=⨯=X E ． …………………………10分X 的方差9892.247.0147.012)(）＝－（⨯⨯=X D ． …………………………12分 18．（本小题满分14分）如图8，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面⊥BDE 平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． 证明（1）（法一）因为平面⊥ADEF 平面ABCD ， 且平面 ADEF 平面AD ABCD =， 又在正方形ADEF 中，AD ED ⊥，所以，⊥ED 平面ABCD ． ………………2分 而⊂BC 平面ABCD ，所以，BC ED ⊥． ………………3分 在直角梯形ABCD 中，2=CD ,22+=AD AB BD 2)(22=+-=AD AB CD BC ，所以，222CD BC BD =+，所以，BD BC ⊥． ………………4分 又ED ，⊂BD 平面BDE ，D BD ED = ， 所以，⊥BC 平面BDE ． ………………6分 而⊂BC 平面BEC ，所以，平面⊥BDE 平面BEC ． ……………7分（法二）同法一，得⊥ED 平面ABCD ． …………………………2分 以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y z 轴，建立空间直角坐标系．FE D CBA图8则)0,0,0(D ，)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)1,0,0(E ． …………………………3分所以，)0,1,1(-=， )0,1,1(=，)1,0,0(=,000111)1(=⨯+⨯+⨯-=⋅，010010)1(=⨯+⨯+⨯-=⋅，所以，⊥，⊥． ………………5分 又，不共线，DB ，⊂DE 平面BDE ，所以，⊥BC 平面BDE ． …………………………6分 而⊂BC 平面BEC ，所以，平面⊥BDE 平面BEC ． …………………………7分解 （2）（法一）因为AD EF //，⊄EF 平面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，所以，//EF 平面ABCD ． …………………………9分 因为平面EFB 与平面ABCD 有公共点B ，所以可设平面 EFB 平面BG ABCD =，CD G ∈．因为//EF 平面ABCD ，⊂EF 平面EFB ，平面 EFB 平面BG ABCD =， 所以BG EF //． ………………………10分 从而，AD BG //，又DG AB //，且1=AB ，2＝CD ，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形．12分 易知⊥BG 平面ECD ，所以EG BG ⊥，DG BG ⊥．所以，EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角， 而︒=∠45EGD ，所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为︒45． …………14分（法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是)1,0,0(=m ． ………………9分 设平面EFB 的一个法向量为),,(z y x =n ，因为)0,0,1(==，)1,1,1()1,0,0()0,1,1(-=-=-=所以，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅.0,0z y x EB x n n 取1=y ，得1=z ，所以)1,1,0(=n ．………………11分设平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为θ， 则2221||||cos ==⋅=n m n m θ． ………………………………13分 所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为︒45． …………………………14分 19．（本小题满分14分）平面直角坐标系中，已知直线l :4=x ，定点)0,1(F ，动点),(y x P 到直线l 的距离是到定点F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为轨迹C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点)0,1(-E 可作圆M 的两条切线EA ,EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值． 解（1）设点P 到l 的距离为d ，依题意得||2PF d =，即()2212|4y x x +-=-｜， …………2分整理得，轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………4分 （2）（法一）设()00,y x M ，圆M ：()()22020r y y x x =-+-，其中2020)1(||y x MF r +-==由两切线存在可知，点E 在圆M 外， 所以，()()()20202020101y x y x +->-+--，即00>x ，又()00,y x M 为轨迹C 上的点，所以200≤<x ．而|4|212||0-==x d MF ，所以，2||1<≤MF ，即21<≤r ．………6分 由（1）知，()0,1-E 为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，4||||=+MF ME ，所以r ME -=4||，而r MF MB ==|||｜， 所以，在直角三角形MEB 中，r r r EB 242)4(||22-=--=，r r MB EB S MEB 24||||21Δ-=⋅=， 由圆的性质知，四边形EAMB 面积S S MEB 22Δ==即23422r r S +-=（21<≤r ）．令2342r r y +-=（21<≤r ），则)43(2862--=+-='r r r r y ， 当341<<r 时，0>'y ，2342r r y +-=单调递增； 当234<<r 时，0<'y ，2342r r y +-=单调递减． 所以，在34=r 时，y 取极大值，也是最大值，此时3916244342223max=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=S ． …………14分（法二）同法一，四边形EAMB 面积r r S S MEB 2422Δ-==，其中21<≤r ．10分所以39163242)24(23=⎪⎭⎫⎝⎛-++≤-⋅⋅=n n n r r r S ． 由r r 24-=，解得)2,1[34∈=r ，所以3916max =S ． …………14分 20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2＝λ，写出输出结果； （2）若输入2＝λ，求数列}{n a 的通项公式； （3）若输入2>λ，令1--=n n n pa pa c ，求常数p （1±≠p ），使得}{n c 是等比数列．解 （1）输出结果是：0，22，2． (3)（2）（法一）由程序框图可知，01=a ，nn a a -λ=+11，*N ∈n ，≤n 所以，当2＝λ时，nn a a -=+211， …………………5分nnn n a a a a --=--=-+2112111， 而}{n a 中的任意一项均不为1，（否则的话，由11=+n a 可以得到1=n a ， …，与101≠=a 矛盾），所以，11112111--=--=-+n n n n a a a a ， 111111-=---+n n a a （常数），*N ∈n ，2010≤n ． 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为1-，公差为1-的等差数列， ……………………………7分 所以，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ． 8分（法二）当2＝λ时，由程序框图可知，01=a ，212=a ，323＝a ，434=a ，…猜想nn a n 1-=，*N ∈n ，2011≤n ． ……………………………5分以下用数学归纳法证明：图10①当1=n 时，101111a n n ==-=-，猜想正确； ②假设k n =（*N ∈n ，2010≤n ）时，猜想正确．即kk a k 1-=，………7分 那么，当1+=k n 时，由程序框图可知，11)1(12111+-+=--λ=+k k kk a a k k －＝．即1+=k n 时，猜想也正确． 