2018北京十一学校高三数学(理)(二模)

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2018年海淀二模数学理科.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2018.5第一部分（选择题共 40分）一、选择题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集 U {1,2,3, 4,5,6}, 集合 A { 1,2,4}, B { 1,3,5} ，则( e U A) I B = （A）{1} （ B） {3,5} （ C） {1 ,6} （ D） {1,3,5,6}（2）已知复数z在复平面上对应的点为(1, 1) ，则（ A ）z+1是实数（ B）z+1是纯虚数（ C）z+i是实数（ D）z+i是纯虚数（3）已知 x y 0 ，则1 1（B ）(1)x (1 )y（ A ）yx 2 2 （ C）cosx cosy （ D） ln( x 1) ln( y 1)（4）若直线x y a 0 是圆x2 y2 2y 0的一条对称轴，则a的值为（A）1 （B）1 （C）2 （D）2（5）设曲线C是双曲线，则“C的方程为x 2 y21”是“C的渐近线方程为y 2 x”4的（ A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）关于函数 f x sin x x cosx ，下列说法错误的是（A ）f x是奇函数（B）0不是f x的极值点（ C）f x 在(, )上有且仅有个零点32 2（D）f x的值域是R（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是开始（ A ）求首项为1，公比为 2 的等比数列的前2017 项的和S = 0， n = 1（ B）求首项为1，公比为 2 2018 S = S + 2n - 1的等比数列的前项的和n = n + 2（ C）求首项为1，公比为 4 的等比数列的前1009 项的和否n > 2018是（ D）求首项为1，公比为 4 的等比数列的前1010 项的和输出 S（8）已知集合M {x N* |1 x 15}，集合 A1, A2 ,A3满足结束① 每个集合都恰有5个元素②A1U A2 UA3 M ．集合 A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i 1, 2,3），则X1 X2 X3的值不可能为（）．（A）37 （B）39 （C）48 （D）57第二部分（非选择题共110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

北京市十一所学校2018届高三理零模试卷(解析版)

北京市十一学校2018届高三年级适应性练习高三数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 若集合,,则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题得}所以，所以“”是“”的充分不必要条件，选 A.2. 已知数列为等差数列,且,那么等于A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即：，据此： .本题选择B选项.3. 若展开式中的所有二项式系数和为,则该展开式中的常数项为A. B. C. D.【答案】B【解析】展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故答案为： B.4. 已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π］由?（+）=3代入数据可得22+2×1×cosθ=3，解之可得cosθ＝，故可得θ＝.故答案为： C.5. 已知函数,那么在下列区间中含有函数零点的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以函数f(x)在区间必有零点，选 B.【点睛】6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所住的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为,则输出的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】由框图可知v=,所以当x=2时，v=,选D. 【点睛】秦九韶算法求一般的多项式的值时，先将多项式变形为然后由内向外逐层计算一次多项式的值。

把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求：的值的过程，共做了n次乘法运算，n次加法运算.计算时要用到的值，若令，我们可以得到下面的递推公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。

