概率论第一章习题参考解答
概率论第一章习题参考解答
概论论与数理统计习题参考解答习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率.解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =,467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n ,有利于A 的基本事件数为2=A n ,因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数n N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数kn N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,因此, n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n ,有利于A 的基本事件数422=⨯=A n ,有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n 设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3,则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个,则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ).解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率(2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则 829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10,而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P 由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=CB A PC B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(3121626331239331215272312132923121428131223191312132********=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P 根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件.设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=⨯+⨯=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个,因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P 25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有P (C )=1/3, P (C )=2/3,P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4,根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(=⨯+⨯=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ),得P (A )=1/3, P (A )=2/3.设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球.则P (A )=2/3, P (A )=1/3,P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4,则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有 467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P 根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P 30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率论第一章习题参考解答(高等教育出版社)
第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴ )()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂ 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”，用B 表示事件“4只中至少有2只红球”， 用C 表示事件“4只中没有只白球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P （3）99749535)(41247===C C C P 6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P（2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P （1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P 7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P )()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0== 717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P = 0408.020592840124135127116==⨯⨯⨯=9、解： 用A 表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件“两只都是红球”方法1 651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算 51)(=A B P 10、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==∴B A P AB P B A AB P A P同理 15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P11、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ”92401)(61113131222==A A A A A A P 12、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状” 由已知2.0)(=B A P 3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S =且B A AB B A B A ,,,互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=∴AB P B A P B A P B A P 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P)()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0== 13、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受” ;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得 9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41⨯+⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P99978.0=14、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知 1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ， 则 9.0)(=A P ，15.