创新课堂2013高考总复习数学 第7节 离散型随机变量及其分布

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第十单元
典例分析
考点一 随机变量的性质
【例1】 设离散型随机变量X的分布列为 X P 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． 解 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
首先列表为：
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10. (2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二 等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品， 若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若 是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互 独立． (1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分 布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解析：(1)由题意知，X的可能取值为10,5,2，－3. P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02， 所以X的分布列为 X 10 5 2 －3
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解析：由分布列的性质知 答案：C
1 2 3 2 1 ＋ ＋ ＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝ ＝ . 2a 2a 2a 2a 3
4. 在100张奖券中，有4张有奖，从这100张奖券中任意抽取2张，则2张都中 奖的概率为________．
C2 1 4 解析：由题意知，中奖奖券的张数服从超几何分布，∴P(X＝2)＝ 2 ＝ . C100 825
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3．一般地，若离散型随机变量Z可能取的不同值为x1， x2，„，xi，„，xN，Z取每一个值xi(i＝1,2，„，N)的概率P(Z ＝xi)＝Pi，以表格的形式表示如下表所示： Z x1 x2 „ xi „ xN P P1 P2 „ Pi „ PN
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上表称为离散型随机变量Z的 概率分布列 ，简称为随机 变量Z的 分布列 ． 有时为了表达简单，也用等式P(Z＝xi)＝Pi(i＝1，2，„， N)表示随机变量Z的分布列．
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9. (2010·江西改编)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智 能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号 通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小 时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道， 直至走完迷宫为止．令X表示走出迷宫所需的时间，求X的分布列．
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第十单元第十单元 计数原理、概 Nhomakorabea、随机变量及 其分布
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第七节
离散型随机变量及其分布
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知识汇合
1．在随机试验中，我们确定了一个 对应 关系，使得每 一个试验结果都用一个确定的 数字 表示，在这种 对应 关系 下，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变 化而变化的变量称为 随机变量 ，随机变量常用字母X，Y， ξ，η，„表示． 2．所有取值可以一一列出的随机变量， 称为 离散型随机变量 ．
P
则p的值为(
p
1 A. 2
1 B. 6
1 C. 3
1 D. 4
1 1 1 1 解析：由分布列的性质可知 p＝1－ － － ＝ . 6 3 6 3 答案：C
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i 3. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝ (i＝1,2,3)，则 P(X＝2)＝( 2a 1 1 1 1 A. B. C. D. 9 6 3 4 )
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X 2X＋1 |X－1|
从而由上表得两个分布列． (1)2X＋1的分布列： 2X＋1 P
0 1 1
1 3 0
2 5 1
3 7 2
4 9 3
1 0.2
3 0.1
5 0.1
7 0.3
9 0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
P
0
0.1
1
0.3
2
0.3
3
0.3
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本例题条件不变，若P(X<x)＝0.3，求x的取值范围． 解析：∵P(X<x)＝0.3，∴P(X<x)＝P(X＝0)＋P(X＝1)，∴1<x<2.
所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝
3 6 1 22 ＋ ＋ ＝ . 7 35 35 35
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C1· 2 1 1 C5 P(X＝6)＝ 3 ＝ . C6 2 故 X 的分布列为 X P 3 1 20 4 3 20 3 1 4 ＋ ＝ . 10 2 5 5 3 10 6 1 2
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高考体验
1. 离散型随机变量的分布列是考查的热点，题型为解答题，分值为12分左右， 属中档题． 2. 分布列常与排列结合，概率，均值与方差等知识结合考查，以考查基础知 识、基础概念为主．
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（2012 年高考江苏卷 22） （本小题满分 10 分） 设 为随机变量， 从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条， 当两条棱相交时，
P(X＝4)＝
4×3×2×3 3 4×3×2×1×3 1 ＝ ；P(X＝5)＝ ＝ . 7×6×5×4 35 7×6×5×4×3 35
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X P 1 2 3 4 5
所以，取球次数X的分布列为 (3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到 白球”的事件为A， 则P(A)＝P(“X＝1”或“X＝3”或“X＝5”)． 因为事件“X＝1”、“X＝3”、“X＝5”两两互斥，
nn－1 1 Cn 解 (1)设袋中原有 n 个白球，由题意知 ＝ 2＝ ＝ ， 7 C7 7×6 7×6 2
1 .现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再 7
所以 n(n－1)＝6，解得 n＝3(舍去 n＝－2)，即袋中原有 3 个白球． (2)由题意，X 的可能取值为 1,2,3,4,5. 4×3 2 4×3×3 6 3 P(X＝1)＝ ；P(X＝2)＝ ＝ ；P(X＝3)＝ ＝ ； 7 7×6 7 7×6×5 35
0 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
1．
（1）求概率 P( 0) ； （2）求 的分布列，并求其数学期望 E ( ) ．
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练习巩固
1. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球， 设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( ) A. 25 B. 10 C. 7 D. 6 解析：X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5 ＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种． 答案：C 2. 设离散型随机变量X的概率分布如下： X 1 ) 2 3 4
件产品中任取3件．求： (1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
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－
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解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果为C3 ，从10件产品中任取3件，其中恰有k件 10 一等品的结果数为Ck C3 k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为 3 7 Ck C3 k 3 7 P(X＝k)＝ 3 ，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是 C10 X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120
5. 某射手射击所得环数X的分布列为 X P 4 5 6 7 8 9 10
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
的概率为________．
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解析：P(X>7)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
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答案：0.79
6. 若本例题条件不变，设Y＝X2，求P(Y>3)的值． 解析：Y的可能取值为0,1,4,9,16. 且P(Y＝0)＝0.2，P(Y＝1)＝0.1， P(Y＝4)＝0.1，P(Y＝9)＝0.3， P(Y＝16)＝0.3. ∴Y的分布列为 Y P 0 0.2 1 0.1 4 0.1 9 0.3 16 0.3
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(2)一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取N件，其中 恰有Z件次品数，则事件{Z＝K}发生的概率为P(Z＝K)＝ n CK CN－K －M M Cn ，K＝0,1,2，„，m. N 其中m＝miN{M，N}，且N≤N，M≤N，N，M，N∈N*分 布列
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为超几何分布列． 如果随机变量Z的分布列为超几何分布列，则称随机变量Z 服从 超几何分布 ．
－
(2)设“取出的3件产品一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品 和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品” C1C2 3 3 3 为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝ 3 ＝ ， C10 40 7 1 P(A2)＝P(X＝2)＝ ，P(A3)＝P(X＝3)＝ ， 40 120 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) 3 7 1 31 ＝ ＋ ＋ ＝ . 40 40 120 120
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4．根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下 性质： (1)Pi≥0(i＝1,2，„，N)； n (2)∑i＝1Pi＝P1＋P2＋„＋PN＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率之和．