2018年中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形
中考数学总复习第18讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形
第18讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形
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课前预习 考点梳理 课堂精讲 往年 中 考
数学
课前预习
1．(2018 成都)等腰三角形的一个底角为 50° ，则它的顶角的 度数为 80° . 2．(2018 南通)一个等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 9 cm， 则它的周长为 22 cm.
垂直平分线 ．
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数学
(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个 角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．
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数学 2．等边三角形
(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形． (2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于 60° ； ②“三线合一”；③等边三角形是轴对称图形，有 三 条对称 轴． (3)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角 都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是 60° 的等腰三 角形是等边三角形．
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数学
3．(2018 湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分 线．若 AB＝AC，∠CAD＝20° ，则∠ACE 的度数是( B )
A．20° B．35° C．40° D．70°
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数学
4．(2018 永定模拟)等边△ABC 的边长是 2 cm，则等边△ABC 的高是( C ) A．0.5 m C． 3 cm B．1 cm D．2 cm
例1 例2 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝110° ，求∠B 的度数．(答 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝40° ，求∠B 的度数．(答 案：35° ) 案：40° 或 70° 或 100° ) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝80° ，求∠B 的度数．(答 案： 50°或20°或80° )
2022中考数学第一部分知识梳理第四单元三角形第18讲等腰三角形直角三角形pptx课件
D. 北偏西35°
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3. (2013·河北,8)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它
以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东
40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(
A. 40海里
B. 60海里
D
)
C. 70海里
D. 80海里
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命题点3
等边三角形角的性质与判定
定义
顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形
性质
等腰直角三角形的顶角是直角,两底角都为
判定
(1)用定义判定；
(2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
45° .
数据剖析
题型突破
考向 1
等腰三角形的相关计算
考向 2
直角三角形的有关计算
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3
考向1
数据剖析
题型突破
等腰三角形的相关计算（5年考3次）
(2)如图,由(1)可知△DBE≌△ECF,∴∠1=∠3.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∠B=∠C,
∴∠B= (180°-40°)=70°,∴∠1+∠2=110°,
∴∠3+∠2=110°,∴∠DEF=70°.
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8. (2021·河北模拟)如图,△ABC是等边三角形,点D是线段BC上一点,以
4. (2016·河北,16)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2. 若点M,N分
别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有(
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 3个以上
中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第四章 三角形 课时16 等腰三角形与直角三角形课件
☞ 思路点拨 由 三 角 形 中 位 线 定 理 可 得 DE 的 长 且 DE∥AC ， 根 据 等 边 △ABC 的 性 质 得 ∠C ＝ 60°，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG的长，DG的长即可求解．
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【解答】如答图，连接DE.∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC 的中点，∴DE是△ABC的中位线．
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• 练习3 如图，在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，过 D作DE∥BC交AC于点E.若AD＝7，DE＝12.5，则CD的长等于 ( B )
• A．35 • B．24 • C．22.5 • D．14
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• 3．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，
∠EBC＝45°， 则∠ACE＝
(A )
• A．15°
• B．30°
• C．45°
• D．60°
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• 4．如图，AB＝AC＝8 cm, DB＝DC．若∠ABC＝60°，则BE＝__4___cm.
