选修4-5《不等式选讲》教学要求解读
高中数学 ： 选修4-5 不等式选讲
解析 原不等式等价于
x 1,
1
(x 1) (2x 2) 17
或
1 x 1, (x 1) (2x 2) 1
或
x 1, (x 1) (x 2) 1,
解得x≥2或x≤-1.
5
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥2}.
考法2 与绝对值有关的恒成立、存在性等求参数范 围的问题
4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________．
4-5 不等式选讲
1
聚焦核心素养
理科数学选修4-5：不 等式选讲
1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,选修4-5是
高考题中的选做部分,主要考查绝对值不等式的求解、
恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答
题的形式呈现,难度中等,分值10分.
2.学科核心素养 本章通过绝对值不等式的解法和不等 式的证明考查考生的数学运算素养,以及对分类讨论思 想和数形结合思想的应用.
上述定理还可以推广到以下两个不等式:
(1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;
(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
__{x_|_－__a_＜__x_＜_a__} _
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(x
2)
5
x 1, (x 1) (2x 2) 7
选修4-5_不等式选讲(教材解读与教学建议)
• 一、本章的地位和作用 • 二、考纲和课程标准解读 • 三、教材分析 • 四、教学建议
9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
10．完成一个学习总结报告.
课
具体内容
要求
说明
标
不等式的基本性质
理解 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等
不
式，掌握二元和三元 平均不等式证明和应
等
基本不等式
掌握 用，理解二元和三元 平均不等式几何背
式
景，理解这些不等式的实质。会求一些特
明
本、最重要的方法。它所依据是实数大小的基本事实，
不 等
综合法与分 析法
掌握
证明不等式时关键有较强的恒等变换技巧。比较法两种 中差值法是最基本而重要的一种方法。综合法是由因导
式
果，而分析法是执果索因，命题时总是交替出现。直接
的 基 反证法
由条件推结论困难时用反证法。放缩法证明题时，把握 理解 好放缩的度。证明不等式是一定注意“逻辑方法”、“思
不 不等 解 证明思路，对具有明确大小顺序、数目相同的两列数，考虑它
等式
们对应乘积之和的大小关系时，排序不等式是很有用的工具。
式
课 标
具体内容
要 求
说明
了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用
数 学
了
数学归纳法 解 数学归纳法证明一些简单问题。
高中数学：不等式选讲教案北师大版选修4-5
选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
高中数学选修4_5_不等式选讲全章教案p
不等式选讲1课 题： 第01课时 不等式的基本性质一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a mb ++，只要证m a m b ++>a b即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考一 《不等式选讲》概观
即11,a =125(1)816n n n a a n a ++=≥+，从而系数矩阵25816A=的特征方程为250816λλ=，即(2)(16)8(5)λλ×21872(6)(12)0λλλλ=+==，所以矩阵A 的特征值为126,12λλ==，取2154,48bd P a c λλ==则160012P A P =，于是，112546054048012480nn nnA λλ==-1PP 5484601484524012n n=11111111106812561012.861612462012n n n n nnn n×××+×=×××+×所以1111111(106812)561012(861612)462012n n n n n a a a +×××+×=×××+×111111156212522524641244242n n nnn n nn+×+×+×+===×+×+×+，故15242n n na +=+．再由1/(1/2)(1)n n b a n =≥，可推出数列{}n b 的通项公式：2/34/3(1)n n b n =+≥．其它略．评注虽然可以通过构造等比数列或利用特征方程等方法求递归数列1n n n ax bx cx d ++=+的通项公式，但本题的解法给出了求一类分式递归数列1n n n ax bx cx d++=+的通项公式的一般规律，且计算简便，很有意义．例5(2007年高考全国卷Ⅰ理科第22题)已知数列{}n a 中,12a =,1(21)(2)n n a a +=+,1,2,3,n =(I)求{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 中，12b =，13423n n n b b b ++=+，1,2,3,n =，证明：432n n b a <≤，1,2,3,n =.解析(I)略．(II)可以通过推论，模仿例4，计算出数列{}n b 的通项公式，21212121(21)(21)2(21)(21)n nn n nb ++=+．而后运用放缩法证明不等式432n nb a <≤成立．高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(一)《不等式选讲》概观杨恩彬1，2柯跃海11福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)2福建省宁德第一中学(352100)在客观世界中，不等式具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具．在中学数学，不等式是非常重要的内容，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用，在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的基础和工具．对于这部分内容，在以往的教材中已经大量涉及并被广大教师所熟悉．而作为选学内容，《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课标》)与《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称《大纲》)相比，在教学内容和教学要求上都有很大的变化．本专题的知识网络不等式选讲证明不等式的基本方法绝对值不等式均值不等式三个重要的不等式比较法综合法与分析法数学归纳法反证法放缩法柯西不等式排序不等式贝努利不等式不等式的应用2《课标》与《大纲》中教学内容的变化比较在《大纲》中，只涉及到不等式的基本性质，二次不等式、分式不等式以及含有绝对值不等式的1简单不等式的解法；平均值不等式只研究两个正数的情况，不等式的证明要求只掌握分析法、综合法、比较法．在《课标》中除以上内容外，增加了柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，平均值不等式推广到了三个正数及以上的情况，不等式的证明增加了放缩法、反证法和数学归纳法．3《课标》与《大纲》中教学要求的变化3.1更注重引导学生学习方式的改变和教师教学方式的改进本专题重视引导学生提出问题，设置了许多探究、思考栏目，鼓励学生主动探究，让学生在自主探索、动手实践中体验数学发现和创造的历程；引导学生通过类比提出问题（如二维向三维以至于多维的推广），并寻找解决方法，对数学结论进行特殊化、或作一般化推广．因此教师在教学过程中，应当致力改变教学方法，充分利用课材所设置的探究、思考栏目营造有利于学生自主探索的课堂氛围，鼓励学生主动的学习；同时应尽量避免对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，以免陷入过于形式化和复杂化的技巧之中，而冲淡对数学本质的理解．