高考数学二轮复习 专题06 三角函数的图像与性质押题专练 理
高考数学二轮专题针对训练 三角函数的图象与性质 理
三角函数的图象与性质一、选择题1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数且以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos2x解析：选D.由函数的周期为π可排除A 、B 选项，再由在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数可排除C 选项．2．(2011年高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B.设P ()t ，2t ()t ≠0为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 3．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6.4．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin x cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选 C.f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin x cos x ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将其图象向左平移n (n >0)个单位长度得到f (x ＋n )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n ＋π6的图象，函数为偶函数时，n 的最小值为5π6.故选C.5．(2011年高考天津卷)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：选A.∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π<φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3. 令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .显然f (x )在[－2π，0]上是增函数，故A 正确，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π，－5π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，－π上为增函数，故B 错误，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π，7π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π2，13π2上为增函数，故C 错误，f (x )在[4π，6π]上为增函数，故D 错误．二、填空题6．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向________长度单位．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6，所以只要把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．答案：右平移π4个7．设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析：设2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴令k ＝0，得x 0＝－π6.答案：－π68．对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π3，有如下四个命题： ①f (x )－g (x )的最大值为2；②f [h (x )]在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数； ③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；④将f (x )的图象向右平移π2个单位长度可得g (x )的图象．其中真命题的序号是________．解析：f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，故①正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，函数f [h (x )]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上为增函数，故②正确；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③错误；将f (x )的图象向左平移π2个单位长度可得g (x )的图象，故④错误．答案：①② 三、解答题9．设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图象如图.10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x ，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 12x ，f (x )＝a ·b ，(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[－2π，2π]，求函数y ＝f (x )的单调递增区间． 解：(1)∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x ，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 12x ，∴f (x )＝a ·b ＝12sin 12x ＋32cos 12x＝sin 12x cos π3＋cos 12x sin π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.∴函数y ＝f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4π.(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，令 z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π时函数单调递增，∴－53π＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z 时，函数单调递增．取k ＝0时，－53π≤x ≤π3，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53π，π3在[－2π，2π]内，∴当x ∈[－2π，2π]时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3.11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解：(1)由图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象． 于是φ＝2·π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32.∴2x －π12＝π3＋2k π或2x －π12＝2π3＋2k π(k ∈Z )，∴x ＝5π24＋k π或x ＝3π8＋k π(k ∈Z )．∵x ∈(0，π)， ∴x ＝5π24或x ＝3π8.∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π24，6，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6.、。
高考数学二轮专题复习常考问题6三角函数的图象与性质
高考数学二轮专题复习常考问题 6 三角函数的图象与性质( 建议用时： 50 分钟 )1．(2013 ·青岛模拟 ) 将函数y＝ sinπ的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2倍(纵x－3坐标不变 ) ，再将所得图象向左平移π个单位，则所得函数图象对应的分析式为3() ．A．y＝sin1－πB．y＝ sin2 －π2x3x6 11πC．y＝sin2xD．y＝ sin2x－61π分析将函数图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍获得y＝sin2x－3的图象，然π1x＋ππ1π后将所得图象向左平移3个单位获得 y＝sin23－3＝ sin2x－6的图象．答案D2．(2013 ·浙江卷 ) 已知函数f (x) ＝ cos(＋)(>0，ω>0，φ∈ R) ，则“f(x) 是奇函Aωx φAπ() ．数”是“φ＝2”的A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件π? f ( x) ＝A cos π＝－ A sinωx为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是分析φ＝ω x＋22π“φ＝2”的必需条件．又f ( ) ＝ cos(＋) 是奇函数 ?f(0) ＝ 0?π＋π (k∈Z) /?πφ＝φ＝ . x Aωx φ2k D2∴“ f ( x)是奇函数”不是“φ＝π”的充足条件．2答案B3．已知函数f (x) ＝ 2sin(＋)(ω>0) 的图象对于直线x＝π对称，且π＝ 0，则ωωx φ3f12的最小值为() ．A． 2B． 4C． 6D．8分析由 f π ＝0 知 π ， 0 是 f ( x ) 图象的一个对称中心，又x ＝ π 是一条对称轴，所12 123ω >0，以应有 2ππ π解得 ω≥2，即 ω 的最小值为 2，应选 A.ω ≤ 43 －12 ，答案A4．(2013 ·湖北卷 ) 将函数 y ＝3cos x ＋ sin x ( x ∈ R) 的图象向左平移 m ( m ＞0) 个单位长度后，所获得的 图象对于y 轴对称，则的最小值是() ．mπππ 5π A. 12B. 6C. 3D. 6分析 y ＝ 3 cos x ＋ sin x ＝ 2sin x ＋ π，向左平移m 个单位长度后获得y ＝32sin x ＋ π ＋ m ，由它对于 y 轴对称可得 sin( π ＋m ) ＝± 1，∴ π＋ m ＝ k π＋ π ，k ∈ Z ，3 3 3 2 ∴ m ＝ k π＋ π π， k ∈ Z ，又 m >0，∴ m 的最小值为 .6 6答案 B5．已知函数 f ( x ) ＝sin(2 x ＋ φ) ，此中 φ 为实数，若 f ( x ) ≤ fπ对 x ∈R 恒建立，且6fπ <f ( π ) ，则以下结论正确的选项是() ．2A ．f11π ＝－ 1B．f7π>π1210f5C ． ( ) 是奇函数D．( ) 的单一递加区间是k π－ππ (∈ Z)f，k π＋kxfx36ππππ分析 由 f ( x ) ≤ f6恒建立知 x ＝ 6 是函数的对称轴，即 2× 6 ＋ φ＝ 2 ＋k π， ∈ Z ，因此 ＝ ππ， ∈Z ，又 f π < ( π ) ，因此 sin ( π＋ )<φ ＋ φ k 6 k k 2 fsin(2 π＋ φ) ，即－ sin φ<sinφ. 因此 sin φ>0，得 φ＝ π 6 ，π π π ππ 即 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 6 ，由－ 2 ＋2k π≤ 2x ＋ 6 ≤ 2 ＋ 2k π， k ∈Z ，得－ 3 ＋π k π－ π ， k π＋ π k π≤ x ≤ 6 ＋ k π， k ∈ Z ，即函数的单一递加区间是3 6 ( k ∈ Z) ．答案 Dπ1π6．若 sin3 ＋ α＝3，则 sin 6 ＋ 2α ＝ ______．分析sin π＋2α π＋π＋ 2α ＝－ cos2π＋ 2α2π ＋ α－ 1＝－6 ＝－ cos 2 6 3＝ 2sin 37 9.答案 －797 ．若函数 f ( x ) ＝ sin ωx ( ω>0) 在区间 ππ π0，上单一递加，在区间3，上单一递减，3 2 则 ω ＝________ ．分析由题意知 f ( x ) 的一条对称轴为直线 x ＝π ，和它相邻的一个对称中心为原点，则34π 3f ( x ) 的周期 T ＝ 3，进而 ω＝ 2.答案32π8．已知函数 f ( x ) ＝ 3sin( ωx － 6 )( ω >0) 和 g ( x ) ＝ 3cos(2 x ＋ φ ) 的图象的对称中心完整相同，若 x ∈ 0， π，则 f ( x ) 的取值范围是 ______． 2分析由两三角函数图象的对称中心完整同样， 可知两函数的周期同样， 故 ω＝ 2，因此f ( x ) ＝3sin 2x － π ，那么当 x ∈ 0， π 时，－π ≤ 2x － π ≤ 5π， 6 26 6 61 π 3因此－ ≤ sin(2 x －6) ≤1，故 f ( x ) ∈ － ， 3 .223答案－2，3π9．(2013 ·西安五校二次模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ)( A >0， ω >0， | φ |< 2 ) 的图象的一部分如下图．.(1) 求函数 f ( x ) 的分析式；(2) 当 x ∈－6，－2时，求函数 y ＝f ( x ) ＋ f ( x ＋ 2) 的最大值与最小值及相应的x 的值．32π解 (1) 由图象知 A ＝ 2， T ＝ 8＝ ω ，ππ ＋∴ ω＝ 4 ，得 f ( x ) ＝ 2sin4x φ .πππ由 4 × 1＋ φ＝ 2k π＋ 2 ? φ＝ 2k π＋ 4 ，π πππ 又 | φ|< 2 ，∴ φ＝ 4 . ∴ f ( x ) ＝ 2sin 4 x ＋ 4 .(2) y ＝2sin π＋π＋ 2sinπ （＋2）＋ π4 x4 4 x4π ππ π＝ 2sin 4x＋＋ 2cos 4 x ＋4 4 .π π π＝ 2 2sin4 x ＋ 2 ＝ 2 2cos 4 x ，2∵ x ∈ － 6，－ 3 ，π － 3π π π π 2 ∴ 4 x ∈ ，－ 6 ，∴当4 x ＝－ 6 ，即 x ＝－ 3时， y 的最大值为 6；2 当 π＝ －π，即 x ＝－ 4 时， y 的最小值为－ 2 2.4x10．