人教版高中数学选修4-1 4-1几何证明 第一章 相似三角形的判定及有关性质 第一节平行线等分线段定理
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-1第一讲-相似三角形的判定及有关性质
∴AD∥EF∥BC.
∵AE＝BE，∴DF＝CF. ∴F是DC的中点． ∵BC⊥DC，∴EF⊥DC. ∴EF是线段DC的垂直平分线． ∴EC＝ED.
3．等分已知线段 利用平行线等分线段定理可以把已知线段AB任意n等分， 其步骤如下： (1)过已知线段AB的一个端点A作射线AC； (2)在射线AC上，以适当的长度依次截取AA1＝A1A2＝A2A3 ＝„＝An－1An(其中n为题中要求AB的n等分)；
(3)连接AnB； (4)分别过点A1，A2，„，An－1作AnB的平行线，交AB于 B1，B2，„，Bn－1，则B1，B2，„，Bn－1为线段AB的n等分点．
答案 (1)C (2)相等
【例2】 已知：如图，AD是三角形ABC的中线，E为AD 1 的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝ AC. 3
【分析】
可利用平行线等分线段定理的推论1，添加过
三角形一边中点且平行于第三边的直线，确定F为AC的一个三 等分点．
【证明】
过D作DH∥BF交AC于H点，
2．对两个推论的理解 (1)推论1，如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥ BC，交AC于E，过A作BC的平行线a，则a∥BC∥DE，由AD＝ DB知，AE＝EC，即E为AC的中点．
(2)推论2，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中 点，即AE＝EB，EF∥BC交CD于F，则由AD∥EF∥BC，AE＝ EB知，DF＝FC.即F为CD的中点．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
一
平行线等分线段定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.探索并理解平行线等分线段定理的证明过程． 2．能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2. 3．能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问 题． 4．会用尺规作图法等分一条已知线段.
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测(A)新人教A版选修4-1(2021学年)
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测（Ａ）新人教A版选修4－１编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测（A）新人教Ａ版选修4－1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测(时间：９0分钟,满分:１00分)一、选择题(本大题共1０小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图,已知AA ′∥B Ｂ′∥ＣC ′，AB ∶ＢC ＝1∶3，那么下列等式成立的是（ )A.AB ＝２A ′Ｂ′ Ｂ.3A ′B ′=B ′C ′ Ｃ．BC ＝Ｂ′C ′ D.AB =A ′Ｂ′2．如图,已知45AD DB =，D Ｅ∥BC ,若DE =3,则B Ｃ等于( ）A.125 B.154 C.184 D.274３.如图，A ，Ｂ,Ｃ,Ｄ把OE 五等分,且AA ′∥ＢB ′∥CC ′∥DD ′∥ＥE ′,如果ＯE ′=20cm,那么B ′Ｄ′等于（ ）A.１2 cm B ．10 ｃm Ｃ.６ cm D.8 cm４．如果两条直角边在斜边上的射影分别是４和16,则此直角三角形的面积是( ) Ａ.８0 B.７0 Ｃ．６4 Ｄ．３25.如图,△ＡBC 中，DE ∥BC ,D Ｅ分别交A Ｂ，ＡＣ于D ,E 两点，S △AD Ｅ=2S △DC Ｅ,则ADE ABCSS ∆∆=( )Ａ.14 B ．12C.23D.496．如图,在△ABC 中,A Ｂ=A Ｃ，点D 在AB 上,点Ｅ在A Ｃ的延长线上,B Ｄ＝３ＣE ，DE 交BC 于F ，则D Ｆ∶FE 等于（ ）A ．5∶2 Ｂ．2∶１ Ｃ．3∶1 D ．4∶17.如图所示,在Rt△AB Ｃ中，∠ＡCB ＝90°，ＣD ⊥ＡB 于点D ,Ｅ是AC 上一点,CF ⊥ＢE 于点F ，则下列与△BFD 相似的三角形是( ）A.△ABC B ．△ＢEC C ．△ＢAE D ．△B ＣF８．如图所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 ｍ,当短臂端点下降０。
相似三角形的判定及性质(选修4-1)
例 如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB. 求证: △DBE∽△ABC. 分析: 好容易得出∠ABC=∠DBE 只需要再证明 BE BC BE BD BD AB 即证
BC AB
A
D B E C
只要证明△ABD∽△CBE
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、 CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC 证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
请大家阅读课本P10-P12的内容，回答下面几个 问题： 1， 如何判定相似三角形？ 2，相似在三角形有什么特点？
例 如图,在△ABC, AB=AC, D是AC边上一点, BD=BC. 求证: BC2=ACCD A 分析: 遇到线段的比例问题可以 考虑三角形的相似 D 证明: ∵△ABC是等腰三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的两 个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似。 判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形 相似。
判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的 两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相 似。
自主学习：
时间：3分钟
当堂检测：
课本P19，习题：T1.
