第1章概率论

第1章 教材习题同步解析1. 掷一粒骰子的试验,观察出现的点数,事件A 表示“出现偶数点”；B 表示“出现点数小于4”；C 表示“出现小于5的奇数点”．用集合的列举法表示下列事件：Ω,A ,B ,C ,B A ,B A -,A B -,AB ,AC ,B A ．解 {}6,5,4,3,2,1=Ω； {}6,4,2=A ； {}3,2,1=B ； {}3,1=C ； {}6,4,3,2,1=B A ； {}6,4=-B A ； {}3,1=-A B ； {}2=AB ； φ=AC ；{}5,3,2,1=B A ．2.说出下列各对事件A 与B 之间的关系： (1){}{}0,1A x B x =≥=>; (2){}{}0,0A x B x =≥=<; (3){}{}0,1A x B x =≥=≤-;(4)A 为“3次投篮全投中”,B 为“3次投篮恰有一次未投中”; (5)A 为“3次投篮全投中”,B 为“3次投篮至少一次未投中”; (6)A 为“3次投篮全投中”,B 为“3次投篮最多一次未投中”. 解 (1)B A ⊂;(2)既是互不相容事件又是对立事件; (3) 互不相容事件; (4)互不相容事件; (5) 对立事件; (6) A B ⊂;3.化简下列各式： (1)()A A B B - ;(2)()()()A B A B A B ; (3)()()()A B B A A B -- . 解 (1)()A A B B - =A B ; (2)由随机事件的分配律，有()()()()()A B A B A B A B B A B =()()A A B =∅ ()()A A A B = A B = ;(3)由随机事件的交换律与分配律，有()()()()()()A B B A A B A B B A A B --=()()A B B B A =()A B A =()()A B A A = A B = .4.在某学院学生中任选一名学生,A 表示选中的是女生,B 表示选中的是大一新生,C 表示选中的是08奥运精神宣传员.（1）说明事件ABC 的意义.（2）在什么条件下AC C =成立？ （3）何时B C B = 成立？解 （1）ABC 表示选中的是女的08奥运精神宣传员,但她不是大一新生. （2）AC C =表示该学院的女生都是08奥运精神宣传员.（3）B C B = 表示该学院08奥运精神宣传员都是大一新生.5．一个工人生产了4个零件,用事件i A 分别表示他生产的第(1,2,3,4)i i =个零件是正品.用i A 表示下列事件：（1）四个零件都是正品; （2）至少有一个零件是正品; （3）恰有一个零件是正品; （4）至少有一个零件不是正品. 解 （1）四个零件都是正品表示为1234A A A A ;（2）至少有一个零件是正品表示为1234A A A A ;（3）恰有一个零件是正品表示为1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A +++; （4）至少有一个零件不是正品表示为1234A A A A . 6.已知11()()(),()(),()0416P A P B P C P AC P BC P AB ======,求,,A B C 全不发生的概率与,,A B C 至少有一个发生的概率与.解 ,,A B C 全不发生这一事件可表示为ABC .()0P AB =，则()0P ABC =.由德摩根律与加法公式，有()1()P ABC P A B C =-1[()()()()()()()]P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =-++----1111131[0]44416168=-++--+=.,,A B C 至少有一个发生这一事件可表示为A B C .5()1().8P A B C P ABC =-=7.设(),()P A p P B q ==,()P A B r = ,求()p AB .解 由()()()P A P AB P AB =+，可知()()()P AB P A P AB =-()[()()()]P A P A P B P A B r q =-+-=- .8.在100个产品中有70个一等品,20个二等品,10个废品．规定一、二等品都是合格品,求这批产品的合格率．解 设事件A 表示合格品.12,A A 分别表示一等品与二等品.显然事件12,A A 互不相容,并且12A A A = ,由可数可加性,可得12127020()()()()0.9100100P A P A A P A P A ==+=+= . 故产品的合格率为0.9.9．一箱中有12件同类产品,其中10件正品,2件次品.求:（1）先后有放回地依次取出两件产品, 都是正品的概率以及刚好一件正品和一件次品 的概率;（2）先后无放回地依次取出两件产品, 都是正品的概率以及刚好一件正品和一件次品 的概率.解 记事件A 为 “取出的两件产品都是正品”,事件B 为 “取出的两件产品一件正品 和一件次品”.