已知函数 f ( x ) ＝ 2sin ωx · cos ωx ＋23cos 2ωx － 3( 此中 ω >0) ，且函数 f ( x ) 的周期为π .(1) 求 ω 的值；π(2) 将函数 y ＝ f ( x ) 的图象向右平移 4 个单位长度， 再将所得图象各点的横坐标减小到原1π π来的 2倍( 纵坐标不 变 ) 获得函数y ＝ g ( x ) 的图象，求函数g ( x ) 在 － 6 ，24上的单一区间．解(1) 由于 f ( x ) ＝ 2sin ωx ·cos ωx ＋ 2 3cos 2ωx －3＝ sin 2 ωx ＋ 3cos 2 ω x ＝π2sin 2ωx ＋ 3，又由于函数 f ( x ) 的周期为π，且 ω>0，因此 ＝ 2π ＝ π＝π，因此ω ＝ 1.T 2ω ωπ (2) 由 (1) 知， f ( x ) ＝ 2sin 2x ＋ 3 .将函数y ＝ f ( x ) 的图象向右平移π个单位后获得函数y ＝ 2sin[2 x －π π ] ＝＋443π12sin 2x － 6的图象，再将所得图象各点的横坐标减小为本来的2倍 ( 纵坐标不变 ) ，得π到函数 g ( x ) ＝ 2sin(4 x － 6 ) 的图象． 由－π＋ 2 π≤ 4 － π ≤ π＋2 kπ ( k ∈Z) ，2 kx6 2k π π k ππ得－ ≤ x ≤ ＋ ( k ∈ Z) ；2 1226 ππ 3π4得k π＋π ≤x ≤k π ＋ 5π( k ∈Z) ．262 12故 函 数 g ( x ) 在 － π πππ，24 上的单一递加区间为－，，单一递减区间为61224π π－6，－ 12.π π2x11．(2013 ·湖南卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ s in x － 6 ＋ cos( x － 3 ) ， g ( x ) ＝2sin 2.3 3(1) 若 α 是第一象限角，且 f ( α) ＝ 5 . 求 g ( α) 的值；(2) 求使 f ( x ) ≥ g ( x ) 建立的 x 的取值会合．ππ解 f ( x ) ＝ sin x － 6 ＋ cos x － 33113＝ 2 sinx － 2cos x ＋ 2cos x ＋ 2 sinx ＝ 3sin x ，g ( x ) ＝2sin2x＝ 1－cos x .2(1) 由 f ( α) ＝33，得 sin α＝ 3，55又 α 是第一象限角，因此 cos α>0.进而 g ( α) ＝ 1－cos24 1α＝1－ 1－ sin α ＝ 1－5＝ 5. (2) f ( x ) ≥ g ( x ) 等价于 3sin x ≥ 1－ cos x ，即 3sinx ＋ cos x ≥ 1.π 1于是 sinx ＋ 6 ≥ 2 .ππ 5π进而 2k π＋ 6 ≤x ＋ 6 ≤ 2k π＋ 6 ，k ∈ Z ，2π即 2k π≤ x ≤ 2k π＋ 3 ，k ∈ Z.故使 f ( x ) ≥ ( ) 建立的 x 的取值会合为 { x |2 k π≤ x ≤2 π＋ 2π， ∈Z} ．g x 3。
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题6三角变换、三角函数的图象与性质(含解析)
【走向高考】（全国通用） 2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题加强练 专题 6 三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1． (2015 河·南八市质检 )已知 sin α＋π－ cos α＝1，则 2sin αcos α＋π＝ ()6 3 65 5 A ．－ 18B.187 7 C ．－ 9D.9 [答案 ]Bπ ＝ 2sin α 31[分析 ]2sin αcos α＋6 2 cos α－ 2sin α31－ cos 2α π 1＝ 2 sin 2α－2 ＝ sin 2α＋ 6 －2，π3 1又因为 sin α＋ 6 － cos α＝ 2 sin α＋ 2cos α－ cos α3 1 cos α＝sin α－ π 1 ，＝ sin α－ 6 ＝2 2 3π π π π又 sin 2α＋ 6 ＝ cos 2－2α＋6 ＝ cos 3－2α＝ 1－ 2sin 2α－ π＝ 1－ 2＝ 7，69 9π7 1 5所以 2sin αcos α＋ 6 ＝ 9－ 2＝ 18.[方法点拨 ] 1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角 α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sin α、cos α、tan α中的一 个值求其余值时，直接运用同角关系公式求解，能用引诱公式化简的先化简．2．已知 tan α求 sin α与 cos α的齐次式的值时，将分子分母同除以 cos n α化 “切 ”代入，所 求式为整式时，视分母为1，用 1＝ sin 2α＋ cos 2α代换．3．sin θ＋ cos θ，sin θ－ cos θ，sin θcos θ知一求其余值时， 利用关系 (sin θ±cos θ)2＝1±2cos θcos θ. 要特别注意利用平方关系巧解题． 已知某三角函数式的值， 求另一三角函数式的值时， 重点是剖析找出两三角函数式的联系适合化简变形，再代入计算．2．(文 )(2015洛·阳市期末)已知角 α的终边经过点A(－ 3，a) ，若点A 在抛物线1y ＝－ 4x 2 的准线上，则sin α＝()33 A ．－ 2B. 21 1 C ．－ 2D.2[答案 ]D1[分析 ] 由已知得抛物线的准线方程为y ＝ 1，故 A( － 3， 1) ，所以 sin α＝ 2.(理 )(2015π的图象，只需将函数y ＝ sin 4x 的图象山·东理， 3) 要获得函数 y ＝ sin 4x －3()πB ．向右平移 πA ．向左平移 12个单位12个单位πD ．向右平移π个单位个单位C ．向左平移 3 3[答案 ] Bπππ[分析 ]因为 y ＝ sin(4x － 3)＝ sin[4( x － 12)] 所以要获得 y ＝ sin[4( x － 12)] 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移π个单位．应选 B.12π3．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(此中 A>0，ω>0，|φ|<2) 的图象如下图， 为了获得g(x)＝ sin3x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )πA ．向右平移 4个单位长度πB ．向右平移 12个单位长度πC ．向左平移 4个单位长度πD ．向左平移 12个单位长度[答案]B[分析 ]由题知，函数 f(x)的周期5π π 2π T ＝4(－ )＝，12 4 32π 2π所以 3 ＝ ω，解得 ω＝3，易知 A ＝ 1，所以 f(x)＝ sin(3x ＋ φ)．又 f(x) ＝sin(3x ＋ φ)过点 (5π，－ 1)，12 5π所以 sin(3 × ＋φ)＝－ 1，125π 3所以 3× ＋ φ＝2k π＋2π， k ∈Z ，12ππ所以 φ＝ 2k π＋4， k ∈ Z ，又 |φ|<2，π所以 φ＝ ，4ππ所以 f(x)＝ sin(3x ＋ )＝ sin[3( x ＋12)] ，4所以将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度能够获得函数g( x)＝ sin3x 的图象，应选12B.[方法点拨 ]1.已知正弦型 (或余弦型 )函数的图象求其分析式时， 用待定系数法求解． 由图中的最大值或最小值确立A ，再由周期确立 ω，由图象上特别点的坐标来确立φ，只有限定 φ的取值范围，才能得出独一解，不然φ的值不确立，分析式也就不独一．将点的坐标代入分析式时，要注意选择的点属于“五点法 ”中的哪一个点．“第一点 ”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为 ωx＋0 φ＝ 0＋ 2k π(k ∈ Z ) ，其余挨次类推即可．2．解答相关平移伸缩变换的题目时，向左(或右 )平移 m 个单位时，用 x ＋ m(或 x － m)取代 x ，向下 (或上 )平移 n 个单位时，用y ＋ n(或 y － n)取代 y ，横 (或纵 )坐标伸长或缩短到原来的 k 倍，用 x 取代 x(或 y取代 y)，即可获解．kk10，则 tan2α＝ () 4． (文 )已知 α∈ R ， sin α＋ 2cos α＝ 24 3A. 3B.434C ．－ 4D ．－ 3[答案] C[分析 ]此题考察三角函数同角间的基本关系．将 sin α＋ 2cos α＝10两边平方可得，22 2α＝ 5 ， sinα＋ 4sin αcos α＋4cos223∴ 4sin αcos α＋ 3cos α＝2.将左侧分子分母同除以cos 2α得，3＋ 4tanα 3，解得 tanα＝3 或 tanα＝－1，2＝3 1＋ tanα2∴ tan2α＝2tanα32＝－. 1－ tan α4(理 )(2015唐·山市一模 )已知 2sin2α＝ 1＋ cos2α，则 tan2α＝()4 4A．－3 B.3C．－4或0 D.4或 0 33[答案 ]Dsin2α＝4[分析 ]2sin2α＝1＋ cos2αsin2α＝ 05∵sin22α＋ cos22α＝ 1，∴或3cos2α＝－ 1，cos2α＝54∴ tan2α＝ 0 或 tan2α＝ .35． (2015 安·徽理， 10)已知函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数 )的最小正周2π)期为π，当 x＝时，函数 f(x)获得最小值，则以下结论正确的选项是(3A． f(2)＜ f(－ 2)＜ f(0)B．f(0)＜f(2) ＜f(－2)C．f(－ 2)＜ f(0)＜ f(2)D． f(2)＜ f(0)＜ f(－ 2)[答案]A[分析 ]考察三角函数的图象与应用及函数值的大小比较．2π 2π解法 1：由题意，f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0) ，T＝＝＝π，所以ω＝2，|ω|ω则 f(x)＝ Asin(2x＋φ)，而当x＝2π2π3ππ时， 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，解得φ＝＋ 2kπ， k∈Z，3326ππ ππ所以 f(x)＝ Asin(2x＋ )(A>0) ，则当2x＋＝＋ 2nπ， n∈Z，即 x＝＋ nπ，时， n∈Z， f( x)取6626得最大值．要比较 f(2)，f(－ 2)，f(0)的大小，只需判断 2，－ 2,0与近来的最高点处对称轴的π5π距离大小，距离越大，值越小，易知0,2 与6比较近，－ 2 与－6比较近，所以，当k＝0 时，πππ时， x＝－5π(－5πx＝，此时|0－ |＝ 0.52，|2－ |＝ 1.47，当 k＝－ 1，此时 |－ 2－6)|＝0.6，所6666以 f(2)< f( －2)<f(0)，应选 A.解法 2：∵ f(x) 的最小正周期为2π2π π ππ，且在 x＝时 f(x)取最小值，∴在 x＝－＝时取到3326π 2π最大值 f(－ 2)＝ f(－2＋ π)，∵ f(x)在 [ ， ]上单一递减，∴ f( π－ 2)> f(2)，即 f(－ 2)> f(2)，又 π 63π π ， f(x)图象的一条对称轴方程为π ，即 f(－ 2)< f(0)，－2－> －0x ＝ ，∴ f( π－ 2)< f(0)6 66∴ f(2)< f(－ 2)< f(0) ．π π6． (文 )函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0，|φ|<2)的图象对于直线 对称，它的最小x ＝ 3正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是 ( )ππA ．( ， 1)B ． (， 0)312 5ππ， 0)D ． (－ ，0)C ．( 12 12[答案 ] B[分析 ]由题意知 T ＝π，∴ ω＝ 2，π π π π 由函数图象对于直线 x ＝ 对称，得2× ＋ φ＝ ＋ k π(k ∈ Z )，即 φ＝－ ＋ k π(k ∈ Z )．3326π π又 |φ|< ，∴ φ＝－ ，26π∴ f(x)＝Asin(2 x －)，6π π令 2x － ＝ k π(k ∈ Z )，则 x ＝ ＋ kπ(k ∈ Z )．6122∴一个对称中心为( π， 0)，应选 B.122(理 )已知函数 f(x)＝ cosxsin x ，以下结论中错误的选项是 ( )B ．f(x)最大值是 1πC ．f(x)的图象对于点 (， 0)对称2D ． f(x)的图象对于直线 x ＝ π对称 [答案 ] B[分析 ]f( － x)＝ cos(－ x)sin 2 (－ x)＝ cosxsin 2x ＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数． f(x ＋ 2π)＝cos(x ＋222 32π )sin(x ＋ 2π)＝cosxsin x ，∴ 2π是 f(x)一个周期，故 A 选项正确． f( x)＝cosxsin x ＝－ cos x＋ c osx ，令 t ＝ cosx 则 t ∈ [－ 1,1] ，g(t)＝－ t 3＋ t ， g ′(t)＝－ 3t 2＋ 1令 g ′(t)＝ 0，则 t ＝± 3，易知 f(x)在区间 [ － 1，－3)上单一递减，在 (－ 3， 3 )上单一33 33 递加，在 (3， 1]上单一递减， g( － 1)＝ 0， g( 3 )＝ 2 3，∴ g(t)max ＝2 3≠1，故 B 项错误．3 3 997． (文 )给出以下四个命题：π k π 3π ① f(x)＝sin(2 x － )的对称轴为x ＝2 ＋ ， k ∈ Z ；48 ②函数 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx 最大值为2；③函数 f(x)＝ sinxcosx － 1 的周期为 2π；π π π④函数 f(x)＝ sin(x ＋)在 [－， ] 上是增函数．422此中正确命题的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ] B[分析 ]π π①由 2x － ＝ k π＋ ， k ∈ Z ，4 2得 x ＝ k π 3π2＋8 (k ∈ Z )，π k π 3π即 f(x) ＝sin(2x － )的对称轴为 x ＝＋， k ∈ Z ，正确；42 8π②由 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝2sin( x ＋3)知， 函数的最大值为 2，正确；1③ f(x)＝sinxcosx － 1＝2sin2x － 1，函数的周期为 π，故③错误；ππ④函数 f(x)＝ sin(x ＋)的图象是由 f(x)＝ sinx 的图象向左平移4 个单位获得的， 故④错误．