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ， 由贝叶斯公式得15、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”，C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”由已知得 6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ；01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得 )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==⨯+⨯+⨯⨯=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005.03.0==⨯+⨯+⨯⨯=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==⨯+⨯+⨯⨯=16、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P17、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”，C 表示事件“两次得同一面”则 ,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===∴ C B A ,,∴两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ≠ C B A ,,∴不是相互独立的18、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”，C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得 5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则 5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P（1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,( 29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球 )(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -= 相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01⨯⨯-= 94.0=19、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RH A 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B =4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立 ()()(1P A P B P +=∴+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=⨯+⨯+⨯+=20、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立 方法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =∴()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=方法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A ()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----= ()相互独立54321,,,,A A A A A ()()()221111p p p ----= 543222p p p p p +--+= 21、解：用A 表示事件“真含有杂质”,用B 表示事件“次检验认为不含有杂质次检验认为含有杂质次检验中有123”由已知得 4.0)(=A P ，6.0)(=A P ，2.08.0)(223⨯⨯=C A B P ，9.01.0)(223⨯⨯=C A B P由贝叶斯公式得9.01.06.02.08.04.02.08.04.0)()()()()()()(223223223⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=C C C A B P A P A B P A P A B P A P B A P 905.016981536==。
《概率论》第一章习题(A)参考答案
第一章习题（A ）参考答案（注：有些题可能存在多种解法，希望同学能够多动脑思考，不要将思维局限于参考答案。
）4．解：（1）()1()0.7P B P B =-= ，()()()()0.4P AB P A P B P A B ∴=+-⋃=；（2）()()()()0.3P B A P B AB P B P AB -=-=-= ； （3）()()1()0.2P AB P A B P A B =⋃=-⋃= 。
5．解：从8个球中任取2个，共有2887282!n C ⨯===种取法。
设事件A 表示取到的两个球颜色相同，可分成两种情况：取到白球；取到黑球。
完成事件A 共有22535432132!2!m C C ⨯⨯=+=+=种取法，则根据古典概型的概率计算公式，可求得13()28m P A n ==。
6．解：考虑将两组分别记为甲组和乙组，则分配球队的时候，先将10支球队分到甲组，再将剩下的10支球队分到乙组，共有101010201020n C C C ==种分法。
对于最强的两队，先取一支强队分到甲组，接着再从其余18支稍弱的球队中取9支分到甲组，这样甲组就有一支最强队及9支稍弱的队，最后将剩下的10支球队分到乙组，这样共有19218m C C =种分法。
则最强的两队被分到不同组内的概率为192181020100.526319===≈C C m p n C 。
7．解：将12个球随意放入3个盒子中，对于每个球，都可以从3个盒子中选一个盒子放球进去，因此共有123n =种放法。
设事件A 表示第一个盒子中有3个球，先从12个球中取出3个球放进第一个盒子，剩下的9个球随意放进其余两个盒子中，对于这9个球，每个都可以从其余两个盒子中选一个盒子放球进去，因此完成事件A 共有39122m C =⨯种方法，则第一个盒子中有3个球的概率为3912122()0.2123C m P A n ⨯==≈。
8．解：由于每颗骰子有6个不同的点数，因此同时掷4颗均匀骰子共有46n =种不同的结果。
概率论习题第一章(答案)
第一章一、填空题1、设事件A,B 满足AB AB =,则()P A B = 1 ，()P AB = 0 。
2、已知P(A)0.5,P(B )0.6,P(B A)0.8,===则()P A B = 。
3、已知()()()1P A P B P C 4===，()P AB 0=,()()1P AC P BC 6==，则事件A,B,C 都不发生的概率为712。
4、把10本书随意放在书架上，其中指定的3本书放在一起的概率为115。
5、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为16。
二、选择题1、下列命题成立的是（ B ）A ：()()ABC A B C --=- B ：若AB ≠∅且A C ⊂，则BC ≠∅ C ：A B B A -=D ：()A B B A -= 2、设A,B 为两个事件，则（ C ）A ：()()()P AB P A P B ≥+ B ： ()()()P AB P A P B ≥C ：()()()P A B P A P B -≥-D ：()()()()P A P A B P B0P B ≥>3、设A,B 为任意两个事件，且A B ⊂，P(B )0>，则下列选项必然成立的是（ D ）A ：P(A)P(AB )< B ：P(A)P(A B )>C ：P(A)P(A B )≥D ：P(A)P(A B )≤4、袋中装有2个五分，3个贰分，5个壹分的硬币，任取其中5个，则总币值超过壹角的概率（ B ）A ：14B ：12C ：23D ：34三、解答题1、某班有50名同学，其中正、副班长各1名，现从中任意选派5名同学参加假期社会实践活动，试求正、副班长至少有一个被选派上的概率。
