高等数学 对坐标的曲面积分

(ξ i ,η i , ζ i ),
z
r 则该点流速为 v i ，
∆Si
Σ
r n i
•
r vi
(ξi ,ηi ,ζi )
r 法向量为 ni .
r r vi = v (ξ i ,η i , ζ i )
o
y
r r r x = P (ξ i ,η i , ζ i )i + Q(ξ i ,η i , ζ i ) j + R(ξ i ,η i , ζ i )k
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对坐标的曲面积分
例 计算
其中Σ是球面 xyzdxdy其中 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∫∫
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = − 1 − x 2 − y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 − x 2 − y 2 ,
曲面的直径的最大值 λ → 0时，
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对坐标的曲面积分
存在, lim∑R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy 存在 则称此极限为 (
0 λ→ i=1
n
函数 R( x , y , z )在有向曲面 Σ上 对 标 y的 面 坐 x, 曲
第二类曲面积分. 积 或称 第二类曲面积分 记作 分
∫∫ R(x, y,z)dxdy, 即 Σ
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
x
r n
z
z = z( x , y )
ds
Σ
O
∆ D xy (∆s)xy
其中( ∆σ ) xy 表示投影区域的面积 .
假定∆S 上各点处的法向量与 z轴的夹角 γ 轴的夹角 的余弦 cos γ 有相同的符号 有相同的符号.
γ 恰好等于 ∆S与坐标面 与坐标面xOy的二面角 的二面角. 的二面角
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对坐标的曲面积分
面上的投影 在 面上的 ∆S xOy面上的投影( ∆S ) xy , 实际上就是 面上的投影区域的面积附以一定的 ∆S 在xOy面上的投影区域的面积附以一定的 正负号. 正负号 类似地,可定义 面及zOx面的投影 面的投影: 类似地 可定义 ∆S在yOz面及 面及 面的投影
∴( ∆Si )xy = ( ∆σ )xy
Σ 取上侧
∴ lim∑R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy (
0 λ→ i=1 n
0 λ→
( = lim∑R ξi ,ηi , z(ξi ,ηi ))(∆σi )xy
i=1
即
∫∫ R(x, y, z)dxdy=+∫∫ R[x, y, z(x, y)]概念与性质
1. 定义 定义 设Σ为光滑的有向曲面 , 函数在 Σ上有界 ,
把Σ分成n块小曲面∆Si ( ∆Si同时又表示第i块小 曲面的面积 ), ∆S i 在xOy面上的投影为 ( ∆S i ) xy ,
(ξ i ,η i , ζ i )是∆S i 上任意取定的一点 , 如果各小块
[ ( = ∑ P(ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )yz +Q ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xz
i=1
+ R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy ] (
cos β i ⋅ ∆S i ≈ ( ∆S i ) zx
取极限 λ →0
cos γ i ⋅ ∆S i ≈ ( ∆S i ) xy
极 得 流 Φ 精 值 取 限 到 量 的 确 .
A
θ
r v r n
r r = Av ⋅ n
r ( n 为平面A的单位法向量 法向量) 为平面 的单位法向量
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对坐标的曲面积分
r 当 v 不是常量 Σ有向 曲面 不是常量,
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 (假定密度为 假定密度为1) 假定密度为 的速度场由 流体的密度与速度 r r r r v ( x , y , z ) = P ( x , y , z )i均不随时间而变化( x , y , z )k + Q( x , y , z ) j + R
给出, 是速度场中的一片有向曲面 有向曲面, 给出 Σ 是速度场中的一片有向曲面 函数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
求在单位 都在 Σ上连续， 上连续， 时间内流向 Σ 指定侧的 流体的质量 Φ .
