高二上学期期中考试数学(文)试题 (7)

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2023-2024学年浙江省金华市一中高二上学期期中数学试题及答案

金华一中2023学年第一学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 过点()0,2-且与直线230x y +-=垂直的直线方程为（）A. 220x y -+=B. 220x y ++=C. 220x y --= D. 220x y +-=2. 已知数列{}n a ,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a +的值为 A. 4B. 5C. 6D. 83. 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.12B.C.D.4. “点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等”是“2a =-”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则a 的值为（）A. 2±B.C. ±D. 6. 已知数列{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（）A. 在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S B. 在3202321,,,,232023SS S S ⋅⋅⋅中最大数是20232023S C. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S D. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是2023S 7. 设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC的距离小于a 近线斜率的取值范围是（）的A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (⋃D(,)-∞+∞ 8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知双曲线22:13x C y -=，则下列结论正确的是（）A. 双曲线CB. 双曲线C 的焦距为4C. 双曲线C 的虚轴长为1D. 双曲线C的渐近线方程为x =10. 已知直线:10l ax y ++=，则下列说法正确的是（）A. 直线l 过定点()0,1-B. 直线l 与直线10x ay --=不可能垂直C. 若点()0,1A 与点(),0Bb 关于直线l 对称，则实数a的值为D. 直线l 被圆22280x y y +--=11. 已知抛物线()2:20C y px p =>上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，点P 为直线2x =-上一.点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点．则（）A. 抛物线的方程为24y x = B. 直线AB 一定过抛物线的焦点C. 线段AB 长最小值为 D. OP AB⊥12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（）A 当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当1λ=时，△PBD 的面积为定值D. 当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =______．14. 已知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F △的面积是______．15. 已知球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球（点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为______．16. 设经过抛物线28y x =焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于,A B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ACB ∠=______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知动圆C ：()()()22220x m y m m m -+-=>.（1）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）若圆C 与圆E ：()22316x y -+=内切，求实数m 的值．18. 如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，,,23BF BA DAB AB AD π⊥∠==．的.（1）求证：BD FC ⊥；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．19. 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴相交于点,A B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点．（1）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：21k k -为定值；（2）过点A 作AD PB ⊥，垂足为D ，若AB 平分PAD ∠，求PAD 的面积．20. 正项数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N 都有()22112n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设nn n a b a t=+，试问是否存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列？若存在，求出所有满足要求的,t m ；若不存在，请说明理由．21. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD所成锐二面角的大的小．22. 已知点(),P x y 与定点()1,0M -的距离和它到定直线4x =-的距离的比是12．（1）求点P 的轨迹E 的标准方程；（2）设点()1,0N ，若点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．金华一中2023学年第一学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 过点()0,2-且与直线230x y +-=垂直的直线方程为（）A. 220x y -+=B. 220x y ++=C. 220x y --=D. 220x y +-=【答案】C 【解析】【分析】设出该直线的方程，由点()0,2-在该直线上，即可得出该直线方程.【详解】设该直线方程为20x y m -+=由点()0,2-在该直线上，则2020m ⨯++=，即2m =-即该直线方程为220x y --=故选：C【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题.2. 已知数列{}n a ,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a +的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】A 【解析】【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可．【详解】数列{a n }，a 2＝1，*12,n n a a n n N ++=∈，可得a 1+a 2＝2，a 2+a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1+a 3＝4．故选A ．【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.3. 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.12B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据等边三角形边长相等的性质，建立a b 、的关系，从而求出离心率.【详解】如图，若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则2a b =，所以椭圆的离心率为e ====.故选：D.4. “点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=距离相等”是“2a =-”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，并结合充分条件、必要条件的定义即可解答.【详解】若点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则2a =-或1a =-.∴点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等”是“2a =-”的必要不充分条件.故选：B.5. 若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则a 的值为（）A. 2±B.C. ±D. 【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.的【详解】圆224x y +=的圆心为()00，，半径2r =，若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则圆心为()00，到直线:l y x a =+的距离等于1，1=，解得a =故选：B.6. 已知数列{}n a 是公差不为0无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（）A. 在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S B. 在3202321,,,,232023SS S S ⋅⋅⋅中最大的数是20232023S C. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S D. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是2023S 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件可得0d <，由n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，2d 为公差的等差数列，即可判断AB ，由0d <可得在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是不确定的，即可判断CD .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，由n S 存在最大值可知，0d <，因为()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，则122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，2d 为公差等差数列，且0d <，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，所以在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S ，故A 正确，B 错误；在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是不确定的，比如92n a n =-+，由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，可得7922n ≤≤，所以4n =，即4S 为最大值，故CD 错误；故选：A的的7. 