()248248142347P A 502455⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭或者()()48547P A 1P A 1502455⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫ ⎪⎝⎭2、一批产品共200个，有6个废品。
概率论~第一章习题参考答案与提示
第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示1． 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：C B A 、、C B A 、、（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生；（3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生；（5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。
分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。
C B A 、、 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件C B A C B A C B A 、、有一个发生，即可表示成C B A C B A C B A ∪∪；类似地其余事件可分别表为（2）或AC BC AB ∪∪ABC B A BC A C AB ∪∪∪；（3）；（4）ABC ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ；（6）B A BC A C AB ∪∪或。
ABC AC BC AB −∪∪ 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。
2．如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系：x {}20|≤=x x A {}3|>=x x B {}9|<=x x C{}5|−<=x x D{}9|≥=x x E 解：（1）包含关系： 、 A C D ⊂⊂B E ⊂ 。
（2）互不相容关系：C 与E （也互逆）、B 与、D E 与。
D 3．写出下列随机事件的样本空间：（1）将一枚硬币掷三次，观察出现H （正面）和T （反面）的情况；（2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数；（3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。
提示与答案：（1）；{}TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH ,,,,,,,=Ω（2）； {,2,1=Ω}（3）；{}18,,4,3 =Ω（4）。
{} ,11,10=Ω4．设对于事件有C B A 、、=)(A P 4/1)()(==C P B P , ，8/1)(=AC P0)()(==BC P AB P ，求至少出现一个的概率。
概率论与数理统计第一章习题及答案
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生，B 与C 不发生， （2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3）C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7）C B A ,,中不多于两个发生， （8）C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生，相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，最小值是多少？解 由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。
概率论与数理统计答案第一章
概率论第一章习题解答习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间Ω及指定的事件：（1）袋中有3个红球和2个白球，现从袋中任取一个球，观察其颜色；（2）掷一枚硬币，设H 表示“出现正面”，T 表示“出现反面”．现将一枚硬币连掷两次，观察出现正、反面的情况，并用样本点表示事件A =“恰有一次出现正面”；（3）对某一目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数，并用样本点表示事件A =“射击次数不超过5次”；（4）生产某产品直到5件正品为止，观察记录生产该产品的总件数；（5）从编号a 、b 、c 、d 的四人中，随机抽取正式和列席代表各一人去参加一个会议，观察选举结果，并用样本点表示事件A =“编号为a 的人当选”．解：（1）Ω = {红色, 白色}； （2）Ω = {(H , H ), (H , T ), (T , H ), (T , T )}，A = {(H , T ), (T , H )}；（3）Ω = {1, 2, 3, …, n , …}，A = {1, 2, 3, 4, 5}； （4）Ω = {5, 6, 7, …, n , …}；（5）Ω = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (b , c ), (b , d ), (c , a ), (c , b ), (c , d ), (d , a ), (d , b ), (d , c )}，A = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (c , a ), (d , a )}．2． 某射手射击目标4次，记事件A =“4次射击中至少有一次击中”，B =“4次射击中击中次数大于2”．试用文字描述事件A 与B ． 解：A 表示4次射击都没有击中，B 表示4次射击中击中次数不超过2．3． 设A , B , C 为三个事件，试用事件的运算关系表示下列事件：（1）A , B , C 都发生；（2）A , B , C 都不发生；（3）A , B , C 中至少有一个发生；（4）A , B , C 中最多有一个发生；（5）A , B , C 中至少有两个发生；（6）A , B , C 中最多有两个发生．解：（1）ABC ； （2）C B A ； （3）A ∪B ∪C ； （4）C B A C B A C B A C B A U U U ；（5）ABC BC A AB U U U ； （6）ABC ．4． 在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，…．记事件A n =“接到的呼唤次数小于n ”（n = 1, 2, …），试用事件的运算关系表示下列事件：（1）呼唤次数大于2；（2）呼唤次数在5到10次范围内；（3）呼唤次数与8的偏差大于2．解：（1）3A ； （2）A 11 − A 5； （3）116A A U ．5． 证明：（1）Ω=−A B A AB U U )(； （2）AB B A B A B A =))()((U U U ．证：（1）Ω==Ω===−A A B A A AB B A AB U U U U U U U U )()(；（2）U U U U U U A B A B B A B A B A B A ())(())()((==∅AB AB A A B A A B A ===U U U )())(．习题1.21． 设P (A ) = P (B ) = P (C ) = 1/4，P (AB ) = P (BC ) = 0，P (AC ) = 1/8，求A 、B 、C 三个事件至少有一个发生的概率．解：因P (AB ) = P (BC ) = 0，且ABC ⊂ AB ，有P (ABC ) = 0， 则8581414141)()()()()()()()(=−++=+−−−++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U ． 2． 设P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.5，P (A ∪B ) = 0.7，求P (A − B )及P (B − A )．