高三一轮复习一元二次不等式及其解法

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温馨提醒：二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次 项 是 否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便 确 定
解集的形式．
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第六章
不等式、推理与证明
1 x 1． (2013· 高考湖北卷)已知全集为 R，集合 A＝x| ≤1， 2
B＝ {x|x2－6x＋8≤0}，则 A∩∁ RB＝ ( C ) A． {x|x≤0} C． {x|0≤x<2 或 x>4} B．{x|2≤x≤4} D． {x|0<x≤2 或 x≥4}
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第六章
不等式、推理与证明
1．解下列不等式： (1)8x－ 1≤16x2； (2)x2－2ax－3a2＜0(a＜0)．
【解】 (1)原不等式转化为 16x2－8x＋ 1≥0， 即 (4x－ 1)2≥0，∴x∈ R， 故原不等式的解集为 R. (2)原不等式转化为 (x＋a)(x－ 3a)＜0. ∵ a＜ 0，∴ 3a＜－ a， ∴原不等式的解集为{x|3a＜ x＜－a}．
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第六章
不等式、推理与证明
2．对任意 a∈[－ 1， 1]，函数 f(x)＝x2＋ (a－ 4)x＋ 4－ 2a 的 值恒大于零，求 x 的取值范围．
【解】由 f(x)＝ x2＋ (a－4)x＋4－2a ＝ (x－2)a＋ x2－4x＋ 4， 令 g(a)＝ (x－ 2)a＋ x2－4x＋ 4. 由题意，在 [－ 1， 1]上， g(a)的值恒大于零， （－ 1）＋x2－ 4x＋4>0， g（－ 1）＝（x－ 2） × ∴ 2 g （ 1 ）＝（ x － 2 ）＋ x －4x＋ 4>0， 解得 x<1 或 x>3. 故 x 的取值范围是 (－ ∞， 1)∪(3，＋∞)．

2<x<3}．
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不等式、推理与证明
2．(2014· 辽宁抚顺市高三模拟 )设 0<b<1＋ a，若关于 x 的不 等式(x－ b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个，则 ( C ) A．－ 1<a<0 C． 1<a<3 B．0<a<1 D． 3<a<6
【解析】 据题意可得(x－b)2>(ax)2⇔(1－a2)x2－ 2bx＋ b2>0⇔[(1－a)x－b]· [(1＋ a)x－b]>0，因为解集中的整数恰有 3 个，显然 1－a<0，又有 1＋ a>0，即[(a－1)x＋b][(1＋ a)x － b]<0. b b 由 1－ a<0，得 a>1，∴解集为 <x< . 1－a 1＋a
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不等式、推理与证明
[解析 ]
由条件知 x1， x2 为方程 x2－2ax－8a2＝ 0 的两根，
则 x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故 (x2－x1)2＝ (x1＋x2)2－4x1x2 5 ＝ (2a) －4×(－8a )＝36a ＝15 ，得 a＝ . 2
2 2 2 2
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第六章
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不等式、推理与证明
一元二次不等式的应用
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元 辆，出厂价为 12 万元 辆，年销售量为 10 000 辆．本年度 为适应市场需求， 计划提高产品质量， 适度增加投入成本． 若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1)， 则出厂价相应地提 高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已 知年利润＝ (出厂价－投入成本 )× 年销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关 系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加， 则投入成本增加 的比例 x 应在什么范围内？
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不等式、推理与证明
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2 －4ac 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图 象
有两相等实根 一元二次方程 有两相异实根 ax2＋bx＋c 没有实数根 b x ，x2(x1＜x2) x ＝x ＝－ 1 2 ＝0(a>0)的根 1 2a
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不等式、推理与证明
4．若不等式x2－x≤0的解集为M，函 数f(x) ＝ln(1－|x|) 的
[0，1) 定义域为N，则M∩N为_______________ ． 5．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 范围是_____________________________ ．
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不等式、推理与证明
【解】由题意列出不等式， 对甲车型：0.1x＋0.01x2＞ 12， 解得 x＞30(x＜－40 舍去)； 对乙车型：0.05x＋ 0.005x2＞10， 解得 x＞40(x＜－50 舍去)， 从而 x 甲＞ 30 km/h， x 乙＞ 40 km/h， 经比较知乙车超过限速，在此事故中应负主要责任．
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不等式、推理与证明
一元二次不等式恒成立问题
(2013· 高考重庆卷)设 0≤α≤π，不等式 8x2－ (8sin α)x ＋ cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立 ,则 α 的取值范围为
0，π ∪5π，π 6 6 ____________________.
