立体图形的体积
空间与图形7.立体图形的体积计算
空间与图形7.立体图形的体积计算在几何学中，我们经常会遇到需要计算立体图形的体积的情况，比如计算一个长方体、圆柱体或者球体的体积。
本文将介绍一些常见立体图形的体积计算公式和应用实例。
1. 长方体的体积计算公式长方体是最简单的立体图形之一，它的体积可以通过以下公式计算：体积 = 长 × 宽 × 高其中，长、宽和高分别为长方体的三个边长。
例如，一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为2cm，那么它的体积为：体积 = 5cm × 3cm × 2cm = 30cm³2. 圆柱体的体积计算公式圆柱体是具有圆形底面的立体图形，其体积计算公式如下：体积 = 圆的面积 × 高其中，圆的面积可以通过以下公式计算：圆的面积= π × 半径²考虑一个圆柱体的半径为2cm，高为6cm，那么它的体积为：圆的面积= π × 2cm² ≈ 12.57cm²体积= 12.57cm² × 6cm ≈ 75.42cm³3. 球体的体积计算公式球体是具有球面的立体图形，其体积计算公式如下：体积= 4/3 × π × 半径³考虑一个球体的半径为3cm，那么它的体积为：体积= 4/3 × π ×3cm³ ≈ 113.1cm³4. 实际应用示例立体图形的体积计算在日常生活和工程应用中非常常见。
以下是一些实际应用示例：a. 建筑领域建筑领域常常需要计算建筑物的空间容量，比如计算一个房间的体积和容积。
这对于材料采购、空调和供暖系统设计等非常重要。
b. 工业设计在工业设计中，计算产品的容量常常是必需的。
例如，在设计一个储存液体或气体的容器时，需要计算容器的容量以确定其尺寸和形状。
c. 液体储存在液体储存中，需要计算容器的体积以确定液体的存储量。
常用立体图形体积公式
常用的立体图形体积公式：
长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）
正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）
圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】
角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】
柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）
表面积的公式
1、柱体
（1）棱柱
每个面的面积相加
）特殊长方体、正方体（
长方体：S=2(ab+ah+bh)
正方体：S=6a^2
（2）圆柱
S=2πr^2+2πrh
2、锥体
（1）棱锥
每个面的面积相加
（2）圆锥
S=πr^2+πrl
3、台体
（1）棱台
每个面的面积相加
（2）圆台
S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l
4、球
S=4πr^2
提问人的追问2010-03-07 08:00 请问台体是什么呀？？
回答人的补充2010-03-07 09:49。
立体图形的表面积和体积
表面积和体积
概念 公式
表面积 一个立体图形所有 的面的面积总和，叫做 它的表面积（它的计量 单位一般是：平方米， 平方分米，平方厘米）
体 积 一个立体图形所占空间 的大小叫做它的体积（它的 计量单位一般是：立方米， 立方分米，立方厘米）
长方体
h
6
4 3 2 1
5
a
b
表面积＝ ╳宽＋长╳高＋宽╳高）╳ 2 （长 S长 =(ab+ah+bh) ╳ 2
再 见
A、3 B、9 C、18 D、27
第一关：
试一试，你能过几关！
一个长方体的长是8厘米，宽4厘米，高 6厘米。它的表面积和体积各是多少？ 第二关：
把上面的长方体削成一个最大的正方体， 它的表面积和体积又各是多少呢？ 第三关： 把上面的正方体又削成一个最大的圆柱 体，它的表面积和体积又各是多少？
第四关：
公式，并说一说它们有什么联系。
h S S
h
h S
V=sh
圆
h r
锥
侧面 底面
体
1 积＝ 3
╳
底面积
╳
高
1 V锥 ＝ 3 πr² h
判断：
1、正方体的棱长 扩大2倍，体积就 扩大6倍。（ ╳ ）
2、长方体比长 方形大。（ ╳ ）
3、油桶的容积 就是油桶的体积。 （╳ ）
4、一个正方体与一个圆 柱体的底面周长相等， 高也相等。那么它们的 体积也相等。（ ╳ ）
5、在同一个长方体 内，相交于每一个顶 点的三条棱长度的和 都相等。（ √）
6、把一个圆柱体削成 一个最大的圆锥，圆锥 的体积是削去部分的体 积的一半。（√）
请选择：
1、把一个棱长是9厘米的 正方体，切成棱长为3厘米 的小正方体。可以得到 A （ ）个小正体。
立体图形的体积计算
圆柱体的体积计算 可以通过底面积乘 以高来实现，也可 以通过积分来求解。
圆柱体的体积计算在 日常生活和工程中有 着广泛的应用，如计 算圆柱形物体的容积 、液体容量等。
圆柱体的体积计算是 立体几何中一个重要 的知识点，对于理解 三维空间和立体图形 的性质具有重要意义 。
圆锥体的体积公式：V=1/3πr²h 圆锥体的体积计算方法：先求出底面积和高，再代入公式计算 圆锥体的体积计算实例：以实际题目为例，演示如何计算圆锥体的体积 圆锥体的体积计算注意事项：强调计算过程中需要注意的事项，如单位统一等
立体图形的体积计算
汇报人：XX
目录
立体图形的种类
立体图形体积计算 的基本公式
立体图形体积计算 的应用
立体图形体积计算 的注意事项
立体图形体积计算 的练习题
立体图形的种类
长方体的体积公式：V=a×b×c，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。
体积计算中需要注意的要点：长、宽、高的尺寸单位需要统一，计算时按照顺序进行乘法运 算。
一个圆柱体的体积是 314立方厘米，它的底 面积是314平方厘米， 它的高是多少厘米？
一个圆锥体的体积是 12.56立方厘米，它的 底面积是12.56平方厘 米，它的高是多少厘米？
计算正方体的体积：边长为6cm，求体积。 计算长方体的体积：长为8cm，宽为4cm，高为3cm，求体积。 计算圆柱体的体积：底面半径为4cm，高为5cm，求体积。 计算圆锥体的体积：底面半径为6cm，高为8cm，求体积。
七年级立体图形知识点
七年级立体图形知识点立体图形是数学中的一个重要概念，经常在我们日常生活和工作中得以应用。
