二重积分习题课(简)
第九章 二重积分习题课
2. 选择坐标系,确定积分限 2. 选择 3. 计算
一 基本要求
1. 二重积分的定义
函数 f ( x, y )在D上连续, 存在定理： D是平面有界闭域，
则 f ( x, y )在D上可积.
定义：
f ( x, y)在D上的二重积分为
I
f ( x , y )d
D
lim f ( i , i )Δ i
(D)
3
1 2
3.计算 (1) 设 f ( x , y )连 续 ， 且 f ( x , y ) xy f (u, v )dudv ，
D
其 中 D是 由y 0, y x 2 , x 1所 围 成 的 闭 区 域 . 求 f ( x, y ) ?
(2) 计 算 ： I (3)
机动
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例6. 计算二重积分
线
D D
其中D 是由曲
所围成的平面域 .
解: I 5 x d xd y 3 y d xd y
积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
5 x A 3 y A
1
y 1 y
3
0
dy
y
0
xdx
2 1 . 3
2. 选择合适的坐标系积分 例2 计算
I
a
a
e
x
2
dx
a2 x2
2 2
a x
e
y2
dy
.
解： 极坐标系 x r cos y r sin
I
高数 【下】二重积分------习题课 南邮内部资料
y=y(x)
1 2π 3 = ∫ a (1 − cos t )3 ⋅ a(1 − cos t )dt 3 0 32 4 π 8 t a4 2π 4 8 t = ∫ 2 sin dt = a ∫0 sin udu(u = ) 3 2 3 0 2
20
∫ 1 π = ∫ 3
0
0 2 a
∫
0
y3 ( x)dx
1 1 y2 − 2
y2 − 2
应先积x
I = ∫ dy∫ 2 e
0 y
dx
O
y2 1 − 2 0 )e
2 0
1
y2 − 2
dy = ∫ e
− y 2 1 0
2
dy + ∫ y ⋅ de
y 2
2
1
=∫ e
0
1 −
y 2
2
0
dy + ye
−∫ e
0
1 −
dy = ye
在D2外部f(x,y)>0 外部 >
I3<I1<I2（也可用“≤”）。
12
2 例 设f (x, y)是有界闭域D : x + y ≤ a 上的 , 连续函数 则求极限lim 1 2 ∫∫ f (x, y)dxdy 。 a→0 π a D 解 利用积分中值定理 1 1 f ( x, y)dxdy = 2 ⋅ f (ξ ,η)σ 2 ∫∫ πa πa D 1 = 2 ⋅ f (ξ ,η)πa2 = f (ξ ,η) ((ξ ,η) ∈ D) πa 1 ∴lim 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy= lim f (ξ ,η) = f (0,0) a→0 a→0 π a D
25
x y ∴∫∫ ( 2 + 2 )dσ a b D
高数二重积分习题加答案
高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。
二重积分的计算习题课
y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)
二重积分习题及答案
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
2 2 ( x y ) dxdy , D : x y 1 D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号. 解 采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
D
1
1 x 2 0
0
( x y )dy 8 3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域 关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
解
x r cos 在极坐标系下 y r sin 所以圆方程为 r 1, 1 直线方程为 r , sin cos
x2 y2 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
8
计算 ( x y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 ， y 3 x 0 所围成的平面闭区域. 解 y 3x 0 2
3
x y 4 y r 4 sin
2 1
4. 计算二重积分
高等数学 二重积分习题课
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x
1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2
0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x
y
dy
1
1 x
0
x 1
0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e
e 2 x1 )dx
e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2
y2
重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再 利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2
y2
x2
y2,
求得曲线
z
2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D
二重积分习题课(简)
1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使
习题课(2)101二重积分概念
lim
0 k 1
(k , k ) k
(k ,k )
x
k
16
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割, 近似, 求(近似)和,(取)极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim 0 k 1
f (k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
(k , k ) k
k 1
y) 在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}.
7
设三元方程 xy z ln y exz 1, 根据隐函数存在定理，
存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程, ( (D) )
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)． (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)． (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)． (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)．
f y(P0 ) y (P0 )
5
多元函数极限同样具有极限的保号性.
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且
A lim
x0
f (x, y) xy (x2 y2)2
1,
则(
).
y0
(A)点(0,0)不是f (x,y)的极值点；
(03考研 ) x2 y2
(B)点(0,0)是f (x,y)的极小值点；
偏连，非空显然满足 F xy z ln y exz 1,
(05数一)
Fx ( 0,1,1 ) (x zexz ) (0,1,1) ≠0
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所以
f ( x , y ) f (0, 0 ) f x (0, 0 ) x f y (0, 0 ) y o (
x y )
2 2
o(
x y )
2 2
即
x 0, y 0
lim
f ( x, y ) f (0, 0 ) x y
2 2
x 0, y 0
lim
o(
x y )
则
D
f ( xy )d xd y
1 1
等于（ D ）
f ( x y )d y
( A)
dx
1 x
2
1 x
2
(B)
2 dy
0
2
2 y y 0
2
f ( x y )d x
(C ) (D )
d d
0
2 sin 0 2 sin 0
f ( r sin c o s )d r
x y 0
2 2
0
证：法一. 令 x r co s , y r sin , 则
故
( x , y ) ( 0 ,0 )
x y r
2 2
2
lim
f ( x , y ) lim
r c o s r s in r
r0
lim r co s sin 0 f (0 , 0 )
D
f (u , v )d u d v A
u x 2 '' (1 ')
2
x, y
的函数，只得到了
.
