对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分曲面的侧•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦cos αcos βcos γ> 0 为前侧< 0 为后侧封闭曲面> 0 为右侧< 0 为左侧> 0 为上侧< 0 为下侧外侧内侧侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面表示:Oxyz(),,1x y n z z =--(),z z x y =(),,1x y n z z =-Oxyz(),z z x y =上侧曲面下侧曲面若曲面为则曲面定向可取上侧或下侧,():,,z z x y ∑=当此曲面取上侧时, 法向量为(),,1;x y n z z =--当此曲面取下侧时, 法向量为(),,1;xyn z z =-右侧曲面左侧曲面若曲面为则曲面定向可取右侧或左侧,():,,y y x z ∑=当此曲面取右侧时, 法向量为当此曲面取左侧时, 法向量为(),1,;x z n y y =--(),1,;x z n y y =-Oxyz(),1,x z n y y =--(),y y x z =Oxyz(),1,x z n y y =-(),y y x z =前侧曲面后侧曲面若曲面为则曲面定向可取前侧或后侧,():,,x z y z ∑=当此曲面取前侧时, 法向量为当此曲面取后侧时, 法向量为()1,,;y z n x x =--()1,,;yzn x x =-Oxyz()1,,y z n x x =--(),x x y z =Oxyz()1,,y z n x x =-(),x x y z =设∑是有向曲面. 在∑上取一小块曲面S ∆,把S ∆投影到xOy 面上得一投影区域, 面积记为()xy σ∆S ∆在xOy 面上的投影()xy S ∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos 00cos )(0cos )()(γγσγσxy xy xy S流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v x y z P x y z Q x y z R x y z=给出, (,,)((,,),(,,),(,,))∑是速度场中的一片有向曲面,函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z都在∑上连续,求在单位时间内流向∑指定侧流体的质量,即流量Φ.当()π,2v n θ=<时,||cos A v Av n θ⇒Φ=⋅v n hθ当()π,2v n θ==时, 0Av n Φ=⋅=当()π,2v n θ=>时, 0Av n Φ=⋅<(,,)i i i i S ξηζ∀∈∆nviS ∆∑(,,)(,,)(,,)(,,)i i i i i i i i i i i i i v v P i Q j R kξηζξηζξηζξηζ==++(,,)cos cos cos i i i i i i i n i j k ξηζαβγ=++ 1ni i i i v n S =Φ≈⋅∆∑i i i ni S ∆⋅≈=∑n v 1Φii i i i i i i i i i i i ni S R Q P ∆++==∑]cos ),,(cos ),,(cos ),,([1γζηξβζηξαζηξ()()()cos ,cos ,cos i i i i i i i i i yz xz xyS S S S S S αβγ⋅∆≈∆⋅∆≈∆⋅∆≈∆]))(,,())(,,())(,,([1xy i i i i zx i i i i yz i i i i ni S R S Q S P ∆+∆+∆≈Φ=∑ζηξζηξζηξ对坐标的曲面积分的概念和性质设∑为光滑的有向曲面, 函数(,,)R x y z 在∑上有界.把∑任意分成n 块小曲面i S ∆(i S ∆也代表第i 小块曲面面积).在xOy 面上的投影为()i xy S ∆， (,,)i i i ξηζ是i S ∆上任意一点. 定义 如果当各小块曲面的直径的最大值0λ→时,xy i i i i ni S R ))(,,(lim 10∆=→∑ζηξλ 总存在,定义 称此极限为函数(,,)R x y z 在有向曲面∑上对坐标,x y 的曲面积分: 记作 (,,)d d R x y z x y ∑⎰⎰01(,,)d d lim (,,)()niiii xyi R x y z x y R S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰其中(,,)R x y z 叫做被积函数,∑叫做积分曲面.定义 类似的有01(,,)d d lim (,,)()ni i i i yzi P x y z y z P S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x Q S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.为P 在曲面∑上对坐标,y z 的曲面积分为Q 在曲面∑上对坐标,z x 的曲面积分对坐标的曲面积分的简记形式(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑∑∑++⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑=++⎰⎰对坐标的曲面积分的物理意义(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑Φ=++⎰⎰对坐标的曲面积分的侧的性质设∑是有向曲面, -∑表示与∑取相反侧的曲面, 则d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y -∑∑++=-++⎰⎰⎰⎰对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面∑由方程(,)z z x y =给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为xy D , 函数(,)z z x y =在xy D 上具有一阶连续偏导数, 被积函数(,,)R x y z 在∑上连续,(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰当∑取上侧时, 积分前取“+”; 当∑取下侧时, 积分前取“-”类似地, 如果∑由(,)x x y z =给出, 则有(,,)d d [(,),,]d d yzD P x y z y z P x y z y z y z ∑=±⎰⎰⎰⎰如果∑由(,)y y x z =给出, 则有(,,)d d [,(,),]d d zxD Q x y z z x Q x y z x z z x ∑=±⎰⎰⎰⎰前正后负 右正左负例 