北京十一学校2018年高三数学理上学期期末试卷含解析

北京十一学校2018年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆心及半径，利用点到直线的距离公式，求得圆心到渐近线的距离小于半径，求得a和c关系，利用离心率公式即可求得双曲线C1的离心率的范围．【解答】解：双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），渐近线方程y=±x，即bx±ay=0，圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，（x﹣a）2+y2=，圆心（a，0），半径a，由双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则＜a，即c＞2b，则c2＞4b2=4（c2﹣a2），即c2＜a2，双曲线 C1的离心率e=＜，由e＞1，∴双曲线 C1的离心率的范围（1，），故选A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．2. 下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用充要条件的定义和函数的性质判断．B．利用特称命题的否定是全称命题来判断．C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．D．利用命题p与￢p真假关系进行判断．【解答】解：根据对数函数的性质可知，“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”，则a＞1，所以A正确．特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”，所以B错误．因为x2+2x+3=0的判断式△＜0，所以方程无解，所以“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”即不充分也不必要条件，所以C错误．因为命题p为真命题，所以￢p是假命题，所以D错误．故选：A．3. 如图，在中，已知，则（）A. B.C. D.参考答案：C略4. 函数的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 幂函数在(0,+∞)上单调递增，则m的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4参考答案：C由题意得：解得,∴m=4．故选：C．6. 已知变量x，y满足约束条件则的最大值为A．16 B．32 C．4 D．2参考答案：B7. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为A． B．Ｃ．Ｄ．参考答案：D由，得.由，得，所以，且.所以数列为递减的数列.所以为正，为负，且，，则，，，又，所以，所以最大的项为，选D.8. 已知，则是（）A. 偶函数，且在(0,10)是增函数B. 奇函数，且在(0,10)是增函数C. 偶函数，且在(0,10)是减函数D. 奇函数，且在(0,10)是减函数参考答案：【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.9. 若集合则（）A. B. C.D.参考答案：B略10. 已知向量＝（4，2），＝（6，），且∥，则等于（）A．3 B．C．12 D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值是．参考答案：略12. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是A．－3 B．－ C． D． 2参考答案：B13. 计算：＝．参考答案：答案：解析：；14. 函数的最小正周期为.参考答案：.15. 一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：第1组：，2个；第2组：，3个；第3组：，4个；第4组：，5个；第5组：，4个；第6个：，2个。

北京市西城区2018年高三二模试卷理数精品

北京市西城区2018年高三二模试卷数学（理科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于（A ）1（B ）0（C ）2-（D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是（A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8（C ）87（D ）477．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k（A ）有3个（B ）有2个（C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B）最小值为5 （C ）最大值为15（D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， ⋅⋅⋅=,2,1n ．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ；（Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望. M18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若,,21A A …m A 为集合,2,1{=A …，n}(n ≥2且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件：②U U 21A A …A A m =U ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个,3,2,1{∈i …,m}，使}{},{x y x A i =⋂或}{y . 则称集合组,,21A A …m A 具有性质P . 如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及++21A A …+i A 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）。