4π π π (理 )若 f( x)＝ 2sin(ωx＋ φ)＋ m ，对随意实数 t 都有 f( ＋ t)＝ f( － t)，且 f()＝－ 3，则实数888m 的值等于 ()A ．－ 1B ． ±5C ．－5或－1D ．5或1[答案 ]Cππ[分析 ] 依题意得，函数 对称，于是x ＝ 时，函数 f(x)获得最f(x) 的图象对于直线 x ＝88值，所以有 ±2＋ m ＝－ 3，∴ m ＝－ 5 或 m ＝－ 1，选 C.8． (文 )在△ ABC 中，若 tanAtanB ＝ tanA ＋ tanB ＋ 1，则 cosC 的值是 ()22 A ．－ 3B. 21 1C.2D ．－ 2[答案 ]B[分析 ]由 tanA ·tanB ＝tanA ＋ tanB ＋ 1，可得 tanA ＋ tanB ＝－ 1，即 tan(A ＋ B)＝－ 1，所1－ tanA ·tanB以 A ＋B ＝3π π 2，应选 B.4，则 C ＝ ， cosC ＝24π π 1＋ sin β(理 )(2014 新·课标Ⅰ理， 8)设 α∈ (0，2) ，β∈ (0， 2)，且 tan α＝ cos β ，则 ()π π A ． 3α－ β＝ 2B ． 3α＋ β＝2ππ C ．2α－β＝ 2 D ． 2α＋ β＝2[答案 ]C[分析 ]此题考察了引诱公式以及三角恒等变换．运用考证法．π π解法 1：当 2α－ β＝2时， β＝2α－2，1＋ πα－2 1－ cos2α 2·sin 2α 所以π ＝ sin2α ＝ sin2α＝ tan α.α－ 2sin α 1＋ sin β 解法 2：∵ tan α＝＝，cos αcos βπ ∴ sin(α－ β)＝cos α＝ sin( － α)，2∵ α、 β∈ππ π π π ππ (0， )，∴ α－ β∈ (－ ， )， － α∈ (0， 2 )，∴ α－β＝ － α，∴ 2 α－ β＝ .2 2 2 2 22 9． (2015 石·家庄市二模 )在平面直角坐标系中，角 α的极点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点πππ＝ ()P sin ，cos，则 sin 2α－128833A. 2B ．－ 21 1C.2D ．－ 2[答案 ] A[分析 ]因为角 α的终边经过点ππ3π 3πP(sin， cos )，即P(cos ， sin)，88883π∴ α＝ 2k π＋ 8 ， k ∈ Z .∴ sin(2α－ π3π π－12)＝ sin(4 k π＋ 4 12)2π3，应选 A.＝ sin ＝2310． (文 )(2015 河·南六市联考 ) 函数 y ＝ cos(ωx＋ φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如下图， A 、 B 分别为最高点与最低点，而且两点间的距离为2 2，则该函数图象的一条对称轴为 ()2πA ． x ＝ πB ． x ＝ 2C ．x ＝ 1D ． x ＝ 2[答案] C[分析 ]∵ y ＝ cos(ωx＋φ)为奇函数，∴其图象过原点，∴ cos φ＝0，π ∵ 0<φ<π，∴ φ＝ ，2πT 2 ＋[1 －( －1)] 2 ＝ (2 2)2， ∴ y ＝ cos(ωx＋ )＝－ sin ωx，设周期为T ，则由条件知 ( )22∴ T ＝4.∴ ω＝2π πT＝ ，2π∴函数为 y ＝－ sin(x)．2π π令 x ＝ k π＋ (k ∈ Z )得 x ＝ 2k ＋ 1，∴ x ＝ 1 为其一条对称轴．22(理 )(2015 陕·西理， 3) 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似知足函数y ＝π3sin 6x ＋ φ＋ k.据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 ()A ． 5C ．8B ． 6D ． 10[答案 ]C[分析 ]由图象知，最小值为2，∴－ 3＋k ＝ 2，∴ k ＝ 5，∴最大值为3＋ k ＝ 8.应选 C.二、填空题11． (2015·芦岛市一模葫)已知函数πf( x)＝ cosx ·sin x ＋ 3 －3cos 2x ＋3， x ∈R4则f(x)在π π闭区间 － 4， 4 上的最大值和最小值分别为________．[答案 ]1、－ 142[分析 ]f(x) ＝1sinxcosx＋3c os2x－3cos2x＋3＝1s in2x －3(cos2x ＋ 1) ＋3＝1 2244442sin 2x－π，当 x∈π ππ5π π3－，时， 2x－∈ －，，44366π1∴ sin2x－3∈－1，2 .11∴ f(x)∈ －，.π12． (文 )(2014 陕·西文， 13)设 0<θ<2，向量a＝(sin2θ，cosθ)， b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则 tanθ＝________.[答案 ]1 2[分析 ]此题考察向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.π又 0<θ<2，∴ cosθ≠0，1∴ 2sinθ＝ cosθ，∴ tanθ＝2.(理 )假如两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出以下四个函数：①f(x)＝sinx＋ cosx；②f(x)＝ 2(sinx＋ cosx)；③ f(x)＝sinx；④f(x)＝ 2sinx＋ 2.此中为“互为生成”函数的是________( 填序号)．[答案 ]①④[分析 ]第一化简题中的四个分析式可得：①f( x)＝π2sin(x＋ 4)，②πf( x)＝ 2sin(x＋ 4)，③f(x)＝ sinx，④ f(x)＝2sinx＋2，可知③ f( x)＝ sinx 的图象要与其余的函数图象重合，纯真经过平移不可以达成，一定经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝ sinx 不可以与其余函数成为“互为ππ生成”函数，同理① f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象与② f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象也一定经过伸缩变换44才能重合，而④ f(x)＝ 2sinx＋ 2的图象向左平移π2个单位即可获得个单位，再向下平移4π①f(x)＝2sin(x＋4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．三、解答题2ωx13． (文 )(2014 甘·肃三诊 )已知 f(x)＝ 3sin ωx－ 2sin2 (ω>0) 的最小正周期为 3π.π 3π(1)当 x ∈ [ ，4] 时，求函数 f(x)的最小值；2(2)在△ ABC 中，若 f(C)＝ 1，且 2sin2B ＝cosB ＋ cos(A － C)，求 sinA 的值．1－ c ωx[分析 ] ∵ f(x)＝ 3sin( ωx )－ 2·2π＝ 3sin(ωx )＋ cos(ωx )－ 1＝ 2sin(ωx＋ 6)－ 1，由2π22 πω ＝ 3π得 ω＝ ，∴ f(x)＝ 2sin( x ＋)－ 1.336π3π π 2π 2π(1)由 ≤x ≤ 得 ≤≤ ，242 3x ＋ 6 32 π3 时， f(x) min ＝2× 3－ 1. ∴当 sin( x ＋6 )＝2 －1＝3 322 π(2)由 f(C)＝2sin( 3C ＋ 6)－ 1 及 f(C)＝ 1，得sin(2 π C ＋ )＝ 1，3 6而 π 2 π 5π 2 π π π≤ C ＋ ≤ ，所以C ＋ ＝ ，解得 C ＝ .6 36 6 3 6 2 2π 在 Rt △ABC 中，∵ A ＋ B ＝ 2， 2sin 2 B ＝ cosB ＋cos(A － C)， ∴ 2cos 2A －sinA － sinA ＝ 0，－1± 5∴ sin 2A ＋ sinA － 1＝ 0，解得 sinA ＝ .2∵ 0<sinA<1，∴ sinA ＝5－1.221(理 )已知函数 f(x)＝ (2cos x － 1)sin2x ＋ 2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及最大值；π2，求 α的值．(2)若 α∈ ， π，且 f(α)＝22[分析 ](1)因为21f(x)＝(2cos x －1)sin2 x ＋ 2cos4x＝ cos2xsin2x ＋ 1cos4x21＝ 2(sin4x ＋ cos4x)2π＝ 2 sin(4x ＋4)所以 f(x)的最小正周期为π2，最大值为2.2(2)因为 f(α)＝ 2 ，所以 sin(4 π2 α＋ )＝ 1.4π因为 α∈ ( ，π)，2π9π 17π所以 4α＋4∈ ( 4 ，4 )，π 5π9π所以 4α＋ ＝，故 α＝4216.5π5π 25π14．已知函数 f(x)＝ 2sin( x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－2cos (x ＋24)＋ 1. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的单一递加区间．5π5π 25π[分析 ] (1)∵ f(x)＝ 2sin(x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－ 2cos (x ＋ 24)＋ 1＝ sin(2x ＋5π5π 12)－ cos(2x ＋ 12)＝ 2[sin(2 x ＋5π π 5π π) ·cos － cos(2x ＋12 ) ·sin ]12445π π＝2sin[(2 x ＋ 12)－4]π＝ 2sin(2x ＋6)．2π ∴ f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2π(2)由 (1) 可知 f( x)＝ 2sin(2x ＋ 6)．ππ π当－ ＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π(k ∈ Z )，26 2 π π即 k π－ ≤x ≤k π＋ (k ∈ Z )时，36函数 f(x)＝π2sin(2 x ＋)是增函数，3∴函数 f(x)的单一递加区间是π π[k π－ ， k π＋ ]( k ∈ Z )．36[方法点拨 ]1.解答三角函数性质 ( 单一性、周期性、最值等 )问题时，往常是利用三角函数的相关公式，经过将三角函数化为只含一个函数名称且角度独一，最高次数为一次 (一角一函 )的形式，再依正 ( 余)弦型函数挨次对所求问题作出解答．2．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦 (余弦 ) 型函数y ＝ asin ωx＋ bcos ωx 型引入协助角化为一角一函．(2)化为对于 sinx(或 cosx)的二次函数．15．设函数 f(x)＝2cos 2 x ＋2 3sinxcosx ＋m(x ∈ R ) ．(1)化简函数 f(x)的表达式，并求函数f( x)的最小正周期；πm ，使函数 f(x)的值域恰为 [ 1，7]？若存在，恳求出 m 的(2)若 x ∈ [0，]，能否存在实数22 2值；若不存在，请说明原因．[ 分析 ] (1) ∵ f(x)＝ 2cos 2x ＋ 2π3sinxcosx ＋ m ＝ 1＋ cos2x ＋ 3sin2x ＋ m ＝ 2sin(2x ＋ 6)＋ m＋1，∴函数 f(x)的最小正周期T ＝ π.(2)假定存在实数 m ，切合题意．πππ 7π∵ x ∈ [0，2]，∴ 6≤2x ＋6≤6 ，π1 则 sin(2x ＋ 6)∈ [－ 2， 1]，π∴ f(x)＝2sin(2 x ＋ 6)＋m ＋ 1∈[m,3＋m]．1 ， 71又∵ f(x)的值域为 [2 ]，解得 m ＝ .22∴存在实数 m ＝ 1，使函数 f(x) 的值域恰为 [ 1，7]．22 2[方法点拨 ] 1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值．2．议论三角函数的性质 (求单一区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依照正弦型或余弦型函数的性质进行议论．3．三角变换的基本策略：(1)1 的变换； (2) 切化弦； (3)起落次； (4)引入协助角； (5) 角的变换与项的分拆．16． (文 )(2015 广·东文， 16)已知 tan α＝ 2.(1)求 tan α＋π的值；42 sin 2α的值．(2)求 sin α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1[剖析 ] 考察： 1.两角和的正切公式； 2.特别角的三角函数值； 3.二倍角的正、 余弦公式；4.同角三角函数的基本关系．π(1)由两角和的正切公式睁开，代入数值， 即可得 tan α＋ 4 的值； (2) 先利用二倍角的正、余弦公式变形，而后化切求解．π[分析 ](1) tan α＋π＝ tan α＋ tan 44π1－ tan αtan 4＝tan α＋ 1＝ 2＋1＝－ 3，1－ tan α 1－2sin 2α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－1＝ 2 sin αcos α22sin α＋ sin αcos α－α－－ 1＝ 2sin αcos αsin 2α＋ sin αcos α－2cos 2α＝ 2tan αtan 2α＋tan α－ 2＝ 2×222 ＋2－2 ＝ 1.x x2x.(理 )(2015 福·建文， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin cos2 ＋ 10cos22(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后获得函数g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.(ⅰ )求函数 g(x)的分析式；(ⅱ )证明：存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g( x 0)>0.[分析 ]x x ＋ 10cos 2x (1)因为 f(x)＝10 3sin cos222 ＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5π＝ 10sin x ＋6 ＋ 5.所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2π.π (2)(i) 将 f(x)的图象向右平移个单位长度后获得 y ＝ 10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a>0)6个单位长度后获得g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13.所以 g(x)＝ 10sin x － 8.(ii) 要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)>0 ，就是要证明存在无量多个4互不同样的正整数x 0，使得 10sin x 0－ 8>0 ，即 sin x 0>5.由430<απα＝4 5<知，存在，使得 sin5.20<30由正弦函数的性质可知，当x∈ (α，π－α400)时，均有sin x>5.因为 y＝sin x 的周期为2π，所以当 x∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z )时，均有因为对随意的整数k， (2kπ＋π－απ0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>3>1，4 sin x>5.所以对随意的正整数 k，都存在正整数4 x k∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得 sin x k> .5即，存在无量多个互不同样的正整数x0，使得 g(x0)>0.。