解：因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.4 + 0.5 − 0.7 = 0.2，则P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.4 − 0.2 = 0.2，P (B − A ) = P (B ) − P (AB ) = 0.5 − 0.2 = 0.3．3． 某市有A , B , C 三种报纸发行．已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢读A 报，34%的人喜欢读B 报，20%的人喜欢读C 报，10%的人同时喜欢读A 报和B 报，6%的人同时喜欢读A 报和C 报，4%的人同时喜欢读B 报和C 报，1%的人A , B , C 三种报纸都喜欢读．从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）三种报纸都不喜欢；（3）只喜欢读A 报；（4）只喜欢读一种报纸．解：分别设A , B , C 表示此人喜欢读A , B , C 报，有P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.34，P (C ) = 0.2，P (AB ) = 0.1，P (AC ) = 0.06，P (BC ) = 0.04，P (ABC ) = 0.01，（1）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ) = 0.8；（2）2.0)(1)((=−==C B A P C B A P P U U U U ；（3）3.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P AC P AB P A P B A P B A P C B A P ；（4）因21.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AB P B P P B P B P ，11.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AC P C P BC A P C A P C B A P ， 故62.0)()()()(=++=++C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ．4． 连续抛掷一枚硬币3次，求既有正面又有反面出现的概率．解：样本点总数n = 2 3 = 8，事件A 中样本点数62313=+=C C k A ，则75.043)(===n k A P A ． 5． 在分别写有2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13的8张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率．解：样本点总数2828==C n ，事件A 中样本点数18231315=+=C C C k A ，则6429.0149)(===n k A P A ． 6． 一部5卷文集任意地排列在书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为1, 2, 3, 4, 5顺序的概率等于多少？解：样本点总数12055==A n ，事件A 中样本点数k A = 2，则0167.0601)(===n k A P A ． 7． 10把钥匙中有3把能打开某一门锁，今任取两把，求能打开某该门锁的概率．解：样本点总数45210==C n ，事件A 中样本点数24231317=+=C C C k A ，则5333.0158)(===n k A P A ． 8． 一副扑克牌有52张，进行不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张花色各异；（2）四张中只有两种花色． 解：样本点总数270725452==C n ，（1）事件A 1中样本点数285611131131131131==C C C C k A ，则1055.0208252197)(11===n k A P A ； （2）事件A 2表示两种花色各两张，或者一种1张一种3张，样本点数81120)2(113313213213242=+=C C C C C k A ，则2996.041651248)(22===n k A P A ． 9． 口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率． 解：样本点总数252510==C n ，事件A 分三种情形：①两枚5分，三枚其它，②一枚5分，三枚2分，一枚1分，③一枚5分，两枚2分，两枚1分，样本点数1262523121533123822=++=C C C C C C C C k A ，则5.021)(===n k A P A ． 方法二：10枚硬币总额2角1分，任取5枚若超过1角，那么剩下的5枚将不超过1角，可见事件A 中的样本点与A 中的样本点一一对应，即A k k =，则5.0)()(==A P A P ．10．在10个数字0, 1, 2, …, 9中任取4个（不重复），能排成一个4位偶数的概率是多少（最好是更正为：排在一起，恰好排成一个4位偶数的概率是多少）？解：样本点总数5040410==A n ，事件A 的限制条件是个位是偶数，首位不是0，样本点数2296281814281911=+=A A A A A A k A ，则4556.09041)(===n k A P A ． 11．一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）． 解：样本点总数n = 365 100，A 的对立事件A 表示所有学生生日都不在元旦，100364=A k ， 则2399.036536411(1)(100=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=−=n k A P A P A ．12．在 [0, 1] 区间内任取两个数，求两数乘积小于1/4的概率．解：设所取得两个数为x , y ，Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，}1,10,10|),{(<<<<=y x y x A 有m (Ω) = 1，4034.042ln 23)41ln 4141(1)ln 41(411()(141141=−=−−=−=−=∫x x dx x A m 则5966.042ln 21)()(1(1)(=+=Ω−=−=m A m P A P ． 习题1.31． 一只盒子有3只坏晶体管和7只好晶体管，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，发现第一只是好的，问另一只也是好的概率是多少？解：设A 表示第一只是好的，B 表示第二只是好的，当第一只是好的时，第二次抽取前有3只是坏的，6只是好的，则6667.03296)|(===A B P ． 2． 某商场从生产同类产品的甲、乙两厂分别进货100件、150件，其中：甲厂的100件中有次品4件，乙厂的150件中有次品1件．现从这250件产品中任取一件，从产品标识上看它是甲厂生产的，求它是次品的概率．解：设A 表示甲厂产品，B 表示次品，故04.01004)|(==A B P ． 3． 根据抽样调查资料，2000年某地城市职工家庭和农村居民家庭收入按人均收入划分的户数如下：户数 6000元以下 6000 ~ 12000元 12000元以上 合计城市职工 25 125 50 200 农村居民 120 132 48 300 合计 145 257 98 500 现从被调查的家庭中任选一户，已知其人均收入在6000元以下，试问这是一个城市职工家庭的概率是多少？解：设A 表示人均收入在6000元以下，B 表示城市职工家庭，故1724.014525)|(==A B P ． 4． 某单位有92%的职工订阅报纸，93%的职工订阅杂志，在不订阅报纸的职工中仍有85%的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：（1）该职工至少订阅报纸或杂志中一种；（2）该职工不订阅杂志，但是订阅报纸． 