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• 练习1 如图，△ABC的面积为10 cm2，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP
于点P，则△PBC的面积为
(B )
• A．4 cm2
• B．5 cm2
• C．6 cm2
• D．7 cm2
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考点2 等边三角形的性质与判定 重点
• 例2 (2018·天津)如图，在边长为4的等边△ABC中，D， E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点， 连接DG，则
中考一轮复习第18讲《等腰三角形》讲学案
中考数学一轮复习第18讲《等腰三角形》【考点解析】知识点一、等腰三角形的性质【例1（·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．【变式】（·黑龙江哈尔滨·3分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为或．【考点】等腰直角三角形．【分析】①如图1根据已知条件得到PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；②如图2，根据已知条件得到PC=BC=1，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==，②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，故答案为：或．知识点二、等腰三角形的内角的计算【例2】（新疆乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是．【答案】120°．【分析】本题主要考虑与这个外角相邻的内角是顶角或是底角，利用内角和定理即可得解. 【解析】等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为：120°．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．【变式】如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= °．【答案】15.【解析】∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠ABC=12（180°﹣50°）=65°.∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°.∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．知识点三、等腰三角形的多解问题【例3】（·湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。
中考数学第四单元“三角形”复习课件
第18讲 │ 考点随堂练
6．∠A 与∠B 互为补角，且∠A>∠B，那么∠B 的余角等于
(A )
A.12(∠A－∠B)
B.12(∠A＋∠B)
C.12∠A
D.12∠B
[解析] ∠A 与∠B 互为补角，则∠A＋∠B＝180°，所以 ∠B＝180°－∠A，则∠B 的余角为＝90°－(180°－∠A)＝ ∠A－90°＝∠A－12(∠A＋∠B)＝12(∠A－∠B)．
[解析] 经过一个点可以画无数条直线，经过三点可能可以 画 3 条直线，也可能画一条直线，直线可以向两方无限延 伸，所以直线不能比较长短．所以只有 C 是正确的，用直 线上的两个点表示直线，表示时位置可以交换．
第18讲 │ 考点随堂练
4．如图 18－3，已知点 A、B、C、D、E 在同一直线上，且 AC ＝BD，E 是线段 BC 的中点．
第18讲 │ 考点随堂练
第18讲 │ 归类示例
归类示例
类型之一 线与角的概念和基本性质
► 类型之一 线与角的概念和基本性质 命题角度： 1．线段、射线和直线的性质及计算 2．角的有关性质及计算
如图 18－2，将一副三角板叠放在 一起，使直角顶点重合于 O 点， 则∠AOC＋∠DOB＝___1_8_0_°__.
A．5 cm
B．6cm
C．10 cm
D．不能确定
图19－1
第18讲 │ 考点随堂练
7．如图 18－5，甲从 A 点出发向北偏东 70°方向走 50 m 至点 B， 乙从 A 出发向南偏西 15°方向走 80 m 至点 C，则∠BAC 的度数 是____1_2_5_°_______．
图 18－5 [解析] 90°－70°＝20°，所以∠BAC＝20°＋90°＋15°＝125°.
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第四单元 三角形 第18讲 等腰三角形与直角三角形
延伸训 练
7．(2020·赤峰)如图，Rt△ABC 中，∠ACBA ＝90°，AB＝5， AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC
向右平移3个单位长度得到 △A′B′C′，则四边形ABC′A′的
A
B
突破重难 点
焦点1等腰三角形的性质及相关 计算
4．(2020·黄冈)我国古代数学著 作《九章算术》中有这样一个 问题：“今有池方一丈，葭(jiā) 生其中央，出水一尺．引葭赴
岸，适与12 岸齐．问水深几 何？”(注：丈、尺是长度单位， 1丈＝10尺)这段话翻译成现代汉
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝
AB=AC
∠C.