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题6三角变换、三角函数的图象与性质(含解析)
【走向高考】（全国通用） 2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题加强练 专题 6 三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1． (2015 河·南八市质检 )已知 sin α＋π－ cos α＝1，则 2sin αcos α＋π＝ ()6 3 65 5 A ．－ 18B.187 7 C ．－ 9D.9 [答案 ]Bπ ＝ 2sin α 31[分析 ]2sin αcos α＋6 2 cos α－ 2sin α31－ cos 2α π 1＝ 2 sin 2α－2 ＝ sin 2α＋ 6 －2，π3 1又因为 sin α＋ 6 － cos α＝ 2 sin α＋ 2cos α－ cos α3 1 cos α＝sin α－ π 1 ，＝ sin α－ 6 ＝2 2 3π π π π又 sin 2α＋ 6 ＝ cos 2－2α＋6 ＝ cos 3－2α＝ 1－ 2sin 2α－ π＝ 1－ 2＝ 7，69 9π7 1 5所以 2sin αcos α＋ 6 ＝ 9－ 2＝ 18.[方法点拨 ] 1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角 α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sin α、cos α、tan α中的一 个值求其余值时，直接运用同角关系公式求解，能用引诱公式化简的先化简．2．已知 tan α求 sin α与 cos α的齐次式的值时，将分子分母同除以 cos n α化 “切 ”代入，所 求式为整式时，视分母为1，用 1＝ sin 2α＋ cos 2α代换．3．sin θ＋ cos θ，sin θ－ cos θ，sin θcos θ知一求其余值时， 利用关系 (sin θ±cos θ)2＝1±2cos θcos θ. 要特别注意利用平方关系巧解题． 已知某三角函数式的值， 求另一三角函数式的值时， 重点是剖析找出两三角函数式的联系适合化简变形，再代入计算．2．(文 )(2015洛·阳市期末)已知角 α的终边经过点A(－ 3，a) ，若点A 在抛物线1y ＝－ 4x 2 的准线上，则sin α＝()33 A ．－ 2B. 21 1 C ．－ 2D.2[答案 ]D1[分析 ] 由已知得抛物线的准线方程为y ＝ 1，故 A( － 3， 1) ，所以 sin α＝ 2.(理 )(2015π的图象，只需将函数y ＝ sin 4x 的图象山·东理， 3) 要获得函数 y ＝ sin 4x －3()πB ．向右平移 πA ．向左平移 12个单位12个单位πD ．向右平移π个单位个单位C ．向左平移 3 3[答案 ] Bπππ[分析 ]因为 y ＝ sin(4x － 3)＝ sin[4( x － 12)] 所以要获得 y ＝ sin[4( x － 12)] 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移π个单位．应选 B.12π3．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(此中 A>0，ω>0，|φ|<2) 的图象如下图， 为了获得g(x)＝ sin3x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )πA ．向右平移 4个单位长度πB ．向右平移 12个单位长度πC ．向左平移 4个单位长度πD ．向左平移 12个单位长度[答案]B[分析 ]由题知，函数 f(x)的周期5π π 2π T ＝4(－ )＝，12 4 32π 2π所以 3 ＝ ω，解得 ω＝3，易知 A ＝ 1，所以 f(x)＝ sin(3x ＋ φ)．又 f(x) ＝sin(3x ＋ φ)过点 (5π，－ 1)，12 5π所以 sin(3 × ＋φ)＝－ 1，125π 3所以 3× ＋ φ＝2k π＋2π， k ∈Z ，12ππ所以 φ＝ 2k π＋4， k ∈ Z ，又 |φ|<2，π所以 φ＝ ，4ππ所以 f(x)＝ sin(3x ＋ )＝ sin[3( x ＋12)] ，4所以将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度能够获得函数g( x)＝ sin3x 的图象，应选12B.[方法点拨 ]1.已知正弦型 (或余弦型 )函数的图象求其分析式时， 用待定系数法求解． 由图中的最大值或最小值确立A ，再由周期确立 ω，由图象上特别点的坐标来确立φ，只有限定 φ的取值范围，才能得出独一解，不然φ的值不确立，分析式也就不独一．将点的坐标代入分析式时，要注意选择的点属于“五点法 ”中的哪一个点．“第一点 ”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为 ωx＋0 φ＝ 0＋ 2k π(k ∈ Z ) ，其余挨次类推即可．2．解答相关平移伸缩变换的题目时，向左(或右 )平移 m 个单位时，用 x ＋ m(或 x － m)取代 x ，向下 (或上 )平移 n 个单位时，用y ＋ n(或 y － n)取代 y ，横 (或纵 )坐标伸长或缩短到原来的 k 倍，用 x 取代 x(或 y取代 y)，即可获解．kk10，则 tan2α＝ () 4． (文 )已知 α∈ R ， sin α＋ 2cos α＝ 24 3A. 3B.434C ．－ 4D ．－ 3[答案] C[分析 ]此题考察三角函数同角间的基本关系．将 sin α＋ 2cos α＝10两边平方可得，22 2α＝ 5 ， sinα＋ 4sin αcos α＋4cos223∴ 4sin αcos α＋ 3cos α＝2.将左侧分子分母同除以cos 2α得，3＋ 4tanα 3，解得 tanα＝3 或 tanα＝－1，2＝3 1＋ tanα2∴ tan2α＝2tanα32＝－. 1－ tan α4(理 )(2015唐·山市一模 )已知 2sin2α＝ 1＋ cos2α，则 tan2α＝()4 4A．－3 B.3C．－4或0 D.4或 0 33[答案 ]Dsin2α＝4[分析 ]2sin2α＝1＋ cos2αsin2α＝ 05∵sin22α＋ cos22α＝ 1，∴或3cos2α＝－ 1，cos2α＝54∴ tan2α＝ 0 或 tan2α＝ .35． (2015 安·徽理， 10)已知函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数 )的最小正周2π)期为π，当 x＝时，函数 f(x)获得最小值，则以下结论正确的选项是(3A． f(2)＜ f(－ 2)＜ f(0)B．f(0)＜f(2) ＜f(－2)C．f(－ 2)＜ f(0)＜ f(2)D． f(2)＜ f(0)＜ f(－ 2)[答案]A[分析 ]考察三角函数的图象与应用及函数值的大小比较．2π 2π解法 1：由题意，f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0) ，T＝＝＝π，所以ω＝2，|ω|ω则 f(x)＝ Asin(2x＋φ)，而当x＝2π2π3ππ时， 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，解得φ＝＋ 2kπ， k∈Z，3326ππ ππ所以 f(x)＝ Asin(2x＋ )(A>0) ，则当2x＋＝＋ 2nπ， n∈Z，即 x＝＋ nπ，时， n∈Z， f( x)取6626得最大值．要比较 f(2)，f(－ 2)，f(0)的大小，只需判断 2，－ 2,0与近来的最高点处对称轴的π5π距离大小，距离越大，值越小，易知0,2 与6比较近，－ 2 与－6比较近，所以，当k＝0 时，πππ时， x＝－5π(－5πx＝，此时|0－ |＝ 0.52，|2－ |＝ 1.47，当 k＝－ 1，此时 |－ 2－6)|＝0.6，所6666以 f(2)< f( －2)<f(0)，应选 A.解法 2：∵ f(x) 的最小正周期为2π2π π ππ，且在 x＝时 f(x)取最小值，∴在 x＝－＝时取到3326π 2π最大值 f(－ 2)＝ f(－2＋ π)，∵ f(x)在 [ ， ]上单一递减，∴ f( π－ 2)> f(2)，即 f(－ 2)> f(2)，又 π 63π π ， f(x)图象的一条对称轴方程为π ，即 f(－ 2)< f(0)，－2－> －0x ＝ ，∴ f( π－ 2)< f(0)6 66∴ f(2)< f(－ 2)< f(0) ．π π6． (文 )函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0，|φ|<2)的图象对于直线 对称，它的最小x ＝ 3正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是 ( )ππA ．( ， 1)B ． (， 0)312 5ππ， 0)D ． (－ ，0)C ．( 12 12[答案 ] B[分析 ]由题意知 T ＝π，∴ ω＝ 2，π π π π 由函数图象对于直线 x ＝ 对称，得2× ＋ φ＝ ＋ k π(k ∈ Z )，即 φ＝－ ＋ k π(k ∈ Z )．3326π π又 |φ|< ，∴ φ＝－ ，26π∴ f(x)＝Asin(2 x －)，6π π令 2x － ＝ k π(k ∈ Z )，则 x ＝ ＋ kπ(k ∈ Z )．6122∴一个对称中心为( π， 0)，应选 B.122(理 )已知函数 f(x)＝ cosxsin x ，以下结论中错误的选项是 ( )B ．f(x)最大值是 1πC ．f(x)的图象对于点 (， 0)对称2D ． f(x)的图象对于直线 x ＝ π对称 [答案 ] B[分析 ]f( － x)＝ cos(－ x)sin 2 (－ x)＝ cosxsin 2x ＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数． f(x ＋ 2π)＝cos(x ＋222 32π )sin(x ＋ 2π)＝cosxsin x ，∴ 2π是 f(x)一个周期，故 A 选项正确． f( x)＝cosxsin x ＝－ cos x＋ c osx ，令 t ＝ cosx 则 t ∈ [－ 1,1] ，g(t)＝－ t 3＋ t ， g ′(t)＝－ 3t 2＋ 1令 g ′(t)＝ 0，则 t ＝± 3，易知 f(x)在区间 [ － 1，－3)上单一递减，在 (－ 3， 3 )上单一33 33 递加，在 (3， 1]上单一递减， g( － 1)＝ 0， g( 3 )＝ 2 3，∴ g(t)max ＝2 3≠1，故 B 项错误．3 3 997． (文 )给出以下四个命题：π k π 3π ① f(x)＝sin(2 x － )的对称轴为x ＝2 ＋ ， k ∈ Z ；48 ②函数 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx 最大值为2；③函数 f(x)＝ sinxcosx － 1 的周期为 2π；π π π④函数 f(x)＝ sin(x ＋)在 [－， ] 上是增函数．422此中正确命题的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ] B[分析 ]π π①由 2x － ＝ k π＋ ， k ∈ Z ，4 2得 x ＝ k π 3π2＋8 (k ∈ Z )，π k π 3π即 f(x) ＝sin(2x － )的对称轴为 x ＝＋， k ∈ Z ，正确；42 8π②由 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝2sin( x ＋3)知， 函数的最大值为 2，正确；1③ f(x)＝sinxcosx － 1＝2sin2x － 1，函数的周期为 π，故③错误；ππ④函数 f(x)＝ sin(x ＋)的图象是由 f(x)＝ sinx 的图象向左平移4 个单位获得的， 故④错误．4π π π (理 )若 f( x)＝ 2sin(ωx＋ φ)＋ m ，对随意实数 t 都有 f( ＋ t)＝ f( － t)，且 f()＝－ 3，则实数888m 的值等于 ()A ．－ 1B ． ±5C ．－5或－1D ．5或1[答案 ]Cππ[分析 ] 依题意得，函数 对称，于是x ＝ 时，函数 f(x)获得最f(x) 的图象对于直线 x ＝88值，所以有 ±2＋ m ＝－ 3，∴ m ＝－ 5 或 m ＝－ 1，选 C.8． (文 )在△ ABC 中，若 tanAtanB ＝ tanA ＋ tanB ＋ 1，则 cosC 的值是 ()22 A ．－ 3B. 21 1C.2D ．