解：设A 表示订阅报纸，B 表示订阅杂志，有P (A ) = 0.92，P (B ) = 0.93，85.0|(=A B P ， 则068.085.008.0)|()()(=×==A B P A P B A P ，862.0068.093.0)()()(=−=−=B A P B P AB P ，（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.92 + 0.93 − 0.068 = 0.988；（2）P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.92 − 0.862 = 0.058．5． 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，各个车间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，各车间产品的次品率分别为5%、4%、2%．（1）求全厂产品的次品率；（2）如果从全厂产品中抽取一件产品，恰好是次品，问这件次品是甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少？解：（1）任取一件产品，设A 1, A 2, A 3分别表示甲、乙、丙车间产品，B 表示次品，则P (B ) = P (A 1) P (B | A 1) + P (A 2) P (B | A 2) + P (A 3) P (B | A 3)= 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0345；（2）3623.069250345.005.025.0)()|()()()()|(1111==×===B P A B P A P B P B A P B A P ， 4058.069280345.004.035.0)()|()()()()|(2222==×===B P A B P A P B P B A P B A P ， 2319.069160345.002.04.0)()|()()()()|(3333==×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 6． 有三个形状相同的罐，在第一罐中有两个白球和一个黑球；在第二个罐中有三个白球和一个黑球；在第三个罐中有两个白球和两个黑球．某人随机地取一罐，再从该罐中任取一球，试问这球是白球的概率有多少？解：设321,,A A A 分别表示第一、二、三罐，B 表示白球， 则6389.03623423143313231)|()()|()()|()()(332211==×+×+×=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P ． 7． 三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器A 生产的占40%，机器B 生产的占25%，机器C 生产的占35%，平均说来，机器A 生产的零件有10%不合格，对于机器B 和C ，相应的百分数分别为5%和1%，如果从总产品中随机地抽取一个零件，发现为不合格，试问：（1）它是由机器A 生产出来的概率是多少？（2）它是由哪一部机器生产的可能性最大？解：设A 1, A 2, A 3分别表示机器A , B , C 生产的零件，D 表示不合格的零件，（1）)|()()|()()|()()|()()()()|(3322111111A D P A P A D P A P A D P A P A D P A P D P D A P D A P ++== 7143.075056.004.001.035.005.025.01.04.01.04.0===×+×+××=； （2）2232.011225056.00125.0056.005.025.0)()()|(22===×==D P D A P D A P ，0625.01127056.00035.0056.001.035.0)()()|(33===×==D P D A P D A P ， 则由机器A 生产的概率最大．8． 设P (A ) > 0，试证：)()(1)|(A P B P A B P −≥． 证：)()(1)()(11)(1)()()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P A P A P B A P B P A P A P AB P A B P −=−−=−+≥−+==U ． 习题1.41． 一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率分别为0.9、0.8、0.7，求在一小时内3台机床中最多有一台需要工人看管的概率．解：设A 1, A 2, A 3分别表示一小时内第一、二、三台机床不需要工人照管，可以认为A 1, A 2, A 3相互独立， 则概率为)()()()()(321321321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A A A A P +++=U U U)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++== 0.9 × 0.8 × 0.7 + 0.9 × 0.8 × 0.3 + 0.9 × 0.2 × 0.7 + 0.1 × 0.8 × 0.7 = 0.902．2． 电路由电池A 与两个并联的电池B 及C 串联而成，设电池A , B ,电路发生断电的概率． 解：设A , B , C 分别表示电池A , B , C 损坏，电路断电为事件A ∪BC ，则概率为P (A ∪BC ) = P (A ) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A ) + P (B ) P (C ) − P (A ) P (B ) P (C ) = 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328．方法二：设A , B , C 分别表示电池A , B , C 正常工作，系统正常工作为事件A (B ∪C ) = AB ∪AC ， 则概率为1 − P (AB ∪AC ) = 1 − P (AB ) − P (AC ) + P (ABC )= 1 − P (A ) P (B ) − P (A ) P (C ) + P (A ) P (B ) P (C )= 1 − 0.7 × 0.8 − 0.7 × 0.8 + 0.7 × 0.8 × 0.8 = 0.328．3． 加工某一零件共需经过四道工序．设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%, 3%, 5%, 3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．解：设A 1, A 2, A 3, A 4分别表示第一、二、三、四道工序加工出合格品，有A 1, A 2, A 3, A 4相互独立，则概率为1 − P (A 1A 2A 3A 4) = 1 − P (A 1) P (A 2) P (A 3) P (A 4) = 1 − 0.98 × 0.97 × 0.95 × 0.97 = 0.1240．4． 抛掷一枚质地不均匀的硬币8次，设正面出现的概率为0.6，求下列事件的概率：（1）正好出现3次正面；（2）至多出现2次正面；（3）至少出现2次正面．解：将每次掷硬币看作一次试验，出现正面A ，反面A ；独立；P (A ) = 0.6．伯努利概型，n = 8，p = 0.6．（1）1239.04.06.0)3(53388=××=C P ； （2）0498.04.06.04.06.04.06.0)2()1()0(622871188008888=××+××+××=++C C C P P P ；（3）9915.04.06.04.06.01)1()0(17118800888=××−××−=−−C C P P ．5． 设每次射击时命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：将每次射击看作一次试验，击中A ，没击中A ；独立；P (A ) = 0.2．伯努利概型，n 次试验，p = 0.2，则9.08.018.02.01)0(100≥−=××−=−n n n n C P ，即0.8 n ≤ 0.1，故32.108.0lg 1.0lg =≥n ，取n = 11．6． 一大批产品的优质品率为60%，从中任取10件，求下列事件的概率：（1）取到的10件产品中恰有5件优质品；（2）取到的10件产品中至少有5件优质品；（3）取到的10件产品中优质品的件数不少于4件且不多于8件．解：将取每件产品看作一次试验，优质品A ，非优质品A ；独立；P (A ) = 0.6．伯努利概型，n = 10，p = 0.6．