对坐标的曲面积分

i= 1
∑[
+Q(ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫ΣPdyd z +Qd zd x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 ∑ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
的曲面积分; 对 ∫∫ΣPd yd z称为P 在有向曲面∑上对 y, z 的曲面积分 称为Q 在有向曲面∑上对 z, x 的曲面积分 的曲面积分; 对 的曲面积分. 对 ∫∫ΣRdxd y 称为R 在有向曲面∑上对 x, y 的曲面积分
= ∫∫
q
Σ r2
dS =
q R
2
∫∫Σ dS
例34.4. 设 夹成的锐角, 计算 解: I = ∫∫ z2 cosγ dS
Σ
是其外法线与 z 轴正向
z
1
n
1y
= ∫∫
Dy x
(1− x2 − y2)d xd y
1 2 0
x
1
= ∫ dθ∫ (1−r )r dr
0
2π
例34.5. 计算曲面积分∫∫∑ 旋转抛物面
∑
= lim
λ→ 0
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
= lim[ P(ξ ,η ,ζ )(∆S ) +Q(ξ ,η ,ζ )(∆S ) + R(ξ ,η ,ζ )(∆S ) ] i i i i zx i i i i xy i i i i yz λ→ 0
= ∫∫ Pdyd z +Qdz d x + Rdxd y
r n
∆S
v k
z Σ V(x, y, z)
→ i →
ϕ
n
Vi
ϕ
(∆S) xy
O x
(∆S) xy
∆Σ i
y
2. 定义 设 ∑ 为光滑的有向曲面, 在 ∑ 上定义了一个 定义. 向量场 A= (P(x, y, z), Q x, y, z), R(x, y, z)), 若对Σ 的任 ( 意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
=∫
Dxy
2π
}d xd y
o x
y
[ x2 + 1 (x2 + y2)]d xdy 2
n
v
θ
S
(2) 若∑ 是一般的有向曲面, 法向量: 方向角α , β , γ与空间点( x, y, z )有关. 则流量
ni vi
Φ = lim∑ vi ⋅ ni ∆Si
λ→ 0 i= 1 n
n
Σ
= lim∑[ P(ξi ,ηi ,ζi )cosαi +Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi
λ→ i= 0 1
cosα
cos β
cosγ
封闭曲面 外侧 内侧
γ
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
例如:
由方程z=z(x, y)表示的曲面
z
分为上侧与下侧， 在曲面的上侧cosγ >0， 在曲面的下侧cosγ <0． x O y
• 设 Σ 为有向曲面, 其面元 ∆S 在 xoy 面上的投影记为
说明: (1) 流过有向曲面 ∑ 的流体的流量为 说明
Φ= ∫∫ Pdyd z +Q z d x + Rdxdy d
Σ
(2)
Σ
三个对坐标的曲面积分之和的简记形式：
Σ Σ
∫∫ P( x, y, z)dydz + ∫∫ Q( x, y, z)dzdx + ∫∫ R( x, y, z)dxdy
= ∫∫ P(x, y, z) dydz+Q(x, y, z) dzdx+R(x, y, z) dxdy．
∑
注: 向量形式
记 有向曲面∑ 的单位法向量为n = (cosα, cos β , cosγ )
令 dS = ndS = (d yd z, d zd x, d xd y)
A= (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z))
则
∫∫∑Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∑ A⋅ dS (Pcosα +Qcos β + Rcosγ )dS = ∫∫∑ A ⋅ ndS ∫∫∑
x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy ∫∫
Σ
其中 ∑ 是长方体 Ω 的整个表面的外侧，
Ω = {( x, y, z ) 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c}
解： 把有向曲面 Σ 分成以下六部分： Σ : z = c(0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b) 的上侧；
2 2 D yz
Σ3 O Σ 2
Σ5 b
y
y 2 dzdx = b 2 ac, 类似地可得： ∫∫
Σ
z 2 dxdy = c 2 ab, ∫∫
Σ
于是所求曲面积分为：
x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy = ( a + b + c) abc. ∫∫
Σ
例34.2 计算
∫∫ xyzdxdy
1
Σ 2 : z = 0(0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b) 的下侧； Σ 3 : x = a(0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c)的前侧；
Σ 4 : x = 0(0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c)的后侧；
Σ 5 : y = b ( 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ z ≤ c )的右侧；
3. 性质 (1) 若
Σ
之间无公共内点, 则
∫∫ P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy
∫∫
∫∫
∑i
P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy .
(2) 用Σ¯ 表示 Σ 的反向曲面, 则
Σ−
(z2 + x)d yd z − z d xd y,其中∑
介于平面 z= 0
z
2
及 z = 2 之间部分的下侧. 解: 利用两类曲面积分的联系, 有
o x x
1+ x2 + y2 −1 1+ x2 + y2
y
∫∫∑ = ∫∫ (z2 + x) cosα dS ∑ cosα 2 d xd y = ∫∫ (z + x) Σ cosγ
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi )cosγi ] ∆Si
= lim ∑
λ→ 0
i= 1
其中(∆Si ) yz = cos α i ∆S i 是小曲面∆Σ i 在yoz面上的投影; (∆Si ) zx = cos β i ∆S i 是小曲面∆Σ i 在xoz面上的投影; (∆Si ) xy = cos γ i ∆S i 是小曲面∆Σ i 在xoy面上的投影.
Σ 6 : y = 0 ( 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ z ≤ c ) 的左侧.
除 Σ 3 , Σ 4 外，其余四片曲面 在yoz面上的投影为0， 因此：
x 2 dydz = ∫∫ x 2 dydz + ∫∫ x 2 dydz ∫∫
Σ Σ3 Σ4
z c
Σ1 Σ4
Σ6 a x
=
∫∫ a
D yz
2
dydz − ∫∫ 0 dydz = a bc
∫∫ xyzdxdy = ∫∫ xyzdxdy + ∫∫ xyzdxdy
Σ Σ2 Σ1
= ∫∫ xy 1 − x − y dxdy − ∫∫ xy( − 1 − x − y )dxdy
2 2 2 2 D xy D xy
= 2 ∫∫ xy 1 − x 2 − y 2 dxdy
D xy
2 = 2 ∫∫ r sinθ cosθ 1 − r rdrdθ = . 15 D
−
二、对坐标的曲面积分的计算方法
定理: 定理 设光滑曲面
z
xoy面上的投影区域为D x y ,
是 ∑ 上的连续函数, 则
z = f ( x, y)
Σ
o
Dxy
∫∫Σ R(x, y, z)d xd y
= ±∫∫
Dx y
R(x, y,f (x, y) d xd y )
x
y
(∆s)xy ∆
其中如果取曲面∑的上侧,则二重积分号前带正号; 如果取曲面∑的下侧,则二重积分号前带负号．
对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算方法 三、两类曲面积分之间的联系
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Φ . 说明: 说明 (1) 稳定流动. (2) 不可压缩流体. (3) 有向曲面.
证:
lim ∫∫Σ R(x, y, z)d xd y = λ→0 ∑
n
(∆Si )x y= ±(∆σi )x y ζi = z(ξi , ηi )
n
λ→ 0
i= 1
= ±lim ∑R(ξ ,η ,
i= 1
i i
) (∆σi )xy
= ±∫∫
说明: 说明 • 若
Dx y
R(x, y, z(x,y)) d xd y
Σ
(3) 在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分： 在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分：
如果Σ是分片光滑的有向曲面，则规定:函数在Σ上对坐标的 曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和．