－ 2[答案 ]B[分析 ]由 tanA ·tanB ＝tanA ＋ tanB ＋ 1，可得 tanA ＋ tanB ＝－ 1，即 tan(A ＋ B)＝－ 1，所1－ tanA ·tanB以 A ＋B ＝3π π 2，应选 B.4，则 C ＝ ， cosC ＝24π π 1＋ sin β(理 )(2014 新·课标Ⅰ理， 8)设 α∈ (0，2) ，β∈ (0， 2)，且 tan α＝ cos β ，则 ()π π A ． 3α－ β＝ 2B ． 3α＋ β＝2ππ C ．2α－β＝ 2 D ． 2α＋ β＝2[答案 ]C[分析 ]此题考察了引诱公式以及三角恒等变换．运用考证法．π π解法 1：当 2α－ β＝2时， β＝2α－2，1＋ πα－2 1－ cos2α 2·sin 2α 所以π ＝ sin2α ＝ sin2α＝ tan α.α－ 2sin α 1＋ sin β 解法 2：∵ tan α＝＝，cos αcos βπ ∴ sin(α－ β)＝cos α＝ sin( － α)，2∵ α、 β∈ππ π π π ππ (0， )，∴ α－ β∈ (－ ， )， － α∈ (0， 2 )，∴ α－β＝ － α，∴ 2 α－ β＝ .2 2 2 2 22 9． (2015 石·家庄市二模 )在平面直角坐标系中，角 α的极点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点πππ＝ ()P sin ，cos，则 sin 2α－128833A. 2B ．－ 21 1C.2D ．－ 2[答案 ] A[分析 ]因为角 α的终边经过点ππ3π 3πP(sin， cos )，即P(cos ， sin)，88883π∴ α＝ 2k π＋ 8 ， k ∈ Z .∴ sin(2α－ π3π π－12)＝ sin(4 k π＋ 4 12)2π3，应选 A.＝ sin ＝2310． (文 )(2015 河·南六市联考 ) 函数 y ＝ cos(ωx＋ φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如下图， A 、 B 分别为最高点与最低点，而且两点间的距离为2 2，则该函数图象的一条对称轴为 ()2πA ． x ＝ πB ． x ＝ 2C ．x ＝ 1D ． x ＝ 2[答案] C[分析 ]∵ y ＝ cos(ωx＋φ)为奇函数，∴其图象过原点，∴ cos φ＝0，π ∵ 0<φ<π，∴ φ＝ ，2πT 2 ＋[1 －( －1)] 2 ＝ (2 2)2， ∴ y ＝ cos(ωx＋ )＝－ sin ωx，设周期为T ，则由条件知 ( )22∴ T ＝4.∴ ω＝2π πT＝ ，2π∴函数为 y ＝－ sin(x)．2π π令 x ＝ k π＋ (k ∈ Z )得 x ＝ 2k ＋ 1，∴ x ＝ 1 为其一条对称轴．22(理 )(2015 陕·西理， 3) 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似知足函数y ＝π3sin 6x ＋ φ＋ k.据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 ()A ． 5C ．8B ． 6D ． 10[答案 ]C[分析 ]由图象知，最小值为2，∴－ 3＋k ＝ 2，∴ k ＝ 5，∴最大值为3＋ k ＝ 8.应选 C.二、填空题11． (2015·芦岛市一模葫)已知函数πf( x)＝ cosx ·sin x ＋ 3 －3cos 2x ＋3， x ∈R4则f(x)在π π闭区间 － 4， 4 上的最大值和最小值分别为________．[答案 ]1、－ 142[分析 ]f(x) ＝1sinxcosx＋3c os2x－3cos2x＋3＝1s in2x －3(cos2x ＋ 1) ＋3＝1 2244442sin 2x－π，当 x∈π ππ5π π3－，时， 2x－∈ －，，44366π1∴ sin2x－3∈－1，2 .11∴ f(x)∈ －，.π12． (文 )(2014 陕·西文， 13)设 0<θ<2，向量a＝(sin2θ，cosθ)， b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则 tanθ＝________.[答案 ]1 2[分析 ]此题考察向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.π又 0<θ<2，∴ cosθ≠0，1∴ 2sinθ＝ cosθ，∴ tanθ＝2.(理 )假如两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出以下四个函数：①f(x)＝sinx＋ cosx；②f(x)＝ 2(sinx＋ cosx)；③ f(x)＝sinx；④f(x)＝ 2sinx＋ 2.此中为“互为生成”函数的是________( 填序号)．[答案 ]①④[分析 ]第一化简题中的四个分析式可得：①f( x)＝π2sin(x＋ 4)，②πf( x)＝ 2sin(x＋ 4)，③f(x)＝ sinx，④ f(x)＝2sinx＋2，可知③ f( x)＝ sinx 的图象要与其余的函数图象重合，纯真经过平移不可以达成，一定经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝ sinx 不可以与其余函数成为“互为ππ生成”函数，同理① f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象与② f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象也一定经过伸缩变换44才能重合，而④ f(x)＝ 2sinx＋ 2的图象向左平移π2个单位即可获得个单位，再向下平移4π①f(x)＝2sin(x＋4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．三、解答题2ωx13． (文 )(2014 甘·肃三诊 )已知 f(x)＝ 3sin ωx－ 2sin2 (ω>0) 的最小正周期为 3π.π 3π(1)当 x ∈ [ ，4] 时，求函数 f(x)的最小值；2(2)在△ ABC 中，若 f(C)＝ 1，且 2sin2B ＝cosB ＋ cos(A － C)，求 sinA 的值．1－ c ωx[分析 ] ∵ f(x)＝ 3sin( ωx )－ 2·2π＝ 3sin(ωx )＋ cos(ωx )－ 1＝ 2sin(ωx＋ 6)－ 1，由2π22 πω ＝ 3π得 ω＝ ，∴ f(x)＝ 2sin( x ＋)－ 1.336π3π π 2π 2π(1)由 ≤x ≤ 得 ≤≤ ，242 3x ＋ 6 32 π3 时， f(x) min ＝2× 3－ 1. ∴当 sin( x ＋6 )＝2 －1＝3 322 π(2)由 f(C)＝2sin( 3C ＋ 6)－ 1 及 f(C)＝ 1，得sin(2 π C ＋ )＝ 1，3 6而 π 2 π 5π 2 π π π≤ C ＋ ≤ ，所以C ＋ ＝ ，解得 C ＝ .6 36 6 3 6 2 2π 在 Rt △ABC 中，∵ A ＋ B ＝ 2， 2sin 2 B ＝ cosB ＋cos(A － C)， ∴ 2cos 2A －sinA － sinA ＝ 0，－1± 5∴ sin 2A ＋ sinA － 1＝ 0，解得 sinA ＝ .2∵ 0<sinA<1，∴ sinA ＝5－1.221(理 )已知函数 f(x)＝ (2cos x － 1)sin2x ＋ 2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及最大值；π2，求 α的值．(2)若 α∈ ， π，且 f(α)＝22[分析 ](1)因为21f(x)＝(2cos x －1)sin2 x ＋ 2cos4x＝ cos2xsin2x ＋ 1cos4x21＝ 2(sin4x ＋ cos4x)2π＝ 2 sin(4x ＋4)所以 f(x)的最小正周期为π2，最大值为2.2(2)因为 f(α)＝ 2 ，所以 sin(4 π2 α＋ )＝ 1.4π因为 α∈ ( ，π)，2π9π 17π所以 4α＋4∈ ( 4 ，4 )，π 5π9π所以 4α＋ ＝，故 α＝4216.5π5π 25π14．已知函数 f(x)＝ 2sin( x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－2cos (x ＋24)＋ 1. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的单一递加区间．5π5π 25π[分析 ] (1)∵ f(x)＝ 2sin(x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－ 2cos (x ＋ 24)＋ 1＝ sin(2x ＋5π5π 12)－ cos(2x ＋ 12)＝ 2[sin(2 x ＋5π π 5π π) ·cos － cos(2x ＋12 ) ·sin ]12445π π＝2sin[(2 x ＋ 12)－4]π＝ 2sin(2x ＋6)．2π ∴ f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2π(2)由 (1) 可知 f( x)＝ 2sin(2x ＋ 6)．ππ π当－ ＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π(k ∈ Z )，26 2 π π即 k π－ ≤x ≤k π＋ (k ∈ Z )时，36函数 f(x)＝π2sin(2 x ＋)是增函数，3∴函数 f(x)的单一递加区间是π π[k π－ ， k π＋ ]( k ∈ Z )．36[方法点拨 ]1.解答三角函数性质 ( 单一性、周期性、最值等 )问题时，往常是利用三角函数的相关公式，经过将三角函数化为只含一个函数名称且角度独一，最高次数为一次 (一角一函 )的形式，再依正 ( 余)弦型函数挨次对所求问题作出解答．2．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦 (余弦 ) 型函数y ＝ asin ωx＋ bcos ωx 型引入协助角化为一角一函．(2)化为对于 sinx(或 cosx)的二次函数．15．设函数 f(x)＝2cos 2 x ＋2 3sinxcosx ＋m(x ∈ R ) ．(1)化简函数 f(x)的表达式，并求函数f( x)的最小正周期；πm ，使函数 f(x)的值域恰为 [ 1，7]？若存在，恳求出 m 的(2)若 x ∈ [0，]，能否存在实数22 2值；若不存在，请说明原因．[ 分析 ] (1) ∵ f(x)＝ 2cos 2x ＋ 2π3sinxcosx ＋ m ＝ 1＋ cos2x ＋ 3sin2x ＋ m ＝ 2sin(2x ＋ 6)＋ m＋1，∴函数 f(x)的最小正周期T ＝ π.(2)假定存在实数 m ，切合题意．πππ 7π∵ x ∈ [0，2]，∴ 6≤2x ＋6≤6 ，π1 则 sin(2x ＋ 6)∈ [－ 2， 1]，π∴ f(x)＝2sin(2 x ＋ 6)＋m ＋ 1∈[m,3＋m]．1 ， 71又∵ f(x)的值域为 [2 ]，解得 m ＝ .22∴存在实数 m ＝ 1，使函数 f(x) 的值域恰为 [ 1，7]．22 2[方法点拨 ] 1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值．2．议论三角函数的性质 (求单一区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依照正弦型或余弦型函数的性质进行议论．3．三角变换的基本策略：(1)1 的变换； (2) 切化弦； (3)起落次； (4)引入协助角； (5) 角的变换与项的分拆．16． (文 )(2015 广·东文， 16)已知 tan α＝ 2.(1)求 tan α＋π的值；42 sin 2α的值．(2)求 sin α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1[剖析 ] 考察： 1.两角和的正切公式； 2.特别角的三角函数值； 3.二倍角的正、 余弦公式；4.同角三角函数的基本关系．π(1)由两角和的正切公式睁开，代入数值， 即可得 tan α＋ 4 的值； (2) 先利用二倍角的正、余弦公式变形，而后化切求解．π[分析 ](1) tan α＋π＝ tan α＋ tan 44π1－ tan αtan 4＝tan α＋ 1＝ 2＋1＝－ 3，1－ tan α 1－2sin 2α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－1＝ 2 sin αcos α22sin α＋ sin αcos α－α－－ 1＝ 2sin αcos αsin 2α＋ sin αcos α－2cos 2α＝ 2tan αtan 2α＋tan α－ 2＝ 2×222 ＋2－2 ＝ 1.x x2x.(理 )(2015 福·建文， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin cos2 ＋ 10cos22(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后获得函数g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.(ⅰ )求函数 g(x)的分析式；(ⅱ )证明：存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g( x 0)>0.[分析 ]x x ＋ 10cos 2x (1)因为 f(x)＝10 3sin cos222 ＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5π＝ 10sin x ＋6 ＋ 5.所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2π.π (2)(i) 将 f(x)的图象向右平移个单位长度后获得 y ＝ 10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a>0)6个单位长度后获得g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13.所以 g(x)＝ 10sin x － 8.(ii) 要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)>0 ，就是要证明存在无量多个4互不同样的正整数x 0，使得 10sin x 0－ 8>0 ，即 sin x 0>5.由430<απα＝4 5<知，存在，使得 sin5.20<30由正弦函数的性质可知，当x∈ (α，π－α400)时，均有sin x>5.因为 y＝sin x 的周期为2π，所以当 x∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z )时，均有因为对随意的整数k， (2kπ＋π－απ0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>3>1，4 sin x>5.所以对随意的正整数 k，都存在正整数4 x k∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得 sin x k> .5即，存在无量多个互不同样的正整数x0，使得 g(x0)>0.。
