第五节 对坐标的曲面积分

第五节 对坐标的曲面积分 ㈠本课的基本要求了解对坐标的曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握对坐标的曲面积分的计算方法㈡本课的重点、难点对面积的曲面积分的概念为重点，其计算方法为难点 ㈢教学内容一．对坐标的曲面积分的概念与性质 这里假定曲面是光滑的。

通常我们遇到的曲面都是双侧的。

例如由方程),(y x z z =表示的曲面，有上侧与下侧之分（假定z 轴铅直向上）；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。

以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。

在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧。

例如，对于曲面),(y x z z =，如果取它的法向量n 的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。

这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就你为有向曲面。

设∑是有向曲面。

在∑上取一小块曲面s ∆，把s ∆投影到xoy 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy )(σ∆。

假定s ∆上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦γcos 有相同的符号（即γcos 都是正的或都是负的）。

我们规定s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(γγσγσxy xy xys 其中0cos ≡γ也就是0)(=∆xy σ的情形。

s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆实际就是s ∆在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号。

类似地可以定义s ∆在yoz 面及zox 面的投影yz s )(∆及zx s )(∆。

1．引例：流向曲面一侧的流量问题 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++=给出，∑是速度场中一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 都在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。

如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速为（常向量）v ，又设n 为该平面的单位法向量（如图a ），那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A 、斜高为v 的斜柱体（如图b ）。

当2),(πθ<=∧n v 时，这斜柱体的体积为：n Av v A ⋅=θcos 。

这也就是通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量； 当2),(πθ==∧n v 时，显然流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量Φ为零，而0=⋅n Av ，故n Av ⋅=Φ； 当2),(πθ>=∧n v 时，0<⋅n Av ，这时我们仍把n Av ⋅称为流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量，它表示流体通过闭区域A 实际上流向n -所指一侧，且流向n -所指一侧的流量为n Av ⋅-。

故，不论θ=∧),(n v 为何值，流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量均为n Av ⋅。

由于现在所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速v 也不是常向量，因此，所求流量不能直接用上述方法计算。

然而过去在引出各类积分概念的例子中一再使用过的方法，也可用来解决目前的问题。

把曲面∑分成n 小块i i s s ∆∆(同时也代表第i 小块曲面的面积）。

在∑是光滑的和v 是连续的前提下，i s ∆的直径很小，我们就可以用i s ∆上任一点),,(i i i ςηξ处的流速k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ),,(),,(),,(),,(ςηξςηξςηξςηξ++==代替i s ∆上其他各点处的流速，以该点),,(i i i ςηξ处曲面∑的单位法向量k j i n i i i i γβαcos cos cos ++=代替i s ∆上其他各点处的单位法向量（如图）。

从而得到通过i s ∆流向指定侧的流量的近似值为),,2,1(n i s n v i i i =∆⋅ 于是，通过∑流向指定侧的流量=∆⋅≈Φ∑=n i i i i s n v 1∑=∆++ni i i i i i i i i i i i i i s R Q P 1]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γςηξβςηξαςηξ但，xy i i i zx i i i yz i i i s s s s s s )(cos ,)(cos ,)(cos ∆≈∆⋅∆≈∆⋅∆≈∆⋅γβα 因此，上式可以写成≈Φ∑=∆+∆+∆ni xy i i i i zx i i i i yz i i i i s R s Q s P 1]))(,,())(,,())(,,([ςηξςηξςηξ令0→λ取上述和的极限，就得到流量Φ的精确值。

这样的极限还会在其他问题中遇到。

抽去它们的具体意义，就得到下列对坐标的曲面积分的概念。

2．概念定义 设∑为光滑的有向曲面，函数),,(z y x R 在∑上有界。

把∑任意分成n 块小曲面i i s s ∆∆(同时又表示第i 块小曲面的面积），i s ∆在xoy 面上的投影为xy i s )(∆，),,(i i i ςηξ是i s ∆上任意取定的一点。

如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时，∑=→∆ni xyiiiis R 10))(,,(lim ςηξλ总存在，则称此极限为函数),,(z y x R 在有向曲面∑上对坐标x,y 的曲面积分，记作⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(，即=⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(∑=→∆ni xyiiiis R 10))(,,(lim ςηξλ其中),,(z y x R 叫做被积函数，∑叫做积分曲面。