2018届北京市西城区高三理科数学二模试题及答案

西城区高三模拟测试数学（理科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是（A ）A B =∅I （B ）A B =R U （C ）A B ⊆（D ）B A ⊆2．若复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z = （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是（A ）1y x=（B ）2y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x =4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（A ）12（B ）（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）26．已知点(0,0)A ，(2,0)B ．若椭圆22:12x y W m +=上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则椭圆W 的离心率是（A ）12（B （C （D7．函数()f x a ．则“0a ≥”是“0[1,1]x ∃∈-，使0()0f x ≥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩ 其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数12(0)y x x =>，22(0)y x x =>，3e (0)x y x =>， 4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（A ）②，③，①，④ （B ）③，②，④，① （C ）②，③，④，① （D ）③，②，①，④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的面积为____；圆心C 到直线:340l x y -=的距离为____．10．241()x x +的展开式中2x 的系数是____．11．在△ABC 中，3a =，2b =，π3A ∠=，则cos2B =____．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >，则数列{}n a 的通项公式可以是____．13．设不等式组 1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若(0,π)α∈，且()2f α=，求α的值．16．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ；（Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；（III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．18．（本小题满分14分）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C y x =相切于点P ．（Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设Q 在抛物线C 上，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于M ，N ．记△PMN 的面积为1S ，△QAM 的面积为2S ，证明：12S S =．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x=-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b 上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ；（Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π，65 10．611．13 12．2n -+（答案不唯一） 13．1[,3]214．D注：第9题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数tan y x =的定义域是π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ，所以()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ． ……………… 4分（Ⅱ）()(1tan )sin 2f x x x =+⋅sin (1)sin 2cos xxx =+⋅……………… 5分 2sin 22sin x x =+ ……………… 6分sin2cos21x x =-+ ……………… 7分π)14x -+．……………… 8分由()2f α=，得πsin(2)4α-=． ……………… 9分因为 0πα<<，所以ππ7π2444α-<-<， ………………10分所以 ππ244α-=，或π3π244α-=． ………………11分解得 π4α=，或π2α=（舍去）． ………………13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分（Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥，所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -． ……………… 5分由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C，E，F ．所以 (2,2,0)BC −−→=-，(0,BF −−→=-．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则1x =，z=n ． ……………… 7分平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， ……………… 8分则cos ,||||⋅〈〉==n v n v n v ．所以二面角C BF A --． ………………10分（Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即1111220,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =(1,1,=-m ． ………………13分因为 0⋅≠m n ，所以平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设 CG CE λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．设 222(,,)G x y z，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-，所以 222x λ=-，22y λ=+，2z =，从而(22,2,)G λλ-+，所以(22,2)AG λλ−−→=-+． ………………13分因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ．所以有22211λλ-+==，因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=人．… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则 29217C 9(A)C 34P ==， ……………… 8分所以 25(A)1(A)34P P =-=． ……………… 9分（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． ………………11分当0 4.5X =时，判断错误的概率为21100． ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由 21,4y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得 22(24)10k x k x +-+=． ① ……………… 2分依题意，有0k ≠，且22(24)40k k ∆=--=．解得 1k =． ……………… 3分所以直线l 的方程为1y x =+． ……………… 4分将 1k = 代入①，解得 1x =，所以点P 的坐标为(1,2)． ……………… 5分（Ⅱ）设 (,)Q m n ，则 24n m =，所以 12(,)22m n A ++． ……………… 7分依题意，将直线 22n y +=分别代入抛物线C 与直线l ，得 2(2)2(,)162n n M ++，2(,)22n n N +． ……………… 8分因为 22(2)444441||16216164n n n n m n m n MN +-+-+-+=-===， ……… 10分 221(2)(88)(44)||21616m n m n n AM +++-++=-=(88)(444)1164m m n m n +-++-+==， ………………12分所以 ||||AM MN =． ………………13分又 A 为PQ 中点，所以P Q ，两点到直线AN 的距离相等，所以 12S S =． ………………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ……………… 2分所以(1)1f a '=-．依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分解得 1a =． ……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分因为 101b b<<<，所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b'=->，故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=，即 1()()f b f b>， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． ……………… 3分（Ⅱ）11a =-． ……………… 4分否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -L ≥，因此有 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥123222211n n n ---=-----=L ，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！所以11a =-． ……………… 8分（Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤.否则，令 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的整数倍，因此 12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅L ≥．所以有：11 / 11 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L 122(1)2(1)2(1)2(1)n k n k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥ 1222221n k n k n k -----=-----L 1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！所以 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤． ………………10分因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+LL LL ≤≤≤≤ 将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ， ① 又 123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ， ②两式相减即得 120n a a a +++>L ． ………………13分。

2018年高三最新北京西城区2018高三理科数学二模试卷

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）（2018．6）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧其中c',c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

1．)335(π-ctg 的值是（）. A ．33- B.3 C.33D. 3-2.设 {}R x x y y P ∈==,2 {}R x y y Q X∈==,2 则( ).A. Q=PB. P Q ⊂C. }{)4,2(=⋂Q PD.P ∩Q={（2，4）}3.双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ). A. 3 B.3C. 4D. 24.圆θρcos 2=上与极点距离为3的一个点的极坐标是( ). A .(3,3π) B. (3,6π) C. (-3,3π) D. (-3,6π) 5.在△ABC 中,sinA: sinB:sinC=3:2:4,则cosC 的值为( ). A.41- B.41C.32-D.32 6.某企业2001年12月份的产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2001年年度产值的月平均增长率为（）。

Ａ.1-P P B.111-P C.11P D.111-P7.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（）。