设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a 近线斜率的取值范围是（）A. (1,0)(0,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (⋃D. (,)-∞+∞ 【答案】A 【解析】【详解】由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于a +，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】连接1BC ，得出点,,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E 关于直线1BD 到直线11C D 的距离，从而可得结果.【详解】如上图示，连接1BC 则11BC B C E = ，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111BC C D ⊥，111C D =，1BC =，在Rt △11BC D 中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则1(1,0)D ，B ，E ，设点E 关于直线1BD 的对称点为E '，而直线1BD为1x =①，所以EE k '=，故直线EE '为y x =+②，联立①②，解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩EE '与1BD的交点1(3，所以对称点2(3E '，则PE PF PE PF E F ''+=+≥，最小值为E '到直线11C D故选：A.【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知双曲线22:13x C y -=，则下列结论正确的是（）A. 双曲线CB. 双曲线C 的焦距为4C. 双曲线C 的虚轴长为1D. 双曲线C的渐近线方程为x =【答案】BD 【解析】【分析】根据双曲线方程可确定,,a b c 的值，即可求得双曲线离心率、焦距、虚轴长以及渐近线方程，即得答案.【详解】由题意知双曲线22:13x C y -=，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c，则1,2a b c ====，故双曲线C的离心率为c a ==，A 错误；双曲线焦距为24c =，B 正确；双曲线的虚轴长为 22b =，C 错误；双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=，即x =，D 正确，故选：BD10. 已知直线:10l ax y ++=，则下列说法正确的是（）A. 直线l 过定点()0,1-B. 直线l 与直线10x ay --=不可能垂直C. 若点()0,1A 与点(),0Bb 关于直线l 对称，则实数a的值为D. 直线l 被圆22280x y y +--=【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，当0x =时，1y =,对于B ，当0a =时，结合直线的平行条件，即可判断，对于C ，求出点()0,1A 与点(),0Bb 的直线方程，根据对称，即可求出，对于D ，直线l 被圆22280x y y +--=截得的最短弦长，根据几何关系和勾股定理，即可求出【详解】解：对于A ，当0x =时，1y =，故A 正确，对于B ，当0a =时，直线l 与直线10x ay --=互相垂直,故B 错误，对于C ，由题意知直线AB 与直线l 垂直,且线段AB 的中点在直线l 上，所以11022b a ⨯++=，且()11a b ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得a =，故C 正确，对于D ，圆22280x y y +--=的圆心为()0,1，半径为3，当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆22280x y y +--=截得的弦长最短，此时圆心()0,1到直线l的距离2d ，解得0a =，所以直线l 被圆22280x y y +--=截得的最短弦长为=，故D 错误.故选：AC11. 已知抛物线()2:20C y px p =>上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点．则（）A. 抛物线的方程为24y x = B. 直线AB 一定过抛物线的焦点C. 线段AB长的最小值为 D. OP AB⊥【答案】ACD 【解析】【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A 正确；设(2,)P m -，得出PA 和PB 的方程，联立方程组，结合Δ0=，得到12,k k 是方程2210k km +-=的两个不等式的实数根，再由韦达定理和1AB OP k k ⋅=-，可判定D 正确；由2AB k m=，得出直线AB ，结合直线的点斜式的形式，可判定B 不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C 正确.【详解】由抛物线2:2C y px =，可得焦点坐标(,0)2p F ，准线方程为2p x =-，因为抛物线C 上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，由抛物线的定义可得232p+=，可得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，所以A 正确；设(2,)P m -，显然直线PA 的斜率存在且不为0，设斜率为1k ，可得PA 的方程为1(2)y m k x -=+，联立方程组12(2)4y m k x y x-=+⎧⎨=⎩，整理得2114840k y y k m -++=，因为PA 是抛物线的切线，所以()211(4)4840k k m ∆=--+=，即211210k k m +-=，且点A 的纵坐标为11422k k --=，代入抛物线方程，可得A 横坐标为211k ，即21112(,A k k ，设直线PB 的斜率存在且不为0，设斜率为2k ，同理可得：222210k k m +-=，且22212(,)B k k ，所以12,k k 是方程2210k km +-=的两个不等式的实数根，所以12121,22m k k k k +=-=-，因为2112122221221222()()(1112222AB OPk k k k m m m k k m k k k k --⨯⋅=⋅-=⋅-=⋅-=-+--，所以OP AB ⊥，所以D 正确；由OP AB ⊥，且2OP m k =-，可得2AB k m =，则直线AB 的方程为211221(y x k m k -=-，即22111222mk y mk k x -=-，又由211210k k m +-=，可得21112k m k =-，所以3221111(2)2(12)22k k y k k x ---=-，即211(12)2(2)k y k x -=-，所以直线AB 一定过定点(2,0)，该点不是抛物线的焦点，所以B 不正确.由直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，且1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组224x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得2480y my --=，所以12124,8y y m y y +==-，则2AB y =-====≥0m =时，等号成立，即AB的最小值为，所以C 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.的12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（）A. 当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当1λ=时，△PBD 的面积为定值D. 当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，确定P 点在面对角线1BC 上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B 选项，确定P 点在棱11B C 上，由等体积法，说明三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于C 选项，确定P 点在棱1CC 上，PBD △的底BD 不变，高PE 随点P 的变化而变化；对于D 选项，通过平移直线1A D ，找到异面直线1A D 与1D P 所成的角，在正11D B C △中，确定其范围.【详解】对于A 选项，如下图，当λμ=时，P 点在面对角线1BC 上运动，又P ∈平面11A C B ，所以1A P ⊂平面11A C B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，1AD ⊄ 平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，1//AD ∴平面11A BC ，同理可证//AC 平面11A BC ，1AD AC A = ，所以，平面11//A C B 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，所以，1//A P 平面1ACD ，A 正确；对于B 选项，当1μ=时，如下图，P 点在棱11B C 上运动，三棱锥1P A BC -的体积111113P A BC A BC P PBC V V S B A --==⋅⋅为定值，B 正确；对于C 选项，当1λ=时，如图，P 点在棱1CC 上运动，过P 作PE BD ⊥于E 点，则12PBD S BD PE =⋅△，其大小随着PE 的变化而变化，C 错误；对于D 选项，如图所示，当1λμ+=时，P ，C ，1B 三点共线，因为11//A B CD 且11A B CD =,所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ，所以11D PB ∠或其补角是直线1A D 与1D P 所成角，在正11D B C △中，11D PB ∠取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =______．的【答案】5【解析】【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：514. 已知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F △的面积是______．【解析】【分析】利用椭圆定义结合题设求得12,PF PF ，可判断212PF F F ⊥，即可求得12PF F △的面积.【详解】由题意知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，则2,a b c ====不妨取12(F F ，则12||F F =又1224PF PF a +==，结合122PF PF -=可得123,1PF PF ==，则2221212||PF PF F F =+，即212PF F F ⊥，故12212||11||122PF F S PF F F =⨯⨯⋅==△，15. 已知球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球（点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为______．【答案】163##153【解析】【分析】由题意求出直棱柱内切球半径，即可求得棱柱的高，将直棱柱分割为5个小棱锥，根据等体积法求得棱柱的底面积，再根据棱锥的体积公式即可求得答案.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，设,,AB c BC a AC b ===，内切球的半径设为r ，则2h r =，球O 的表面积为16π，则216π4πr =，则2,4r h ==；又ABC 的周长为4，即4a b c ++=，连接111,,,,,OA OB OC OA OB OC ，则直三棱柱111ABC A B C -被分割为5个小棱锥，即以内切球球心为顶点，以三棱锥的两个底面和三个侧面为底面的5个棱锥，根据体积相等可得111123333ABC ABC r S h ahr bhr chr S =+++⨯⋅⋅ ，即()44383ABC ABC S a b c S =+++ ，即得4ABC S = ，故三棱锥1A ABC -的体积为111644333ABC V S h ==⨯=⋅⨯ ,故答案为：16316. 