3.2更重视展现不等式的几何背景，力求让学生对重要不等式有直观理解本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，使学生直观地，从而也是直接地理解不等式．本专题中的重要不等式都有明显的几何背景，教材注意呈现不等式的几何背景，帮助学生理解不等式的几何本质，了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景．如对于222a b a b+≥是借助于面积关系，绝对值三角不等式是借助于向量的加法和三角形的三边关系，绝对值不等式是利用绝对值的几何意义，柯西不等式是借助于向量运算及三角形中的三边关系，通过两点间的距离公式以及三角形的边长关系发现二维形式的三角不等式，排序不等式是借助于三角形的面积大小比较．这样，逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题，找到解决问题的途径．总之，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力．3.3更重视数学思想方法的教学本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体现的转化思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法和数学归纳法，在证明柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，教材都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问题加以理解和体会．3.4更注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力在实际生活、工作中的节约能源，降低成本，提高效率，加快速度等问题实际上是重要不等式的应用。
人教A版高中数学选修4—5《不等式选讲》简析
发 讨论 不等 式 的基 本性质 ，介绍 了基 本 不等 式及其 几何 解 释 ； 后讨论 绝对值 不等 式 的性质 、 然 几何 意义 及解 法。
析 问 题 、 解 决 问题 的 能 力 等 做 为 本 专 题 的基 本 目标 。 围绕 这一 目标 ，在 本 专 题 的 编 写 中 ，编 者着 重 考 虑 了
题 的能 力 。
一
教 科 书 将 其 做 为 重 点 内 容 进 行 了 介绍 。 用 反证 法 和 放
缩 法证 明 不等 式 是 新 引 入 的 内容 。 第 三 讲 介 绍 了柯 西 不 等 式 、 排序 不等 式 以及 它们 的简 单 应 用 。 教 科 书 按 照 二 维 形 式 的柯 西 不等 式 — — 几 何 解 释 — — 向 量 形 式 的 柯 西 不 等 式 — — 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 的 顺 序 展 开 教学 内容 ， 注 意 与 二 次 函 数 、 并 函数 极值 、 归思 想 等 建 立 紧 密 联 系 ； 讨 论 排 序 不 等 化 在 式 时 ， “ 究— — 猜 想— — 证 明— — 应 用 ” 研 究 过 以 探 的 程 ， 导 学 生 通 过 自 己 的 数 学 活 动 ， 识 排 序 不 等 式 的 引 认 数学意 义、 明方法和简单应 用。 西 不等式、 序不 ‘ 证 柯 排
１＋ ≤ ｌ ＋Ｉ 、 ６ｌ ｌ ｌ Ｉ
型 如 Ｉ ＋ ≤ｃ ＋ ≥ｃ — ＋ ｌ ｂｌ ６ｌ 、Ｉ ６ Ｉ 、ｌ ｃｌ — ≥Ⅱ的
不等 式 ， 加 强 学 生从 “ 何 意 义 ” 察 不 等 式 的 意 识 ， 以 几 考
第 二讲 介 绍 了证 明不 等 式 的 基 本 方 法 ，这 些 方 法
是 深入 讨 论 不 等 式 问题 的基 础 ，所 以 本讲 也是 本专 题 的 基 础 内 容 。 证 明 不等 式 的 几 种 方 法 中 ， 较 法 （ 在 比 特 别 是 相减 比较 法 ） 证 明 不等 式 的最 基 本 的 方 法 ， 此 是 因
选修4-5不等式选讲
根据课程标准，本专题介绍一些重 要的不等式和它们的证明、数学归纳法 和它的简单应用。
本专题的内容是在初中阶段掌握了 不等式的基本概念，学会了一元一次不 等式、一元一次不等式组的解法，多数 学生在学习高中必修课五个模块的基础 上展开的．作为一个选修专题，教科书 在内容的呈现上保持了相对的完整性．
第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及 绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关 的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值 的不等式具有重要的意义．
• 绝对值三角不等式是一个基本的结论，教 科书首先引导学生借助于实数在数轴上的 表示和绝对值的几何意义，探究归纳出绝 对值三角不等式，接着联系向量形式的三 角不等式，得到绝对值三角不等式的几何 解释，最后用代数方法给出证明．这样， 数形结合，引导学生多角度认识这个不等 式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三 角不等式可以解决一种特殊形式的函数的 极值问题，教科书安排了一个这样的实际 问题。
• 课程标准对于本专题的几个教学内容都明 确的教学要求，如：对于解含有绝对值的 不等式，只要求能解几种特殊类型的不等 式，不要求学生会解各种类型的含有绝对 值的不等式。对于数学归纳法证明不等式 的要求也只要求会证明一些简单问题。只 要求通过一些简单问题了解证明不等式的 基本方法，会利用所学的不等式证明一些 简单不等式，等等。
数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。
了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
• 8．会用上述不等式证明一些简单问 题。能够利用平均值不等式、柯西 不等式求一些特定函数的极值。
• 9．通过一些简单问题了解证明不等 式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法。
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选修4-5《不等式选讲》教学要求解读（仅供参考）尤溪一中 姜志茂一、课程目标解读《普通高中数学课程标准》对不等式的处理分为两个部分：一是必修模块数学5第三章不等式，内容包括不等关系，一元二次不等式，二元一次不等式组与简单线性规划问题，基本不等式2a b +≥感受到在现实世界中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握解决不等式（组）问题的基本方法，并能解决一些实际问题；使学生初步体会数学在解决优化问题中的作用，认识数学的应用价值，从而培养学生解决简单实际问题的能力，发展学生的数学应用意识。
二是选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。
二、教材内容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。
回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n 个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。
对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。
通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。
第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。
其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。
这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。
本讲内容也是本专题的一个基础内容。
第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。
这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。