对于七年级的学生来说，掌握立体图形的相关知识点是非常重要的。
在本文中，我们将详细介绍七年级立体图形的相关知识点。
一、立体图形的定义和分类立体图形是三维图形的总称，它是由三个互相垂直的面围成的空间图形。
常见的立体图形有球体、立方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等。
其中，球体是一种完全由曲面包围的立体图形，是半径相等的所有点到球心的距离相等的点的集合；立方体和长方体都是由六个矩形面围成的，不同之处在于它们的底面和顶面是否相等；棱柱和棱锥都是由底面和侧面围成的，不同之处在于前者侧面是矩形，后者则是三角形；圆柱和圆锥都是由底面和侧面围成的，前者侧面是矩形，后者则是圆形。
二、立体图形的表面积和体积立体图形的表面积是指这个立体图形所有表面的面积之和。
计算立体图形的表面积时，需要根据不同的图形，分别求出各自的表面积再相加。
立体图形的体积是指这个立体图形所占的空间大小。
计算立体图形的体积时，需要根据不同的图形，采用不同的公式进行计算。
比如，立方体的体积 = 底面积 ×高；长方体的体积 = 底面积 ×高；球体的体积= 4/3 π × 半径³。
其他各种立体图形的体积公式可以参考相关资料。
三、立体图形的相似与全等相似立体图形是指两个立体图形除大小不同外，其他各项都完全相同。
如果两个立体图形的形状完全相同，大小也完全相同，那么它们就是全等的。
确定两个立体图形是否相似或全等，需要注意它们的形状和大小，即需要比较它们的各个面的大小和相对位置是否一致。
四、立体图形的画法绘制立体图形是学习立体图形的重要环节之一。
在画法方面，最常用的方法是利用纸片来绘制出一个未拼装的立体图形模型，然后将纸片按照一定的方式拼合起来，形成一个完整的立体图形。
此外，还可以利用计算机绘图软件来绘制立体图形，这种方法简单方便，且可以通过旋转、缩放等操作改变图形的样式和角度，有利于更好地理解立体图形的各项特征。
五年级奥数-立体图形的体积(含解析)
1.掌握立体图形的体积计算常用公式．2.掌握求不规则立体图形体积的常用方法．本讲立体图形的体积计算，与第七讲的立体图形的表面积，是姐妹篇．对于小学几何而言，立体图形的体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试(比如仁华的入学考试，几乎每年必考)都很重视对立体图形的考查．其中，尤其要以“不规则立体图形的体积”为考查重点．立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体V abh=V Sh=三要素：a、b、h二要素：S、h正方体3V a=V Sh=一要素：a二要素：S、h 立体图形的体积圆柱体V=Sh二要素：S (或r 、d 、C ) 和h圆锥体V=13Sh 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法：一、 化虚为实法 二、 切片转化法 三、 先补后去法 四、 实际操作法 五、 画图建模法【例 1】 (第五届《小数报》数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．【分析】 设大长方体的宽(高)为a 分米，则长为2a ，右(左)面积为2a ，其余面的面积为22a ，根据题意， 22222862600a a a ⨯++⨯= 所以225a =，5a =． 大长方体的体积2555250=⨯⨯⨯=(立方分米)．［铺垫］ (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．2.4米［分析］ 96812÷=(平方厘米)，122402880⨯=(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【例 2】 (第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块．最多可放 块．【分析】 下图表明34⨯的长方形可以填满712⨯的长方形．于是534⨯⨯的长方体可以填满40712⨯⨯的长方体，即盒子中最多可放这种长方体规则立体图形体积的计算44443333340712(534)56⨯⨯÷⨯⨯=(个)．［巩固］ (第九届“迎春杯”数学竞赛决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割 成 个小正方体．［分析］ 因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体，剩余部分再切割出33322227819⨯⨯-⨯⨯=-=个棱长是1厘米的小正方体，这样总共可以分割成11920+=(个)小正方体．现有一张长40厘米、宽20厘米的 长方形铁皮，请你用它做一只深是 5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处 及铁皮厚度不计，容积越大越好)， 你做出的铁皮盒容积是多少立方厘 米?【分析】 如图，在4020⨯的长方形铁皮的四角截去边1030长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖 铁皮盒．这个铁皮盒的长405530=--=(厘米)．宽205510=--=(厘米)，高5=(厘米)． 体积301051500=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯长方形铁皮的左侧两角上割下 边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40535=-=(厘米)，宽205510=--=(厘米)， 高5=(厘米)，体积351051750=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯的长方形铁皮的左右两侧各割 下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分 别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁 皮盒的长40555520=----=(厘米)， 宽20=(厘米)，高5=(厘米)，体积202052000=⨯⨯=(立方厘米)． 因此，最后一种容积最大．［铺垫］ (第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？