（1）2007.04.06.0)5(5551010=××=C P ；（2）P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8) + P 10 (9) + P 10 (10)288103771046610555104.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××=C C C C8338.04.06.04.06.0010101019910=××+××+C C ；（3）P 10 (4) + P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8)28810377104661055510644104.06.04.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××+××=C C C C C= 0.8989；7． 证明：若)|()|(B A P B A P =，则事件A 与B 独立． 证：因)(1)()()(1)()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P P B A P B A P B P AB P B A P −−=−−====， 则P (AB )[1 − P (B )] = P (B )[P (A ) − P (AB )]，即P (AB ) − P (AB ) P (B ) = P (B ) P (A ) − P (B ) P (AB )， 故P (AB ) = P (A ) P (B )，A 与B 相互独立．复习题一1． 设P (A ) = 0.5，P (B ) = 0.6，问：（1）什么条件下P (AB )可以取最大值，其值是多少？（2）什么条件下P (AB )可以取得最小值，其值是多少？解：（1）当A ⊂ B 时P (AB ) 最大，P (AB ) = P (A ) = 0.5；（2）当A ∪B = Ω 时P (AB ) 最小，P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.5 + 0.6 − 1 = 0.1．2． 一电梯开始上升时载有5名乘客，且这5人等可能地在8层楼的任何一层出电梯，求：（1）每层至多一人离开的概率；（2）至少有两人在同一层离开的概率；（3）只有一层有两人离开的概率．解：样本点总数是8取5次的可重排列，即n = 8 5 = 32768，（1）事件A 1中样本点数6720581==A k A ，则2051.0512105)(11===nk A P A ； （2）事件A 2是A 1的对立事件，则7949.0512407)(1)(12==−=A P A P ； （3）事件A 3表示有两人在同一层离开，而另外三人分别在3个不同楼层或者都在同一层离开，样本点数17360)(33173725183=+=C A A C A k A ，则5298.020481085)(33===n k A P A ． 3． 从5副不同的手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率．解：样本点总数210410==C n ，A 的对立事件表示4只手套都不配套，801212121245==C C C C C k A ， 则6190.021131(1)(==−=−=n k A P A P A ． 4． 从1, 2, …, n 中任取两数，求所取两数之和为偶数的概率． 解：样本点总数为)1(212−=n n C n ，事件A 表示取得两个偶数或两个奇数，当n 为偶数时，共有2n 个偶数和2n 个奇数， 样本点数)2(41)12(22222−=−=+=n n n n C C k n n A ，则)1(22)(2−−==n n C k A P n A ； 当n 为偶数时，共有21−n 个偶数和21+n 个奇数， 样本点数2221221)1(41212121232121−=−⋅+⋅+−⋅−⋅=+=+−n n n n n C C k n n A ，则n n C k A P nA 21)(2−==． 5． 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以一只吃掉另一只的概率．解：样本点总数4005290==C n ，事件A 中样本点数7652911021019=+=C C C C k A ，则1910.08917)(===n k A P A ． 6． 某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时．设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24}，A = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24, x − y > 2或y − x > 1}，有m (Ω) = 24 2 = 576，5.50622212321)(22=×+×=A m ， 则8793.05765.506)()()(==Ω=m A m A P ． 7． 从区间 [0, 1] 中任取三个数，求三数和不大于1的概率．解：Ω = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1}，A = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1, x + y + z ≤ 1}，有m (Ω) = 1，A 是一个三棱锥，6112131)(=××=A m ，则1667.061)()()(==Ω=m A m A P ． 8． 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率是多少？（假设男人和女人各占人数的一半．）解：设A 1, A 2分别表示男人和女人，B 表示色盲，则9524.021200025.05.005.05.005.05.0)|()()|()()|()()()()|(22111111==×+××=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ． 9． 发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1（例如：分别用低电频和高电频表示）．由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收台不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信号0和1；同样地，当发报台发出信号1时，接收台以概率0.9和0.1收到信号1和0．试求：（1）接收台收到信号0的概率；（2）当接收台收到信号0时，发报台确是发出信号0的概率．解：设A 0, A 1分别表示发出信号0, 1，B 0, B 1表示收到信号0, 1，（1）P (B 0) = P (A 0) P (B 0 | A 0) + P (A 1) P (B 0 | A 1) = 0.7 × 0.8 + 0.3 × 0.1 = 0.59；（2）9492.0595659.08.07.0)()|()()()()|(000000000==×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 10．设A , B 独立，AB ⊂ D ，D B A ⊂，证明P (AD ) ≥ P (A ) P (D )．证：因AB ⊂ D ，有AB ⊂ AD ，则P (AD ) − P(AB ) = P (AD − AB )，B D ΩA因B A ⊂=U ，有D ⊂ A ∪B ，D − B ⊂ A ∪B − B ⊂ A ，则AD − AB = A (D − B ) = D − B ，故P (AD ) − P (AB ) = P (AD − AB ) = P (D − B ) ≥ P (A ) P (D − B ) ≥ P (A ) [P (D ) − P (B )]，由于A , B 独立，有P (AB ) = P (A ) P (B )，故P (AD ) ≥ P (A ) P (D )．11．甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，他们击中目标的概率分别为0.4, 0.5, 0.7．假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率为0.2，若2人击中，飞机坠毁的概率为0.6，而飞机被3人击中时一定坠毁．现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人同时击中的概率．