∠B＝∠C
B在D=△CE ABD和△ACE中，
(2)解：∵AD＝AE， ∴∠AD45°. ∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝
命题点2直角三角形的性质及相 关计算(近6年未单独考查) 6．(2018·重庆B)如图，在
[分析] (1)根据角平分线性质 求出∠BAD的度数，根据含30 度角的直角三角形性质求出AD
即可得BD. (2)首先，根据“直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半”求得
[解答] 解：(1)2 [∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°. ∵AD平分∠CAB，∴∠BAD＝
∠CAD＝30°，
素
养
1．(2020·河北)如图是用三块正
方形纸片以顶点相连的方式设
计的“毕达哥拉斯”图案．现 B
有五种正方形纸片，面积分别
是1，2，3，4，5，选取其中三
C
3．(2020·娄底)由4个直角边长 分别为a，b的直角三角形围成 的“赵爽弦图”如图所示，根＝ 据大正方形的面积c2等于小正 方形的面积(a－b)2与4个直角三
第18讲 等腰三角形(解析版)
中考数学一轮复习资料五合一《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》(全国通用版)第18讲等腰三角形题组特训详解一、选择题1．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若ABC V 与EBC V 的周长分别是20，12，则AB 为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】首先根据DE 是AB 的垂直平分线，可得AE BE =；然后根据ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，可得ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，据此求出AB 的长度是多少即可．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，∴ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，∴20128AB =-=．故选：C ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．2．已知边长为4的等边ABC、、的中点，P为线段DE上一动点，则V，D、E、F分别为边AB BC AC+的最小值为（ ）PF PCA．B．3C．4D．段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，等腰ABC V 内接于O e ，点D 是圆中优孤上一点，连接DB DC 、，已知,70AB AC ABC =Ð=°，则BDC Ð的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】D 【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出40A Ð=°，再由同弧所对的圆周角相等即可得解答．【详解】解：∵AB AC =，70ABC Ð=°，∴70ABC ACB Ð=Ð=°，∴18040A ABC ACB Ð=°-Ð-Ð=°，∴40BDC A Ð==°∠．故选D ．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．4．如图，若50MON Ð=°，MON Ð内有一个定点P ，点A ，B 分别在射线OM ON ，上移动，当PAB V 周长最小时，则APB Ð的度数为（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°【答案】B 【分析】作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，且2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，从而得出180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），即可得出答案．【详解】解：如图，作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，∴2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，∴180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），∴80APB P P ¢¢¢Ð=Ð+Ð=°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，将PAB V 的周长最小值转化为P P ¢¢¢的长是解题的关键．5．如图，等腰ABC V 中，AB AC =，70BAC Ð=°，D 是BC 边的中点，DE AB ^于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，则F Ð的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°∵DE AB ^，∴90BED Ð=°，∴903555ADE Ð=°-°=°，∵EF DE =，DE AB ^，∴AF AD =，∴55F ADE Ð=Ð=°，故答案为：C ．【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，理解性质并熟练的应用是解题的关键．6．如图，在ABC V 中，AB AC =，边BC 在x 轴上，且点()10B -，，点()24A ，，则AOC V 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．20D ．26【答案】A 【分析】作AD x ^轴于点Ｄ，求得4=AD ，2OD =，利用等腰三角形的性质求得3BD CD ==，根据三角形的性质即可求解．【详解】解：作AD x ^轴于点Ｄ，∵()24A ，，∴()20D ，，4=AD ，2OD =，7．如图，在正方形ABCD中，4V沿AE折叠，使点B落在正方形内点AB=，E为BC的中点，将ABEF处，连接CF，则CF的长为（）A．B C D．2.25∵四边形ABCD为正方形，8．如图，已知长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C ¢处，BC ¢交AD 于点E ，168AD AB ==，，则DE 的长为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】由四边形ABCD 为长方形可知AD BC ∥，8CD AB ==，从而得出ADB CBD Ð=Ð，结合折叠的性质得出ADB C BD ¢Ð=Ð，进而得出BE DE =．