［分析］ 容器的底面积是(134)(94)45-⨯-=(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是，45290⨯=(立方厘米)．【例 3】 (第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体1111ABCD A B C D -(如图)，大正方体内的对角线1AC ，1BD ，1CA ，1DB 所穿的小正方体都是红D 1C 1B 1A 1DC焊上焊上103520焊上焊上1392色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?【分析】 1AC 、1BD ，1CA ，1DB ，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体．除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过401111014-+=个小正方体这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成．因此大正方体由3101个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有310140110303014011029900-=-=． 即用了1029900个无色透明的小正方体．【例 4】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了 块木块．【分析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．［拓展］ 右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？［分析］ 正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的222⨯⨯的正方体，有4个． 所以共有正方体22426+=(个)． 由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13131440++=(个)．【例 5】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【分析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.A不规则立体图形体积的计算［拓展］ 这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？ ［分析］ 每一个112⨯⨯的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由112⨯⨯的长方体搭构而成.【例 6】 一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【分析】 观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm ，因为酒瓶深30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==［巩固］ 输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？［分析］ 100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是 10050150+=(毫升)．【例 7】 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】 8010(8016)12.5⨯÷-=，因为12.512>，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232⨯--⨯=，32800.4÷=，所以现在水深为120.412.4+=厘米［铺垫］ 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?［分析］ 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410⨯÷-=÷=(厘米)；(法2)：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8210+=(厘米)． (提问“圆柱高是15厘米”，和“高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)［拓展］ 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】 玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米，铁块体积为1612192⨯=立方厘米，因为160192<，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米总结铁块放入玻璃杯会出现三种情况①放入铁块后，水深不及铁块高.②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯，③水有溢出玻璃杯.小故事 教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题． 当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：“我找到方法了……”，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【例 8】 (武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【分析】 求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔， 挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔， 挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=． 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、 ()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为 138203214204+++=．