设经过抛物线28y x =焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于,A B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ACB ∠=______．【答案】13【解析】【分析】得到直线l 的方程为2y x =-，联立抛物线方程，求出,A B 的坐标，得到,,AC BC AB ，利用余弦定理求出答案.【详解】由题意得()2,0F ，()2,0C -，直线l 的方程为2y x =-，联立28y x =得，21240x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设A 在第一象限，解得1266x x =+=-故1244y y =+=-，故((64,64A B ++--，故AC ==，BC ==12416AB x x =++=，由余弦定理得2221cos 23AC BC ABACB AC BC+-∠===⋅.故答案为：13四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知动圆C ：()()()22220x m y m m m -+-=>.（1）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）若圆C 与圆E ：()22316x y -+=内切，求实数m 的值．【答案】（1）0x =或34y x =（2）m =【解析】【分析】（1）2m =时圆心为()2,4，半径为2．当过原点的直线斜率不存在时恰好与此圆相切，此时切线方程为0x =；当过原点的直线斜率存在时设直线方程为y kx =，当直线与圆相切时圆心()2,4到直线y kx =的距离等于半径2，可求得k 的值，从而可得切线方程．（2）圆C 的圆心(),2C m m ，半径为m ；圆E 的圆心()3,0E ，半径为4．当两圆内切时两圆心距等于两半径的差的绝对值，从而可得m 的值．【详解】（1）22:(2)(4)4C x y -+-=当直线l 的斜率不存在时，l 方程为0x =,当直线l 的斜率存在时,设l 方程为y kx =，由题意得32,4d k ∴=所以l 方程为34y x =.（2）(,2),(3,0)C m m E ,由题意得4m CE -==两边平方解得m =.18. 如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，,,23BF BA DAB AB AD π⊥∠==．（1）求证：BD FC ⊥；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）要证BD FC ⊥，转化只需证明BD ⊥平面BCEF ，只需证明BD BC ⊥、BD BF ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DFC 的一个法向量和向量DE 的坐标，转化为利用向量DE和法向量所成的角，即可求解直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．【小问1详解】因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，∴BD AD ⊥，又//AD BC ，故BD BC ⊥．又,BF BA BF BC ⊥⊥，,,BA BC B BA BC =⊂ 平面ABCD ，所以BF ⊥底面ABCD ，而BD ⊂底面ABCD ，可得BD BF ⊥，因为,,BF BC B BF BC ⋂=⊂平面BCEF ，∴BD ⊥平面BCEF ，FC⊂平面BCEF ，故BD FC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)C D F E，()()()1,,,,01,01,DF FC DE =-=-=，设平面DFC 的法向量为(,,)n x y z =，则n DF z n FC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取n = ，设直线DE 与平面DFC 所成的角为θ．故|sin |cos |||,||DE n DE nn DE θ⋅====⨯.19. 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴相交于点,A B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点．（1）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：21k k -为定值；（2）过点A 作AD PB ⊥，垂足为D ，若AB 平分PAD ∠，求PAD 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）1+【解析】【分析】（1）设点P 的坐标为()2,1P t t -，再利用两点间的斜率公式即可证明.（2）由AB 平分PAD ∠，可知1AD k k =-，再由AD PB ⊥求出P ，再利用AD PB 、相交求出D ，即可求出PAD 的面积.由题意得点,A B 的坐标分别为()()1,0,1,0A B -．设点P 的坐标为()2,1P t t -，且1t >，则2212111,111t t k t k t t t --==-==++-，所以212k k -=为定值．【小问2详解】由直线,PA AD 的位置关系知：11AD k k t =-=-．因为AD PB ⊥，所以()()2111AD k k t t ⋅=-+=-，解得t =，因为P是第一象限内的点，所以t =，则)P．联立直线PB 与AD的方程(()(()1111y x y x ⎧=+-⎪⎨=-+⎪⎩，解得D ．所以PAD的面积112P D S AB y y =⋅⋅-=20. 正项数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N 都有()22112n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设nn n a b a t=+，试问是否存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列？若存在，求出所有满足要求的,t m ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）存在，27t m =⎧⎨=⎩或35t m =⎧⎨=⎩或54t m =⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到12n n a a +-=，从而判断得{}n a 是等差数列，从而利用公式法即可得解；（2）假设存在，利用中等中项公式即可得解.因为()22112n n n n a a a a ++-=+，所以()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，因为0n a >，所以12n n a a +-=，又11a =，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．所以{}n a 的通项公式为21n a n =-，前n 项和()21212n n n S n +-==.【小问2详解】存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列，由（1）得2121n n b n t-=-+，假设存在正整数,t m ，传得()12,,3m b b b m ≥成等差数列，则122m b b b +=，即12161213m t m t t -+=+-++，当1t =0=，显然不成立，所以1t ≠，得314311t m t t +==+--，*4,,1t m t ∈∴-N 为整数，10t ->，故11,2,4t -=，即2,3,5t =，对应的7,5,4m =，所以存在满足要求的,t m ，27t m =⎧⎨=⎩或35t m =⎧⎨=⎩或54t m =⎧⎨=⎩.21. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】【分析】（1）先利用中位线判定四边形QFCD 是平行四边形，得到线线平行//FC QD ，再利用线面平行的判定定理即证结果；（2）先找到点G ，利用线面平行的性质定理//EG DQ ，再建立空间直角坐标系写点坐标，计算两个平面的法向量，计算夹角余弦即得结果.【详解】解：（1）取PA 的中点Q ，连接QF 、QD ，∵F 是PB 的中点，∴//QF AB 且12QF AB =，∵底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===//CD AB ，且12CD AB =，∴//QF CD 且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，∴//FC QD ，又⊄FC平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴//FC 平面PAD ．（2）方法一：取PC 的中点M ，连接AC 、EM 、FM 、QM ，QM EF N ⋂=，连接CN 并延长交PA 于G ，已知1PG =．∵//FC 平面PAD ，且平面CEGF ⋂平面APD =EG ，∴//CF EG ，又//CF DQ ，∴//EG DQ ，建立如图所示直角坐标系，()0,0,0A，()0,B，()C，()D，)2E，()2F ，则平面ABCD 的法向量为()10,0,1n =，()2CE =，()2CF =- ，设平面CEF 的法向量为()2,,n x y z =，则有2200CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020z z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，即z =，则1x =，1y =，即(2n =．∴设两个法向量1n u r 、2n u u r 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===⋅ ，即两个法向量的夹角为45︒．∴截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为45︒．【点睛】本题考查了空间中线面平行的判定和二面角的向量求法，属于中档题.22. 已知点(),P x y 与定点()1,0M -的距离和它到定直线4x =-的距离的比是12．（1）求点P 的轨迹E 的标准方程；（2）设点()1,0N ，若点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】【分析】（1）根据题意设，然后根据题中的几何条件得出方程，从而求解出轨迹方程；（2）根据题意设出直线，求出直线与椭圆相交弦长，并结合点到直线距离知识从而求解.【小问1详解】12=，整理化简得，223412x y +=，所以：点P 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】设O 为坐标原点，连接CO ，延长交椭圆E 于点B ，连接,,BM AN CM ，由椭圆对称性可知：OC OB =，又OM ON =，所以CMBN 为为平行四边形，所以：//,CN BM CN BM =，则：BOM CON S S = ，且,,A M B 三点共线，所以：四边形AMNC 的面积ACM COM CON ACM COM BCM ABC S S S S S S S S =++=++= ，设直线()()()11221:1,,,,0AB x my A x y B x y y =->，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得：()221212226934690,,3434m m y my y y y y m m +--=∴+==-++，所以：()2212134m AB m +===+，又//AM NC ，所以：点C 到直线AB 的距离即为点N 到直线AB的距离，因为：点N 到直线AB 的距离d =，所以12S AB d =⋅==设：234m t +=，则：24,43t m t -=≥，所以：S ====又因为：114t≤，所以当114t =时，即0m =时，四边形AMNC 面积取得最大值，最大值为3．椭圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值.。