A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 12种8.一圆锥被平行于底面的截面截成一个小圆锥和一个圆台,若小圆锥的体积为y,圆台的体积为x,则y 关于x 的函数图象的大致形状为( ).9. 已知点M(cos α, sin α),N(cos β,sin β),若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π，则θ等于（） A ．)(21βαπ++B.)(21βα+ C.)(21πβα-+ D.)(21αβ-10.直平行六面体1111D C B A ABCD -的棱长均为2,∠BAD=60°，则对角线C A 1与侧面11D DCC 所成角的正弦值为（）。

北京市西城区2018届高三二模试题数学理

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
x 2 cos ,
9．已知圆 C 的参数方程为
（为参数），则圆 C 的面积为 ____；圆心 C 到直线
y sin
l : 3x 4 y 0 的距离为 ____．
10． ( x2 1 )4 的展开式中 x 2 的系数是 ____ ． x
（ B） A B R
（ C） A B
（D） B A
2．若复数 z 满足 (1 i) z 1 ，则 z
（ A） 1 i 22
（B） 1 i 22
（ C） 1 i 22
3．下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,1) 上单调递减的是
（ A） y 1 x
（ B） y x2
（ C） y 2|x|
4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的
西城区高三模拟测试
数学（理科）
2018.5
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合 A { x | 0 x 1} ， B { x | x2 2x 0} ，则下列结论中正确的是
（ A） A B
侧面积是
（D） 1 i 22
（D ） y cosx
（ A） 12
（ B） 4 10
（ C） 12 2
（ D） 8 5 5．向量 a, b, c 在正方形格中的位置如图所示．若向量
共线，则实数
a b与 c
（ A） 2
（B） 1
（ C） 1
（D） 2
x2 6．已知点 A(0,0) ， B(2,0) ．若椭圆 W :