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向：32上下方向：30 左右方向：40112211121222211211221122112111111222111111211211211222222222221121122总表面积为()2323040204⨯++=．［巩固］ 一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？［分析］ 解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520⨯=个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227⨯+⨯=个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227⨯+⨯+⨯=个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273-=，所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事． 但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”． 这里，化虚为实的思想方法很重要． 解法二：(用“切片法”来解) 可以从上到下切五层，得： （1） 从上到下五层，如图：（2） 或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：总结一下“切片法”： 全面打洞(例如本题，五层一样)挖块成线(例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖)． 这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【例10】 如图,已知A 、B 、C 分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求：⑴切掉的小部分的体积是多少？⑵剩下的大部分的体积是多少？【分析】 本题应用相关体积公式．⑴2111244103323V Sh ==⨯⨯⨯=锥⑵3185013V V =-=剩锥⑴教师可以沿三个不相邻的顶点再切一下，求小的图形与大的图形的体积各是多少？小的是：21118885323⨯⨯⨯=;大的是：24263.⑵教师可以提问：去掉一个角上的部分后，它的体积是原立方体体积的几分之几？【例11】 如图，是一个正方体，将正方体的A 、C 、B '、D '四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.D′C′B′A′DC BA【分析】 这个正四面体可以看作由正方体切掉A '、C '、B 、D 四个角后得到的，如图所示：B C AD′D′D′D′C′B′B′B′B′A′D CCB AA AA所以正四面体的体积1133343332718932⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=⎪⎝⎭.【例12】如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？【分析】知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积．将四棱锥沿对角线和顶点构成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称性，这条高也等于四棱锥的高.本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知．我们隆重推出“画图建模法”，比如：请注意在一个正方体中如何作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等边三角形围绕一个正方形，得到四棱锥．另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半．根据小正方形面积是8推得，大正方形面积是小正方形的2倍，所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4．所以小正方体的棱长为2．即四棱锥的高度为2．四棱锥的体积为168233⨯÷=立方厘米．1.(第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的12与高的13之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是 立方厘米．【分析】 长的12即宽，所以高的13就是1厘米，高是3厘米，宽是339⨯=厘米，长是9218⨯=厘米，体积是3918486⨯⨯=(立方厘米)．2. (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析】 长方体中高+宽1(3655)1802=-=， ⑴高+长1(4055)2002=-=， ⑵长+宽1(4855)2402=-=， ⑶⑵-⑴：长-宽20=， ⑷ ⑷+⑶：长130=，从而宽110=， 代入⑴得高70=． 所以长方体体积为701101301001000⨯⨯=(立方厘米) 1.001=(立方米)3. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【分析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为1644÷=平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是33224⨯=立方厘米.4. 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿． 7cm4cm5cm【分析】 由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm -=，从而水与空着的部分的比为4:22:1=，由图1知水的体积为104⨯，所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米．5. 有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?高宽长33223323322323111111【分析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．6.把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【分析】 分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：图3。