解：结果：设B 表示目标被击毁，原因：设A 0, A 1, A 2, A 3分别表示无人、1人、2人、3人击中目标， 则)|()()|()()|()()|()()|()()()()|(332211003333A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +++==， 且有P (B | A 0) = 0，P (B | A 1) = 0.2，P (B | A 2) = 0.6，P (B | A 3) = 1，又设C 1, C 2, C 3分别表示甲、乙、丙击中目标， 则09.03.05.06.0)()()()()(3213210=××===C P C P C P C C C P A P ，)()(3213213211C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P P P P C P P P P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.36，)()(3213213212C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P C P P C P P C P P C P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.4 × 0.5 × 0.7 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.41，P (A 3) = P (C 1C 2C 3) = P (C 1) P (C 2) P (C 3) = 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14， 故3057.0458.014.0114.06.041.02.036.0009.0114.0)|(3==×+×+×+××=B A P ． 12．已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4人治好则认为这种药有效，反之则认为无效．试求：（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解：将每人服药看作一次试验，痊愈A ，没有痊愈A ；独立；（1）新药有效，痊愈率为0.35，即P (A ) = 0.35，伯努利概型，n = 10，p = 0.35，故概率为P 10 (0) + P 10 (1) + P 10 (2) + P 10 (3) 5138.065.035.065.035.065.035.065.035.0733108221091110100010=××+××+××+××=C C C C ．（2）新药完全无效，痊愈率为0.25，即P (A ) = 0.25，伯努利概型，n = 10，p = 0.25，故所求概率为1 − P 10 (0) − P 10 (1) − P 10 (2) − P 10 (3)2241.075.025.075.025.075.025.075.025.01733108221091110100010=××−××−××−××−=C C C C ．。
概率论第一章课后习题答案
《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：（1）A 发生,B 与C 不发生;（2）A 与B 都发生,而C 不发生;（3）A ,B ,C 都发生;（4）A ,B ,C 都不发生;（5）A ,B ,C 中至少有一个发生;（6）A ,B ,C 中恰有一个发生;（7）A ,B ,C 中至少有两个发生;（8）A ,B ,C 中最多有一个发生.解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ；（8）BC AC AB 或C B C A B A ．5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小的号码为5的概率;（2）求最大的号码为5的概率.解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得（1）121)(31025==C C A P ； （2）201)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;（2）任取3件产品没有废品的概率;（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得（1）0855.0)(32002194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(320031940≈=C C A P ； （3）0023.0)(32003611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：A 表示“这三个数字中不含0和5”； B 表示“这三个数字中包含0或5”； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；307)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-==3.0)4.06.05.0(1=-+-=10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()()()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为319.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解：设事件A 分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B 分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为（1）103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P （2）53314354415451)|(=⨯⨯+⨯+=B A P 13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率． 解：设事件i A 表示“第i 次取得次品”（4,3,2,1=i ），则所求的概率为 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =201768792103=⨯⨯⨯= 14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取 一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．解：设事件321,,A A A 分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B 表示“产品是正品”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且2.0102)(,3.0103)(,5.0105)(321======A P A P A P 7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321=-==-==-=A B P A B P A B P 由全概率公式得83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.（1）求飞机坠毁的概率;（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解：设事件i A 表示“飞机被击中i 弹而坠毁”)3,2,1(=i ，事件B 表示“飞机坠毁”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131======C A P C A P C A P 1)|(,5.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P（1）由全概率公式得0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P（2）由贝叶斯公式得407.00944.01.0384.0)|()()|()()|(31111≈⨯==∑=i ii A B P A P A B P A P B A P 16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率. 