10
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(2) 多元函数微分法 习题课一：(习题册第二本 P32) 一、3.设
z x
z ln(tan
x ), y
则
x
z x
y
z y
4x y sin 2x y
解：由已知条件可知，
1 ta n x y (s e c
其中
f x (0, 0 )
1 y
2
2 2 ( 0 ,0 )
(1 x y ) ( x y )
1,
x 1,
f y (0 , 0 ) 1,
y 1
因此 d f (0, 0 ) 即
dx dy
所以当
时，
x y 1 xy
x dx, y dy,
a rc ta n x y 1 xy
x y z 1, y
2
x
在点 (1,1,1) 处切线的方向余弦。
解：方程组
xyz 1 0 2 y x 0
确定了 y 和 z 都是 x 的函数，
两边对 x 求导，得到
13
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因此
dy dz yz xz xy 0 dx dx dy 1 2y 0 dx dz dy 1
d f (0 , 0 ) f ( x , y ) f (0 , 0 ) a rc ta n x y
错误点：多数同学没有思路。
6
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（4）第三节：(习题册第一本 P6) 四、设
0,
f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 )的邻域有定义,且 f x (0, 0 ) f y (0, 0 )
2y 1
所以
dz
z x
dx
z y
dy
2x 1
dx
2y 1
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dy
9
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（2）由（1）可知，
u ( x, y) 1 x y x
z
(
z
z y
)
1 x y
(
2x 1
2y 1
11
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第三次作业共有2题 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. (A) (B) ( x (C)
f ( x , y )在 ( x 0 , y 0 )
处有极值，则 D
f x ( x0 , y 0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
0
, y 0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且
点处不可导，故选D.
2. 设函数
z f ( x , y ) 在 P0 ( x 0 , y 0 ) 可微，则
g rad f
P0
0
是
点取得极值的 答案：A (A) 必要条件； (B) 充分条件；
P0
(C) 充要条件；
(D) 既非充分条件也非必要条件.
错误点：这两题大概一半的同学都做错了。 (2) 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 二、求曲线
取极限，得到
lim
f ( x , y ) 0 f (0, 0 )
从而得到结论。
3
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（2）第二节：（习题册第一本 P4）四
四、设
f ( x , y ) x y g ( x , y ), 其中 g ( x , y )
在点
(0, 0 )
的邻域内连续。问：g ( x , y ) 应满足什么条件，使
0 2
( A) (C )
2 2
2
r f ( r )d r
2
1
1
r f ( r )d r ]
0 1 0
r f (r )dr
2
2
1
2
2 0
r f ( r )d r
2
r f ( r )d r
2
分析:利用直选法.
f(
D
x y )d x d y
2 2
2 0
d
r f ( r )d r 2
（3）第三节：（习题册第一本 P6） 三．当
x 1,
y 1
时，证明
x y 1 xy ,
a rc ta n
x y 1 xy
x y
证明：令
f ( x , y ) a rc ta n
则
d f (0 , 0 ) f x (0 , 0 )d x f y (0 , 0 )d y
习题课一
第九章
二重积分的计算
一、作业讲评 二、二重积分的计算举例
1
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一、作业讲评
第一次作业共有4题
（1）第一节：（习题册第一本 P2） 二. 2，证明： 函数
f ( x, y ) xy x y
2 2
x y 0
2 2
在点 ( 0 , 0 ) 处连续。
f xx ( x 0 , y 0 ) 0
f xx ( x 0 , y 0 ) f yy ( x 0 , y 0 ) f xy ( x 0 , y 0 ) 0
2
(D) 以上结论都不对。
z 注： f ( x, y ) x y
2 2
在 ( 0 , 0 ) 处有极小值，但在此
12
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1 2
时，
x y
2 2
xy x y
2 2
0
1 2
2
即
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
f ( x , y ) 0 f (0 , 0 ).
因此函数
f ( x, y )
在点 ( 0 , 0 ) 处连续。
y kx
错误作法： 有的同学令
x 0 , y kx 0
1
2
r f (r )dr
1
应选A。
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2 2 例2 设闭区域 D : x y y , x 0 ,
f ( x , y )在 D
上连续
且
f ( x, y )
1 x y
2
2
8
D
f ( u , v )d u d v ,
求
f ( x , y ).
解: 设
)
2 1
因此,
u x (1 2
x ) 2 (1
)
2 (1
2x 1
2
)
2 ( 2 x 1) (1 )
3
(1 )
错误点：（1）基本上都能做对，（2）在求偏导时，
很多同学都忘了 z 是
f 证明：( x , y ) 在点( 0 , 0 ) 可微的充分必要条件是
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
f ( x, y ) f (0, 0) x y
2 2
0.
证明：必要性：因为
f ( x , y )在点 ( 0 , 0 )
可微，且
f x (0 , 0 ) f y (0 , 0 ) 0 ,
2
0
f ( r sin co s ) r d r
2
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2. 设平面区域
D : 1 x y 4, f ( x )
2 2
在[1,2]上连续,则
f(
D
x y )d x d y
2 2
等于（ A ）
(B) (D ) 2 [ r f ( r )d r
lim g ( x , 0 ) g (0 , 0 ),
4
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因此 同理，