10[1].5_第二类_对坐标_的曲面积分

r (其中 n(x, y, z)为有向曲面 在指定一侧的点 y, z) 其中 为有向曲面Σ在指定一侧的点 在指定一侧的点(x,
它们都是x, 的函数), 它们都是 y, z的函数 则第二类曲面积分 的函数 r r ∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cos γ ) dS .
Σ Σ
第一类曲面积分 两类曲面积分的转化公式
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10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
四、第二类曲面积分的计算法
若光滑有向曲面Σ 若光滑有向曲面 给出, 由方程 z = z(x, y)给出 给出 Σ在xOy面上的投影区 在 面上的投影区 域为D 在 域为 xy , 函数 z(x, y)在 Dxy上具有一阶连续偏 上具有一阶连续偏 导数, 则由 导数
三、两类曲面积分之间的联系
r 设 F ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}, r n( x , y , z ) = {cos α , cos β , cos γ },
r 处的单位法向量, 的方向角, 一般来说 处的单位法向量 α , β , γ 为n 的方向角 一般来说, 单位法向量
r r 向量, 有向平面 平面, 常向量 有向平面 流量为 Φ = A (M)⋅ n(M) v
r (2) 当 v (M ) 不是常量 Σ是有向曲面. 求流量 不是常量, 是有向曲面 流量Φ. 是有向曲面
采用元素法 把大范围的曲面 问题化为小范围的平面的问题, 并在 问题化为小范围的平面的问题 小范围内, 把流量近似地看成常向量. 小范围内 把流量近似地看成常向量 把曲面Σ分成 分成n小块 分割 把曲面 分成 小块 ∆Si (∆Si同时也代表第 小块 同时也代表第i小块 曲面的面积), 曲面的面积 在∆Si上任取一 r 点Mi , 则该点流速为 v ( M i ),
(2) 可加性 若Σ由Σ1和Σ2组成 则 组成, 由 r r r r r r ∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS ,
Σ
Σ1
Σ2
(3) 有向性 r r r r ∫∫ F ⋅ ndS = − ∫∫ F ⋅ ndS .
Σ+
Σ−
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10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
10.5 第二类 对坐标)的曲面积分 第二类(对坐标 的 对坐标
surface integral
概念的引入 概念与性质 两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分的计算法 小结 思考题 作业
第10章 曲线积分与曲面积分 10章
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10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
上侧为正, 上侧为正 下侧为负 化为二重积分 一投 二代 三定号 r r ∫∫ F ⋅ ndS = ± ∫∫{ P[ x , y, z(x, y)] ⋅ ( − z x )
Σ
+ Q[ x , y , z(x, y)] ⋅ ( − z y ) + R[ x , y , z(x, y)] ⋅ 1} dxdy
i=1 i=1
当各小块∆S 取极限 当各小块 i的最大直径 λ →0时 , 时 取极限得到流量Φ的精确值为 取极限得到流量 的精确值为 n r r v i Φ = lim∑ (M )⋅ n(M )∆Si . i λ→ 0 i=1 r 除了流量以外, 除了流量以外 电流强度 E(M)通过有向曲面 的电通量Φ也可表示同一类型的极限 的电通量 也可表示同一类型的极限 n r r Φ = lim∑E(M )⋅ n(M )∆Si . i i
i=1 i=1
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∆S1, ∆S2, … , ∆Sn,
10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
n r r r r ∑F(Mi )⋅ n(Mi )∆Si = ∑F(ξi ,ηi ,ζi )⋅ n(ξi ,ηi ,ζi )∆Si i=1 i=1 n
令各小块∆S 令各小块 i的最大直径 λ →0时 若上和式有 时 , r r 极限, 极限 则称此极限值为向量函数 F ( M ) = F ( x , y, z ) 在有向曲面Σ上沿指定一侧的第二类(对坐标) 在有向曲面 上沿指定一侧的第二类(对坐标)的曲 上沿指定一侧的第二类 面积分, 记作 面积分,
r v(M)
M
A • A
θ
r n(M)
流量 (斜柱体体积 斜柱体体积) 斜柱体体积 r Φ = A| v(M) | cosθ r r = A| v(M) || n(M) | cosθ
r ( n(M)为平面 的单位法向量 为平面A的单位法向量 法向量)
r r = Av(M)⋅ n(M)
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10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
一、概念的引入
如流体从曲面的这一侧 1.有向曲面 有向曲面 流向另一侧的流量问题等. 流向另一侧的流量问题等 通常光滑曲面都有两侧. 通常光滑曲面都有两侧 假设曲面是光滑的) 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 假设曲面是光滑的
曲面分上侧和下 曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外 曲面分内侧和外侧
2
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r 设有一稳定流体, 实例 设有一稳定流体 以速度 v(M)流过
有向曲面Σ(从负侧流向正侧 流量Φ. 有向曲面 从负侧流向正侧), 求流量 从负侧流向正侧 r (1) 流速为常向量 v(M),有向平面区域 A, 流速为常向量 有向平面 平面区域 求单位时间流过A的流量 假定密度为 求单位时间流过 的流量Φ(假定密度为 的流量 假定密度为1).