设BE DE x ==，则16AE x =-，在Rt ABE △中，根据勾股定理可列出关于x 的等式，解出x 的值，即得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为长方形，∴AD BC ∥，8CD AB ==∴ADB CBD Ð=Ð．由折叠的性质可知C BD CBD ¢Ð=Ð，8C D CD AB ¢===，∴ADB C BD ¢Ð=Ð，∴BE DE =．设BE DE x ==，则16AE AD DE x =-=-，在Rt ABE △中，222AE AB BE +=，∴()222168x x -+=，解得：10x =，∴10DE =．故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：A 、如图1，由作法可知，BD BC =，即BCD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；B 、如图2，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确；C 、如图3，由作法可知，所做线段为AB 的垂直平分线，AD BD =，即ABD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；D 、如图4，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，AD CD =，即ACD V 是等腰三角形，不符合题意，选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键．10．如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，B ，C 分别落在点H ，G 的位置，CD 与HE 交于点M ．下列说法中，不正确的是（ ）．A ．ME HG=B ．ME MF =C ．HM FM EB+=D ．GFM MEAÐ=Ð【答案】A 【分析】由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，结合平行线的性质可证M MEF FE =ÐÐ，可证选项B 正确；由点到直线的距离可得ME HG ¹，故选项A 不正确；由折叠的性质知HE BE =，再由HE HM ME HM MF =+=+，可得选项C 正确，利用平行线的性质可得MEA HMD Ð=Ð，GFM HMD Ð=Ð，可证选项D 正确．【详解】解：如图，过点M 作MK AB ^，由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，由题意知CD AB ∥，AD BC HG ==，∴BEF MFE Ð=Ð，AD MK HG ==，∴M MEF FE =ÐÐ，∴ME MF =，故选项B 正确，不合题意；∵ME MK >，∴ME HG ¹，故选项A 不正确，符合题意；由折叠的性质得：HE BE =，∵HE HM ME HM MF =+=+，∴HM FM EB +=，故选项C 正确，不合题意；∵CD AB ∥，∴MEA HMD Ð=Ð，由题意知HE GF ∥，∴GFM HMD Ð=Ð，∴GFM MEA Ð=Ð，故选项D 正确，不合题意；故选A ．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是牢记折叠前后对应边相等、对应角相等．11．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点M 在边BC 上，若MA 平分DMB Ð，则CM 的长是（ ）A ．B ．1C ．D 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出1CD AB ==，AD BC ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，由平行线的性质得出DAM AMB Ð=Ð，再由角平分线证出AMB AMD Ð=Ð，又勾股定理求出CM 即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴1CD AB ==，AD CB ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，∴DAM AMB Ð=Ð，∵MA 平分DMB Ð，∴AMB AMD Ð=Ð，∴DAM AMD Ð=Ð，∴2DM AD ==，12．如图，ABC V 中，AB AC =，BD 平分ABC Ð交AC 于G ，DM ∥BC 交ABC Ð的外角平分线于M ，交AB 、AC 于F 、E ，下列结论正确的是（ ）A ．EF ED=B ．FD BC =C ．EC MF =D ．EC AG=【答案】C 【分析】通过证明BF EC =，BF FM =即可解决问题；【详解】解：∵AB AC =，∴ABC C Ð=Ð，∵DM ∥BC ，∴,AFE ABC AEF C Ð=ÐÐ=Ð，∴AFE AEF Ð=Ð，∴AF AE =，∴BF EC =，∵D DBC FBD Ð=Ð=Ð，∴DF BF =，同理可证：BF FM =，∴EC FM =，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB BC 、边上的两个动点，且总使AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ^于点G ，则:FG AF 等于（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1214．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线MN 分别与x 轴，y 轴交于点M ，N ，且6OM =，30OMN Ð=°，等边AOB V 的顶点A ，B 分别在线段MN OM ，上，则OB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图，在ABC V 中，以各边为边分别作三个等边三角形BCF ，ABD ，ACE ，若3AB =，4AC =，5BC =，则下列结论：①AB AC ^；②四边形ADFE 是平行四边形；③150DFE Ð=°；④5ADFE S =四边形，其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由222AB AC BC +=，得出90BAC Ð=°，则①正确；由等边三角形的性质得60DAB EAC Ð=Ð=°，则150DAE Ð=°，由SAS 证得ABC DBF V V ≌，得4AC DF AE ===，同理()SAS ABC EFC V V ≌，得3AB EF AD ===，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形\12AEFD S DF AM DF AD =×=×Y 故④不正确；\正确的个数是3个，故选：B ．二、解答题16．如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =，060BAC °<Ð<°，分别在AB 的右侧，AC 的左侧作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，BD 与CE 相交于点F ．