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

2023-2024学年山东省济南市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省济南市高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD 满足AB CD > ，则AB CD>D ．相等向量其方向必相同【正确答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B 错误；向量不能比较大小，故C 错误；相等向量其方向必相同，故D 正确；故选：D.2．两条直线1l ：210x y --=与2l ：3110x y +-=的交点坐标为（）．A ．(32)--，B ．(23)--，C ．(2)3，D ．(32)，【正确答案】C【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解.【详解】因为直线1l ：210x y --=，直线2l ：3110x y +-=，由2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以1l 与2l 两条直线的交点坐标为(2)3，，故选：C.3．已知(2,1)M 、(1,5)N -，则MN =（）．AB ．4C ．5D【正确答案】C【分析】利用两点间距离公式即可求解.【详解】因为(2,1)M 、(1,5)N -，所以5MN ==，故选：C.4．原点到直线250x y +-=的距离为（）A ．1BC ．2D【正确答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.【详解】由点到直线距离可知所求距离d ==故选：D本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.5．已知直线51230x y +-=与直线512100x y ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．2C ．12D ．4【正确答案】A【分析】直接利用两平行直线之间的距离公式计算即可.1=.故选：A.6．圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为A ．1;(2,1)r =-B ．2;(2,1)r =-C ．2;(2,1)r =-D ．1;(2,1)r =-【正确答案】D【详解】22(2)(1)1x y -++=∴ 半径和圆心坐标分别为()1;2,1r =-,选D7．椭圆22125169x y +=的焦点坐标为（）A ．(5,0),(5,0)-B ．(05),(05)-,,C ．(0,12),(0,12)-D ．(12,0),(12,0)-【正确答案】C【分析】由方程可得22,a b ，结合椭圆中,,a b c 的关系及焦点位置可得焦点坐标.【详解】因为椭圆的方程为22125169x y +=，所以焦点在y 上，且22169,25a b ==，由22216925144c a b =-=-=可得12c =，所以焦点为(0,12),(0,12)-.故选：C.本题主要考查椭圆的焦点坐标，利用方程求解焦点时，一看焦点位置，二算焦距大小，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知两个异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a •12b=-，则两直线的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】B【分析】先求出向量,a b的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可【详解】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos a ＜，12b =- ＞，∴cos a ＜，12b =-＞，∴a ＜，23b π=＞，∴θ3π=，故选：B ．本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与a ＜，b＞的关系，属于基础题．9．椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8，故选：D ．本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．10．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3【正确答案】B【分析】由双曲线的定义运算即可得解.【详解】由双曲线的定义得12||||26PF PF a -==，即23||6PF -=，因为2||0PF >，所以2||9PF =.故选：B.11．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，则m 的值为（）A ．8-B ．0C ．2D ．10【正确答案】A【分析】利用直线的斜率公式求解即可.【详解】解：过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，422m m-∴=---，解得8m =-，故选：A.12．已知向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos ,m n 〈〉=l 与α所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒【正确答案】B【分析】根据直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角与线面角之间的关系，可得线面角的正弦值，即可求得答案.【详解】设直线l 与α所成的角为,090θθ≤≤ ，因为向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，且cos ,m n 〈〉=，故cos sin ,|2|m n θ〈〉==，即得60θ= ，故选：B13．如果直线1l 的斜率为2，12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．12-B ．2C ．12D ．-2【正确答案】A【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于1-,计算可得2l 的斜率.【详解】由于直线1l 的斜率为2且12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为12-.故选：A14．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又211212r r O O r r -<=<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ．圆与圆的位置关系．15．已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4C ．32D ．43【正确答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝ca ＝32．16．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【正确答案】B【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d ，与圆的半径r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B直线与圆的位置关系．二、多选题17．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（）A ．28y x =-B ．28y x=C ．24y x=-D ．24y x=【正确答案】AB【分析】根据焦点到准线的距离为p 求解.【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，根据四个选项可得28y x =-，28y x =满足4p =，故选：AB 三、单选题18．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【正确答案】C【详解】2c e a ==，故2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解.【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A20．若抛物线()20y ax a =>的焦点与椭圆2212x y +=的上顶点重合，则=a （）A ．12B ．14C ．2D ．4【正确答案】B分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆2212x y +=的上顶点是()0,1抛物线()20y ax a =>的焦点10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为两点重合所以114a=所以14a =故选：B本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.四、多选题21．若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,αα，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（）A ．若斜率12k k =，则12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12αα=，则12l l ∥D ．若12παα+=，则12l l ⊥【正确答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于D,若12παα+=，不妨取12π2π33,αα==，则1122tan tan k k αα====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC22．下列命题中，正确的命题为（）A ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔B ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= C ．