其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。
事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。
比如课本P41页，习题3.2 已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证1119a b c++≥。
排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。
第四讲是“数学归纳法证明不等式”．数学归纳法在选修2-2中也学过，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。
同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。
三、教学目标要求1．不等式的基本性质掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。
2．含有绝对值的不等式理解绝对值的几何意义。
理解绝对值三角不等式：||||||||||||a b a b a b -≤+≤+，||||||a c a b b c -≤-+- 会解绝对值不等式：||ax b c +≤，||ax b c +≥，会解绝对值不等式：||||x c x b c -+-≤，||||x c x b c -+-≥3．不等式的证明通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法4．几个著名的不等式(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值。
(2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用。
(3)了解n 个正数的均值不等式，n 维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式5．利用不等式求最大（小）值会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
6．数学归纳法与不等式了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。
会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1)1n x nx +>+，（x ＞-1，n 为正整数）。
四、教学重点难点1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；特别是以下三点在教学中应当有所侧重：(1)绝对值不等式．a)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式的几何意义及取等号的条件：||a a ≥，||a a ≥-，||||||||||||a b a b a b -≤+≤+，||||||a b a c c b -≤-+-b)掌握求解以下绝对值不等式的解法（三种解法）x c x b c-+-≤，||||x c x b c+≥，||||-+-≥||ax b cax b c+≤，||(2)不等式的证明：比较法、综合法、分析法．求差求商比较的基本方法步骤，包括因式分解，配方，定号，指数运算，对数运算，函数单调性等。
综合法强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题。
分析法要强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分条件，步步可逆不是指等价。
(3)用均值不等式、柯西不等式求最值会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。
五、教学总体建议1、回顾并重视学生已学知识学习本专题，学生已掌握的知识有：第一、初中课标要求的不等式与不等式组(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
(2)解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题第二、高中必修5不等式内容：(1)不等关系。
通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
(2)一元二次不等式。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。
(4)基本不等式及其应用（求最值）。
第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。
回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。
2、控制难度不拓展在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。
解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。
代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。
这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。
3、重视不等式的应用不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。
对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。
4、重视展现著名不等式的背景几个重要不等式大都有明确的几何背景。
教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。
特别是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背景知识。
六、分节教学设计（部分）本专题教学约需18课时，大致分配如下（仅供参考）：第1课时不等式的性质[目标要求]理解并掌握不等式的六个基本性质[探索研究]1、实数的运算性质与大小顺序的关系：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质（6个）：[典型例题]见课本P3例1 例2[参考习题]1、若a 、b 、x 、y ∈R ，则()()0x y a b x a y b +>+⎧⎨-->⎩是x a y b >⎧⎨>⎩成立的（ C ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2、已知2()f x ax c =+，且4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，求f(3)的取值范围。
3、已知a>0，2220a ab c -+=，2bc a >，试比较a 、b 、c 的大小。
第2课时 基本不等式[目标要求]理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。
[探索研究]1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 3、已知x, y 都是正数。
则（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值214s [典型例题]见课本P6例3，例4[参考习题]1、当x 取什么值时，函数2294xx y +=有最小值？最小值是多少？ 2、求函数1622++-=x x x y （0≥x ）的最小值。
3、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值4、已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值 5、（较高要求）已知,(0,)a b ∈+∞，且1a b +=，求证：22222111;282125125)()4)().24b a b b b b b +≥+≥++≥+≥2（1）a （）；11（3）（a+；（）（a+a a第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式[目标要求]理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意“创造条件”利用基本不等式求最值。