解密06三角函数的图象与性质(分层训练)(原卷版)-2022年高考数学二轮复习讲义分层训练
解密06 三角函数的图象与性质1、（2021·全国·高一课时练习）若角α的终边上一点的坐标为(11)-，，则cos α=( ) A ．1- B．CD ．12、（2020·北京·清华附中高一期末）若点()4,3P 在角α的终边上，则cos α=（ ） A ．45B ．35C ．34 D ．433、（2021·江苏·高一专题练习）已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于（ ） A ．－1213B ．1213C ．512D ．±12134、（2021·云南师大附中高三阶段练习（文））已知sin 2cos 0θθ-=，则sin sin 2sin πθθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=（ ）A ．3B ．32C ．12D ．1-5、（2021·湖南·沅江市第一中学高三阶段练习）若3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．725B ．2425C ．725-D ．2425-6、（2021·江苏·高一单元测试）函数()()sin 0,2f x A x B πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 22y x =-B ．2cos31y x =-C ．sin 215y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D ．1sin 25y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭7、（2021·陕西商洛·模拟预测（理））将函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度后，得到函数()cos(2)g x x ϕ=+的图象，则()g x 图象的一条对称轴方程为（ ）A ．512x π=B ．65x π=-C ．512x π=-D ．56x π=8、（2021·贵州毕节·模拟预测（文））已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则( )A ．()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9、（2021·全国·高一课时练习）若3sin()25πα+=，则22cos sin αα-=___________.10、（2021·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为________.11、（2021·吉林·高三阶段练习（文））函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）先将函数()f x 图象上所有点向右平移524π个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的单调递增区间．12、（2021·四川·雅安中学高一期中）已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0>ω.（1）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的表达式.（2）求出（1）中()y g x =的对称中心和对称轴.（3）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围.1、（2021·全国·高一课时练习）设0a <，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，那么sin 2cos αα+=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．252、（2020·上海·位育中学高一期中）已知α是第四象限角，(3,)P y 是角α终边上的一个点，若3cos 5α=，则y =（ ） A ．4B ．4C ．4±D ．不确定3、（2021·全国·高一课时练习）设()tan 5m πα+=，则sin(3)cos()sin()cos()a a a a πππ+++--+的值等于（ ）A ．11m m +- B ．11m m -+ C ．1- D ．1 4、（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（理））若tan 2θ=-，则22cos sin θθ-=（ ） A ．45-B ．35C ．35 D ．455、（2021·河南·高三阶段练习（文））函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的一个对称中心是(,)m n ，则m n +的值为（ ） A ．8π B ．38π C ．28π+ D ．328π+ 6、（2021·全国·高三阶段练习（文））已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()2f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两个极值点，则ω的最大值为（ ） A ．443B ．563C ．463D ．2037、（2021·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在7π12x =处有最小值，为了得到()2cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 8、（2020·上海·位育中学高一期中）关于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有下列命题①其最小正周期为π； ②其图像由2sin 2y x =向右平移3π个单位而得到；③其表达式写成5()2cos 2;6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭④在,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦为单调递增函数； ⑤其图像关于直线6x π=对称 ⑥图像关于点(,0)3π-对称；则其中假命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49、（2021·天津市武清区大良中学高三期中）将函数y=sin(2x+)ϕ（0)ϕπ≤<的图像向左平移6π个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则ϕ=__________10、（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高三阶段练习）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且()()12f x f x =，则()12f x x +=________．11、（2021·上海市吴淞中学高二阶段练习）定义运算12142334a a a a a a a a =-，将函数()()sin 0cos wxf x w wx=>的图象向左平移23π个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则w 的最小值是___________. 12、（2020·广东揭东·高一期末）已知函数()cos()f x A x ωϕ=-，x ∈R （其中0A >，0>ω，0)2πϕ<<的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且函数图象与直线y=3相切.对于任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤（1）求()f x 的解析式；（2）先把函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的递减区间. 13、（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若()0g x m -=在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根，求m 的取值范围．。
高考数学二轮核心考点突破：专题06-三角函数的图像与性质(含答案)
专题06 三角函数的图像与性质【自主热身，归纳总结】1、已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．【答案】： 3＋2 2【解析】：由tan θ＝6cos θ得sin θ＝6c os 2θ，即sin θ＝6(1－sin 2θ)，解得sin θ＝63(负值已舍去)，cos θ＝33，代入sin θ＋cos θsin θ－cos θ，可得结果为3＋2 2. 2、在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________． 【答案】： 97【解析】：由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－151＋2×15＝97. 3、 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】： π2【解析】：由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.4、若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 【答案】： 4【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】： －1【解析】：由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎪⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思 依图求函数y ＝A sin (ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．6函数f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x2的最小正周期为________．【答案】2π【解析】：因为f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x 2＝12sin x －3·1＋cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32，所以最小正周期为2π.7、将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________. 【答案】：. 5π128、 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________． 【答案】： 12【解析】：因为f (x )的最小正周期为π，所以2πω＝π，故ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝si n 2π3＋π6＝sin 5π6＝12.9、 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________.【答案】：－4＋6215【解析】： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215.10、 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．【答案】： －13【解析】：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝s in αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 11．若函数的图象过点(0,3)，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ▲ ．【答案】： ]127,12[ππ（或)127,12(ππ）12、在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ．【答案】．2解法1 令，可得即，又x ∈[0，2π]，所以116x π=或2x π=，故原函数图象与12y =的交点个数为2.解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为213、 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.【答案】： －3125思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sin θ＝45，cos θ＝35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意． 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以si n θ＋cos θ＝－3125.解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解． 本质上，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由A sin θ＋B cos θ＝C 求sin θ，cos θ可能有两组解．14、 已知sin(x ＋π6)＝13，则sin(x －5π6)＋sin 2(π3－x)的值为________．