由①②，根据数学归纳法原理，猜想nn a n 1-=正确，*N ∈n ，2011≤n ． ……8分（3）（法一）当2>λ时，)(11111222111p p pa p p p a p p a p pa a p p a pa p a c n n n n nn n n n -λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ-⋅=+λ-+λ-=--λ--λ=--=+++， 令112=-λp p ，则p p 1+=λ，012=+λ-p p ，242-λ±λ=p ． ……10分此时，1122=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-λp p p p p p ， …………………12分 所以n n c p c 21=+，*N ∈n ，2011≤n ，又01≠=p c ，故存在常数242-λ±λ=p （2>λ），使得}{n c 是以p 为首项，2p 为公比的等比数列． …………………14分（法二）当2>λ时，令x p p -=1，即012=+λ-p p ，解得242-λ±λ=p ，10分因为nn a a -λ=+11，*N ∈n ，2010≤n ．所以nnn n n n n n a p a p a p pa a p pa p a p a -λ-⋅=-λ-=-λ+λ-=--λ=+2111－， ① nn n n n n n n a pa p a p p pa p a p a a ppa -λ-⋅=-λ+λ-⋅=-λ+λ-=--λ=-+1111121，② 12分①÷②，得11211--⋅=--++n nn n pa pa p pa p a ， 即n n c p c 21=+，*N ∈n ，2011≤n ，又01≠=p c ，故存在常数242-λ±λ=p （2>λ）使得}{n c 是以p 为首项，2p 为公比的等比数列． ………………14分21．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式； （3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，， =k ，使得等式201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出k x （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．解 （1）]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，11)(+='x x f ， ……………2分 所以，函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为)0)(0()0(-'=-x f f y ，即x y =．…3分（2）因为1)(2)2(+=+x f x f ，所以，当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，]1,1(2-∈-k x ，…………4分1)2(2)(+-=x f x f 12)4(22++-=x f 122)6(223+++-=x f=1222)2(221+++++-=-- k k k k x f 12)12ln(2-++-=k k k x ． 6分（3）考虑函数)(2)(x f x x g k -=，]12,12(+-∈k k x ，N ∈k ，则12)2(21222)(+--=+--='k x k x k x x g k k k，当k x k 212<<-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减； 当k x 2=时，0)(='x g ；当122+<<k x k 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，当]12,12(+-∈k k x ，N ∈k 时，12)12()2()(+-=≥kk k g x g ， 当且仅当k x 2=时，12)12()2()(+-==kk k g x g ． …………10分所以，]12)12[()()](2[2011201102011+-≥=-∑∑∑===k k k k k kk kk x g x f x而n n k n nk k+-++⋅+⋅=+-∑=2)12(2321]12)12[(210，令nn n S 2)12(232121-++⋅+⋅= ，则1322)12(23212+-++⋅+⋅=n n n S ，两式相减得，13212)12(22222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n S62)32(2)12(12)12(222111121---=----⋅+⋅=++-n n n n n ．所以，62)32(1+-=+n n n S ，故2017240192011]12)12[(201220112011+⋅=+=+-∑=S k k k．…………12分所以，20172401912)12[()()](2[120110201102011+⋅=+-≥=-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．当且仅当k x k 2=2011,,2,1,0, =k 时，20172401912)12[()()](2[120112011020110+⋅=+-==-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．所以，存在唯一一组实数k x k 2=，2011,,2,1,0 =k ，使得等式201724019)](2[12011+⋅=-+=∑n k kk kx f x成立． …………………14分。
广东省深圳市2017-2018学年高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
10．（ 5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 1，σ2），若 P（0＜ X ≤1）=0.3 ，则 P（ X ≥2）=．
11．（ 5 分）已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐近线与抛物线 成的三角形面积为 1，则此双曲线的离心率等于．
2
y =4x 的准线围
12．（ 5 分）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，已知 S3=15， S9=153，则 S6=．
（ s 为参数）与曲线 C：
（ t 为参
四、（几何证明选讲选做题） 15．如图， AB 、AC 是⊙ O 的两条切线，切点分别为 半径为．
B 、C．若∠ BAC=60 °，BC=6 ，则⊙ O 的
三、解答题பைடு நூலகம்本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（ 12 分）设函数 f（ x） =cos（2x+? ）（其中 0＜ ? ＜ π，x∈R）．已知
（ 2）证明：平面 PAB ⊥平面 POC；
（ 3）若
，
，求二面角 P﹣OA ﹣ B 的余弦值．
19．（ 14 分）设数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=an+1﹣ n?2n+3﹣ 4，n∈N * ，且 a1，S2，2a3+4 成等比数列． （ 1）求 a1、 a2、 a3 的值． （ 2）设 bn= ， n∈N*，求数列 {b n} 的通项公式
2
13．（ 5 分）已知 △ABC 的内角∠ A 、∠ B、∠ C 所对的边为 a、b、c，则 “ab＞c ”是 “∠ C＜ ” 的条件．（填 “充分非必要 ”、 “必要非充分 ”、“充要 ”、 “既不充分又不必要 ”中的一种）．
深圳市2017届高三年级第二次调研考试(理数)
深圳市2017届高三年级第二次调研考试数学（理科）本试卷共5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第一部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合{}2|20A x x x =-<，{}2B x x =<则( )（A ）A B φ= （B ）A B A =（C ）A B A =（D ）A B R =（2）已知复数z 满足()1i i z +=，其中i 是虚数单位，则 z 等于 ( )（A ）1i -（B ）1i +（C ）11i 22- （D ）11i 22+ （3）下列函数中既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是( )（A ）cos y x =（B ）y（C ）2xy =（D ）lg y x =（4）设实数()0,1a ∈,则函数()22(21)1f x x a x a =-+++有零点的概率为( ) （A ）34（B ）23（C ）13（D ）14（5）某学校需从3名男生，2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( ) （A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）42（6）在平面直角坐标系中，直线y =与圆22:1O x y +=交于A 、B 两点，α、β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan()αβ+的值为( )（A ）-（B ）（C ）0（D ）（7）已知函数()22sin(),,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x = ，且12x