2018届北京市西城区高中高三理科数学二模试卷试题包括答案.docx

西城区高三模拟测试数学（理科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合 A{ x | 0x1} ， B{ x | x22x 0} ，则下列结论中正确的是（A ）A I B（ B）A U B R（C）A B（ D）B A2．若复数 z 满足 (1i)z 1 ，则 z（A ）1 i（ B） 1 i（ C） 1 i（ D）1 i 222222223．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1) 上单调递减的是（A ） y1（ B） y x2（ C） y2|x|（ D）y cosx x4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（A ）12（B ） 4 10（C）12 2（D ）8 55．向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示．若向量a b 与 c共线，则实数（A ）2（ B）1（ C）1（ D）222x y上存在点 C ，使得△ ABC 为等边三角形，6．已知点 A(0,0) ， B(2,0) ．若椭圆 W :12m则椭圆 W 的离心率是（A ）1（ B）2（ C）6（ D）3 22327．函数 f ( x) 1 2a ．则“ a ≥ 0 ”是“ x 0 [ 1,1]，使 f (x 0 ) ≥ 0”的x（A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件8．在直角坐标系 xOy 中，对于点 ( x, y) ，定义变换：将点 (x, y) 变换为点 ( a, b) ，使得x tan a, π πy其中 a, b (, ) ．这样变tan b,2 2换就将坐标系 xOy 内的曲线变换为坐标系 aOb 内的曲线．则四个函数 y 1 2x (x0) ， y 2 x 2( x 0) ， y 3 e x ( x 0) ，y 4 ln x (x1) 在坐标系 xOy 内的图象，变换为坐标系 aOb 内的四条曲线（如图）依次是（A ）②，③，①，④（ B ）③，②，④，①（C ）②，③，④，①（ D ）③，②，①，④第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分．x 2 cos , 为参数），则圆 C 的面积为 ____；圆心 C 到直线9．已知圆 C 的参数方程为（ysinl :3 x 4 y 0 的距离为 ____．10． (x21 )4 的展开式中 x 2 的系数是 ____．x11．在△ ABC 中， a3 ， b 2 ，Aπ，则 cos2B ____ ．312．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ．若 a 1 1 ， S 2 S 3 ，则数列 { a n } 的通项公式可以是 ____．x≥ 1,13．设不等式组x y ≥ 3,表示的平面区域为D．若直线ax y 0 上存在区域 D 上的点，则2 x y ≤ 5实数 a 的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为 A ， B， C，D ， E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000 名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A ，B B ，C C， D D， E A ， E 疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）已知函数 f ( x) (1tan x) sin 2 x ．（Ⅰ）求 f (x) 的定义域；（Ⅱ）若(0,π)，且 f ( ) 2 ，求的值．16．（本小题满分14 分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB // CD // EF，AB AD． CD DA AF FE 2 ， AB 4 ．（Ⅰ）求证：DF // 平面 BCE ；（Ⅱ）求二面角 C BF A 的余弦值；（Ⅲ）线段 CE 上是否存在点G ，使得 AG平面BCF？请说明理由．17．（本小题满分13 分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人，求这 2 人中有患病者的概率；（ III ）某研究机构提出，可以选取常数X 0n 0.5 (n N* ) ，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X 0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．概率最小的X0的值及相应的概率（只需写出结论）．写出使得判断错误的18．（本小题满分14 分）已知直线 l : y kx 1 与抛物线 C : y24x 相切于点P ．（Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设 Q 在抛物线C上，A为 PQ 的中点．过A作y轴的垂线，分别交抛物线 C 和直线 l 于 M ，N ．记△PMN的面积为S1，△QAM的面积为S2，证明：S1S2．19．（本小题满分 13 分）已知函数ln xax ，曲线 y f (x) 在x 1处的切线经过点 (2, 1)．f (x)x（Ⅰ）求实数 a 的值；（Ⅱ）设 b 1 ，求 f (x)在区间[1,b ] 上的最大值和最小值．b20．（本小题满分13 分）数列 A n： a1 , a2 , L, a n (n ≥2)的各项均为整数，满足： a i≥ 1 (i1,2,L , n) ，且a1 2n 1a2 2n 2a3 2 n 3L a n 1 2 a n 0 ，其中 a1 0 ．（Ⅰ）若 n 3，写出所有满足条件的数列A3；（Ⅱ）求 a 1的值；（Ⅲ）证明：a1a2L a n0 ．西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、：本大共 8 小，每小 5 分，共 40 分 .1．C2． A 3． D 4． B 5．D6． C7．A8． A二、填空：本大共6 小，每小 5 分，共30 分 .9． π，610． 