若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则//n aD ．0PM PN MN -+= 【正确答案】BD【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断A 、B ；由法向量的概念和直线方向向量的定义判断C ，根据空间向量线性运算法则判断D.【详解】解：对于A ，若1n ，2n分别是两个不重合平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔ ，故A中平面α，β可能平行或重合，故A 错误；对于B ，若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= ，故B 正确；对于C ，若n是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，l 与平面α平行，则n a ⊥ ，所以0n a ⋅= ，故C 错误；对于D ，0PM PN MN NM MN -+=+=，故D 正确．故选：BD ．23．已知双曲线方程为22832x y -=，则（）A ．焦距为6B ．虚轴长为4C ．实轴长为D ．离心率为4【正确答案】BCD【分析】求出双曲线的标准方程，得到a =2b =，6c =，对照选项即可求解.【详解】双曲线方程22832x y -=化为标准方程为：221324x y -=，可得：a =2b =，6c =，所以双曲线的焦距为212c =，虚轴长为24b =，实轴长为2a =，离心率4c e a ==，故选.BCD24．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为（）A ．y 2＝xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y【正确答案】AD【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .故选：AD25．已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值可能为（）A ．3-B ．3C ．2-D ．1【正确答案】AB【分析】由点到直线的距离公式可得关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：因为(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，=即236a a +=+，化简得29a =，解得3a =±，所以实数a 的值可能为3±．故选：AB ．五、填空题26．若直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率为________．【正确答案】1-【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得直线的斜率.【详解】依题意，直线的斜率为135tan 1k =︒=-.故1-27．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．【正确答案】【详解】∵cos 〈u ，v 〉＝＝－，∴〈u ，v 〉＝π，∴平面α与β的夹角是.28．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为10，焦距为6，则此椭圆的标准方程为____________.【正确答案】2212516y x +=【分析】依题意可得22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得a 、b ，即可得解.【详解】依题意，设椭圆方程为()222210,0y x a b a b +=>>，则22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得534a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212516y x +=.故答案为.2212516y x +=29．以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是___________.【正确答案】()()22112x y ++-=【分析】通过圆过定点A 和B ，以及线段AB 是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.【详解】解：由题意，在圆中，圆过()2,0A -和()0,2B ，且以AB 为直径，设圆心为C ，半径为r ，∴2012-+=-，0212+=，AB ==∴()1,1C -，12r AB =，∴以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是：()()22112x y ++-=，故答案为.()()22112x y ++-=30．若经过点(),4m 和()22,m 的直线l 与斜率为1-的直线互相垂直，则m 的值是_______.【正确答案】3-【分析】分析可知，直线l 的斜率为1，利用斜率公式可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线l 的斜率为2412m k m -==-且2m ≠，所以，21m --=，解得3m =-.故答案为.3-六、解答题31．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点.(1)求直线AC 与平面1C AD 所成角的正弦值；(2)求平面1C AD 与平面ABC 的夹角的余弦值.【正确答案】33(2)33【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()10,2,2C ，()1,1,0D ，所以()0,2,0AC = ，()10,2,2AC = ，()1,1,0AD = ，设平面1C AD 的法向量(,,)n x y z = ，则10220n AD x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，则1y =-，1z =，得()1,1,1n =- ，设直线AC 与平面1C AD 所成角为θ，则3sin 323n AC n AC θ⋅===⨯⋅ 所以直线AC 与平面1C AD 33.（2）解：显然平面ABC 的一个法向量可以为()0,0,1m = ，设平面1C AD 与平面ABC 的夹角为α，则cos 3n m n mα⋅===⋅ ，所以平面1C AD 与平面ABC的夹角的余弦值为3.32．已知圆经过点()2,0P 和坐标原点，且圆心C 在直线0x y -=上(1)求圆的标准方程；(2)直线y x b =+与圆C 相交，求b 的范围.【正确答案】(1)()()22112x y -+-=(2)()2,2b ∈-【分析】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据题意列出方程组，求出,,a b r ，即可得解；（2）根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离d r <，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得()22222220a b r a b r a b ⎧-+=⎪+=⎨⎪-=⎩，解得2112a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的标准方程为()()22112x y -+-=；（2）圆C 的圆心为()1,1，半径r =圆心()1,1到直线y x b =+的距离d ==因为直线y x b =+与圆C 相交，所以d r <，<，解得22b -<<，所以()2,2b ∈-.33．已知双曲线标准方程.2213y x -=(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)求以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程，过抛物线的焦点且倾斜角为4π的直线与此抛物线交于两点,A B ，求弦AB 的长度.【正确答案】(1)y =(2)8【分析】（1）根据双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线方程公式，可得答案；（2）根据双曲线的标准方程，求得其右顶点的坐标，利用抛物线的标准方程，由焦点可得方程，写出直线方程，联立写出韦达定理，结合弦长公式，可得答案.【详解】（1）由双曲线标准方程：2213y x -=，则1,a b =y =.（2）由双曲线标准方程：2213y x -=，则其右顶点坐标为()1,0，由题意可得抛物线的标准方程为24y x =，其该抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程为1y x =-，联立可得241y x y x ⎧=⎨=-⎩，整理可得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，121=x x ，则128AB x =-===.34．已知F 1，F 2分别为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点.(1)若∠F 1PF 2＝60°，且 F 1PF 2，求b 的值；(2)求|PF 1|⋅|PF 2|的最大值.【正确答案】(1)8；(2)100.【分析】（1）利用 F 1PF 2的面积得到122563PF PF ⋅=，再利用余弦定理求解；（2）结合椭圆的定义，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：由椭圆方程知2221100x y b+=，a =10，2210036c b =-=则1220PF PF +=，由 F 1PF 2的面积为121sin 602S PF PF =⋅⋅ 解得122563PF PF ⋅=，由余弦定理得2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅ ，()212123400256144PF PF PF PF =+-⋅=-=，即210036b -=，所以264b =，即8b =；（2）由基本不等式得()212121004PF PF PF PF +⋅≤=，当且仅当1210PF PF ==时，等号成立，所以12PF PF ⋅的最大值为100.。