x ≠ ，则()12f x x +的值为( )（A ）0 （B ）1（C（D （8）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )（A ）y x =±（B ）y =（C ）y =（D ）2y x =±（9）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）36 （B ）48 （C ）64 （D ）72（10）执行如图所示的程序框图，若输入n =10，则输出k 的值为( ) （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4（11）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点)2,(ac Q在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( ) （A ）)22,51( （B ）)22,41(（C ）)22,31(（D ）)22,52( （12）设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0xxe λλ-≥恒成立，则λ的最小值为( ) （A ）1e（B ）12e（C ）2e（D ）3e 第二部分本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量(,1)x =a ,与向量(9,)x =b 的夹角为π，则x =___________． （14）若函数()1mf x x x =+-(m 为大于0的常数)在()1,+∞上的最小值为3，则实数m 的值为____________．（15）已知M ，N 分别为长方体1111ABCD A BC D -的棱11,AB A B 的中点，若1,2A B A D A A ===，则四面体1C DMN -的外接球的表面积为_______． （16）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法—“三斜求积术”，即△ABC 的面积S =，其中a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边.若b =2，且tanC =，则△ABC 的面积S 的最大值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 为其前n 项和，125,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）证明139,,S S S 成等比数列；（Ⅱ）设121,n n a b a ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，D 为BC 的中点，∠BAC =90°，∠A 1AC =60°，AB =AC =AA 1=2．（Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；（Ⅱ）当BC 1=4时，求直线B 1C 与平面ADC 1 所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率； （Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值．．．．．．为决策依据，你会选择采购哪款车型？平面直角坐标系中，动圆C 与圆()22114x y -+=外切，且与直线12x =-相切，记圆心C 的轨迹为曲线T .（Ⅰ）求曲线T 的方程；（Ⅱ）设过定点(),0Q m (m 为非零常数)的动直线l 与曲线T 交于A 、B 两点，问：在曲线T 上是否存在点P （与A 、B 两点相异），当直线P A 、PB 的斜率存在时，直线P A 、PB 的斜率之和为定值.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数()()222xa f x x e x =--，其中a R ∈,e 为自然对数的底数. （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能与x 轴相切，求实数a 的值；否则，请说明理由；（Ⅱ）若函数()2y f x x =+在R 上单调递增，求实数a 能取到的最大整数值．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点)2,3()6,3(ππB A 、，直线l 平行于直线AB ，且将封闭曲线:2cos (0)3C πρθρ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭所围成的面积平分. 以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)在直角坐标系中，求曲线C 及直线l 的参数方程； (Ⅱ)设点M 为曲线C 上的动点，求22MA MB +取值范围．（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()212,f x x a x a a R =+-+-∈．()()224241g x x x x =--+- .（Ⅰ）若()22141f a a ->- ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数 x ，y ，使()()0f x g y +≤ ，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BACDD 6-10:ABABC 11、12：BA二、填空题13. -3 14. 1 15. 13π16.三、解答题17.解：（1）由题意有2215a a a = ，即()()21114a d a a d +=+ ，解得12d a =，又11311911,339,93681S a S a d a S a d a ==+==+=， 即9123S S S ⋅=， 又∵139,,S S S 均不为零， 所以139,,S S S 成等比数列.（2）()()()()23232222221221221221n n n T a a a a =+++=-+-+-++-()2322222224n n n n +=++++-=--18.（1）证明：连结1AC 与1AC 相交于点E ，连结ED . ∵,D E 为中点，∴1//A B ED ，又∵1A B ⊄平面1,ADC ED ⊂平面1ADC ，∴1//A B 平面1ADC .（2）∵112,4AB AC BC ===， ∴22211AB AC BC +=，∴1BA AC ⊥，又∵1,,BA AC AC AC A AC ⊥=⊂ 平面111,A ACC AC ⊂平面11A ACC ， ∴BA ⊥平面11A ACC ， ∴平面11A ACC ⊥平面ABC.如图，过A 在平面11A ACC 内作AZ AC ⊥，垂足为A ． ∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC 平面ABC BC =， ∴AZ ⊥平面ABC ．以点A 为原点，,,AB AC AZ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，得下列坐标：()()()()(((1110,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,,,A B C D A C B ．设平面1ADC 的一个法向量(),,1m x y =，则100m AD m AC ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴030x y y +=⎧⎪⎨⎪⎩，解之得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴m ⎫=⎪⎪⎝⎭．又∵(12,1,B C =-．∴111cos ,B C m B C m B C m==所以直线1B C 与平面1ADC． 19.解：（1）由折线图中所给的数据计算可得1234563.56x +++++==，111316152021166y +++++==∴()()()()()()()()2222222.55 1.530.500.51 1.54 2.5535ˆ217.52.5 1.50.50.5 1.5 2.5b-⨯-+-⨯-+-⨯+⨯-+⨯+⨯===-+-+-+++． ∴ˆ162 3.59a=-⨯=． ∴月度市场占有率y 与月份序号x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+． 当7x =时，ˆ27923y=⨯+=． 故M 公司2017年4月份的市场占有率预计为23%．（2）由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，∴每辆A 款车可产生的利润期望值为()()()()150010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175E ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（元）．