611．15312． n2 （答案不唯一）13． [ 1 ,3]14． D2 注：第9 第一空 3 分，第二空2 分 .三、解答：本大共 6 小，共 80 分 .其他正确解答程，参照分准分.15．（本小分13 分）解：（Ⅰ）因函数 y tanx 的定域是 { x R | x k ππ, k Z } ，2所以 f (x) 的定域 { xR | xk ππ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分, k Z } ．2（Ⅱ） f ( x)(1 tan x) sin 2 x(1sin x) sin 2 x⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分cos xsin 2 x2sin 2 x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分sin2 x cos2 x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2 sin(2 xπ 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分)4由 f ( ) 2 ，得 sin(2π2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分)．42πππ 7π10因2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分，所以44 42π ππ 3π ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分所以 4 ，或 24． 44ππ13 分解得，或（舍去）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4216．（本小分14 分）解：（Ⅰ）因CD // EF ，且 CD EF ，所以四形 CDFE 平行四形，所以DF // CE ．⋯⋯ 2 分因DF平面 BCE ，⋯⋯ 3 分所以DF // 平面 BCE ．⋯⋯ 4 分（Ⅱ）在平面ABEF 内， A 作 Az AB ．因平面 ABCD平面 ABEF ，平面 ABCD I 平面 ABEF AB ，又 Az平面 ABEF ， Az AB ，所以Az 平面 ABCD ，所以AD AB ， AD Az ， Az AB ．如建立空直角坐系A xyz ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分由意得，A(0,0,0)， B(0,4,0)， C(2,2,0)， E (0,3,3) ， F (0,1,3) ．所以BC(2, 2,0)， BF(0,3, 3) ．平面 BCF 的法向量n( x, y, z) ，n BC0,即2 x 2 y0,3 y3z0.n BF0,令 y1， x 1 ， z 3 ，所以n (1,1,3) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分平面 ABF 的一个法向量v (1,0,0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分cos n ,v n v 5 ．| n ||v |5所以二面角 C BF A的余弦 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分5（Ⅲ）段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ，理由如下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分解法一：平面 ACE 的法向量m ( x1, y1, z1)，m AC0,即2 x12y10,3y13z10.m AE0,令 y1 1 ， x11， z1 3 ，所以 m( 1,1,3) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分因m n 0 ，所以平面 ACE 与平面 BCF 不可能垂直，从而段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分解法二：段 CE 上不存在点 G ，使得 AG 平面 BCF ，理由如下：⋯⋯⋯⋯ 11 分假段 CE 上存在点 G ，使得 AG平面 BCF ，CG CE ，其中[0,1] ．G( x2 ,y2 , z2 ) ，有 ( x22, y22,z2 ) ( 2, , 3) ，所以x222， y22， z23，从而G(2 2 , 2, 3) ，所以AG(22,2, 3) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分因AG平面BCF，所以AG // n ．所以有2223，113因上述方程无解，所以假不成立．所以段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17．（本小分13 分）解：（Ⅰ）根据分抽原，容量100 的本中，患病者的人数1003.42 分40 人．⋯8.5a10.100.350.250.150.100.05 ，b 1 0.10 0.20 0.300.40 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）指数据 4 的本中，有患病者 400.208 人，未患病者 600.15 9 人．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分事件 A “从中随机 2 人，其中有患病者”．C929，⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分P(A)C17234所以P(A)125⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分P(A)．34（Ⅲ）使得判断的概率最小的X0 4.5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当 X0 4.5 ，判断的概率21 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分10018．