立体图形的体积
圆锥体的体积公式：V=1/3*π*r^2*h 其中，V表示圆锥体的体积，π表示圆周率，r表示圆锥体的底面半径，h表示圆锥体的高
圆锥体的体积计算公式适用于所有圆锥体，无论其底面是圆形、椭圆形还是其他形状
圆锥体的体积计算公式在实际生活中有很多应用，例如计算圆锥形物体的体积、计算圆锥形物体的重量等
球体的体积公式： V=4/3πr^3
立体图形的表面积 可以通过计算其各 个面的面积之和得 到。
PART THREE
立方体的体积计算公式为：V=a^3，其中a为立方体的边长 立方体的体积可以通过测量其边长来计算 立方体的体积也可以通过其对角线长度来计算，公式为：V=（对角线长度/2）^3 立方体的体积还可以通过其表面积和密度来计算，公式为：V=表面积*密度
XXX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XXX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
立体图形是三维空间中的图形，具有长度、宽度和高度三个维度。 立体图形可以分为两类：有规则的立体图形和无规则的立体图形。 有规则的立体图形包括：立方体、圆柱体、球体等。 无规则的立体图形包括：不规则形状的物体、自然物体等。
长方体的体积计算公式为：V=abc a、b、c分别表示长方体的长、宽、高 长方体的体积等于长、宽、高的乘积 长方体的体积计算公式适用于所有长方体
圆柱体的体积公式：V=πr^2h 其中，V代表体积，π代表圆周率，r代表半径，h代表高 圆柱体的体积可以通过公式计算得出 圆柱体的体积计算公式在实际生活中有广泛的应用
其中，V表示球体 的体积，r表示球 体的半径
球体的体积与半径 的关系：半径越大 ，体积越大
球体的体积与表面 积的关系：体积越 大，表面积越大
多面体体积和面积公式
多面体体积和面积公式多面体是指有多个面的立体图形，常见的多面体有立方体、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体等。
每种多面体都有其独特的体积和面积公式。
一、立方体：立方体是一个长宽高相等的六面体。
它的体积公式为：V=边长^3它的表面积公式为：A=6*边长^2二、正四面体：正四面体是一个底面为等边三角形，且其余三个面均为等边三角形的四面体。
它的体积公式为：V=√2/12*边长^3它的表面积公式为：A=√3*边长^2三、正六面体：正六面体是一个六个面均为正方形的立体图形。
它的体积公式为：V=边长^3它的表面积公式为：A=6*边长^2四、正八面体：正八面体是一个八个面均为等边三角形的立体图形。
它的体积公式为：V=√2*边长^3它的表面积公式为：A=2*√3*边长^2五、正十二面体：正十二面体是一个十二个面均为正五边形的立体图形。
它的体积公式为：V=(3+√5)/12*边长^3它的表面积公式为：A=3*√25+10*√3*边长^2以上是常见多面体的体积和面积公式，可以根据不同的多面体类型进行使用。
此外还有许多其他多面体，每个多面体都有其一系列的特性和公式，需要具体问题具体分析。
除了常见多面体的公式外，还有一些统一的多面体公式，适用于凸多面体。
1.多面体的体积公式：对于凸多面体，可以利用封闭曲面积分的方法求解其体积。
V=1/3*Σ(S_i*h_i)其中，S_i表示多面体第i个面的面积，h_i表示从多面体重心到第i个面的垂直高度，Σ表示求和。
2.多面体的表面积公式：对于凸多面体，可以利用表面积的计算公式求解其表面积。
多面体表面积公式可以表示为：A=1/2*Σ(S_i*l_i)其中，S_i表示多面体第i个面的面积，l_i表示第i个面的边长，Σ表示求和。
综上所述，多面体的体积和面积公式可以根据具体的多面体类型进行选择，对于凸多面体还可以使用统一的公式来计算。
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（1）什么是物体的体积？什么是物体的容积？体积 和容积有什么相同点和不同点？（可举例子进行 具体说明）
（2）各立体图形的体积公式是什么？它们的体积公 式是怎样推导出来的？ （3）想一想体积公式之间有什么联系。
(4)在解决有关立体图形体积的问题时，需要特别提 醒自己（或同学）注意什么？
（2）各立体图形的体积公式是什么？它们的体积公 式是怎样推导出来的？ （3）想一想体积公式之间有什么联系。
(4)在解决有关立体图形体积的问题时，需要特别提 醒自己（或同学）注意什么？
1、它们说的对吗？
①油桶说：“我能盛多少水，我的体积就 是多少。” ………（ × ） ②长方体说：“把我熔铸成一个圆锥体， 我的体积不变。” ……… （ √ ） ③正方体说：“我的棱长是6分米，我的 表面积和体积相等。” ………（ ×）
②大棚内的空间有多少大？(薄膜厚度不计)
4、 把一个圆柱切成若干等分，拼成一个近似 的长方体。圆柱的侧面积是25.12平方米，底 面半径是1）说： 第1、3、4题：组长组织进行交流、补充。 第2题：每人选择一个立体图形交流它的体 积公式以及推导过程。 （2）听： 认真倾听别人的发言，并提出自己的意见。 （赞同的或是补充）
（1）什么是物体的体积？什么是物体的容积？体积 和容积有什么相同点和不同点？（可举例子进行 具体说明）
求下面各图形的体积。 （单位： 分米） 2、
5
25dm²
9
4 .
4
.
9
V=sh V=1/3sh
圆柱和圆锥等体积，等高 圆锥的底面积扩大3倍。
4 .
9
圆柱和圆锥等体积，等底
4 .
圆锥的高扩大3倍。
9
3、生活中的数学问题
一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面 是一个半径2米的半圆（两头靠在用砖头砌的墙上）。 ①覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？