[课堂笔记]
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不等式、推理与证明
【解析】由题意，要使 8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0 对 x∈ R 恒 1 成立，需 Δ＝ 64sin α － 32cos 2α≤0 ，化简得 cos 2α≥ ∴ 0≤2α≤ 或 ≤2α≤2π，解得 0≤α≤ 或 ≤α≤π. 3 3 6 6
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不等式、推理与证明
已知不等式的解集求参数
(2013· 高 考 重 庆 卷 ) 关 于 x 的 不 等 式 x2 － 2ax － 8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且 x2－ x1＝15，则 a＝( A ) 5 7 A. B. 2 2 15 C. 4 15 D. 2
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不等式、推理与证明
(1)解一元二次不等式的一般步骤： ①对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2 ＋ bx＋ c>0(a>0)， ax2＋ bx＋ c<0(a>0)； ②计算相应的判别式； ③当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次， 一般按下面次序进行讨论： 首先根据二次项系数的符号进行 分类，其次根据根是否存在，即 Δ 的符号进行分类，最后在 根存在时，根据根的大小进行分类．
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
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不等式、推理与证明
判别式Δ＝b2 －4ac ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解 集 ax2＋bx＋c＜ 0(a＞0)的解集
Δ>0
Δ＝0
b {x|x≠－ } ________ 2a
Δ<0
{x|x>x2或x<x1}
R ________
{ x|x1＜x＜x2} ___________
[课堂笔记]
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不等式、推理与证明
【解】 (1)由题意得 y＝ [12(1＋0.75x)－10(1＋ x)]× 10 000(1＋ 0.6x)(0<x<1) ， 整 理 得 y ＝ － 6 000x2 ＋ 2 000x ＋ 20 000(0<x<1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， y－（ 12－ 10） ×10 000>0， 必须有 0<x<1， 2 － 6 000x ＋ 2 000x>0， 1 即 解得 0<x< ， 3 0<x<1， 1 所以投入成本增加的比例应在 0，3 范围内．
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不等式、推理与证明
一元二次不等式的解法 解不列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)12x2－ax>a2(a≠0)． [课堂笔记]
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不等式、推理与证明
【解】 (1)原不等式可化为 3x2＋ 2x－8≤0，∵ Δ＝ 100>0， 4 2 ∴方程 3x ＋ 2x－8＝ 0 的两根为－2， ， 3 结合二次函数 y＝3x2＋2x－8 的图象可知原不等式的解集为 4 {x|－ 2≤x≤ }． 3 (2)∵ 12x2－ ax>a2， ∴ 12x2－ ax－ a2>0，即(4x＋a)(3x－ a)>0. a a 令 (4x＋ a)(3x－a)＝ 0，得 x1＝－ ， x2＝ . 4 3
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不等式、推理与证明
第2课时 一元二次不等式及其解法
第六章
不等式、推理与证明
1．一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集是什么？
提示：一元一次不等式 ax＞b(a≠0)的解集为:(1)当 a＞ 0 时 , b b 解集为{x|x＞ }． (2)当 a＜ 0 时，解集为 {x|x＜ } a a
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第六章
不等式、推理与证明
(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数 .一般地 , 已知谁的范围 ,就选谁为主元 ,求谁的范围 ,谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题， 恒大于 0 就是相应的二次函 数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方； 恒小于 0 就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方． (3)一元二次不等式恒成立的条件： ① ax2＋ bx＋ c>0(a≠0)恒成立的充要条件是： a>0 且 b2－ 4ac<0(x∈ R)． ② ax2＋ bx＋ c<0(a≠0)恒成立的充要条件是： a<0 且 b2－ 4ac<0(x∈ R)．