由频率估计概率，每辆B 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，∴每辆B 款车可产生的利润期望值为：()()()()250012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150E ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（元）， ∵12E E ξξ>， ∴应该采购A 款单车．20.解：（1）不妨设动圆C 的圆心为()00,x y ，易知圆()22114x y -+=的圆心为()1,0，半径为12， ∵动圆C 与圆()22114x y -+=外切，且与直线12x =-相切，∴圆心C 在直线12x =-的右侧，且点C 到点()1,0的距离比点C 到直线12x =-的距离大12， 即012x >-，且01122x ++=∴01x +=2004y x =，即曲线T 的轨迹方程为24y x =．（2）假设在曲线T 上存在点P 满足题设条件，不妨设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ， 则10201010202044,PA PB y y y y k k x x y y x x y y --====-+-+， ∴()()120210200120124244PA PB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++（*） 显然动直线l 的斜率非零，故可设其方程为,x ty m t R =+∈， 联立24y x =，整理得2440y ty m --=， ∴12124,4y y t y y m +==-，且12y y ≠， 代入（*）式得()002200004421684444PA PB t y t y k k y ty m y t y m+++==+-+-， 显然0y ≠，于是()()()2000416480PA PB PA PB y k k t k k y m y +-++--=⎡⎤⎣⎦（**）， 欲使（**）式对任意t R ∈成立，∴()()()02004160480PA PB PA PB y k k k k y m y ⎧+-=⎪⎨+--=⎪⎩， 显然2040y m -≠，否则由()()200480PA PB k k y m y +--=可知00y =， 从而可得0m =，这与m 为非零常数矛盾，∴0020484PA PB PA PB k k y y k k y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩， ∴0200844y y y m=-，∴204y m =-， 于是，当0m >时，不存在满足条件的0y ，即不存在满足题设条件的点P ； 当0m <时，0y =±，将此代入抛物线T 的方程可求得满足条件的P点坐标为(m -或(,m --． 下面说明此时直线PA PB 、的斜率必定存在，∵124y y m =-，∴22212121616y y m x x ==，∴212x x m =，显然12x x ≠，∴1x m ≠-，且2x m ≠-，∴直线PA PB 、的斜率必定存在， 综上所述，存在点P （与A B 、两点相异），其坐标为(()0m m -<，或((),0m m --<，使得直线PA PB 、的斜率之和为定值．21.解：（1）()()1xf x x e ax '=--，假设函数()f x 的图象与x 轴相切于点(),0t ，则有()()00f t f t =⎧⎪⎨'=⎪⎩，即()()220,210,tt a t e t t e at ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩①②， 由②可知()1tat t e =-，代入①中可得()()1202ttt t t e e ---=． ∵0te >， ∴()()1202t t t ---=，即2340t t -+=， ∵70∆=-<，∴方程2340t t -+=无解，故无论a 取何值，函数()f x 的图象都不与x 轴相切． （2）记()()2222xa g x x e x x =--+， 由题意知()()120x g x x e ax '=--+≥在R 上恒成立． 由()120g a '=-+≥，可得，()0g x '≥的必要条件是2a ≤，若2a =，则()()()()12212x xg x x e x x e '=--+=--，当ln 21x <<时，()0g x '<，故2a <，下面证明：当1a =时，不等式()120xx e x --+≥恒成立．令()()12xh x x e x =--+，则()1xh x xe '=-．记()1xH x xe =-，则()()1xH x x e '=+，当1x >-时，()()0,H x H x '>单调递增且()11H x e>--； 当1x <-时，()()0,H x H x '<单调递减且()110H x e--<<，∵()110,1102H H e ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭． ∴存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00H x =，且当()0,x x ∈-∞时，()0H x >，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0,H x h x <单调递增． ∴()()()0000min 12xh x h x x e x ==--+，∵()00H x =， ∴01x ex =， ∴()()00000011123h x x x x x x ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭， ∵0112x <<，∴001522x x <+<，∴()()0min 0h x h x =>，从而()120x x e x --+≥恒成立，故a 能取得的最大整数为1． 22.解：（1）∵2cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴212cos 2ρρθθ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，∴22x y x +=，∴22112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 显然曲线C为圆，圆心为1,22⎛⎝⎭， 从而曲线C的参数方程为1cos 2sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）易知(32A B ⎛⎝⎭、，∴202AB k ==-AB 的倾斜角为56π， ∵直线l 平分圆C 的面积，∴直线l 经过圆C的圆心12⎛⎝⎭， ∴直线l的参数方程为15cos 265sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l的参数方程为12122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）； （2）不妨设1cos ,sin 22M αα⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭， 则()2222221cos 1sin cos sin 22MA MB αααα⎛⎛⎫+=-++++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭4cos 42sin 6πααα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，又[]sin 1,16πα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴[]2242sin 2,66MA MB πα⎛⎫+=-+∈ ⎪⎝⎭． 23.解：（1）∵()22141f a a ->-，∴2222141a a a a -+->-，∴()12140a a a -++->， ∴214a a ++>且1a ≠，①若1a ≤-，则214a a --->，∴53a <-；②若10a -<<，则214a a -++≥，∴3a <-，此时a 无解； ③若0a ≥且1a ≠，则214a a ++>，∴1a >；综上所述，a 的取值范围是53a <-或1a >，即()5,1,3a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）∵()()()22415511g x x x =-+-≥=--，显然可取等号，∴()min 1g x =-，于是，若存在实数,x y ，使()()0f x g y +≤，只需使()min 1f x ≤， 又()()()()22212121f x x a x a x a x aa =+-+-≥+---=-，∴()211a -≤，∴111a -≤-≤，∴02a ≤≤，即[]0,2a ∈．。
【中小学资料】广东省深圳市2017届高三理综第二次调研考试试题
