Ch4_1&2关系的定义及运算

按有序对的定义，有序对 具有如下性质： 按有序对的定义，有序对<x,y>具有如下性质： 具有如下性质 1．若x≠y时，<x,y> ≠ <y,x>。 ． ≠ 时 。 2．<x,y> = <u,v>，当且仅当 x=u，y=v。 ． ， ， 。
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二、笛卡儿积
定义4.2 由有序对组成的集合 定义 A×B = {<x,y>|x∈A，y∈B} × ∈ ， ∈ 称为集合A与集合 与集合B的笛卡儿积。 称为集合 与集合 的笛卡儿积。 例如， 例如，设A={a,b}，B={1，2，3}，则 ， ， ， ， A×B={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1><b,2>,<b,3>} × B×A={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>} × 由例可推知： 由例可推知： 笛卡儿积不满足交换律 若|A|=m， |B|=n，则|A×B|=mn ， ， ×
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定义4.5 设A、B为集合，A×B的任一子集称为从A 定义 、 为集合， × 的任一子集称为从 为集合 的任一子集称为 的二元关系。 的二元关系称为A上的 到B的二元关系。从A到A的二元关系称为 上的 的二元关系 到 的二元关系称为 二元关系。 二元关系。
A={a,b}，B={1,2}， 例4-3 设A={a,b}，B={1,2}，则A×B={<a,1>, <a,2>, <b,1>, <b,2>} × R1={<a,1>}, R2={<a,2>}, R3={<b,1>}, R4={<b,2>}, R5={<a,1>,<a,2>}, R6={<a,1>,<b,1>}, R7={<a,1>,<b,2>}, R8={<a,2>,<b,1>}, R9={<a,2>,<b,2>}, R10={<b,1>,<b,2>}, R11={<a,1>,<a,2>,<b,1>}, R12={<a,1>,<a,2>,<b,2>}, R13={<a,1>,<b,1>,<b,2>}, R13={<a,2>, <b,1>,<b,2> } R15={<a,1>, <a,2>, <b,1>, <b,2>}, R16=∅ ∅ 是从A到 的所有二元关系 是从 到B的所有二元关系 。
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二、笛卡儿积
为任意集合， 例4-1 设A、B、C为任意集合，证明 、 、 为任意集合 (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A) ∩ × × ∩ × 证：任取<x,y>， (从右向左证) 任取 ， 从右向左证) <x,y>∈(B×A)∩(C×A) ∈ × ∩ × ⇔ <x,y>∈(B×A)∧<x,y>∈(C×A) ∈ × ∧ ∈ × 笛卡儿积的定义) ⇔ (x∈B∧y∈A)∧(x∈C∧y∈A) (笛卡儿积的定义) ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ⇔ x∈B∧y∈A∧x∈C∧y∈A ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ⇔(x∈B∧x∈C)∧y∈A ⇔ x∈(B∩C)∧y∈A ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∈ ∩ ∧ ∈ ⇔ <x,y>∈(B∩C)×A (笛卡儿积的定义) ∈ ∩ × 笛卡儿积的定义) 所以(B∩ × 所以 ∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。 × ∩ × 。
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二、笛卡儿积
笛卡儿积的运算有如下性质： 笛卡儿积的运算有如下性质： 为任意集合， 设A、B、C为任意集合，则 、 、 为任意集合 ×∅=∅ ∅×A=∅ （1）A×∅ ∅，∅× ∅ ） ×∅ （2）A×B≠B×A（当A≠∅∧B≠∅∧A≠B时） ） × ≠ × （ ≠ ≠ ≠ 时 （3）(A×B)×C≠A×(B×C)（当A≠∅∧B≠∅∧C≠∅时） ） × × ≠ × × （ ≠ ≠ ≠ （4）A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) ） × ∪ × ∪ × (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) ∪ × × ∪ × A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) × ∩ × ∩ × (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A) ∩ × × ∩ ×
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二、逆关系
定义4.11 二元关系 的逆关系定义为： 二元关系R的逆关系定义为 定义为： 定义 R-1={<x,y>|<y,x>∈R} ∈ 例4-6 设R={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<4,2>}，求R-1 ， 解：R-1={<2,1>,<2,2>,<3,2>,<2,4>}
19二Βιβλιοθήκη 逆关系8三、二元关系
