对坐标的曲线,曲面积分两个重要公式(1)
对坐标的曲面积分
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
对坐标的曲面积分
,
,
,
dS 1 z x z y dxdy
故右边 R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
故有 R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若 取下侧 左边
P( x, y, z )dydz P( x, y, z )dydz,
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z )dzdx,
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z )dxdy.
注意：
对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧.
2
介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧 .
规定S在xOy面上的投影(S ) xy 为 : (S ) xy ( ) xy ( ) xy 0 cos 0 cos 0 cos 0
(S ) xy 实际就是S在xOy面上的投影区域的面积附 以一定的正负号;
类似地可以定义S在yOz面及zOx面上的投影(S ) yz 及(S ) zx .
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
即：
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
6、 性质
(1) 若 1 2 , 则 :
解：将 分为 1与 2 : z1 1 x 2 y 2 , 1 : z2 1 x 2 y 2 2 (注意方程本身有正负 ) 而 1 取下侧 2 取上侧.(注意曲面也有正负 ， )
第五节 对坐标的曲面积分
3π 3π 3π ydzdx = 0 + + = 4 4 2
例3 计算
∫∫ xzdxdy + xydydz + yzdzdx Σ
Σ
其中Σ 是
所围成的
平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 空间区域的整个边界曲面的外侧 解
z
Σ
分成四个部分 左侧 下侧 后侧
z
例 1 计 ∫∫ xyzdxdy 算
Σ
+
Σ2
中Σ 其 Σ 球 中 是 面
x2 + y2 + z2 = 1外侧
在x ≥ 0, y ≥ 0的 分 部 .
y
x
Σ1
解
把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
Σ 1 : z1 = 1 x y ;
2 2
Σ 2 : z2 = 1 x y ,
2 2
∫∫ xyzdxdy = ∫∫ xyzdxdy + ∫∫ xyzdxdy
曲面法向量的指向决定曲面的侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 向量的指向决定曲面的 有向曲面. 决定了侧的曲面称为有向曲面 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 有 曲 Σ 取 小 曲面的投影问题: 在 向 面 上 一 块
曲面 S S在xoy面 , 上的投影(S)xy为
(σ )xy (S)xy = (σ )xy 0 当cosγ > 0 时 当cosγ < 0 时. 当cosγ = 0 时
v
流量
θ
A
n0
Φ = Av cosθ = v n0 A
设稳定流动的不可压缩流体( (2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
大学微积分公式(高等数学公式)
高等数学公式导数公式(tgx)sec2 x( ctgx)csc2 x(secx)secx tgx(cscx)cscx ctgx( a x ) a x ln a1(log a x)x ln a基本积分表(arcsin x)11x2 (arccos x)11x2 (arctgx )11 x2 (arcctgx )11x2tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx22a x dx22x a dx22 a xa2x2ln cosx Cln sin x Cln secx tgx Cln cscx ctgx C1arctgxCa a1 ln x a C2a x a1ln a x C2a a xxarcsin Cdx sec2 xdx tgx Ccos2 xdx csc2 xdx ctgx Csin 2 xsecx tgxdx secx Ccsc x ctgxdx csc x Ca x dx a x Cln ashxdx chx Cchxdx shx Cdx ln( x x2a2 )Cx2a22sin n xdx2cos n xdx n1I n 2I n00nx2 a 2 dx x x2a2 a 2ln( x x 2a2 )C22x2a2 dx x x 2a2 a 2ln x x2a2C22a2x2dx xa2x2a2arcsinx22Ca三角函数的有理式积分：sin x2u， cos x1 u 2x2duu 21 u2 ，u tg ，dxu 2121一些初等函数：两个种烟极限：双曲正弦 : shx e x e xlim sin x 12xx 0e x e x1 x e 2.718281828459045...双曲余弦 : chxlim (1 )2xxe x e x双曲正切 : thx shxchxe x e xarshx ln( x x 2 ）1 archx ln( x x2 1)1 1 xarthxlnx2 1·诱导公式：函 数角 A - α90° - α90°+α180°- α180°+α270°- α270°+α360°- α360°+αsin - sin α cos α cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α cos cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α cos α cos α tg- tg α ctg α - ctg α - tg α tg α ctg α - ctg α - tg α tg α ctg- ctg αtg α- tg α- ctg αctg αtg α- tg α- ctg αctg α·和差角公式：·和差化积公式：sin( ) sin cos cos sin sinsin 2sincos cos( ) coscossin sin22sinsin2cossin tg ()tg tg 1 tg tg22coscos2 coscosctg ctg 1 ctg ()22ctgctgcos cos2sinsin22弧微分公式： ds 1 y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：K.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量； s ： M M 弧长。