深圳市2017年高三年级第二次调研考试理科综合能力测试第一部分一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关叶肉细胞代谢的说法正确的是A．叶绿体内，在类囊体上分解ATP释放能量B．叶绿体内，在基质中依靠酶催化产生O2C．线粒体内，H2O中的O可参与构成CO2D．线粒体内，H2O中的H可参与构成C6H12O62以下利用相关材料能够达到相应目的的是A．以洋葱表皮为材料，观察染色体数目B．以蓝藻和衣藻为材料，提取叶绿素C．以肺炎双球菌为材料，观察中心体D．以蛔虫受精卵为材料，观察染色体联会3．人体内肌糖原经过一系列化学反应可生成乳酸，并进入肝细胞转变成葡萄糖：葡萄糖-6-磷酸酶可催化肝耱原转化为葡萄糖。
相关说法合理的是A．胰高血糖素能抑制葡萄糖-6-磷酸酶的活性B．胰岛素能提高葡萄糖-6-磷酸酶的活性C．肌细胞中控制葡萄糖-6-磷酸酶的基因不表达D．肌糖原和肝糖原都可以直接转化为血糖4．有关植物激素的说法，合理的是A．植物激素直接参与细胞内的代谢活动B．植物的发育从根本上说是激素调节的结果C．生长素与赤霉素能够协同促进果实发育D．激素之间的相互作用不存在反馈调节5．正常情况下，DNA分子在细胞内复制时，双螺旋解开后会产生一段单链区。
DNA结合蛋白( SSB)能很快地与单链结合，防止解旋的单链重新配对，而使DNA呈伸展状态，SSB在复制过程中可以重复利用。
下列有关推理合理的是A．SSB是一种解开DNA双螺旋的解旋酶B．SSB与单链的结合将不利于DNA复制C．SSB与DNA单链既可结合也可以分开D．SSB与单链的结合遵循碱基互补配对原则6．下列有关人类单基因遗传系谱图中，第III代患病概率最低的是（标记阴影的个体是患者，其余为正常。
）7．化学与生产、生活密切相关，下列说法正确的是A．氢氟酸可蚀刻玻璃说明氢氟酸具有强酸性B．油脂的氢化说明油脂分子中含有不饱和键C．维生素C常用作抗氧化剂说明它具有氧化性D．汽车尾气中含有氮氧化物说明汽油中含有氮元素8设N A为阿伏加德罗常数的值。
广东省深圳市高三数学第二次调研考试试题 文
深圳市2017年高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共7页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考 生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合{}2|20A x x x =-<，{}|20B x x =-<则( )（A ）A B φ= （B ）A B A = （C ）A B A = （D ）A B R =（2）已知复数z 满足(1+i)z =3+i ，其中i 是虚数单位，则 z =( )（A ）10 （B（C ）5 （D（3）下列函数中既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )（A ）cos y x = （B ）12y x = （C ）2x y = （D ）lg y x =（4）若实数x ，y 满足约束条件103020,,,x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为( )（A ）8- （B ）6- （C ）2- （D ）4（5）已知平面向量a ，b，若=a 2=b ，a 与b 的夹角6πθ=，且()m -⊥a b a 则m =( ) （A ）12 （B ）1 （C（D ）2（6）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +== 则20a =( )（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）12（7）一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x 、y 、z ，当且仅当y >x ，y >z 时,称这样的数为“凸数”（如243），现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )（A ）23 （B ）13 （C ）16 （D ）112（8）已知三棱锥S -ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB =8，SC ⊥平面ABC ，SC =6，则三棱锥的外接球的表面积为( )（A ）64π （B ）68π （C ）72π （D ）100π（9）已知函数()22sin()(0),,123f x x x ππωϕω⎡⎤=+>∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x = ，且12x x ≠ ，则()12f x x +=( )（A ）1（B（C （D ）2（10）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )（A ）24（B ）48 （C ）72（D ）96 （11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右顶点分别为1A 、2A ，M 是双曲线上异于1A 、2A 的任意一点，直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP ，OM ，OQ 依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是( )（A ）)+∞ （B ）)+∞ （C ）( （D ）( （12）若对任意的实数a ，函数()()1ln f x x x ax a b =--++有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是( )（A ）(],1-∞- （B ）(),0-∞ （C ）()0,1（D ）()0,+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终 边过点P (1,2)，则tan()4πθ+=______．（14）已知直线:30l x my +-=与圆22:4C x y +=相切，则m =______．（15）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图，是解决这类问题的程序框图，若输入n =40，则输出的结果为_______．（16）若数列{}{},n n a b 满足111a b ==，1n n b a +=-，132n n n a a b +=+ ，*n N ∈ .则20172016a a -=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2sin cos ,4b B b A c =+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若D 是BC 的中点，AD ，求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C - 中，∠ACB =90°，E 为A 1C 1的中点，11CC C E=（Ⅰ）证明：CE 平面AB 1C 1；（Ⅱ）若1AA = ，∠BAC =30°，求点E 到平面AB 1C 的距离．（19）（本小题满分12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和.（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与x ,y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？（20）（本小题满分12分）已知圆C ：()22114x y -+=，一动圆与直线12x =-相切且与圆C 外切. （Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）若经过定点Q (6,0)的直线l 与曲线T 相交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA ⊥NB ，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．（21）（本小题满分12分）设函数()(,)xf x xe ax a R a =-∈为常数,e 为自然对数的底数． (Ⅰ)当()0>f x 时，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)当a =2时，求使得()0f x k +> 成立的最小正整数k ．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点,62A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭，曲线 :2cos (0)3C πρθρ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭. 以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)在直角坐标系中，求点A ，B 的直角坐标及曲线C 的参数方程；(Ⅱ)设点M 为曲线C 上的动点，求22MA MB +取值范围．（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()212,f x x a x a a R =+-+-∈．（Ⅰ）若()21f a a ≤- ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x ≤存在实数解，求实数a 的取值范围．。