广东省深圳市深圳中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。

选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。

一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{}n a 中，若52a =，387a a a =，则{}n a 的公比q =（）A B ．2C ．D ．43．已知两条直线1l ：350x y +−=和2l ：0x ay −=相互垂直，则a =（） A ．13B ．13−C ．3−D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为(1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．在等比数列{}n a 中，24334a a a =，且652a a =，则{}n a 的前6项和为（） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：2213x y −=的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，2OF PF =，则△OPF 的面积为（）A ．1B C D ．127．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c −、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF F ∆的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．30,5B ．40,5C ．3,15D ．4,158．已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >），点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（）A ．B ．+∞C ．(D ．)+∞二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（） A ．222a a +=B ．371a a =C ．99S =D ．1010S =10，已知圆M ：22430x y x +−+=，则下列说法正确的是（） A ．点()4,0在随M 内 B ．圆M 关于320x y +−=对称CD ．直线0x −=与圆M 相切11．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若AB ≥（）A ．23BCD 12．若数列{}n a 满足121a a ==，12n n n a a a −−=+（3n ≥），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以n a 为边长的正方形中的扇形面积为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．则下列说法正确的是（）：A ．821a =B ．2023a 是奇数C ．24620222023a a a a a ++++=D ．2023202320244s a a π=⋅三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{}n a 的通项公式n a =，若9n S =，则n = ．14．已知直线l ：y x =被圆C ：()()22231x y r −+−=（0r >）截得的弦长为2，则r = ． 15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C 上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是．16．已知A ，B 分别是椭圆E ：22143x y +=的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD的斜率1k ，2k 满足122k k =，则直线CD 过定点，定点坐标为．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()2214x y ++=与圆2C ：()22310x y +−=相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆1C 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆2C 上滑动，求2MNC ∆面积最大时的直线MN 的方程． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，{}n b 为等比数列，且11b =，0n b >，2210b S +=，53253S b a =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4370x y −+=相切．（1）求圆的方程；（2）设直线420ax y a −+−=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()3,1P −？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，圆1O ：()2221x y ++=，圆2O ：()2221x y −+=，点()1,0H ，一动圆M 与圆1O 内切、与圆2O 外切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，113b =，且()n n S T =．（1）求n T ；（2令nn na cb =，求正整数n ，使得“11n n n c c c −+=+”与“n c 是1n c −，1n c +的等差中项”同时成立；（3）设27n n d a =+，()()112nn nn n d e d d +−+=，求数列{}n e 的前2n 项和2n Y ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，12F F =P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线1PF ，PO ，2PF 分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有112PF F M =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求12POF POF PQMPQNs s s s ∆∆∆∆+的最大值。

上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含简单答案)

上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 直线经过点和，则直线的倾斜角为______2. 用斜二测画法画出水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________．3. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面，则此球的表面积为___________．4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.6. 如图所示，以长方体的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为____________．7. 如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以的l ()2,0-(l ABC V 1B O C O ''''==ABC V A O ''=αO 1O α2π111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -1DB ()3,4,21AC u u u r 1111ABCD A B C D -111A C B D ⊥1111D C B A是______________（只需写出一个正确的条件）8. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______9. 已知直线，斜率为的直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点，过作x轴的平行线，交于点，过作y 轴的平行线，交于点，再过作x 轴的平行线交于点，…，这样依次得线段、、、、…、、，记为点的横坐标，则__________．10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________11. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为________时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大的AB C ABC 1:l y x =()01q q <<2l ()00,B a 0B 1l 1A 1A 2l 1B 1B 1l 2A 01B A 11A B 12B A 22A B 1n n B A -n n A B n x n B lim n n x →+∞=0{}n a n n S {}457,,10,0a S S ∈-n S12. 如图，在长方体中，已知，．动点P 从出发，在棱上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为，则的取值范围是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）13. 一个直角三角形的两条直角边长分别为2和4，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 814. 如图：在平行六面体中，M 为，的交点．若，，，则向量（）A. B. C. D. 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（）1111ABCD A B C D -2AB =11AD AA ==1A 11A B θtan θ1111ABCD A B C D -11A C 11B D 11A B a = 11A D b = 1A A c = BM = 1122-++ a b c 1122a b c -+- 1122a b c --+ 1122a b c -+A. 2B. 4C. 6D. 816. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（）A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A 点作于点E ，过E 点作于点F ，则面AEF三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17. 如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为，，．111ABC A B C -AC BC ⊥12AA AB ==11B A ACC -11AC CB 11B A ACC -231AE A B ⊥1EF A B ⊥1A B ⊥1O O 20π2OA =120AOP ∠=︒（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．18. 已知数列各项均为正数，且，记其前n 项和为．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时，n 的最小值．19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面平面.（1）证明：平面平面；（2）求多面体的体积；（3）若点是线段上的一点，且满足平面.求二面角的大小.20. 如图，在直角梯形中，，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设.(1)当为直角时，求异面直线PC 与BD所成角的大小；1A P ABP A 1A BP {}n a 11a =n S {}n a 651S ={}n a {}n a 6132a =50n n S a >ABCDEF ABCD 60BAD ∠=︒BDEF BDEF ⊥ABCD ACE ⊥BDEF ABCDEF M BF DM ⊥ACE A DM B --P BCD -//,,22PB DC DC BC PB BC CD ⊥===PAB θ∠=θ(2)当为多少时，三棱锥?(3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC 边上任取一点E ，把纸片沿AE 折成直二面角,问E 点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短.21. 已知是底面边长为1正四棱柱，为与的交点．（1）设与底面所成角大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；（2）若点C 到平面的距离为，求正四棱柱的表面积；（3）若正四棱柱的高为2，在矩形内（不包含边界）存在点P ，满足P 到线段BC 的距离与到线段的距离相等，求的最小值．上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷简要答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）【1题答案】【答案】##【2题答案】【答案】1的的θP ABD -PAD ∆ABCD B D '、1111ABCD A B C D -1O 11A C 11B D 1AB 1111D C B A α1AD 11A C β22cos 2cos αβ=11AB D 431111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -11BB C C 11C D 1PD PAπ630【4题答案】【答案】1【5题答案】【答案】3【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】（答案不唯一）【8题答案】【答案】．【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】B【15题答案】【答案】A(3,4,2)-1111AC B D ⊥1a q-12-π31[2三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）；（2）6.【19题答案】【答案】（1）证明略（2.（3）.【20题答案】【答案】（1）；（2）或；（3）当时，沿AE 折起后间距离最短【21题答案】【答案】（1）证明略（2）10 （3.32n a n =-arctan AGO ∠=4π34π1BE =B D '、。

