数字信号处理习题与答案

==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。

（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。

（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。

③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。

3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。

移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。

②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。

卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤=}23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4. 如果输入信号为，求下述系统的输出信号。

解：首先写出输入信号的取样值(a) 该系统叫做恒等系统。

5. ①设某系统用差分方程y (n )=ay (n －1)+x (n )描述，输入x (n )=δ(n )。

若初始条件y(-1)=0，求输出序列y (n )。

得x(n)1)ax(n 0及差分方程y(n)1)解：由初始条件y(+-==-)()()(,时)2()1()2(,时2)1()0()1(时11)0()1()0(,时02n u a n y a n y n n a δay y n a δay ，y n δay y n n n ====+===+===+-==若初始条件改为y(-1)=1，求y(n))()1()(方程，1)1(初始条件n x n ax n y y +-==-)()1()()1()(,时)1()2()1()2(,时2)1()1()0()1(,时11)0()1()0(,时02n u a a n y a a n y n n a a δay y n a a δay y n a δay y n n n +=+==+=+==+=+==+=+-==②设差分方程如下，求输出序列y(n)。

0n 0,y(n)δ(n),x(n) ， x(n)1)ay(n y(n)>==+-=))()(()1(解：1n δn y a n y -=--,)())1()1(()2(,时1))0()0(()1(,时00))1()1(()0(,时121111<-=-=---=--=-=-=-==-==-----n a n y a δy a y n a δy a y n δy a y n n③设LTI 系统由下面差分方程描述：1)x(n 21x(n)1)y(n 21y(n)-++-=。

设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。

解： 令x (n )=δ(n ), 则1)δ(n 21δ(n)1)h(n 21h(n)-++-=n=0时，11)δ(21δ(0)1)h(21h(0)=-++-=n=1时，12121δ(0)21δ(1)h(0)21h(1)=+=++=n=2时，21h(1)21h(2)==n=3时，221h(2)21h(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 所以，δ(n)1)u(n 21h(n)1n +-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-6.离散时间系统。

请用基本组件，以框图的形式表示该系统。

解：7.① ①判断下列系统是线性还是非线性系统。

解：（a ）系统为线性系统。

（b）系统为线性系统。

（c）系统是非线性的。

（d）系统没有通过线性性检验。

•系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非线性的(实际上，系统的输入输出表达式是线性的)，而是因为有个常数B。

因此，输出不仅取决于输入还取决于常数B。

所以，当时B≠0，系统不是松驰的，如果B=0，则系统是松驰的，也满足线性检验。

（e）系统是非线性的。

②证明是线性系统。

证：②证明y(n)=nx(n)系统是移变系统。

证：③①判断下述系统是因果的还是非因果的。

②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D )A. δ(n)B. h(n)=u(n)C. h(n)=u(n)-u(n -1)D. h(n)=u(n)-u(n+1) ④⑤以下序列是LTI 系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。

1)n u(0.34)(2)（1）δ(n n --+答案 （1）非因果、稳定 （2）非因果、不稳定。

⑥判断题： 一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)是因果序列。

（错） 8.① 考虑下面特殊的有限时宽序列。

把序列分解成冲激序列加权和的形式。

解：②将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示 。

∑-=-=-+-+-+++-=31k k)x(k)δ(n 3)x(3)δ(n 2)x(2)δ(n 1)x(1)δ(n x(0)δ(n)1)1)δ(n x(x(n)③若⎩⎨⎧≤≤=其他402)(n n x n 用单位序列及其移位加权和表示 x(n)= )4(16)3(8)2(4)1(2)(-+-+-+-+n n n n n δδδδδ。

9. ① 一个LTI 系统的单位冲激响应和输入信号分别为 求系统对输入的响应。

））））））））②一个松弛线性时不变系统。

求系统对于x(n)的响应y(n)。

解：用式中的卷积公式来求解③一个线性时不变系统的冲激响应为。

请确定该系统的单位阶跃响应。

解：④设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况，分别求输出y(n)。

（1）h(n)=R4(n) , x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n) , x(n)=δ(n)－δ(n－2)解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}（2）{2，2，0，0，-2，-2}⑤设系统的单位脉冲响应h(n)=u(n),，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性10. ①考虑一个LTI ，该系统的冲激响应为 ，确定a 的取值范围，使得系统稳定。

解：首先，系统是因果的因此，系统稳定的条件是|a|<1。

否则，系统是不稳定。

实际上，h(n)必须随n 趋于无穷呈指数衰减到0，系统才是稳定的。

②考虑冲激响应为的线性时不变系统，若该系统稳定，则a 和b 的取值范围为多少?解：显然系统是非因果的，所以，系统稳定的条件是 |a|<1 且 |b|>1 。

11. 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：直接代入公式有12. 数字信号是指___时间幅度都离散的 _______的信号。

判断：数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。

( 对 ) 判断：单位阶跃序列与矩形序列的关系是u(n)N)u(n (n)R N --=。

（ 错 ）判断：因果系统一定是稳定系统。

( 错 )判断：如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。

（对） 判断：所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。

（ 对 ）））））））））判断：差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。

(错。

差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性，还需要用初始条件进行限制。

)判断：若连续信号属带限信号，最高截止频率为Ωc ，如果采样角频率Ωs<2Ωc ，那么让采样信号通过一个增益为T 、 截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。

( 错 。

角频率Ωs ≥2Ωc ) 设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ 当n<0时，h(n)=0 ）=======================第二章 z 变换与DTFT =======================1. ①设x (n )=R N (n )，求x (n )的傅里叶变换。

)2/sin()2/sin(e)e e (e )e e (e e 1e 1e e )()e (解：2/)1(j 2/j 2/j 2/j 2/j 2/j 2/j j j 1j j j ωωωωωωωωωωωωωωN n R X N N N N N nN nnnN --------∞-∞=-=--=--=--===∑∑ 当N =4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图所示：②序列2)δ(n x(n)-=的傅里叶变换为 ω2j e -。

③设系统的单位脉冲响应h (n )=a n u (n ), 0<a <1， 输入序列为x (n )=δ(n )+2δ(n －2)。

完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y (n )； (2) 分别求出x (n )、 h (n )和y (n )的傅里叶变换。

2)u(n 2a u(n)a 2)]δ(n [δ(n)u(n)a x(n)h(n)解：（1）y(n)2n n n -+=-+*=*=-（2）j2ωn jωnjω2e 12)]e2δ(n [δ(n))X(e -∞-∞=-+=-+=∑jωn jωn n n jωnn jωae11e a u(n)ea )H(e -∞=-∞-∞=--===∑∑ jωj2ωjωjωjωae12e 1)X(e )H(e )Y(e ---+=⋅= ④n))的傅里叶反变换x(。

求X(e π|ω|ω0,ω|ω|1,)1、已知X(e jw 00jω⎩⎨⎧≤<<=πnn sinωdωe 2π1解：x(n)0ωωjωn 00==⎰-2.sin(πk/8)sin(πk/2)e)e(ee)e(eee1e1(n)ex(k)X解：k83πjk8πjk8πjk8πjk2πjk2πjk2πjk4πjjkπ7nkn82πj~~-------=-=--=--==∑3. ①②4.①x(n)=u(n), 求其Z变换。