类似地可以定义函数),,(z y x P 在有向曲面∑上对坐标y,z 的曲面积分⎰⎰∑dydz z y x P ),,(，及函数),,(z y x Q 在有向曲面∑上对坐标z,x 的曲面积分⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,(，分别为=⎰⎰∑dydz z y x P ),,(∑=→∆ni yziiiis P 10))(,,(lim ςηξλ=⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,(∑=→∆ni zxiiiis Q 10))(,,(lim ςηξλ以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。

当),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在有向光滑曲面∑上连续时，对坐标的曲面积分是存在的，以后总假定P,Q,R 在∑上连续。

在应用上出现较多的是：+⎰⎰∑dydz z y x P ),,(+⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,(⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(这种合并起来的形式，为简便起见，我们把它写成：⎰⎰∑++dydz z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(例如，上述流向∑指定侧的流量Φ可表示为⎰⎰∑++=Φdydz z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(如果∑是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在∑上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。

对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的一些性质。

例如： ⑴可加性 ⑵方向性注意：在求对坐标的曲面积分时，必须注意积分曲面所取的侧。

二．对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面∑是由方程),(y x z z =所给出的曲面上侧，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，函数),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，被积函数),,(z y x R 在∑上连续。

按对坐标的曲面积分的定义，有=⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(∑=→∆ni xyiiiis R 10))(,,(lim ςηξλ因为∑取上侧，0cos >γ，所以xy i xy i s )()(σ∆=∆ 又因),,(i i i ςηξ是∑上的一点，故),(i i i z ηξς=。

从而有∑∑==∆=∆ni xy i i i i i ni xyiiiiz R s R 11)))(,(,,())(,,(σηξηξςηξ令0→λ取上式两端的极限，就得到⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,( ⑴这就是把对坐标的曲面积分化为二重积分的公式。

公式⑴表明，计算曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(时，只要把其中变量z 换为表示∑的函数),(y x z ，然后在∑的投影区域xy D 上计算二重积分就成了。

必须注意，公式⑴的曲面积分是取在曲面∑上侧的；如果曲面积分取在∑的下侧，这时0cos <γ，那么xy i xy i s )()(σ∆-=∆，从而有)1()],(,,[),,('-=⎰⎰⎰⎰∑xyD dxdyy x z y x R dxdy z y x R类似地，如果∑由),(z y x x =给出，则有⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dydz z y z y x P dydz z y x P ],),,([),,( ⑵等式右端的符号这样决定：如果积分曲面∑是由方程),(z y x x =所给出的曲面前侧，即0cos >α，应取正号；反之，如果∑取后侧，即0cos <α，应取负号。

如果∑由),(x z y y =给出，则有⎰⎰⎰⎰±=∑zxD dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ]),,(,[),,( ⑶等式右端的符号这样决定：如果积分曲面∑是由方程),(x z y y =所给出的曲面右侧，即0cos >β，应取正号；反之，如果∑取左侧，即0cos <β，应取负号。

例1 计算⎰⎰∑zdxdy y 2，其中∑为旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 所围空间立体表面的外侧。

解 记1∑为曲面22y x z +=的外侧，2∑为平面1=z 的上侧，在1∑上各点法向量n 与z 轴正向夹角2πγ>，在2∑上各点法向量n 与z 轴夹角为0。

21,∑∑在xoy 平面上投影区域为}1|),{(22≤+=y x y x D xy ，于是6)(22221π-=+-=⎰⎰⎰⎰∑xyD dxdy y x y zdxdy y3222π==⎰⎰⎰⎰∑xyD dxdy y zdxdy y故=⎰⎰∑zdxdy y 2+⎰⎰∑12zdxdy y 622π=⎰⎰∑zdxdy y思考：计算⎰⎰∑xdydz ，其中∑同例1。

（2/π） 例3 计算曲面积分⎰⎰∑+++=dxdy ydzdx dydz x I )1(，其中∑是由平面1=++z y x 及三个坐标平面所围立体的外侧。