2021-2022学年四川省遂宁中学高二年级上册学期期中考试数学(文)试题

2021～2022学年度上期半期高二文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．选择题用2B 铅笔在对应的题号涂黑答案。

主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。

3．考生必须保持答题卡的整洁。

结束后，请将答题卡上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．直线的倾斜角为（）10x y +-=A ． B ． C ．D ．30°60︒120︒135︒2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α3．直线与直线平行，则的值为（）10ax y ++=420x ay +-=a A ． B ．2 C ．D ．02-2±4．无论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为m :120l mx y m +-+=（）A. B. C. D.()-21，()2,1--()2,1()2,1-5．如果a c ＜0且bc ＜0，那么直线ax ＋b y ＋c ＝0不通过（）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限6．已知实数x ，y 满足，则z =2x -y 的最小值是（）210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩A ．5B ．C ．0D ．-1527.与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y －5＝0B ．3x ＋4y ＋5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝08.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（）A ．B 14C ．．129．已知直线ax ＋y+1＝0, x ＋ay+1＝0 和 x ＋y+a ＝0 能构成三角形，则a 的取值范围是（）A ．a ≠ - 2B ．a ≠1± C ．a ≠ - 2且a ≠ D ．a ≠ - 2且a ≠ 11±10．已知平面上一点若直线l 上存在点P 使则称该直线为点(5,0)M ||4PM =的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ (5,0)M (5,0)M ）A ．B ．C ．D ．3y x =-2y =210x y -+=430x y -=11. 过定点的直线与过定点的直线交于点，则M 20ax y +-=N 420x ay a -+-=P 2的最大值为（）·PM PN A ．1B ．3C ．4 D. 212．如图，正方体的棱长为1，P ，Q 分别是线段和上的1111ABCD A B C D -1AD 1B C 动点，且满足，则下列命题错误的是（）1AP B Q =A ．的面积为定值BPQ B ．当时，直线与是异面直线0PA >1PB AQ C ．存在P ，Q 的某一位置，使//AB PQ D ．无论P ，Q 运动到任何位置，均有BC PQ⊥第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．直线5x +12y+3=0与直线10x +24y+5=0的距离是________________;14．若A (a ，0)，B (0，b )，C (，)三点共线，则________;2-2-11a b +=15. 如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为___ _____;(15题图）（16题图）16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点1111ABCD A B C D -M 1AC （点与不重合），则下列结论正确的是_______.M 1A C 、①； ②存在点，使得平面；1A DM ∆M DM //11B CD ③存在点，使得平面平面；M 1A DM ⊥1BC D ④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存12,S S 1A DM ∆1111A B C D 11BB C C 在点，使得.M 12S S =三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。

高二上学期数学期中试题(含答案)

高二（上）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）1.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为( ） A.110 B.16 C.15 D.12 2.在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（）A ．46B ．322C ．362D ． 42 3(理)．在等差数列{n a }中，已知,21=a ,1332=+a a 则654a a a ++等于（）A.40B.42C.43D.453（文）．已知等差数列a n 中，a 2+a 4=6，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（） A ． 30 B ． 15 C ． D ．4. 下列说法中正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b ，则a ＜bD ．若a ＜b ，则a ＜b5. 在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bc c b a ++=222，则A 等于（）A. 120B. 60C. 45D. 306.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S 等于（）A ．36B ．54C ．72D ．187（理）. 不等式0442>-+-x x 的解集是（）A.RB.ΦC.),0(+∞D.)0,(-∞7（文）.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（）A ． {x|0≤x≤2}B ． {x|x≤0，或x≥2}C ． {x|x≤2}D ．{x|x≥0} 8. 在等比数列{n a }中，若2101-=⋅a a ，则74a a ⋅的值为（）A.-4B.-2C.4D.29. 已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A ．15B ．17C ．19D ．2110.在一座20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶得仰角为 60，塔底的俯角为 45，那么这座水塔的高度是（）mA.)331(20+ B.)26(20+ C.)26(10+ D. )31(20+ 11（理）. 下列函数中最小值为4的是（）A. x x y 4+= B.x x y sin 4sin += （0﹤x ﹤π） C. x x y -⋅+=343 D.10log 4lg x x y += 11（文）．设x ＞1，则x+的最小值是（） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 712．设x ，y ∈R 且，则z=x+2y 的最小值等于（）A ． 2B ． 3C ． 5D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分）13（理）.在等差数列{}n a 中，11=a ，2=d ，9=n S ，则项数n=13（文）．在等差数列{a n }中，a 3=7，a 5=a 2+6，则a 6=14．在等比数列{a n }中，若a 3=2，a 6=2，则公比q= ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________16．若角α、β满足，则α﹣β的取值范围是三、解答题（共5小题，共56分）17. （理、10分）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且21a b -=-,510sin ,sin 510A B == （1）求b a ,的值；（2）求角C 和边c 的值。