广东省深圳市2017-2018学年高三第二次调研考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A．2C ．2D ．1 2.设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“()x A B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若1cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A．C ．79-D ．794.若实数,x y 满足约束条件1010410x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ）A ．14 B ．23 C ．32D ．2 5.在如图所示的流程图中，若输入的,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =（ ） A ．1 B ．2 C ．lg 2 D ．106.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=7.以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 C ．2或3D 8.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A ．310 B ．35 C ．25 D ．159.如图，正方形ABCD 中，M N 、分别是BC CD 、的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）A ．2B ．83 C ．65 D ．8510.已知()()ln ,0ln ,0x x x f x x x x -->⎧=⎨--+<⎩，则关于m 的不等式11ln 22f m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()2,00,2-11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A ．48B ．16C ．32D ．12.设定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()11ln ,xf x f x x x f e e⎛⎫'-== ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，也无极小值第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为___________．14.过点()3,1P 的直线l 与圆()()22:224C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾倒角等于___________．15.在10201612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为_________．（结果用数值表示）16.如图，在凸四边形ABCD 中，1,,AB BC AC CD AC CD ==⊥=．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：根据表中统计的数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点,E F 分别在线段111,AA A B 上，且113,,24AE A F CE EF ==⊥ . （1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CA CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为-4．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为()4,0，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．21.（本小题满分12分）已知函数()2x ax f x e=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()()1min ,0g x f x x x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若函数()()2h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于E ，030AEC ∠=．（1）求证：AF FO =；（2）若CF =AD AE 的值．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++．参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.C5.A6.A7.C8.B9.D 10.C 11.B 12.D 二、填空题 13. 6π 14. 4π（或45°）1 三、解答题17.解：（1）由已知得12n n S a +=，① 当2n ≥时，()1121n n S a --=-，②①-②可得()*1222,n n n a a a n n N -=-≥∈，∴12n n a -=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由12n n n a b n -=得01211122331222322n n n n T a b a b a b L a b L n -=++++=++++， ()1210121212221221222222221212n n n n n nn n nn T L n n T L n n n --=+++-+--=++++-=-=--- ∴()121nn T n =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.解：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45,m 25500500400m ==+， ∴25205,20182x y =-==-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分而()24515510159 1.125 2.706301525208k ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为15152453+=，所以从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为23． 记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A ，则事件A 发生的概率为()2232241339P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分 ②由题意知，随机变量23,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以随机变量X 的数学期望()2323E X =⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）取线段AB 中点M ，连接EM ． 在正方形11ABB A 中，131,2AM A E ==， 在Rt EAM ∆和1Rt FA E ∆中，1123AE AM A F A E ==， 又12EAM FA E π∠=∠=，所以1Rt EAMRt FA E ∆∆，∴1AEM A FE ∠=∠，从而1112AEM A EF A FE A EF π∠+∠=∠+∠=，所以2FEM π∠=，即EF EM ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又,EF CE ME CE E ⊥=，所以EF ⊥面CEM ．QCM ⊂面CEM ，∴CM EF ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 在等腰三角形CAB ∆中，CM AB ⊥，又AB 与EF 相交，知 ∴CM ⊥面1AB ，QCM ⊂面ABC ，∴面11ABB A ⊥面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）在等腰三角形CAB ∆中，由,2CA CB AB ⊥=知CA CB ==1CM =， 记线段11A B 中点为N ，连接MN ，由（1）知，,,MC MA MN 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以,,MC MA MN 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则()()()1111,0,0,0,1,,0,,2,0,1,0,1,0,224C E F A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设平面CEF 的法向量为(),,n x y z =，则,n CE n EF ⊥⊥，即102202332042x y z x y z y z y z ⎧-++=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩， 取2z =，则4,5y x ==，从而得到平面CEF 的一个法向量()5,4,2n =．．．．．．．．．．．．．．