概率论第一章

第一章 随机事件与概率1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：(1)放回时的样本空间1Ω(2)不放回时的样本空间2Ω 解：(1)100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，(2)201 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。

写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω(2)放回时的样本空间2Ω解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝(2)Ωn 个２＝｛红，白红，，白白白红｝5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)AB(2)()AB C解：(1) {2,3,4,5}AB AB AB ===(2)()(){4,5}{0,1,5,6,7,8,9}{4,5}{0,1,4,5,6,7,8,9}ABC A BC A ====11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。

解：214!12P ==15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。

解：4105040n A ==，311294882296k A C C A =+= 22960.465040k p n ∴===14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。

如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r个人的概率与r 无关，都是11n -（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。

解：(1)基本事件数为!n ，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位，1,2,,1i n r =--，共1n r --中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位置可调换，有12C 种，故有利事件数由乘法原理有12C （n-r-1）(n-2)!，由古典概型的计算公式，得122(1)(1)C n r P n n --==-（n-r-1）(n-2)!n! 甲乙相邻的概率为：12(1)!2!C n P n n -==另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有(1)n n -,有利事件数为2(n-r-1).故有2(1)(1)n r P n n --=-另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.212212(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------==-(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取2个人的排列，共有2n A 种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有211n n P A n ==-甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(2)!n -种排列，故2(2)!2(1)!1n P n n -==--. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故21P n =-(只考虑乙)16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.解: 基本事件数为510252n C ==,有利事件数为1) 2个伍分,其他任意,有232856C C = 2) 1个伍分,2个贰分:12223560C C C = 3) 1个伍分,3个贰分: 13123510C C C =故56601012522k P n ++===17:箱中有α个白球和β个黑球,从其中任意地接连取出k+1(1k αβ+≤+)球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率. 解:令{1()}A k =+第次最后取出的是白球,则+1+1+(+1)!(+1)!(A)=(+)!A +(+1)!kA k P k ααβαβαβαααβαβαβαβ----==--1k C另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为αβ+,有利于A 的基本事件数为α,故()P A ααβ=+18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率：(1)某一层有两位乘客离开。

(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。

(3)恰有两位乘客在同一层离开。

(4)至少有两位乘客在同一层离开。

解：(1) 某有2位乘客离开，6个乘客选2名有26C 种选法，其余4人在其余9层下有49种，故共有：2466910C p =(2) 没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而610610A P = (3) 恰好有2位乘客在同一层离开基本事件数为610n =.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为12106C C ，其余4人有以下几种情况a) 其余9层，4个人单独在某层下，有49A 种。

b) 4人一起在其余9层中的某层下，有19C 种。

c) 9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有131948C C C所以1241131106999486[]10C C A C C C C P ++=(4) 为(2)的逆事件，从而6106110A P =- 19．一列火车共有n 节车厢，有k n ≥个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。

解：设{}A =每一节车厢至少有一个旅客，则{}A =存在空车厢{}i A i =存在节空车厢，1,2,,i n =，则1=1=n iI A A -,以下计算()i P A指定的i 节车厢空的概率为1ki n （－）,(因为每个人进入其他n-i 节车厢的概率为1n i i n n -=-),所以()(1)(1,2,,1)ik i n i P A C i n n =-=-,利用多除少补原理，有121121()(1)(1)(1)(1),()1()k k n n kn n n n P A C C C P A P A n nn --=---++--=-注：错解：k k nn k A n P n -=（有重复情形） 20.某人从鱼池中捕得1200条鱼，做了记号后放回该鱼池中，经过一段时间后，再从池中捕1000条鱼，数得有记号的有100条。

试估计鱼池中共有多少条鱼？ 解：设鱼池中共有n 条鱼，则，由古典概率的定义有：1200100120001000k p n n n ===⇒=21．将线段(0,a)任意折成三段，试求此三段能够成三角形的概率 解：设0x y a <<<,如图能够三角形，必须有y a y >-,即12y >.如图22．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内达到的时刻是等可能的，如果甲般的停泊时间是1小时，乙船停泊的时间是20 x y a X小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。

解： 设x,y 分别表示甲乙船到达码头的时刻，024x y <<≤不需等待码头空出，若甲先到，则1y x ->，若乙先到，则2x y ->，如图2221(2322)20.8793424P +==23. 在一个半径为1的圆周上，男乙两人各自独立地从圆周上随机地各取一点，将两点连成一条弦L,求圆心到弦L 的距离不大于12这一事件A 的概率。

解：由运动的相对性，不妨将甲固定，则基本事件为“（乙可取的点）整个圆周”，有利于A 的事件对应为：（乙可取点）甲的左边13圆周和甲的右边13圆周,故232223p ππ==.24.解：三角形a,b,c 任一边与平行线相交的概率分别为222,,a b cd d d πππ, 而“三角形与平行线相交”等价于“任意两个边与平行线相交”。

故1222()2a b c a b c p d d d d ππππ++=++=28.一个袋内有n-1个黑球和一个白球，每次从袋中随机取出一球并换入一个黑球，这样继续下去，求第k 次取到黑球的概率。

2 244444解：记{}{}A k A k ==第次摸到黑球，则第次摸到白球，因为袋中只有一只白球，故了在第k 次摸到白球，则前面的k-1次不能摸到白球，只能摸到黑球，故11111(1)k k k N P A N N N --⋅=-⋅()＝，111()1(1)k P A N N -=--⋅.34．袋中有编号为1,2,…,n 的n 个球，从中有放回地随机选取m 个，求取出的m 个球的最大号码为k 有概率。

并计算n=6,m=3,时，k=1和k=3的值。

解：基本事件的可能数为mn ,记k A ＝｛取到这最大号码为k ｝,k B ={取到的最大号码不超过k 这一事件}，则有1,k k k A B B -=-又1,k k B B -⊂()mk mk p B n =,故有 1(1)()()(),1,2,,m mk k k mk k P A P B P B k nn ---=-==(1)0.00463p =,(2)0.421296p =36.n 个人参加同学聚会，每个人都带了一件礼物，并附上祝福词和签上自己的名字，聚会时每人从放在一起的礼物中随机取出一件礼品，至少有一人取到自己礼物的概率，并计算出当n=2和n=1000时的概率。

解：先求事件A={没有人取到自己的礼物}的概率。

令{}1,2,,i A i i n ==第个人取到自己的礼物，，由P46例1.4.4（配对问题）的结论，有01(1)()1()!knni k i P A P A k ==-=-=∑，1(1)111()1()11(1)!2!3!!k nn k P A P A k n -=-=-=-=-+++-∑,(2)0.05,(1000)0.73p p ==42 已知()0.3,(|)0.4,()0.5,P A P B A P A B ===求 P(B ｜A B ）。

43．试证：如果(|)(),(|)()P A B P A P B A P B >>则 证：()(|)()()()()()()()()(|)()()()P AB P A B P A P AB P A P B P B P AB P A P B P B A P B P A P A =>⇒>∴=>= 44.一批产品共100件，对其进行抽象检查，整批产品看作不合格的规定如下：在被检查的5件产品中只要有一件是废品。

如果在该批产品中有5%是不合格品，试问该批产品被认为不合格的概率是多少？解：共100件产品，其中的5件废品，95件合格品。