【答案】： 59【解析】：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin(x ＋π6)＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－sin 2(x ＋π6)＝1－19＝89，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59.解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分． 【问题探究，变式训练】例1、 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )【解析】：由题意可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x＝0，所以φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π6(k ∈Z )．又因为||φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos x ，故单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )．【变式1】、.. 若f(x)＝3sin (x ＋θ)－cos (x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.【变式2】、. 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 【答案】π6解法1 函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移m (m >0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3，由于函数y ＝2sin x 的图像至少向左平移π2个单位长度后可得到关于y 轴对称的图像，所以m ＋π3的最小值是π2，故m 的最小值是π6.【关联6】、将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（π6，32)，则φ的最小值为________. 【答案】： π6【解析】：将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y ＝sin(2x ＋2φ)的图像，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，所以π3＋2φ＝2k π＋π3或π3＋2φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即φ＝k π或φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又因为φ>0，所以φ的最小值为π6.易错警示 错以为函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y ＝sin(2x ＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．例2、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1) 求函数y ＝f (x )的【解析】式；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．【解析】： (1) 由图像知，A ＝2，(2分)又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.(4分) 所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.(6分)所以f (x )＝2sin x ＋π6.(8分)(2) 当x ∈[－π2，π2]时，x ＋π6∈[－π3，2π3]，(10分)所以sin x ＋π6∈[－32，1]，即f (x )∈[－3，2]．(14分)易错警示 在求f (x )的【解析】式中φ的值时，如果选用图像过点5π6，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求φ的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根． 【变式1】、已知函数（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的【解析】式； （2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．【解析】：（1）由图可知，A 2，T 2π，故1ω=，所以，f (x )2sin()x ϕ+．又，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-．于是，f (x )2sin()6x π-．（2）由3()2f α=，得．所以，=．【变式2】、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2部分图像如图所示． (1) 求函数f (x )的【解析】式；【解析】：(1) 首先把函数化简为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，其中A ＞0，ω＞0. (2) 利用正弦、余弦定理，列出关于边a ，b 的方程组． 规范解答 (1) 因为f (x )＝32sin2x －12(1＋cos2x )－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1所以函数f (x )的最小值是－2，此时2x －π6＝2k π－π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π6，k ∈Z ，即x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2) 由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a .(11分) 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝3由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，a 2＋b 2－ab ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.【关联】、已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1) 当a ∥b 时，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的值；(2) 设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域．【解析】 (1) 因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－34－11－34＝－7.(2) f (x )＝2(a ＋b )·b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋cos x ，－14·(cos x ，－1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos 2x ＋14 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1， 所以12≤f (x )≤32＋2，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32＋2.。
文科数学专题三角函数的图像与性质(专练)高考二轮复习资料含答案
专聽06三角函数的图像与性质(押题专练)nB. 直线x = 是C 的一条对称轴C. 点亍,0是C 的一个对称中心nD. 直线x ==是C 的一条对称轴8【解析】iSD 令2x+扌二比 圧Z 得话-討第 5所以函数金尸珈@+另的对称中心为(-£+争"，底厶排除丄U 令N+*升如 辰乂得工=所以函数的对称轴为尸扌+ %排除故选D”3.函数 f (x ) = A sin 3 x (A >0, co >0)的部分图象如图所示，贝 U f (1) + f (2) + f (3) +…+ f (2 017)的值A. 2B. 3 2C. 6 2D. — •, 2【解析】选A.由图象可得，A = 2, T = 8, = 8, o= 丁, 3 4••• f (x ) = 2sin x ,4• f ⑴=■ 2, f (2) = 2, f (3) =2, f (4) = 0, f (5) =-2,x1 .函数 f (x ) = sin qcos 的最小正周期是(A.— 4 C. n【解析】选C.函数f (x ).x xsin2cos 21 =2lsinx | 的最小正周期 T = n ，故选C.2. 设函数f (x ) = 3sin i 2x +才(x € R)的图象为 C, 则下列表述正确的是 ()A. 占 八■2, 0是C 的一个对称中心nf(6) =- 2, f(7) =- 2 , f(8) = 0,「. f (x)是周期为8 的周期函数，而 2 017 = 8X 252+ 1,•f(1) + f (2) +…+ f(2 017) =2.4 .函数f (x) = 2cos( 3 x + $ )( 3丰0)对任意x都有f i 4 + x= f j才—x，贝y f j才等于()A. 2 或0 B . —2 或2C. 0 D . —2 或0【解析】选B.由f \ 4 + x = f i才—x得x=亍是函数f (x)的一条对称轴，所以f \4 =± 2,故选B.5. 设函数f (x) = 3sin2x+n(x€ R)的图象为C,则下列表述正确的是()A. 点2, 0是C的一个对称中心B. 直线x =-2是C的一条对称轴C. 点8, 0是C的一个对称中心nD. 直线x = 是C的一条对称轴8【解析】选n令加+牡E氏Ez得工=-彳+%氐所以1跚另的对称中心为(-令+第从胺召排赊* C令生+牡扌+E 底迟得工= |+p 0,所以函数皿二畑@+另的对称轴为戶斜黑圧厶排除已故选D6. 函数f (x) = A sin 3 x(A>0, 3 >0)的部分图象如图所示，贝U f (1) + f(2) + f (3) +…+ f(2 019)的值为()r*9 --0\ :/ ；-2______A. 2（花 + 1）B. 3眾C. 6迄D.—迈2【解析】选A.由函数图象可得，A= 2, T= 8,』=8, 3 =7,3 4n••• f (x ) = 2sin x ,4 • f (1) =2, f (2) = 2, f (3) =2, f (4) = 0, f (5) =—2,f (6) = — 2, f (7) =— 2, f (8) = 0,• f (x )是周期为8的周期函数. 而 2 019 = 8X 252+ 3,• f (1) + f (2) +…+ f (2 019) = f (2 017) + f (2 018) + f (2 019) = f (1) + f (2) + f (3) = 2+ 2 + 2 =2( 2 + 1).7. ____________________________________________________________ 函数y = {sin x+^cos x'x € |0, -2 I 的单调递增区间是 ______________________________________________________ .+斗，即卩2k n —二W x <2 k n +n k € Z 与x € |0, n 的交集，所以单调递增区间为I 。
2021年高考数学(理)二轮专题学与练 06 三角函数的图像与性质(考点解读)(原卷版)
专题6 三角函数的图像与性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2. 2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式4.同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．高频考点一 三角函数图象及其变换 例1、【2019年高考全国Ⅰ卷】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【举一反三】(2018年天津卷)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增D.在区间上单调递减【变式探究】【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，2sin cos ++x xx x得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【变式探究】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【变式探究】 (1)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z(2)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位 高频考点二 三角函数性质及应用例2、【2019年高考全国Ⅱ卷】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |图1图2图3【举一反三】(2018年全国Ⅱ卷理数)已知，，则__________．【变式探究】【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【变式探究】(1)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．(3)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增1．【2019年高考全国Ⅰ卷】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．2．【2019年高考全国Ⅰ卷】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间(2π，π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④2sin cos ++x xx xC ．