10分()11,1,2AC =-，记直线1AC 与平面CEF 所成角为θ，则111154sin cos ,456AC n AC nAC nθ-====． 故直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）由于抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，故可设直线AB 的方程为2p x my =+，由方程组222y pxp x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x ，并整理，得2220y pmy p --=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分设()()1122,,,A x y B x y ，则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >可得，2p =，∴ 抛物线C 的方程为24y x =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）解法一：依题意，直线BD 与x 不垂直， ∴24x ≠，∴直线BD 的方程可表示为()2244y y x x =--，①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 点坐标为2251,4y x ⎛⎫--⎪-⎝⎭， 由（1）可得124y y =-， ∴214y y -=， 从而P 点坐标可化为12151,1y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直线AP 的斜率为1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程可表示为()1112141y x x y y y --=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令0y =，可求得222111111114444y y x x y --=-=-=，∴直线AP 与x 轴交于定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二：直线AP 与x 轴交于定点1,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 证明如下：依题意，直线BD 与x 不垂直， ∴24x ≠，∴直线BD 的方程可表示为()2244y y x x =--，①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，②由①，②联立方程组可求得P 点坐标为2251,4y x ⎛⎫--⎪-⎝⎭， 由（1）可得124y y =-， ∴214y y -=， 从而P 点坐标可化为12151,1y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴P M 、两点的连线斜率为12112150141114PMy y yk y --==---，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 A M 、两点的连线斜率为1121104114AM y yk y x -==--．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ∴PM AM k k =∴P A M 、、三点共线，即直线AP 与x 轴交于定点1,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）对()f x 求导得()()()2222x xxx x x x e x e f x aa e e --'==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 设直线1y x e=与曲线()y f x =切于点()00,P x y ，则 ()002000121x x ax x e e x x a ee ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得01a x ==， 所以a 的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数()()211,0x x F x f x x x x x e x ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭，下面考察函数()y F x =的符号，对函数()y F x =求导得()()2211,0x x x F x x e x -'=-->．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当2x ≥时，()0F x '<恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当02x <<时，()()22212x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦， 从而()()222221111111110x x x x F x e x e x x x-'=--≤--<--=-<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴()0F x '<在()0,+∞上恒成立，故()y F x =在()0,+∞上单调递减．()()214310,202QF F e e =>=-<，∴()()120F F <， 又曲线 ()y F x =在[]1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃唯一的()01,2x ∈，使()00F x =．∴()()00,,0x x F x ∈>；()0,x x ∈+∞，()0F x <，∴()()0201,01min ,,xx x x x g x f x x x x x x e ⎧-<≤⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪>⎪⎩， 从而()()2022201,0,xx cx x x x h x g x cx x cx x xe ⎧--<≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩， ∴()()020112,022,x cx x x xh x x x cx x xe ⎧+-<<⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由函数()()2h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在()0,+∞上连续不断知()0h x '≥在()00,x ，()0x ,+∞上恒成立．①当0x x >时，()220xx x cx e --≥在()0x ,+∞上恒成立，即22x xc e -≤在()0x ,+∞上恒成立， 记()02,x x u x x x e -=>，则()03,xx u x x x e -'=>， 当x 变化时，()(),u x u x '变化情况列表如下：∴()()()3min 3u x u x u e ===-极小， 故“22x x c e -≤在()0,x +∞上恒成立”只需()3min12c u x e ≤=-，即 312c e≤-． ②当00x x <<时，()2112h x cx x'=+-，当0c ≤时，()0h x '>在()00,x 上恒成立，综合①②知，当312c e≤-时，函数()()2h x g x cx =-为增函数．故实数c 的取值范围是31,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=， 又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，∴AF FO =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：连接BE ，∵CF =AOC ∆边等边三角形， 可求得1,4AF AB ==，∵AB 为圆O 的直径，∴090AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠，又∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB AFD ∆∆，∴AD AFAB AE=， 即414AD AE AB AF ==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.