（1）从12件产品中先后有放回地依次取出两件,不同的取法共有111212C C ⋅种,使事件A 发生的取法为111010C C ⋅种,使事件B 发生的取法为11102C C ⋅种,从而 11101011121225()36C C P A C C ⋅==⋅,111021112125()36C C P B C C ⋅==⋅;（2）从12件产品中先后无放回地依次取出两件,不同的取法共有111211C C ⋅种,使事件A 发生的取法为11109C C ⋅种,取出的第一件是正品第二件是次品的取法为11102C C ⋅种,取出的第一件是次品第二件是正品的取法为11210C C ⋅种从而 1110911121115()22C C P A C C ⋅==⋅, 1110211121110()233C C P B C C ⋅=⨯=⋅.10．设有5张10元的、3张30元的和2张50元的戏票,任意抽取3张,求： （1）其中至少有2张是同价格的概率)(A P ； （2）3张票价共值70元的概率)(B P ．解 （1）事件A 的对立事件为：A ＝“抽取的3张戏票价格皆不相同”. 任意抽取3张，共有310C 种抽法，事件A 发生的基本事件总数为111532C C C ⋅⋅，于是有 111532310()1()10.75C C C P A P A C ⋅⋅=-=-=. （2）任意抽取3张，共有310C 种抽法.3张票价共值70元的组合方式有两种：1张50元的加上2张10元的； 1张10元的、2张30元的.所以事件B 发生共有12122553C C C C +种.因此121225533107()24C C C C P B C +==.11．将n 个人等可能地分配到N ()N n >个房间中的任意一间去住,求: （1）每个房间至多分配一个人住的概率;（2）某指定的房间中恰分配m （m N <）个人的概率.解 设{}A =每个房间至多分配一个人住，{}B =某指定的房间恰有m 个人住 因为每一个人都有N 个可能，n 个人有nN 种可能，样本点总数为nN .（1）每个房间至多分配一个人住，相当于N 房间中拿出n 个排列，共有nN A 种排法，所以 (1)(1)()nN n nA N N N n P A N N --+== .（2）某指定的房间中恰分配m （m N <）个人，相当于首先在n 个人中选出m 个人组合，有mn C 种组合方法，然后剩下的n m -个人每个人有(1)N -种可能，n m -个人有(1)n m N --种可能，所以(1)()mn mn nC N P B N --=.12．在区间[0,1]上任取两数,求这两数之和小于0.2的概率. 解 设,x y 分别表示这两个数，则样本空间为{}(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤.记事件A 为“两数之和小于0.2”,则{}(,)(,),0.2A x y x y x y =∈Ω+≤.这一事件用几何图形表示，事件A 如图中阴影部分所示.于是10.20.2()2()0.02()11S A P A S ⨯⨯===Ω⨯. 13.某路公共汽车站每隔10分钟有一辆进甲站然后开走,问一位乘客任意时间到达甲站,他等候时间不超过3分钟的概率.解 设上一辆公共汽车出站开走的时刻为0时，则下一辆公共汽车进站的时刻为10，则有(0,10)Ω=，乘客到站的时间必在(0,10)内.，记事件A 为“乘客到站等车时间不超过3分钟”,则[7,10)A =.1073()1010P A -==. 14.某部门职工年龄在在30岁以上的所占比重为80%，年龄在40岁以上的所占比重为40%.现有一职工已知其年龄肯定在30岁以上，问他的年龄在40岁以上的概率？解 设事件A 为“年龄在340岁以上的职工”，则()80%P A =；事件B 为“年龄在40岁以上的职工”， 则()40%P B =.则所求为()P B A ，由条件概率公式，得()()40%()0.5()()80%P AB P B P B A P A P A ====.15．市场上供应的某种商品中,甲厂产品占65％,乙厂产品占35％,甲厂产品的次品率为3％,乙厂产品的次品率为2％．若用事件A A ，分别表示甲、乙两厂的产品,B 表示产品为次品,试分别计算概率(/),(/),(/)(/)P B A P B A P B A P B A 及．解 据题意可知()0.65,()0.35P A P A ==.有条件概率公式，有()0.650.03(/)0.03()0.65p AB P B A P A ⨯===， ()0.350.02(/)0.020.35()p AB P B A P A ⨯===，()0.650.97(/)0.97()0.65P BA P B A P A ⨯===，()0.350.98(/)0.980.35()P AB P B A P A ⨯===.16.在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一次取正品，第二次件取次品的概率。

解 设事件i A 为“第i 次取正品”，1,2i =，则事件i A 为“第i 次取次正品”，1,2i =. 设所求事件B 为“第一次取正品，第二次件取次品”，12B A A =.由乘法公式，得1212111903119392()()()()450.0316.1426P B P A A P A P A A C C C C ==⋅=⋅=≈ 17.有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个白球、2个黑球，乙盒中有2个白球、5个黑球。