计算曲面积分222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ , 其中∑是长方体Ω的整个表面的外侧,解 把Ω的上下面分别记为1∑和2∑;{(,,)|0,0,0}x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤前后面分别记为3∑和4∑; 左右面分别记为5∑和6∑.xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑解 1:(0,0)z c x a y b ∑=≤≤≤≤的上侧;2:0(0,0)z x a y b ∑=≤≤≤≤的下侧;3:(0,0)x a y b z c ∑=≤≤≤≤的前侧;4:0(0,0)x y b z c ∑=≤≤≤≤的后侧;5:0(0,0)y x a z c ∑=≤≤≤≤的左侧. 6:(0,0)y b x a z c ∑=≤≤≤≤的右侧.xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑解 除3∑、4∑外, 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零,34222d d d d d d x y z x y z x y z ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d d 0d d yzyzD D a y z y z =-⎰⎰⎰⎰2a bc =3:∑=x a 4:0∑=x解 xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑类似地可得22d d y z x b ac ∑=⎰⎰,22d d z x y c ab ∑=⎰⎰,于是所求曲面积分为()a b c abc ++.例 计算曲面积分d d xyz x y ∑⎰⎰, 其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分.解 1∑: 221y x z --=(0,0)x y ≥≥的上侧,Oyxz1∑2∑xyD 2∑: 221y x z ---=(0,0)x y ≥≥的下侧.Oyxz1∑2∑xyD 例 计算曲面积分d d xyz x y ∑⎰⎰, 其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分.解 1∑和2∑在xOy 面上的投影区域都是22:1(0,0)xy D x y x y +≤≥≥解12d d d d d d xyz x y xyz x y xyz x y ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221d d (1)d d xyxyD D xy x y x y xy x y x y=------⎰⎰⎰⎰ 2221d d xyD xy x y x y =--⎰⎰π122202d sin cos 1d θθθ=-⎰⎰r r r r 152=两类曲面积分之间的联系设积分曲面∑由方程(,)=给出,z z x yD,∑在xOy面上的投影区域为xyD上具有一阶连续偏导数,函数(,)=在z z x yxy被积函数(,,)R x y z在∑上连续.如果∑取上侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xy D R x y z x y R x y z x y x y ∑=⎰⎰⎰⎰因上述有向曲面∑的法向量的方向余弦为221cos y x x z z z ++-=α, 221cos y x yz z z ++-=β, 2211cos y x z z ++=γ,(,,)cos d [,,(,)]d d xy D R x y z S R x y z x y x y γ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰如果∑取下侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=-⎰⎰⎰⎰ 但这时2211cos yx z z ++-=γ, 因此仍有 (,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (,,)d d (,,)cos d P x y z y z P x y z S α∑∑=⎰⎰⎰⎰ (,,)d d (,,)cos d Q x y z z x Q x y z S β∑∑=⎰⎰⎰⎰d d d d d d (cos cos cos )d P y z Q z x R x y P Q R S αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰向量形式d d A S A n S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰，d d n A S A S ∑∑⋅=⎰⎰⎰⎰, (,,)A P Q R =, (cos ,cos ,cos )n αβγ=,d d (d d ,d d ,d d )S n S y z z x x y ==n A 为向量A 在向量n 上的投影.例 计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰, 其中∑是曲面)(2122y x z +=介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 解 曲面上向下的法向量为(,,1)x y - 221cos y x x ++=α, 2211cos y x ++-=γ, O yx z222d 1d d S x y x y =++解 d d =cos d ,d d cos d y z S x y S αγ= d d d d =cos ()d d ,cos x y y z x x y αγ=- 22()d d d d [()()]d d z x y z z x y z x x z x y ∑∑+-=+--⎰⎰⎰⎰2[()()]d d ∑+--⎰⎰z x x z x y 2222211()()()d d 42⎧⎫⎡⎤=-++⋅--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰⎰xy D x y x x x y x y 22222211()()d d 42⎧⎫=+-+⎨⎬⎩⎭+⎰⎰xyD x x y x y y x x2221()d d 20⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰⎰xy D x x y x y 2222241[()]d d 2x y x x y x y +≤=++⎰⎰ 2π2222001d (cos )d 2θθ=+⎰⎰r r r r 8π=对坐标的曲面积分1. 理解曲面的侧，对坐标的曲面积分的概念.2. 掌握对坐标（第二类）的曲面积分的计算方法.3. 理解两类曲面积分的联系.。