概率论1-3章
概率论与数理统计(1-3章重点梳理)
公理 3（可列可加性）
两两互斥，则 P (
)＝
(2)条件概率——P(B∣A)＝
P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
2、概率基本性质 (1) P(Φ)＝0，P(Ω)＝1
(2) 有限可加性 P(
)＝
(3) 求逆公式 P( )＝1-P(A) ※补充：对于固定事件 A，P(B∣A)具有概率一切性质 ① P(Φ∣A)＝0，P(A∣A)＝1
1、定义 F(X)=
， <x< ，其中 f(x)为 X 的概率密度函数
【连续型：求分布函数就是求概率，哪儿求概率哪儿求积分】
（※利用 2、概率密度 f(x)性质
可简化求解）
(1)f(x) 0（非负可积性） （2）
3、连续型性质【重要】 ① F(x)为连续函数 ②对于 f(x)连续点 x，有 =f(x) ③对于任何实数 C，P(X=C)=0
①包含 A B 事件 A 发生一定导致 B 发生 【小推大】
②相等 A B 且 B A A=B 【等价=相等】
③互斥 AB=Φ A、B 不能同时发生
④对立
A、B 在一次试验中必然发生且只能发生一个
⑤完全事件组
且
(1≤i≠j≤n)，称
(2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B 和事件 A∪B 或 A+B A、B 至少有一个发生
几何分布的无记忆性：设 X G(p)，即
，k=1 2 (0 p 1)则对于
任何正整数 m,k 有 P(X=m+k∣X 6、均匀分布 U(a,b)
)=P(X=k)
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
例：设随机变量 在(1,b)上服从均匀分布，则方程
1-3 概率的运算
P( AB) P( AB) P( B), 于是 P( AB) P( B) P( AB) 0.4 0.2 0.2
(2) P( A) 1 P( A) 1 0.5 0.5 P( A B) P( A) P( AB) 0.5 0.2 0.3
例 5 某地区居民血型为O, A, B, AB的概率分别为0.45,
0.41, 0.11, 0.03。当血型为A型病人需要输血时，从当 地获取血源的概率是多少？ 解 设事件O,A分别表示血型为 O,A 的居民,这是两个互不 相容事件。另根据输血要求，该病人可获得的血源概率为 P(O＋A)＝P(O)＋P(A)＝0.45+0.41＝0.86
P(A)=P(H1H2…H10)=P(H1)P(H2)…P(H10)=(0.01)10
⑵ 事件B=H1＋H2 ＋…＋H10 ,且Hi 之间是相容的,直接用事 件和的加法公式计算很复杂,故用 B 计算，有
P( B ) P( H1 H 2 H10 ) P( H1H 2 H10 )
P(A-B)＝P(A)－P(B)
且 P(A)≥P(B)
例8 已知P( A) 0.5，P( AB) 0.2，P( B) 0.4，求：
（ 1 ）P( AB); (2) P( A B); (3) P( A B); (4) P( AB)
解 (1) 因为AB AB B, 且AB与AB是不相容的，故有
例 10 n个人抽签,其中n－1个签为空,证“抽签模
型”的公平性:中签的概率与抽签的顺序无关。 解 以Ai表示第i个抽签者中签，则 Ai 为第i个抽 签者未中签，求第i个抽签者中签的概率。 ⑴ 第一个抽，有 P(A1)＝1/n，而 P( A1 ) (n 1) n ⑵ 第二个中签必须是第一个未抽中的前提下,故 n 1 1 1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) n n 1 n (i) 第i抽签者中签的概率为
浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【课后习题】第1章~第3章 【圣才出品】
第二部分课后习题第1章概率论的基本概念1．写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为或写成（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生．解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；（3）①方法1由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；②方法2事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；③方法3事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成（4）；（5）；（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生，因此，；又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成，因此又可将写成（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；（8），也可写成．3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．解：（1）由，已知，故，得，所求概率为．（2）记，由加法公式（3）（i）；（ii）．4．设A、B是两个事件（1）已知，验证A＝B；（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）－2P（AB）．解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为5．10片药片中有5片是安慰剂（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．解：（1）p＝1－P（取到的5片药片均不是安慰剂）－P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即p（2）．6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率．解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；（2）同理，，故．7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、。
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
概率论第一章
在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设事件 A =“正面朝上” ， 观察 n 次试验中 A 发生的次数．
试验者 德.摩根 蒲丰 费勒 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 10000 12000 24000
nA
1061 2048 4979 6019 12012
f n ( A)
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
第五章 大数定律和中心极限定理
第六章 数理统计的基本概念 第七章 参数估计 第八章 假设检验
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算
§1.2
§1.3 §1.4 §1.5
概率的定义及其性质
古典概型与几何概型 条件概率 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现 象成为随机现象。 如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；
E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；
E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差； E6: 在区间 0， 1 上任取一点，记录它的坐标。
例1-5 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B). 解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.