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10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
r r ∫∫ F ⋅ ndS =
Σ
∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cos γ ) dS . Σ
m zx m zy cos α = , , 2 2 cos β = 2 2 1 + zx + z y 1 + zx + z y ±1 2 cos γ = , d S = 1 + z x + z 2 d xd y 2 2 y 1 + zx + z y
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Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家 世纪德国数学家 (2) 单侧曲面 莫比乌斯(Mobius)带. 带 莫比乌斯
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下 扭转一下, 它是由一张长方形纸条 粘在一起, 将A、D粘在一起 B、C 粘在一起形成的环行带 、 粘在一起 粘在一起形成的环行带. 小毛虫在莫比乌斯带上, 不通过边界可以爬到任 小毛虫在莫比乌斯带上 何一点去. 何一点去 这在双侧曲面上是 这在双侧曲面上是 双侧曲面 不能实现的. 不能实现的.
r r lim∑ (ξi ,ηi ,ζi )⋅ n(ξi ,ηi ,ζi )∆ i F S
0 λ→
n
r r = ∫∫ F(x, y, z)⋅ n(x, y, z)dS.
Σ
i=1
简记作
r r ∫∫ F⋅ ndS.
Σ
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r 在前面的实例中, 流量Φ为流速 在前面的实例中 流量 为流速 v(M)在曲面
r 法向量为 n( M i ).
x
z
r v(M ) i
M i
∆Si
r n(M ) (M i
Σ
•
o
y
流体流过小块∆S 的流量∆Φ 取近似 流体流过小块 i的流量 i为
r r S , ∆Φ ≈v(M )⋅ n(M )∆ i (i =1,2,L n). i i i
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λ→ 0
i=1
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10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
二、概念与性质
1. 定义 定义10.4 设有分片光滑的双侧曲面 取定其 设有分片光滑的双侧曲面Σ, 定义 r r 一侧, 一侧 记这一侧的单位法向量为 n( M ) = n( x , y, z ), r r F ( M ) = F ( x , y, z ) 为定义在Σ上的向量函数. 任意分 为定义在Σ上的向量函数. 上的向量函数 小块, 割Σ为n小块 小块及其面积都记作 为 小块 在每一小块∆S 在每一小块 i上, 任取一点 M (ξi ,ηi ,ζi ),作和式 i n r n r r r ∑F(Mi )⋅ n(Mi )∆Si = ∑F(ξi ,ηi ,ζi )⋅ n(ξi ,ηi ,ζi )∆Si ,
r r 如曲面Σ为封闭曲面: 如曲面 为封闭曲面 ∫∫ F ⋅ ndS.
Σ
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Σ
10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
2.性质 . (1) 线性性质 r r r ∫∫ (k1F1 + k2 F2 ) ⋅ ndS
Σ
Σ Σ
(k1, k2为常数) 为常数
r r r r = k1 ∫∫ F1 ⋅ ndS + k2 ∫∫ F2 ⋅ ndS ,
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10.5 第二类(对坐标 的曲面积分 第二类 对坐标)的曲面积分 对坐标
对于非封闭曲面, 当曲面分为 对于非封闭曲面 左、右两侧时, 通常规定其右侧为 右两侧时 正侧,左侧为负侧. 正侧,左侧为负侧. 负侧 当曲面分为前、后两侧时 当曲面分为前、后两侧时, 通常规定其前侧为 正侧,后侧为负侧. 正侧,后侧为负侧. 负侧