解：设事件i A 表示“从甲袋取出的2个球中有i 个白球”)2,1,0(=i ，事件B 表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且29254)(C C C A P i i i -=，115)|(i A B P i +=，)2,1,0(=i ，由全概率公式得 5354.09953115)|()()(202925420==+⋅==∑∑=-=i i i i i i i C C C A B P A P B P 17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解：设事件A 表示“此人是男性”，事件B 表示“此人是色盲患者”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且5.0)()(==A P A P ，%25.0)|(%,5)|(==A B P A B P由贝叶斯公式得9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)|()()|()()|()()|(≈=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解：设事件A 表示“该机器正常”，事件B 表示“产品是合格品”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(===-==A B P A B P A P A P A P由贝叶斯公式得984.0%30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,41,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件C B A ,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件C B A ,,相互独立，且41)(,31)(,51)(===C P B P A P ，则所求的概率为 53)411)(311)(511(1)()()(1)(=----=-=C P B P A P C B A P 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件i A 表示“第i 道工序加工出次品”)4,3,2,1(=i ，显然事件4321,,,A A A A 相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321====A P A P A P A P ，则所求的概率为)()()()(1)(43214321A P A P A P A P A A A A P -=124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(1=-----=21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.（1）求至少有一个蓝球的概率;（2）求有一个蓝球一个白球的概率;（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件21,A A 表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,B B 表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件i A 与j B 相互独立)2,1;2,1(==j i ，且94)(,92)(,72)(,73)(2121====B P B P A P A P ，则所求的概率为 （1）95)921)(731(1)()(1)(1111=---=-=+B P A P B A P ； （2）631692729473)()()()()(12211221=⨯+⨯=+=+B P A P B P A P B A B A P ； （3）)()])([()](|)[(11111221111221B A P B A B A B A P B A B A B A P +++=++ 3516956316)()(111221==++=B A P B A B A P 22．设一系统由三个元件联结而成（如图51-）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p (10<<p ).求系统能正常工作的概率.图51- 解：设事件i A 表示“第i 个元件正常工作”)3,2,1(=i ，事件B 表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,A A A 相互独立，且p A P i =)(，则所求的概率为 )()()()(])[()(32132313231321A A A P A A P A A P A A A A P A A A P B P -+=== 3232132312)()()()()()()(p p A P A P A P A P A P A P A P -=-+=24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.解：设事件A 表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5===A P A P n ，由二项概率公式有（1）2048.0%)80(%)20()2(32255==C P（2）942.0%)80(%)20()(2055205==∑∑=-=k k k k k C k P。
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概论论与数理统计 习题参考解答 习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数nN C m =, 有利于事件A k 的基本事件数kn N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,因此, n k C C C m m A P nNkn N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则 P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有 P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3, 则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有 P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ). 解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有 P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10, 而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=C B A P C B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格, A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(3=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=⨯+⨯=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有 P (C )=1/3, P (C )=2/3, P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4, 根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(=⨯+⨯=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ), 得P (A )=1/3, P (A )=2/3. 设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大. 29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。