1-3,4概率论
注意：概率的定义直观地描述了事件发生的 可能性大小,反映了概率的本质内容,但也有其 不足,即无法根据此定义计算某事件的概率.
概率的性质
性质1 P() 0. 性质2(有限可加性) 若随机事件 A1 , A2 ,, An 互不 相容，则
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
一、古典型概率
1.古典概型定义
如果一个随机试验E具有如下特征：
(1)试验所有可能的结果是有限个，设为n个，
即S {e1 , e2 ,, en };
(2)每一个结果在一次实验中发生的可能性相同,
即P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en }),
则称该随机试验为等可能概型(或古典概型).
7 5 1 12 12
例2 P ( A) 0.7, P ( A B ) 0.3, 求P ( AB ). 解： P ( AB) P ( A) P( A B) 0.4
P ( AB) 1 P ( AB) 0.6
§1.4
古典概型与几何概型
一、古典概型 二、几何概型
一般地,对于任意n个事件 A1 , A2 ,, An 有
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
i 1 n 1 i j n
P ( Ai Aj )
1 i j k n
P ( Ai Aj Ak ) (1)n1 P ( A1 A2 An ).
-P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC)
0 ≤ P(ABC) ≤ P(AB)=0
所以有
概率论课件1-3,武大
μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a aπ π 2
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时 , m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值 即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 2bn m 2b π . n aπ am
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可 知接待时间是有规定的.
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可 能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相 同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
4.古典概型的基本模型之二:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法
3 3 3 3 34 种,
4 种 2
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B)
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
333 2000 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
2000 由于 250, 8
250 故得 P ( B ) . 2000
四、小结
最简单的随机现象 古典概型
【侯亚君版本《概率论与数理统计》】1-3章习题解答.