（本小分 14 分）y kx 1, 得 k 2 x2(2 k 4) x 12 解：（Ⅰ）由4 x．① ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分y 2依意，有 k 0 ，且(2 k 4) 24k 2 0 ．解得 k1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以直 l 的方程 y x 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分将 k 1代入①，解得x1 ，所以点 P 的坐 (1,2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） Q ( m, n) ，n2 4m ，所以 A(m1 ,n2 )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分22依意，将直yn2分代入抛物C 与直 l ，2得 M ((n2) 2 , n 2) ， N ( n , n2 ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分1622 2( n 2) 2n n 24n 4 4 m 4n 4 m n 1，⋯⋯⋯ 10 分因 | MN |16216164m 1 ( n 2) 2(8m8) ( n 24 n 4)| AM |21616(8m 8) (4 m 4n 4)m n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分16 4所以 | AM | | MN | ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分又 A PQ 中点，所以 P ， Q 两点到直 AN 的距离相等，所以 S 1S 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分19．（本小分 13 分）解：（Ⅰ） f ( x) 的函数 f1 ln x ax 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(x)x2所以 f (1) 1 a ．依意，有f (1) ( 1) ，1 1 a2即a1a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1 12解得 a 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ( x)1 x2 ln xx2．2当 0 < x <1 ， 10 ，ln x 0 ，所以 f ( x)0 ，故 f ( x) 增；x 当 x >1 ， 1 20 ，ln x 0 ，所以 f( x) 0 ，故 f ( x) 减．x所以 f ( x) 在区 (0,1) 上增，在区 (1, ) 上减．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因0 1 1 b ，所以f ( x) 最大 f (1) 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分bh(b)f (b)f ( 1) (b 1)ln b b 1，其中 b 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分b b bh (b)(112 )ln b0 ，b故 h(b ) 在区 (1, ) 上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分所以 h(b) h(1)0 ，即f (b)f (1) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分b故f ( x) 最小 f (1 bln b1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分)．bb20．（本小分 13 分）解：（Ⅰ）足条件的数列A 3 ：1, 1,6 ；1,0,4 ；1,1,2 ； 1,2,0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ） a 1 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分否，假 a 11 ，因 a 10 ，所以 a 1≥ 1 ．又 a 2 , a 3 ,L ,a n ≥ 1 ，因此有a 2n 1a 2n 2a 2 n 3L an 1 2 an123≥ 2n 1( 1) 2n 2 ( 1) 2n 3 L( 1) 2 ( 1)2n 1 2n 2 2n 3L 2 1 1，与 a 1 n 1a 2 n 2a 3 n 3La n 12 a n0 矛盾！2 22所以 a 11 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅲ）先明如下：k {1,2,L , n 1} ，必有 a 12n 1a 22 n 2La k 2n k ≤ 0 .否，令a 1 2n 1 a 2 2n2La k 2n k 0 ，注意左式是 2n k的整数倍，因此a 12n 1a 22n 2La k 2nk≥ 2 n k．所以有：a1 2n 1a2 2n 2a3 2 n 3L a n 1 2 a n≥ 2 n k( 1) 2n k 1( 1) 2 n k 2L( 1) 2 ( 1)2n k2n k 12n k 2L 2 11，与 a12n 1a22n 2a32n 3L an 1 2 a n0矛盾！所以 a12n 1a22n2L a k2 n k≤ 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分因此有：a10,a12a2≤ 0,a14a22a3≤ 0,La1 2k 1a22k 2L a k 1 2 a k ≤ 0,La1 2n 2a2 2n 3L a n 2 2 a n 1≤ 0.将上述个不等式相加得a1n1n 21) L a n 1 (2 1) 0 ，①n 1(21) a2 (2又 a12n 1a2 2n 2a3 2n 3L a n 1 2 a n0 ，②两式相减即得a1a2L a n0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分。