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对坐标的曲面积分
分割 把曲面 Σ分成n小块∆Si ( ∆S i同时也代表 第i小块曲面的面积 ), 在∆S i 上任取一点
积分曲面
∫∫ R(x, y, z)dxdy = lim∑R(ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy λ→ 0 i=1 Σ
被积函数 如曲面为封闭曲面 如曲面为封闭曲面: 封闭曲面
n
∫∫ R( x , y, z )dxdy Σ
Σ
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对坐标的曲面积分
类似可定义
∫∫ P(x, y, z)dydz = lim∑P(ξ ,η ,ζ )(∆S ) λ Σ
Σ1
投影域 D xy : x 2 + y 2 ≤ 1( x ≥ 0, y ≥ 0)
−
y
= +∫∫ xy 1 − x 2 − y 2 dxdy
D xy
∫∫ xyzdxdy = ∫∫ xyzdxdy + ∫∫ xyzdxdy Σ Σ Σ
2
1
xy ( − 1 − x 2 − y 2 )dxdy − ∫∫
D xy
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对坐标的曲面积分
D xy : x 2 + y 2 ≤ 1( x ≥ 0, y ≥ 0)
= +∫∫ xy 1 − x 2 − y 2 dxdy
通过Σ流向指定侧的流量 通过 流向指定侧的流量 n r r v i Φ≈ ∑ i ⋅ n ∆Si
i=1
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对坐标的曲面积分
n
[ ( = ∑ P(ξi ,ηi ,ζi )cosαi +Q ξi ,ηi ,ζi )cos βi
i=1
( + R ξi ,ηi ,ζi )cosγ i ]∆Si
n
cos α i ⋅ ∆S i ≈ ( ∆S i ) yz
y
被积函数R(x, y, z)在Σ上连续 上连续. 被积函数 在 上连续
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对坐标的曲面积分
Q Σ 取上侧 , cosγ > 0,
又 Qζ i = z (ξ i ,η i )
n
∫∫ R(x, y, z)dxdy = lim∑R(ξ ,η ,ζ )(∆S ) λ Σ
0 → i=1 i i i
n
i xy
0 → i=1 i i i
n
i yz
∫∫Q(x, y, z)dzdx= lim∑Q(ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )zx λ→ 0 i=1 Σ
2. 存在条件
n
当P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在有向光滑
连续,对坐标的曲面积分存在. 曲面Σ上 连续,对坐标的曲面积分存在
(3)
( R x, y, z)dxdy = − ∫∫ R x, y, z)dxdy ( ∫∫
−Σ
Σ
Σ
Σ
表示Σ相反的一侧 表示 相反的一侧 轴的柱面时, (4) 当曲面 是母线平行于 轴的柱面时, 当曲面Σ 是母线平行于z轴的柱面时
∫∫ Rdxdy = 0 Σ
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对坐标的曲面积分
四、对坐标的曲面积分的计算法
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对坐标的曲面积分
该点处曲面Σ的单位法向量 该点处曲面 的单位法向量
常向量,有向平面 常向量 有向平面r r r Φ = A|v | cosθ = Av ⋅ n
r r r r = ni cos αi i + cos βi j + cos γi k
取近似
通过∆Si 流向指定侧的流量的近 似值为 r r r | cos(v , n ) r r S ∆Φ ≈ | vi i i ∆ i = vi ⋅ n ∆ i i i S 高 (i =1,2,L n). , 底 求和
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对坐标的曲面积分
Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家 世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带. 带 莫比乌斯 它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下 扭转一下, 它是由一张长方形纸条 扭转一下 粘在一起， 将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环 、 粘在一起 行带.小毛虫在莫比乌斯带上 小毛虫在莫比乌斯带上, 行带 小毛虫在莫比乌斯带上 不通过边界可以 爬到任何一点去. 爬到任何一点去 这在双侧曲面上是不能实现的. 这在双侧曲面上是不能实现的. 双侧曲面上是不能实现的 决定了侧的曲面称为 有向曲面. 有向曲面.
Dyz
如果Σ由 y = y( z , x )给出, 则有
∫∫Q(x, y, z)dzdx= ±∫∫Q[x, y(z, x), z]dzdx Σ
D zx
对坐标的曲面积分, 注 对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的 侧.
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对坐标的曲面积分
计算对坐标的曲面积分时 计算对坐标的曲面积分时: 对坐标的曲面积分 (1) 认定对哪两个坐标的积分 将曲面 表为 认定对哪两个坐标的积分,将曲面 将曲面Σ表为 这两个变量的函数,并确定 的投影域. 并确定Σ的投影域 这两个变量的函数 并确定 的投影域 (2) 将Σ 的方程代入被积函数,化为投影域上 的方程代入被积函数 化为投影域上 的二重积分. 的二重积分 (3) 根据 的侧 法向量的方向 确定二重积分 根据Σ的侧 法向量的方向)确定二重积分 的侧(法向量的方向 前的正负号. 前的正负号