习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间S . ⑴一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案. ⑵向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数.. ⑶公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间..解 ⑴{}1S =正正，正反，反正，反反;⑵样本空间为{}21,2,3,...S = ； ⑶样本空间为{}305S t t =≤≤.2. 设,,A B C 表示三个事件,试用,,A B C 表示下列事件. ⑴A 与B 都发生,而C 不发生; ⑵,,A B C 至少有一个发生; ⑶,,A B C 都发生; ⑷,,A B C 都不发生; ⑸,,A B C 不都发生; ⑹,,A B C 至少有两个发生; ⑺,,A B C 中最多有一个发生.解 ⑴ABC ;⑵A B C ⋃⋃;⑶ABC ;⑷ABC ;⑸ABC ;⑹AB BC CA ⋃⋃; ⑺AB BC CA ⋃⋃或AB BC CA ⋃⋃.3.设,,A B C 是三个事件,计算下列各题.⑴若()0.4,()0.25,()0.25,P A P B P A B ==-=求B 发生,但A 不发生的概率. ⑵若()0.2,()0.6,P A B P B -==,求,A B 都不发生的概率. ⑶若()0.7,()0.3,P A B P B ⋃==,求A 发生,但B 不发生的概率.⑷若()()()0.25,()()0,()0.125P A P B P C P AB P BC P AC ======,求,,A B C 至少有一个发生的概率;,,A B C 都不发生的概率; C 发生, ,A B 都不发生的概率.⑸若111(),(|),(|),432P A P B A P A B ===求,A B 至少发生一个的概率. ⑹若()0.2,(|)0.5,(|)0.6,P AB P B A P B A ===分别求事件,A B 的概率. 解 ⑴ ()()()()0.15,P A B P A P AB P AB -=-⇒=B 发生,但A 不发生的概率：()()()0.1P BA P B P AB =-=;⑵()1()()0.2P AB P B P A B =-+-=;⑶()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，A 发生,但B 不发生的概率：()0.4P A B -=； ⑷()0()0P AB P ABC =⇒=，,,A B C 至少有一个发生的概率：()()()()()()()()0.625P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+=； ,,A B C 都不发生的概率：()1()0.375P ABC P A B C =-⋃⋃=； C 发生, ,A B 都不发生的概率：()()()()()()()0.125P CAB P C P AC BC P C P AC P BC P ABC =-⋃=--+=;⑸()1(|)(),()12P AB P B A P AB P A =⇒= ()1(|)(),()6P AB P A B P B P B =⇒= ,A B 至少发生一个的概率：1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=; ⑹()()(|)()0.4,()P A P AB P B A P A P A -=⇒=,()()(|)()0.56.1()P B P AB P B A P B P A -=⇒=-4.从0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率. ⑴三个数字中不含0和5; ⑵三个数字中不含0或5; ⑶三个数字中含0但不含5.解 设事件,A B 分别表示三个数字中不含0和5，则⑴三个数字中不含0和5的概率：383107()15C P AB C ==；⑵三个数字中不含0或的概率：33399831014()()()()15C C C P A B P A P B P AB C +-⋃=+-==; ⑶三个数字中含0但不含5的概率：33983107()()()30C C P AB P B P AB C -=-==. 5.把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3的概率各是多少. 解 设事件,,A B C 分别表示有球最多的杯子中球数是1,2,3，则有球最多的杯子中球数是1的概率是：3433()48A P A ==；有球最多的杯子中球数是3的概率是：341()416P C ==；有球最多的杯子中球数是2的概率是：9()1()()16P B P A P C =--=. 6.12个球中有4个是白色,8个是红色.现从这12个球中随机地取出两个,求下列事件的概率.⑴取到两个白球; ⑵取到两个红球;⑶取到一个白球, 一个红球.解 ⑴取到两个白球的概率：242121()11C P A C ==；⑵取到两个红球的概率：2821214()33C P B C ==；⑶取到一个白球, 一个红球的概率：114821216()33C C P C C ==。
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1.2
事件的关系和运算
一 事件的关系
1.事件的包含关系:如果事件A发生必然导致 事件B发生，则称B包含了A，或A是B的子事 件，记为AB.
例如: 掷骰子试验 A={出现2点} B={出现偶数点} 则 AB
1.2
事件的关系和运算
一 事件的关系
2.事件的相等:若A、B互相包含，即AB， BA同时成立，则称A与B相等. 例如: 掷骰子试验 A={出现偶数点} B={出现2,4,6点} A=B
引
二 随机试验
随机试验：
1. 2.
言
3.
可以在相同的条件下重复进行； 试验所有可能的结果是已知的或者是可以 确定的； 每次试验究竟将会发生什么结果是事先无 法预知的.
