九年级数学试卷

2011-2012学年度九年级第一学期数 学 试 卷（考试时间120分钟 满分150分）姓名 成绩一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． （ ）1．已知：如图，线段BE 和CD 相交于点A ，DE ∥BC, 则下 列比例式成立的是A . AB AD BC DE = B . AC AD AB AE =C. AC AE AB AD = D . CDBE BC DE =1题图 （ ）2．点()43A -，关于原点对称的点的坐标是A ．()43-，B ．()43，C ．()43--， D ．()34-，（ ）3．某二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是 A. a<0, b>0, c>0 B. a<0, b<0, c>0 C. a<0, b>0, c<0 D. a>0, b>0, c>0（ ）4．将二次函数22y x =的图像先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图像的解析式为A ．22(1)3y x =--B ．22(1)3y x =-+C ．22(1)3y x =+-D ．22(1)3y x =++ （ ）5．如图，若D 、E 分别为ABC △中，AB 、AC 边上的点，且AED B ∠=∠，3AD =，6AC =，5DB =，则AE 的长度为A ．94 B ．52 C ．185D ．4 （ ）6．如图，AB 为O 直径，CD 为O 的弦，28ACD ∠=°，则BAD ∠的度数为 A ．28° B ．56° C ．62° D ．72°（ ）7．已知二次函数22(21)1y m x m x =+++ 的图像与x 轴有两个交点，则m的取值范围是A ．14m >-B ．14m -≥C ．14m >-且0m ≠ D ．14m -≥且0m ≠（ ）8．函数221y ax x =-+和y ax a =+（a 是常数，且0a ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．一个盒子中装有30张质地、形状、大小完全相同的纸签，其中只有2个一等奖，5个二等奖，9个三等奖，其余的纸签均无奖项．若从盒子中随意摸出一张纸签，则获得一等奖的概率是 ． 10．如图，已知()14A ，，()34B ，，()21C --，，()11D -，，那么ABE △与CDE △的面积比是_______．11．如图，Rt ACB △的斜边4cm AB =，一条直角边2cm AC =，如果以直线BC 为轴旋转一周后得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为 2cm ．12．如图，在22⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，图中的阴影部分图案分别是以格点为圆心，半径为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 ．三、解答题（共13个小题，共102 分） 13．（本小题满分6分）用配方法将二次函数2246y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式（其中h k ，为常数），并写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．解：14．（本小题满分6分）如图，在811⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，ABC △的顶点均在小正方形的顶点处． ⑴ 画出ABC △绕点A 顺时针方向旋转90°得到的AB C ''△； ⑵ 求点B 运动到点B '所经过的路径的长． 解：⑵15．（本小题满分6分）已知：如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高.求证：⑴ CD 2= AD ·BD ；⑵ AC 2= AD ·AB ．解：16．（本小题满分6分）九⑴班召开联欢会，采用抽签方式表演节目．在一个不透明的盒子里装有大小、质地均相同的红、黄、蓝、白色乒乓球各一个．先从盒子中随机摸出一个乒乓球（记下颜色后放回盒中），再从盒子中随机摸出一个乒乓球，如果两次摸出球的颜色相同，就要表演一个节目．请你用树形图或列表法求出九⑴班小玲同学抽签结果为表演节目的概率．解： 17．（本小题满分6分）已知：如图，ABC △的外接圆O ⊙的直径为4，30A ∠=°，求BC 的长．解： 18．（本小题满分6分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？红 黄 蓝 白如图，已知：ABC △内接于⊙O ，AD 是⊙O 的切线，CO 的延长线交AD 于点D ． （1）若∠B =2∠D ，求∠D 的度数；（2）在（1）的条件下，若34=AC ，求⊙O 的半径．20．（本小题满分6分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，B C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1) 求证：;AM HGAD BC= (2) 求这个矩形EFGH 的周长.21．（本小题满分6分）已知：如图，在直角坐标系中，1O 经过坐标原点，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点()30A ，、()04B ，．设BOA △的内切圆的直径为d ，求d AB +的值．解：第19题图如图，在ACB △中，90C ∠=°，9AC =，12BC =．O 为BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D 、点E ，连结DE ． ’⑴ 过点E 作直线EF 交AC 边于点F ，当EF AF =时，求证：直线EF 为半圆O 的切线； ⑵ 当9BD =时，求线段DE 的长． 证明：⑴解：⑵ 23．（本小题满分9分）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：⑴ 写出x 为何值时，y 的值大于0；⑵ 写出x 为何值时，y 随x 的增大而增大； ⑶ 若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根， 求k 的取值范围． 解：（1）（2）（3）24．（本小题满分9分）已知：关于x 的一元二次方程03)3(22=++-+a x a ax 有两个实数根，且a 为非负整数.（1）求a 的值；（2）若抛物线3)3(22++-+=a x a ax y 向下平移()0>m m 个单位后过点()n ,1和点()12,2+n ,求m 的值；（3）若抛物线k a x a ax y +++-+=3)3(22上存在两个不同的点Q P 、关于原点对称,求k 的取值范围.25．（本小题满分10分）已知：抛物线c x ax y ++=22，对称轴为直线1-=x ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于()0,3-A 、B 两点． (1)求直线AC 的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值； (3)P 为抛物线上一点，若以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B ,求点P 的坐标．26．（本小题满分12分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？