定义4.4 有序对的集合 含空集 称为二元关系， 有序对的集合(含空集 称为二元关系 含空集)称为二元关系， 定义 简称关系 关系。 简称关系。 关系用大写英文字母表示。 关系用大写英文字母表示。 是二元关系， 设 R是二元关系 ， 如果 是二元关系 如果<x,y>∈R， 可记为 ∈ ， 可记为xRy。 。 如果<x,y>∉R，简记为 y。 如果 ∉ ，简记为x 。
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二、笛卡儿积
定义4.3 定义 (1) <x1, x2,…, xn>称为有序 元组。 称为有序 元组。 称为有序n元组 (2) 设A1、A2、…、An为集合，称 、 为集合， A1×A2×…×An = {<x1,x2,…,xn>| xi∈Ai,i=1,2,…n} × 阶笛卡儿积。 为n阶笛卡儿积。 阶笛卡儿积 例如设R表示实数集合， 例如设 表示实数集合，则3 阶笛卡儿积R×R×R表示空 表示实数集合 × × 表示空 间直角坐标系中全体点的集合。 间直角坐标系中全体点的集合。
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四、关系的表示法
表示一个二元关系可用下列方法: 表示一个二元关系可用下列方法: 集合表示法 关系矩阵 关系图
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例4-4 设A={1，2，3，4}，用集合表示法、关系矩阵 ， ， ， ，用集合表示法、 和关系图给出A上的整除关系 上的整除关系D 和关系图给出 上的整除关系 A。 解：DA={<x,y>| x,y∈A ∧x|y} ∈ ={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}
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4-2 关系的运算
基本概念 关系的定义域和值域 逆关系 关系的合成 关系的幂 基本问题 求关系的逆、关系的合成、关系的幂。 求关系的逆、关系的合成、关系的幂。
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一、关系的定义域、值域和域
定义4.10 关系 的定义域、值域和域分别是 关系R的定义域、值域和 定义 domR = {x∃ ∃y(<x,y>∈R)} ∃ ∈ ranR = {y∃ ∃x(<x,y>∈R)} ∃ ∈ fldR = domR∪ ranR ∪ 例4-5 设R={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<4,2>}，求domR和ranR。 ， 和 。 解：domR={1，2，4}，ranR={2，3}，fldR = {1,2,3,4} ， ， ， ， ，
M DA
1 0 = 0 0
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1
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(1) 关系矩阵
上的二元关系。 设A={x1,x2,…,xn}，R为A上的二元关系。令 ， 为 上的二元关系
r1,1 r1,2 ...r1,n 1, 若 x i Rx j r2 ,1 r2 ,2 ...r2 ,n (ri , j ) = ri , j = 0, 若 < x , x >∉ R ... i j r r ...r n ,1 n , 2 n , n
定理4.1 设R为任意关系，则 为任意关系， 定理 为任意关系 （1）(R-1)-1=R ） （2）domR-1=ranR，ranR-1=domR ） ， 任取<x,y>， 证：(1) 任取 ， <x,y>∈ (R-1)-1⇔<y,x>∈ R-1 ⇔<x,y>∈R。 ∈ ∈ ∈ 。 所以(R 所以 -1)-1=R (2) 证domR-1=ranR。任取 ， 。任取x， x∈domR-1⇔ ∃y (<x,y>∈R-1) ∈ ∈ ⇔ ∃y (<y,x>∈R)⇔x∈ranR ∈ ⇔ ∈
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定义4.6 设A为任意集合，定义 为任意集合， 定义 为任意集合
空关系： 空关系：∅ 恒等关系：I 恒等关系 A={<x,x>|x∈A} ∈ 全域关系：EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A。 全域关系 ∈ ∧ ∈ × 。
例如， 例如，设A={1,2}，则 ， IA={ <x,x> | x∈A} = {<1,1>,<2,2>} ∈ EA={ <x,y> | x∈A ∧ y∈A} = {<1,1>,<2,2>, <1,2>,<2,1>} ∈ ∈
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三、二元关系
事物之间存在着各式各样的关系。 事物之间存在着各式各样的关系。 例如， 三名学生A、 、 选修 选修α 例如 ， 三名学生 、 B、 C选修 α 、 β 、 γ 、 δ四门 那么， 课，设A选α和δ，B选γ，C选α和β，那么，学生选 选 选 选 课的对应关系可记作： 课的对应关系可记作： R={<A,α>,<A,δ>,<B, γ>,<C,α>,<C,β>} α δ α β R这个序偶的集合反映了学生集合 这个序偶的集合反映了学生集合S={A,B,C}与 这个序偶的集合反映了学生集合 与 课程集合T={α,β,γ,δ}之间的关系。 之间的关系。 课程集合 α β γ δ 之间的关系