引
言
三 概率论与数理统计的研究对象
概率论—研究和揭示随机现象的统计规律性 的科学; 数理统计—对随机现象统计规律归纳的研究， 就是利用概率论的结果，深入研究统计资料， 观察这些随机现象并发现其内在的规律性， 进而作出一定精确程度的判断，将这些研究 结果加以归纳整理，形成一定的数学模型; 概率论与数理统计这门学科的应用 （天文、地质、物理、军事、医学）等
引
言
必然现象与随机现象 随机试验 概率论与数理统计的研究对象
概率论与数理统计发展简史
引
言
一 必然现象与随机现象
向上抛一块石子，石子必然下落； 在标准大气压下将水加热到100℃，水必然会 沸腾； 同性电荷必然相互排斥、异性电荷必然相互吸 引；
必然现象：在一定的条件下必然会发生的现象。
C = A1A2A3 +A1A2A3 +A1A2A3 ;
(4) D={至少有一次抽到合格品}
(5) E={至多有一次抽到合格品}
E = A1A2 +A 2A 3+A1A3 .
D = A1 + A2 + A 3
练习
写出随机试验E的样本空间、样本点及所列出 的随机事件 （1）掷一颗骰子.A={出现偶数点}； （2）5件产品中有一件废品，从中任取两 件.B={从中任取两件得一件废品}； （3）向xoy面上的单位圆内投点.C={投点落在 单位圆内}
1.2 事件的关系和运算
二 事件运算的性质
例：利用事件 的运算，表示下列事件 . 1. A与B发生而C不发生 2. A发生, B与C不发生 3. 恰有一个事件发生 4. 恰有两个事件发生 5. 三个事件都发生 6. 至少有一个事件 生 发 7. A,B,C都不发生 8. A,B,C不都发生 9. A,B,C不多于一个发生 AB- C或ABC A- B - C或AB C AB C A BC ABC ABC AB C ABC ABC A B C或3)4)5) 之并 A BC ABC ABC AB C AB C ABC
引 言
四 概率论与数理统计发展简史
1906年俄国数学家马尔可夫（1856-1922） 提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型，对 发展随机过程理论做出贡献的还有柯尔莫 哥洛夫（俄国）、费勒（美国）； 1934年俄国数学家辛钦又提出了一种在时 间中均匀进行着的平稳过程的理论。 1960年，卡尔门（1930—英国）建立了数 字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系 统中的应用；
2.1 概率的概念
二 概率的性质
1. 2. 3.
非负性 0≤P(A) ≤1 规范性 P(Ω)=1 有限可加性 若A1， A2 ，A3… ，An互 斥，则 P( A ) p(A )
n n k k 1 k 1 k
即有限个互不相容的事件的和事件 的概率等于这些事件的概率之和
2.2 古典概型
例2 对一批产品进行不放回的抽样检查, 每次取 一件, 连续抽取3次, Ai(i=1,2,3) 表示第 i 次抽到合格品. 试用A1、A2、A3 表示下列事件:
(1) A={第一次和第三次均抽到合格品} A＝A1A3 (2) B={只有第一次抽到合格品} B = A1A2A3; (3) C={只有一次抽到合格品}
事件的关系和运算
一 事件的关系
4.事件的积:A，B同时发生，记为A∩B或AB
例如: 检查某圆柱形产 品是否合格 C={产品合格} A={产品长度合格} B={产品直径合格} 则有 C=A ∩ B
1.2
事件的关系和运算
一 事件的关系
5.事件的差:事件A发生而B不发生，称为A与B 的差事件，记为A－B.
1.1
样本空间和随机事件
二 随机事件
随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为 样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更 便于今后计算概率 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有 一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时， 可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何 情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关 系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系 可以用集合之间的关系来描述。
引 言
四 概率论与数理统计发展简史
1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的 解法。 之后，雅科布给出了赌徒输光问题的详尽解 法，并证明了被称为“大数定律”的一个定 理（贝努里定理） 1713年，贝努里发表了历史上第一个有关 概率论论文，这是一篇关于极限定理的论文； 1812年拉普拉斯在他的著作《分析概率论》 中给出概率明确的定义，并且还建立了观察 误差理论和最小二乘法估计法；
1.2
事件的关系和运算
一 事件的关系
6.互不相容事件:如果两个事件A,B不能同时 发生，即A,B同时发生是不可能事件，记为 A∩B= .