陕西省西北大学附中高二上期中考试数学(文)试题

2016～2017学年度第一学期高二数学期中试卷（文科）命题人:郭红丽审题人：柳席宁注意：本试卷共三页，四道大题，满分120分，时间100分钟一、选择题:(本大题共10小题，每小题3分)1.双曲线221169x y -=的焦点坐标是（）A ．（-5,0）,（5,0）B ．（0,-5），（0,-5）C ．（,0,0）D ．（0,），（） 2 .命题 “1)1(,0>+>∀xe x x 总有”的否定是 ( ) A ．1)1(,0≤+>∀x e x x 总有 B ．1)1(,0≤+≤∀xe x x 总有 C ．1)1(,0000≤+≤∃x ex x 使得 D ．1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得3．抛物线22x y =的准线方程是 ( ) A ．1x=- B ．12x =- C.14y =- D ．18y =-4．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有 ( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真 D ． p 假q 假 5．方程0152=+-x x的两根是两圆锥曲线的离心率，它们是 ( )A ．椭圆、双曲线B ．椭圆、抛物线C ．双曲线、抛物线D ．无法确定 6.对于常数m,n,“mn>0”是“方程122=+ny mx的曲线是椭圆”的（）A. 充要条件B.充分不必要条件C. 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 7.原命题为“若a>b ，则22bc ac >”关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是（） A.真,真,真 B.真,真,假C.假,假,真D.假,假,假8. 已知21,F F 是椭圆148:22=+y x C 的两个焦点,在C 上满足021=⋅→→PF PF 的点P 的个数为（）A ．0B ．2C ．4D ．无数个9.已知抛物线x 2=4y 的焦点F 和点A(-1,8),P 是抛物线上一点,则︱PA ︱+︱PF ︱的最小值是（）A.16B.12C.9D.610．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分为 21,F F ，过1F 作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于M 点，若轴x MF ⊥2，则双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 二、填空题: (本大题共5小题，每小题4分)11.命题“若0=ab ，则00==b a 或”的否命题是__________．12.若双曲线)0(14222>=-b b y x 的渐近线方程x y 21±=,则b=_______.13.已知命题"0212,"2≤++∈∃a ax x R x 是假命题,则实数a 的取值范围是________. 14.已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点,P 为椭圆上一点,且02160=∠PF F 则21F PF ∆的面积为______.15.下面是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽_____米.三、解答题:(本大题共5小题，满分50分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)16. （8分）已知243:>-x p ,021:2>--x x q 求q p ⌝⌝是的什么条件？17．（10分）已知双曲线与椭圆192522=+y x 有共同的焦点,它们离心率之和为514,求双曲线的方程.18．（10分）已知10≠>a a 且,命题p: 内单调递减”在“函数),0(log +∞=x y a 命题q: 轴有两个不同的交点与“曲线x x a x y 1)32(2+-+= 若命题p 且q 是假命题，p 或q 为真命题,求a 的取值范围.19．（10分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5， (1)求抛物线的方程．(2)过点P(-4,1)作直线交抛物线与A,B 两点,使弦AB 恰好被P 点平分，求直线的方程 20. （12分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为23(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线过点(0,1),交椭圆C 于A,B 两点,且OBOA ⊥,求直线的方程.四、附加题（共20分）1．（5分）已知命题p:01,2>++∈∀x x R x ;命题q: 231,x x R x -=∈∃,下列命题中为真命题的是（）A. q p ∧B. q p ∧⌝C. q p ⌝∧D. q p ⌝∧⌝2. （5分）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线交双曲线于A,B 两点,若4=AB ，则这样的直线存在（）条A.1条B.2条C.3条D.4条3. （10分）如图，圆C ：（x+1）2+y 2=16内有一点A （1，0），Q 为圆C 上的一个动点，AQ 的垂直平分线与C,Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．2016～2017学年度第一学期高二数学期中试卷答案 (文科）一、选择题 ACDDA CBBCB 二、填空题11.若0≠ab ，则00≠≠b a 且” 12.1 13.（0,4） 14.33 15. 62 三、解答题 16.所以是充分不必要条件和是q p ⌝⌝ 17.54离心率为),0，4椭圆的焦点为（± 2离心率为),0，4双曲线的焦点为（±1124双曲线的方程为22=-y x18.⎪⎩⎪⎨⎧><>25或211真，则假若a a a Q P 所以),25(+∞∈a所以),25()1,21[的取值范围是+∞ a19．（1）154即)4(41的方程为直线441即42两式相减得88),(),,(设)2(21212122112211=+++-=-∴-=∴-=⋅-=+⋅--⎩⎨⎧-=-=∴y x x y l k k y y x x y y x y x y y x B y x A i l20（1）3,223,1==∴==c a e b 椭圆C 的方程是1422=+x y(2)设),(),(2211y x B y x A 由题意得直线得斜率必存在，设为K,且直线必与椭圆有两个交点所以直线的方程为y=kx+121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=4342032)4(得141联立2212212222k x x k k x x kx x k x y kx y21解得01)()1(0212122121±==++++∴=+∴⊥k x x k x x k y y x x OBOA 022或022直线的方程为=-+=+-∴y x y x三、附加题 1.A 2.C3. 因为M 为AQ 的垂直平分线上的点所以MAMQ =因为Q 为圆C ：（x+1）2+y 2=16上的一个动点所以4=+=MC MQ QC3,1,2其中为焦点的椭圆,的轨迹是以点4=∴==∴>=+∴b c a C A M ACMC MA所以点M 的轨迹方程为13422=+y x ．。

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第一学期期中考试高二数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.过点,且垂直于直线的直线方程为（）
2.过原点且与圆相切的直线的倾斜角为（）
或或或或
3.抛物线的焦点到准线的距离是( )
4.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）
5.平面内动点到两点距离之比为常数，则动点的轨迹叫
做阿波罗尼斯圆，若已知，，，则此阿波尼斯圆的方程为（）
6.已知双曲线离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）
7.已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）
8.已知为双曲线的左焦点，点P为双曲线左支上一点，
以线段PF为直径的圆与圆的位置关系是（）
A.相交
B.相离
C.相切
D.不确定
9.已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有（）
10.已知是椭圆上的一点，是的两个焦点，若
，则的取值范围是（）
11.已知不过原点的直线与交于两点，若使得以为直径的圆过原点，则直线必过点（）
12.已知为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则此椭圆离心率的取值范围为（）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.焦点在轴的椭圆的焦距为2,则= .
14.已知直线，，且已知则
_______.
15.在抛物线内，过点且被此点平分的弦所在直线的方程是__________ ．
16.已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点,则点的轨迹可能是: ①椭圆；
②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中正确的命题序号为__________
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)已知的顶点边上的中线所在的直线
方程为边上高所在的直线方程为，求：（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程.
18.(本小题满分12分)已知圆的圆心在直线上，并且圆经过点
，与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线方程.
19.(本小题满分12分)已知焦点在轴椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积.
20.(本小题满分12分)已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于
两点.
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若，求线段的中点到准线的距离.
21.(本小题满分12分)已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点为，点
坐标为，直线交椭圆另一点为，的周长为，到直线
的距离为，且椭圆离心率，
（1）求椭圆的方程;
（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点。

问：是否存在，使以为直径的圆过E点?若存在，请说明理由并求出的值。

22.(本小题满分12分)在直角坐标系中,曲线上的点均在圆
外,且对上的任意一点,到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.
（1）求曲线的方程；
（2）点为轴负半轴上一个定点，为曲线上的两个不同的动点,且满足，求证直线恒过定点，并求出定点坐标。

选择题1-5 ABDCD 6-10 DDCBA 11-12AB 13，4
14
15
16 （1），（2），（4），（6）
17，（1）（6，7）（2）
18，（1）；（2）或19，（1）；（2）
20，（1）（2）
21，（1）；（2）
22，（1）
（2）恒过定点。