课后作业： 课本P19，习题：T2，T5.
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
1．相似三角形的证法： ①定义法：对应边成比例，对应角相等； ②平行法；③判定定理法：用得最多的是判定 定理1，即两角对应相等的两个三角形相似； ④对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法， 两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条 直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似； 斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似．
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质习题课课件 新人教A版选修4-1
可得 DM∶FC＝1∶2，DM∶AF＝ED∶AE，
∴AF∶FC＝12·EADE.
栏 目
链
即当 E 为 AD 上任意一点时，上述结论仍成立．
接
点评：证“比例线段问题”，通常先作平行线构造基本图形，再由 定理“平行于三角形一边且与另两边(或延长线)相交构成的三角形 三边与原三角形三边对应成比例”来找出比例式，有时要利用中间 比来建立要求证的比例式之间的联系．
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(1) 证明：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M.
∵AD 是△ABC 的中线， ∴DM∶FC＝BD∶BC＝1∶2， ∴DM＝12FC. 又∵DM∶AF＝ED∶AE＝1， ∴AF∶FC＝1∶2，即AFFC＝12.
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栏 目 链 接
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（2）解析：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M，
目 链 接
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
点评：相似三角形的几个判定定理可能要同时用到，先证
两个三角形相似，以此作铺垫，再证另两个三角形相似．
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5．如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线 交AB的延长线于点E.求证：ED2＝EB·EA.
栏 目 链 接
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11
证明：连接 EC，∵EF 为 CD 的中垂线， ∴EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD. 又∵∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB， CD 为∠ACB 的平分线，则∠ACD＝∠DCB， ∴∠A＝∠ECB.又∠CEA 为公共角， ∴△ECB∽△EAC.∴EEBC＝EECA. ∴EC2＝EA·EB.又∵EC＝ED， ∴ED2＝EA·EB.
栏 目 链 接
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-2第一讲-相似三角形的判定及有关性质
变式2
如图所示，DE∥BC，EF∥DC.
求证：AD2＝AF· AB.
证明
在△ABC中，DE∥BC，
AD AE ∴ ＝ . AB AC AF AE AD AF 在△ADC中，EF∥DC，∴ ＝ ，∴ ＝ . AD AC AB AD ∴AD2＝AF· AB.
【例3】
如下图，平面α∥β∥γ，l1，l2是异面直线，l1交
思考探究3
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交
的直线，所截得的三角形与原三角形三边是否对应成比例？ 提示 截得的三角形与原三角形三边对应成比例.
名师点拨 1.平行线分线段成比例定理
(1)用数学符号语言表达 直线l1∥l2∥l3，直线l交l1，l2，l3于A，B，C，l′交l1， AB DE l2，l3于D，E，F，则BC＝ EF . AB AB (2)教材中就 为有理数时给出了证明，实际上当 为无 BC BC 理数时定理也成立． (3)定理的条件是一组平行线(至少三条)，且至少有两条直 线和这组平行线相交．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
二
平行线分线段成比例定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.探索和理解平行线分线段成比例定理的证明过程． 2．理解定理的推论． 3．能应用定理及推论解决相关的几何计算问题和证明问 题． 4．感知平行线分线段成比例定理向空间的推广，探索并 证明空间形式的“平行面分线段成比例定理”.
课前预习 1.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应__________． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所 得的__________.
答 案
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
������△������������������ ������△������������������
=
������������ ������������
=
������������������������22.
12
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
又∵AC=3,AD=2,
∴AB=
������������2 ������������
=
92.