注：基本事件都是互斥的
1.2
事件的关系和运算
一 事件的关系
7.对立事件:事件A与事件B必有一个发生，且仅 有一个发生，即A ∪ B= ,且A∩B=
1.2
1.1
样本空间和随机事件
一 基本事件与样本空间
样本空间：由全体基本事件组成的集合. 通常 用字母Ω表示. Ω中的元素即基本事件,也称样本点，用ω表示.
E1 ：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况； Ω1={正,反} E2 ：将一枚硬币连抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情 况；Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} E3 ：抛一颗骰子，观察出现的点数；Ω3={1,2,3,4,5,6} E4 ：记录某电话在一天内接到呼唤的次数； Ω4={0,1,2,3…} E5 ：记录一昼夜的最高温度和最低温度； Ω5={x,y|T0≤x<y≤T1}
A是B的子集 二集合A,B相等 集合A与B的并集
A∩B
A-B Ā A∩B=
事件A与B中同时发生
事件A发生而与B不发生 A的对立事件 事件A与事件B互不相容（互斥）
集合A与B的交集
集合A与B的差集 集合A对的余（补）集 集合A与B不相交
1.2
事件的关系和运算
二 事件运算的性质
1.交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A 2.结合律: A∪B∪C=(A∪B)∪C=A∪(B∪C) A∩B∩C=(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3.分配律: (A∪B)∩C= AC∪BC 4.对偶律: A B A B, A B A B A B AB 5. 6.若AB,则 A∪B=B,AB=A
1.1
样本空间和随机事件
二 随机事件
随机事件：在随机试验中对某些现象或某种情况 的陈述,或简称事件.记作A、B、C等 从集合论的观点来看,任何事件均可表示为样本 空间的某个子集. 例如 对于试验E2 ，以下A 、B、C即为三个随机 事件 A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“两次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH} 两个特殊事件:必然事件S 、不可能事件
1.2
事件的关和:事件A与B至少有发生一个,记作
A∪B. 例如: 检查某圆柱形产 品是否合格 A={产品长度不合格} B={产品直径不合格} C={产品不合格} 则有 C=A ∪ B 3’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
i 1
Ai
n
1.2
概率论与数理统计
教师: 高吉明
e-mail: gaojm @
教材及参考书目
教材：
《概率统计简明教程》 同济大学应用数学系编 高等教育出版社 参考书：1.《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤 等 编 高等教育出版社 2001 2. 《数理统计》 赵选民 等 编 科学出版社 2003
引 言
一 必然现象与随机现象
从一大批同类产品中任意抽取一个产品，抽 到的是合格品还是不合格品； 抛掷一枚硬币，结果是正面还是背面朝上； 用同一门炮向同一目标射击，各次弹点不尽 相同；
随机现象：在一定的条件下可能发生也可能 不发生的现象
引
二 随机试验
言
试验：将观察和试验统称为试验 E1 ：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的 情况； E2 ：将一枚硬币连抛掷三次，观察正面H，反 面T出现的情况； E3 ：抛一颗骰子，观察出现的点数； E4 ：记录某电话在一天内接到呼唤的次数； E5 ：记录一昼夜的最高温度和最低温度；
引
言
四 概率论与数理统计发展简史
概率论被称为“赌博起家”的理论。 概率论产生于十七世纪中叶 当时两个赌徒约定赌若干局，并且谁先赢 c局便是赢家，若一个赌徒赢a局(a<c)，另 一赌徒赢b局(b<c)时终止赌博，问应当如 何分赌本？最初正是一个赌徒将问题求教于 巴斯葛，促使巴斯葛同费尔玛讨论这个问题， 从而他们共同建立了概率论的第一基本概 念——数学期望。