解：（1）圆C 的直角坐标方程为()2234x y -+=，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由直线l sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭变形可得 sin cos 1ρθρθ-=，∴l 的直角坐标方程为10x y -+=， 设直线l 上点P ，切点A ，圆心()3,0C ， 则有222PA PC AC =-， 当PC 最小时，有PA 最小，而PC ≥=，所以2PA =≥=．即切线长的最小值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．解：（1）由23325x x x x --+≤+-+=，若231x x m --+≥+有解，应满足15m +≤，解得64m -≤≤，所以4M =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由正数,,a b c 满足24a b c ++=，知()()111111111221444a b b c a b b c a b b c a b b c a b b c b c a c b c a b ⎛⎫++++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++≥+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,2a c a b =+=时取等号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
广东省深圳市高三数学第二次调研考试试题 文
深圳市2017年高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共7页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考 生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合{}2|20A x x x =-<，{}|20B x x =-<则( ) （A ）AB φ= （B ）A B A = （C ）A B A = （D ）A B R =（2）已知复数z 满足(1+i)z =3+i ，其中i 是虚数单位，则 z =( ) （A ）10（B（C ）5（D（3）下列函数中既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( ) （A ）cos y x =（B ）12y x =（C ）2xy =（D ）lg y x =（4）若实数x ，y 满足约束条件103020,,,x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为( )（A ）8-（B ）6-（C ）2-（D ）4（5）已知平面向量a ，b，若=a 2=b ，a 与b 的夹角6πθ=，且()m -⊥a b a 则m =( )（A ）12（B ）1（C（D ）2（6）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +== 则20a =( ) （A ）4（B ）6（C ）10（D ）12（7）一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x 、y 、z ，当且仅当y >x ，y >z 时,称这样的数为“凸数”（如243），现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( ) （A ）23（B ）13（C ）16（D ）112（8）已知三棱锥S -ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB =8，SC ⊥平面ABC ，SC =6，则三棱锥的外接球的表面积为( ) （A ）64π （B ）68π （C ）72π（D ）100π（9）已知函数()22sin()(0),,123f x x x ππωϕω⎡⎤=+>∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x = ，且12x x ≠ ，则()12f x x +=( )（A ）1 （B（C（D ）2（10）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）24 （B ）48 （C ）72（D ）96（11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右顶点分别为1A 、2A ，M 是双曲线上异于1A 、2A 的任意一点，直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP ，OM ，OQ 依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是( )（A ）)+∞（B ）)+∞（C ）(（D ）(（12）若对任意的实数a ，函数()()1ln f x x x ax a b =--++有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) （A ）(],1-∞-（B ）(),0-∞（C ）()0,1（D ）()0,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终 边过点P (1,2)，则tan()4πθ+=______．（14）已知直线:30l x my +-=与圆22:4C x y +=相切，则m =______．（15）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图，是解决这类问题的程序框图，若输入n =40，则输出的结果为_______．（16）若数列{}{},n n a b 满足111a b ==，1n n b a +=-，132n n n a a b +=+ ，*n N ∈ .则20172016a a -=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2sin cos ,4b B b A c =+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若D 是BC 的中点，AD ，求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C - 中，∠ACB =90°，E 为A 1C 1的中点，11CC C E=（Ⅰ）证明：CE 平面AB 1C 1；（Ⅱ）若1AA = ，∠BAC =30°，求点E 到平面AB 1C 的距离．（19）（本小题满分12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和.（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与x ,y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？（20）（本小题满分12分） 已知圆C ：()22114x y -+=，一动圆与直线12x =-相切且与圆C 外切. （Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）若经过定点Q (6,0)的直线l 与曲线T 相交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA ⊥NB ，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．（21）（本小题满分12分）设函数()(,)xf x xe ax a R a =-∈为常数,e 为自然对数的底数．(Ⅰ)当()0>f x 时，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)当a =2时，求使得()0f x k +> 成立的最小正整数k ．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点,62A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭，曲线 :2cos (0)3C πρθρ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭. 以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)在直角坐标系中，求点A ，B 的直角坐标及曲线C 的参数方程；(Ⅱ)设点M 为曲线C 上的动点，求22MA MB +取值范围．（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()212,f x x a x a a R =+-+-∈． （Ⅰ）若()21f a a ≤- ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x ≤存在实数解，求实数a 的取值范围．。