20（1）解：∵四边形EFGH 为矩形 ∴EF ∥GH∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG ∽△ABC ∴ ;AM HGAD BC= （2）由（1）得;AM HGAD BC=设HE=x ，则HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得4023030xx =-，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm.26.【解】（1）当17x ≤≤时，设y kx m =+， 将点（1，8）、（7，26）分别代入y kx m =+，得8,726.k m k m +=⎧⎨+=⎩解之，得5,3.m k =⎧⎨=⎩∴函数解析式为35y x =+.当712x ≤≤时，设2y ax bx c =++，将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入2y ax bx c =++，得：49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之，得1,22,131.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴函数解析式为222131y x x =-+.（2）当17x ≤≤时，函数35y x =+中y 随x 的增大而增大， ∴当1x =最小值时，3158y =⨯+=最小值.当712x ≤≤时，()22221311110y x x x =-+=-+，∴当11x =时，10y =最小值.所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克. （3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数， ∴4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值.将8x =，10x =和11x =分别代入222131y x x =-+，得19y =，11y =和10y =. ∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11.∴年平均价格为17719141110114615.3123y ⨯+++++==≈（元/千克）.当3x =时，1415.3y =<，∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.24.解：（1）依题意，得[]()0363634)3(22≥+-=+--=∆a a a a ……………1分解得1≤a又0≠a 且a 为非负整数∴1=a ………………………………………………………………2分 ∴442+-=x x y （2）解法一：抛物线442+-=x x y 过点（1,1），（2,0），向下平移()0>m m 个单位后得到点 ()n ,1和点()12,2+n ……………………………3分∴()⎩⎨⎧=-=+-mn mn 1120, 解得3=m . ……………………………4分解法二：抛物线442+-=x x y 向下平移()0>m m 个单位后得：m x x y -+-=442,将点()n ,1和点()12,2+n 代入解析式得⎩⎨⎧+=-=-121n m nm …………………3分解得3=m . ……………………………4分 （3）设()00,y x P ,则()00,y x Q -- ……………………………5分 ∵Q P 、在抛物线k x x y ++-=442上,将Q P 、两点坐标分别代入得:⎩⎨⎧-=+++=++-002000204444y k x x y k x x ,将两方程相加得: 028220=++k x 即0420=++k x ∵()044'≥+-=∆k∴4-≤k当 4-=k 时，Q P 、两点重合，不合题意舍去∴4-<k . ……………………………6分八、解答题（本题满分7分） 25.解：（1）∵对称轴122-=-=ax ∴1a = ……………………………………………………1分∵()0,3-A∴3c =-设直线AC 的解析式为y kx b =+∵()0,3-A ，()3,0-C , 代入得：直线AC 的解析式为 3--=x y ………………………………………2分（2）代数方法一： 过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ．设()32,2-+x x x D ，则()3,--x x M …………………………………3分 ∵ABC ACD ABCD S S S ∆∆+四边形＝136()622DM AN ON DM +⨯⨯+=+＝ ()[()]3232362+-----+=x x x 629232+--=x x 87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x ……………………………………5分 ∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875. 代数方法二：O BC AD N S S ∆∆++=S S N D CO A D CB 梯形四边形=()()()()23332213232122+-++--++--+x x x x x x = 87523236292322+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--x x x ……………………………………5分 ∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875.几何方法：过点D 作AC 的平行线l ，设直线l 的解析式为b x y +-=. 由⎩⎨⎧+-=-+=bx y x x y 322得：0332=--+b x x ………………………………3分 当()03432=---=∆b 时，直线l 与抛物线只有一个公共点 即：当421-=b 时,△ADC 的面积最大,四边形ABCD 面积最大 此时公共点D 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--415,23 ………………………………4分 O BC AD N S S ∆∆++=S S N D CO A D CB 梯形四边形()312123321415321212121212121⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅=OC OB ON OC DN OA OC OB ON OC DN DN AN =875 ………………………………5分 即：当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875. （3）如图所示，由抛物线的轴对称性可求得B （1，0）∵以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B∴过点B 作BC 的垂线交抛物线于一点，则此点必为点P . 过点P 作x PE ⊥轴于点E ， 可证Rt △PEB ∽Rt △BOC∴BOOC PE EB =，故EB =3PE ，……………………………………………………6分设()32,2-+x x x P ，∵B （1，0）∴BE =1-x ，PE =322-+x x()32312-+=-x x x ，解得11=x （不合题意舍去），，3102-=x ∴P 点的坐标为： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-913310，.………………………………………………7分。