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）
A. 1
B.
7
C.
1
D.
9
4
16
2
16
1 / 14
解析：古典概型， 4 人共有 16 种．可能 4 人都不站起来，有 1 种；可能只有 1 个人站起来有 4 种；可能相对的两
人站起来，有 2 种，共 7 种，所以概率为 7 ， 16
7. 在平面直角坐标系中，如果我们定义两点 A( x1, y1) 、 B( x2, y2 ) 的距离 d ( A, B)为：
d ( A, B ) max x1 x2 , y1 y2 ，则单位圆（到原点 O (0,0) 的距离等于 1的所有点的轨迹）的面积为（
）
A.
B.1
C.
2
D.
4
8．已知点 A( 1, 1) ．若曲线 T 上存在两点 B, C ，使 △ ABC 为正三角形，则称 T 为“正三角形”曲线．给定下列
三条曲线：① x y 3 0 (0 x 3) ；② x2 y 2 2( 2 x 0) ；③ y
AQ ；当 Q 点横坐标趋向于
（ Q 点向 x 轴正方向运动到无
穷远）时， AP AQ ，其中必存在某个位置， AP AQ 可以满足题意。
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9. 已知角终边经过点 P(2sin 2, 2cos 2) ，则 sin
．答案 cos2
10. 过双曲线
3,0 C. 0,
D. 3,
解析： A x | x 0 , B x | x 3 ，所以 A B
3,0
2. 若复数 z 满足 zi 1 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的共轭复数为（）
zi
A.
11 i B.
22
11 i C.
22
11
11
i D.
i
22
22
解析： zi z i ，所以 z i
i (1 i )
1 i ，所以 z 1 i
1 i (1 i )(1 i ) 2
2
3. 已知 x，y∈ R，且 x＞ y＞ 0，则 ( )
11 A. x－ y＞0 B.sin
x－ sin y＞ 0 C.
1x 1y
1 1 11
解析：函数 y＝ x在 (0 ，＋∞ ) 上单调递减，所以 x＜ y，即 x－ y＜ 0， A 错；函数 y＝ sin x 在 (0 ，＋∞ ) 上不是单调函
所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业
每天可获得最大利润为 ______万元
答案 .18
14．已知函数 f ( x)
2
x
y2 b2
1 b 0 的右焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
E,O 为坐标原点，若
OFE
2 EOF ，则 b
___________ ；答案
3 3
11. 已知 ABC 所在平面内有两点 P,Q，满足 PA PC 0, QA QB QC
BC ，若 AB
4, AC
2 ， S APQ
2
,则
3
1x 数， B 错；函数 y＝ 2 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递减，所以
1x 1y
1x 1y
2 ＜ 2 ，即 2 － 2 ＜0，所以 C 正确； ln x＋ ln y＝
ln xy，当 x＞ y＞ 0 时， xy 不一定大于 1，即不一定有 ln xy＞ 0， D错 .
4. 已知 p : x 0,ex ax 1成立 , q :函数 f x
AB AC 的值为
.
43
12. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和 , 已知 a1 2 且对任意 p, q
N , 都有 a p q
ap
aq ，则 f n
Sn
60 (n
N ) 的最小
n1
值为
.
答案 29 2
13. 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表
上变化时， e A 与 y
到相切相交，设交点为 PQ ，研究 PAQ 的变化趋势，至少能取到 0,90 ，因此必有 r 可以满足
1
从没有交点
x PAQ 60 ；
法二：设 y
1 ( x 0) 上有两动点 P 、 Q 满足
x
于 0（ P 点向 y 轴负方向运动到无穷远）时， AP
PAQ 60 且 AP 到 AQ 为顺时针旋转。则当 P 点横坐标趋向
1 (x 0) ． x
其中，“正三角形”曲线的个数是（
A． 0 B ． 1 C ． 2 解析： ①设线段 x y 3 0 (0 x
）
D ．3 3) 为 MN ，则 MN
18 ， AM
17 ， MAN 60 ，一定可以在 MN
上找到 B,C 满足题意；
②画个图显然不对；
③法一：（戴老师）考虑以
A 为圆心的动圆 e A ，当 e A 的半径 r 在 0,
（x2 - 2x -1）ex
B 符合，因为 f (x)
2
(x
1）2
在
( , 1)递增， ( 1,1 2) 递增， (1 2,1)递减， (1,1 2) 递减， (1 2, ) 递增
6. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 . 若硬币正面朝上 , 则这
个人站起来 ; 若硬币正面朝下 , 则这个人继续坐着 . 那么 , 不存在相邻的两个人站起来的概率为（
5. 若函数 f ( x ) 的图像如图所示，则 f ( x ) 的解析式可能是（ )
ex 1
A ． f (x) x2 1
B
x3 x 1
C. f ( x)
x2 1
D
ex ． f (x) x2 1
x4 x 1
． f (x)
x2 1
解析：可知 f ( x) 0 在 ( 1,1)恒成立，排除 A, C ，再结合单调性可知，只有
2018 北京十一学校高三数
学（理）（二模）
2018.4.25
总分： 150 分时间： 120 分钟
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知 A x | 3 x 1 , B x | y
x 3 ，则 A B （）
A. 3,0 B.
a 1 x 是减函数 , 则 p 是 q 的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： p: x 0,ex ax 1即 x 0,ex ax 1结合 y ex 在 (0,0)处切线为 y x 1，可知 a 1 ； q 中， a 1 1，所以 a 2，可知 a 1 是 a 2 的必要不充分条件 .