①④D ．①③3．【2019年高考全国Ⅱ卷】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |图1图2图34．【2019年高考全国Ⅱ卷】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C 3D 55．【2019年高考全国Ⅲ卷】设函数()f x =sin(5x ωπ+)(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④6．【2019年高考天津卷】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫=⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C ．2D ．21.(2018年全国Ⅱ卷理数)若，则A. B. C.D.2. (2018年天津卷)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 3. (2018年北京卷)设函数f (x )=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．4. (2018年江苏卷)已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．5. (2018年全国Ⅱ卷理数)函数在的零点个数为________．6. (2018年全国Ⅱ卷理数)已知，，则__________．P ()．(Ⅱ)求sin(α+π)的值；(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=，求cos β的值． 8. (2018年江苏卷)已知为锐角，，．(1)求的值； (2)求的值．1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22.【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A ( )(A)310 (B)10(C)10(D)3102.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) (A)725(B)15 (C)15- (D)725-3.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=( )(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16254.【2016年高考四川理数】22cos sin 88ππ-= .5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )(A)向左平行移动π3个单位长度 (B)向右平行移动π3个单位长度 (C)向左平行移动π6个单位长度 (D)向右平行移动π6个单位长度6.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )(A)()26k x k Z ππ=-∈ (B)()26k x k Z ππ=+∈ (C)()212k x k Z ππ=-∈ (D)()212k x k Z ππ=+∈7.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s (0s >) 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则( )A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s 的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.3t =s 的最小值为3π 8.【2016高考新课标3理数】函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．9.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关10.【2016高考山东理数】函数f (x 3sin x +cos x 3x –sin x )的最小正周期是( ) (A)2π(B)π (C)23π(D)2π11.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )(A)向左平行移动π3个单位长度 (B)向右平行移动π3个单位长度(C)向左平行移动π6个单位长度 (D)向右平行移动π6个单位长度 12.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )(A)()26k x k Z ππ=-∈ (B)()26k x k Z ππ=+∈ (C)()212k x k Z ππ=-∈ (D)()212k x k Z ππ=+∈13.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s (0s >) 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则( )A.12t =，s 的最小值为6πB.3t =，s 的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.3t =，s 的最小值为3π 14.【2016高考新课标3理数】函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．15.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A ( )(A)310 (B)10 (C)10(D)31016.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) (A)725(B)15 (C)15- (D)725-17.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=( )(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16251．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
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专题06 三角函数的图像与性质
1．函数f(x)＝sinx2cos x2的最小正周期是( )
A.π4 B.π2
C．π D．2π
解析：选C.函数f(x)＝sinx2cos x2＝12|sin x|的最小正周期T＝π，故选C.
2．设函数f(x)＝3sin2x＋π4(x∈R)的图象为C，则下列表述正确的是( )
A．点π2，0是C的一个对称中心
B．直线x＝π2是C的一条对称轴
C．点π8，0是C的一个对称中心
D．直线x＝π8是C的一条对称轴
3．函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…
＋f(2 017)的值为( )
A.2
B．32
C．62
D．－2
解析：选A.由图象可得，A＝2，T＝8，2πω＝8，ω＝π4，
∴f(x)＝2sinπ4x，
∴f(1)＝2，f(2)＝2，f(3)＝2，f(4)＝0，f(5)＝－2，
f(6)＝－2，f(7)＝－2，f(8)＝0，∴f(x
)是周期为8的周期函数，
而2 017＝8×252＋1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝2.
4．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有fπ4＋x＝fπ4－x，则fπ4等
于( )
A．2或0 B．－2或2
C．0 D．－2或0
解析：选B.由fπ4＋x＝fπ4－x得x＝π4是函数f(x)的一条对称轴，所以fπ4＝±2，
故选B.
5．若函数y＝f(x)的最小正周期为π，且图象关于点π3，0对称，则f(x)的解析式可
以是( )
A．y＝sinx2＋5π6 B．y＝sin2x－π6
C．y＝2sin2x－1 D．y＝cos2x－π6
解析：选D.依次判断各选项，A项周期不符；B项函数图象不关于点π3，0成中心对称；
C错，因为y＝2sin2x－1＝－cos 2x，同样点π3，0不是图象的对称中心，故选D.
6．已知ω＞0，函数f(x)＝cosωx＋π4在π2，π上单调递增，则ω的取值范围是
( )
A.12，54 B.12，74
C.34，94 D.32，74
7．为了得到函数f(x)＝2sin2x－π6的图象，可将函数g(x)＝3sin 2x＋cos 2x的
图象( )
A．向左平移π3 B．向右平移π3
C．向左平移π6 D．向右平移π6
解析：选D.依题意得g(x)＝2sin2x＋π6＝2sin2x＋π6－π6＝fx＋π6，因此为了
得到函数f(x)＝2sin2x－π6的图象，可将函数g(x)的图象向右平移π6个单位长度，故选
D.
8．将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移π4个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质
( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝π2对称
B．在0，π4上单调递增，为奇函数
C．在－3π8，π8上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点3π8，0对称
9．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，则
f
π
6
的值是( )
A．－3 B.33
C.3 D．1
解析：选C.因为f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，
所以函数f(x)的最小正周期为π2，πω＝π2，ω＝2，则f(x)＝tan 2x，fπ6＝tanπ3＝3，
故选C.
10．将函数f(x)＝sin2x＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，
则φ的最小正值为( )
A.π6 B.π3
C.5π12 D.7π12
解析：选A.函数f(x)＝sin2x＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解
析式为f(x)＝sin2x－2φ＋π3，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋π3＝kπ，k∈Z，
所以φ＝π6－kπ，k∈Z，则当k＝0时，φ取得最小正值π6，故选A.
11．若函数f(x)＝2sinπ6x＋π3(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线
l
与函数的图象交于B，C两点，则(OB→＋OC→)·OA→＝( )
A．－32 B．－16
C．16 D．32
解析：选D.因为当－2＜x＜10时，0＜π6x＋π3＜2π，故令f(x)＝2sinπ6x＋π3＝0，
则π6x＋π3＝π，解得x＝4，由正弦函数的对称性可知点B，C关于点A(4,0)成中心对称，
故有(OB→＋OC→)·OA→＝2OA→·OA→＝2|OA→|2＝32，故选D.
12．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝π12时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，
β的一组可能值依次为( )
A.π6，－π12 B.π6，π12
C.π3，－π6 D.π3，π6
13．函数y＝12sin x＋32cos xx∈0，π2的单调递增区间是________．
解析：y＝12sin x＋32cos x＝sinx＋π3，x∈0，π2的单调递增区间即为0≤x＋
π
3
≤π2与x∈0，π2的交集，所以单调递增区间为0，π6.
答案：0，π6
14．已知函数f(x)＝sin2x＋π6.若y＝f(x－φ)0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝
________.
解析：利用偶函数定义求解．y＝f(x－φ)＝sinx－φ＋π6＝sin
2x－2φ＋
π
6
是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，得φ＝－π6－kπ2，k∈Z.又0＜φ＜π2，所以
k
＝－1，φ＝π3.
答案：π3
15．将函数y＝2sinωx－π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，
所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．
解析：将函数y＝2sinωx－π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式
为y＝2sinωx＋ω－π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y＝
2sinωx－ω＋π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx＋ω－π4＝ω
x
－ω＋π4＋kπ，k∈Z，化简得ω＝2k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为2.
答案：2
16．已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序
号)．
①y＝f(x)的图象关于点(2π，0)中心对称；
②y＝f(x)的图象关于直线x＝π对称；
③f(x)的最大值为32；
④f(x)既是奇函数，又是周期函数．
答案：①④
17．已知函数f(x)＝2sin x·sinx＋π6.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝2sin x·32sin x＋12cos x
＝3×1－cos 2x2＋12sin 2x＝sin2x－π3＋32.
函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
解得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是－π12＋kπ，5π12＋kπ，k∈Z.