答案:
9 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理 可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2-1】 如图,已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D, 且CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第1讲 平行截割定理与相似三角形
第1讲平行截割定理与相似三角形【高考会这样考】考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．【复习指导】复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.基础梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a．两角对应相等的两个三角形相似．b ．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c ．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．双基自测1．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案 322．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________． 解析 ∵M 、N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝MN 2AC 2＝14.答案 1∶44．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF .∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝23.∴AC ∶AE ＝3∶2.同理DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝32. ∴AD AB ＝23，即AD AB －AD ＝23－2＝2.即ADBD ＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 答案 3∶2 2∶15．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 答案 a 2考向一 平行截割定理的应用【例1】►(2011·广州测试(二))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________． [审题视点] 把梯形的两腰BA 、CD 分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解．解析 如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. 答案 237在解题时要注意添加辅助线．【训练1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎨⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3，又AD AB ＝23，∴AB ＝92. 答案 92考向二 相似三角形的判定和性质的应用【例2】►已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足． 求证：BC 2＝2CD ·AC .[审题视点] 作AE ⊥BC ，证明△AEC 和△BDC 相似即可．证明 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， ∴CE ＝BE ＝12BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC . 又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC . ∴EC DC ＝ACBC ，∴12BC CD ＝AC BC ， 即BC 2＝2CD ·AC.判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到． 【训练2】 (2011·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6BC ，所以BC ＝10.又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4. 答案 4考向三直角三角形射影定理的应用【例3】►已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.[审题视点] △ACB为直角三角形，可直接利用射影定理求解．解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案9注意射影定理的应用条件．【训练3】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD 与△CBD的相似比为________．解析如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为ADCD＝2x6x＝63.即相似比为6∶3.答案6∶3高考中几何证明选讲问题(一)从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．【示例1】►(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.【示例2】►(2011·广东)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．。
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人教版高中数学选修四目录相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。
人教版高中数学选修目录人教版数学选修4-1第一讲、相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲、直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲、圆锥曲线性质的探讨一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线人教版选修4-4目录第一讲、坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲、参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高中数学选修4-5目录第一讲、不等式和绝对值不等式一、不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲、讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲、柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲、数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式必修、选修什么意思人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修，不分文理，将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。
1-1，1-2是选修一系列，文科生必学内容，高考的必考内容。
另外还有两个系列的选修课，理科生必修，高考必修。
考三四系列是选修系列，要根据各省情况选择学习。
高考的时候，你选的每一本书都会有一个问题，你可以从中选择一本。
必修系列和选修系列的区别在于，只有学业水平考试是必修的，而高考是全部。
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平行线等分线段定理及两个推论.
难点
灵活应用定理和推论解决相关几何问题.
研讨
A1 A2 A3
l
B1 l 1 B2 l2 B3
l’
l1//l2//l3, l//l A1A2=A2A3
思考…
l3
B1B2 = B2B3
研讨
A1 A2 A3
l
l’
B1 l 1 B2 l B3
2
l1//l2//l3, l,l不平行 A1A2=A2A3
A D F
E
E′
∴DE//BC且DE=1/2BC.
B
C
5.如图：有块直角三角形菜地,分配给张,王,李 三家农民耕种,已知张,王,李三家人口分别为2人,4 人,6人,菜地分配方法按人口比例,并要求每户土地均 有一部分紧靠水渠AB,P处是三家合用的肥料仓库, P 所以点P必须是三家地的交界地 要求：用尺规在图中作出
1
分析
A2 A3
“角角边”
C2
B1 l 1 B2 l B3
2
C3
l3
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3 B1B2=B2B3
知识要 点 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的 线段相等,那么在其他直线上截得的线段也 相等.
小练习
已知：ΔABC,D是AB的中点，DE//BC 求证: AE=EC 证明： 因为AD=BD,DE//BC 根据平行线等分线段定理，得： AE=EC. A
A D
C
又∵在梯形ABCD中，MD=MC
E
B
∴AE=EB
易证ME是AB的垂直平分线， ∴AM=BM
4.利用平行线等分线段定理，证明三角形中位线定理. D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点.
1 求证:DE//BC且 DE BC . 2
作DE//BC 作DF//AC
E与E重合 BF=FC =DE
C D N
C
A B
D E
l1
l2 F l 3
2.已知：线段AB, 求作：线段AB的五等分点.
Ｃ
H
问题１： 求作一点Ｐ把线段AB分 成２：３？ 问题２： 如果把△ABC的面积分 成２：３？
G F
M
D
E
Ａ
N
I
P
J
K
L
Ｂ
Ｃ
3.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90°M是CD的中点. M 求证：AM=BM 证明：过M点作ME∥AD交AB于点E
l3
B1B2 = B2B3
思考
已知：直线l1∥l2∥l3,l∥l’,A1A2=A2A3 求证:B1B2=B2B3
分析
A1 A2 A3
l
B1 l 1 B2 l2 B3
l3
l’
A1A2B2B1
A1A2=B1B2
A2A3B3B2
A2A3=B2B3 A1A2=A2A3
B1B2=B2B3
已知：直线l1∥l2∥l3,l,l’不平行,A1A2=A2A3 l’ l 求证:B1B2=B2B3 A
知识要 点
平行线等分线段定理
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底
边平行的直线必平分另一腰.
体会
定理
推论
小练习
如图△ABC中点D、E三等分AB， DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点F、G，则 AF,FG,GC的关系.
A
根据平行线等分线段定理，得： AF=FG=GC.
D E B
F G C
课堂小结
张 E王 李 F
各家菜地的分界线.A
B
Ｃ
习题1.1（第5页） 1.设AB的长为6厘米.
习题答案
H G D
K
E
F
(1) 过点A作射线AC；
Ａ
D’ E’ F’ 上以适当的长度顺序截取 AD=DE=EF=FG=GH=HK=KM; (3) 过D、E、F、G、H、K作BM的平行线，分别 交AB于点D’、E’、F’、G’、H’、K’.则D’、E’、 F’、G’、H’、K’即为线段AB的七等分点.
新课导入
回顾旧知
平行线的性质和判定定理 还记得吗？
性质:
两直线平行,同位角相等;
两直线平行,内错角相等; 两直线平行,同旁内角互补.
判定:
同位角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行; 同旁内角互补,两直线平行.
探究
一组平行线被两线所截，会有什么性质呢？
思考
教学目标
知识与能力
1．掌握平行线等分线段定理以及2个推论. 2．能运用定理和推论解决相关几何问题.
2.猜想:BE=EF=FD. 证明如图，因为M是AB的中点，N是DC的 中点，四边形AB-CD是平行四边形， 所以AM//CN,且AM=CN. 所以四边形ANCN是平行四边形. 所以MC//AN. 即：ME平分BF，即BE=EF. 同理可证：FD=EF. 所以：BE=EF=FD.
3. 如图，因为E,F分别是梯形ABCD中AB、 DC边上的中点，所以EF//AD,EF//BC. 所以G、H分别是梯形对角线BD、AC的中点. 所以，EG=1/2AD,FH=1/2AD,EH=1/2BC,FG=1/2BC.
（1）把线段n等分.
（2）证明在同一直线上的线段相等.
A E B B
A
？
F ？
E
D ？
F ？ C
C
B
随堂练习
1.判断题 （1）如图四边形ABCD中，点M、N分别 A 在AB、CD上若AM=BM、DN=CN 则 M AD∥MN∥BC ( ) B （2）一组平行线，任意相邻的两平行线 间的距离都相等，则这组平行线能等分 线段 ( ) （3）如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么 AB=BC=DE=EF ( )
D
B
E
C
能推出 什么结论？
思 考
知识要 点
平行线等分线段定理
推论1：经过三角形一边的中点与另一边 平行的直线必平分第三边.
小练习
已知：梯形ABCD,E是AB的中点， 求证:CF=DF. 证明： 因为AE=BE,AC//BD
A
E
C F
D
根据平行线等分线段定理，得： CF=DF.
B
同样能推 出什么结论？
过程与方法
1．通过初中学习平行线的性质和判定定理，
进一步学习一组平行线等分线段定理以及两个推论.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过平行线等分线段定理证明，体会数
学证明的必要性.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
1、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
很重要！
2、平行线等分线段定理的推论
推论1：经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三边.
理解！
推论2：经过梯形一腰的中点，且与 底边平行的直线必平分另一腰.
3、平行线等分线段定理和推论的应用