(1)求证：BF CF =；(2)作射线AF 交BC 于点G ，交射线DC 于点H ．①补全图形，当40BAC Ð=°时，求AHD Ð的度数；②当BAC Ð的度数在给定范围内发生变化时，AHD Ð的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出AHD Ð的度数；若变化，请给出AHD Ð的度数的范围．17．如图，在ABCÐ的平V中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交DAC分线于E，交BC于G，且AE BC∥．(1)求证：ABC V 是等腰三角形；(2)若8AE =，2GC BG =，求BC 长．【答案】(1)答案见解析(2)12【分析】（1）先根据平行线的性质证明B DAEC CAE ÐÐÐÐ=，=，然后根据角平分线的定义得出B C Ð=Ð，则可证明ABC V 为等腰三角形；（2）证明AFE CFG △≌△，从而得到CG 的长，则可求得BC 的长．【详解】（1）解：AE BC Q ∥，B D A E ，C C A E \Ð=ÐÐ=Ð，AE Q 平分DAC Ð，DAE CAE \Ð=Ð，B C \Ð=Ð，AB AC \=，ABC \V 是等腰三角形；（2）F Q 是AC 的中点，AF CF \=，在AFE △和CFG △中，C FAE CF AFGFC EFA Ð=Ðìï=íïÐ=ÐîA FE C FG \V V ≌，8G C A E \==，2GC BG =Q ，4BG \=，12B C B G G C \=+=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理．18．在ABCV中，AB BC=，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE OF，．(1)如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；(2)如图2，当90Ð=°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；ABC(3)若2，POFCF AE EF-==V为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．19．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边BDE V ，连接AD ，CD ．(1)求证：ACD V 为等边三角形；(2)若3BC =，在AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．由作图可知：最小值为∴60EAE¢Ð=°，∴EAE¢△为等边三角形，∴12EE EA AB¢==，∴90AE BТ=°，20．在ABC V 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^，垂足为G ，且AD AB =．60EDF Ð=°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：ABD △是等边三角形；(2)求证：AE CF =．60DBE DAF BD ADBDE ADF Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA BDE ADF △△≌．∴BE AF =．又∵AB AC =，∴AB BE AC AF -=-，∴AE CF =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．过关检测详细解析一．选择题1．如图，在ABC V 中，AC BC =，边AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点D 、E ．若45BAE Ð=°，3DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积等于（）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ．若AC AD =，40CAD Ð=°，则B Ð的大小为（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】C 【分析】根据AC AD =，40CAD Ð=°，得到70ACD D Ð=Ð=°，根据+180B D ÐÐ=°计算选择即可．【详解】∵AC AD =，40CAD Ð=°，∴70ACD D Ð=Ð=°，∵+180B D ÐÐ=°，∴110B Ð=°，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为BC 的中点，将ABE V 沿AE 折叠，使点B 落在正方形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）A ．BCD ．2.25∵四边形ABCD 为正方形，∴4AB BC ==，∵E 为BC 的中点，∴122BE CE BC ===，在Rt ABE △中，根据勾股定理可得：5．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．以DE 为折痕将B 点往右折如图2所示，BD BE 、分别与AC 相交于F 点、G 点．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 长度为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．如图，已知ABC V 是等边三角形，2BDC BAC Ð=Ð，BD CD =，点M ，N 分别是B ，AC 边上的点，且60MDN Ð=°．连接MN ，若AMN V 的周长是6，则ABC V 的边长是（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】B 【分析】延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，由“SAS ”可证BDF CDN V V ≌，V V ≌DMN DMF ，可得Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，MN MF =，即可求解．【详解】解：延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，∵ABC V 是等边三角形，∴60Ð=Ð=Ð=°ABC BAC BCA ，∵BD CD =，2BDC BAC Ð=Ð，∴BDC V 是等腰三角形，120BDC Ð=°，∴30Ð=Ð=°BCD DBC ，∴90Ð=Ð=°DBA DCA ，在DBF V 和CND △中，BF CN DBF DCN DB DC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BDF CDN V V ≌，∴Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，∵60MDN Ð=°，∴60Ð+Ð=°BDM CDN ，∴60BDM BDF FDM MDN Ð+Ð=°=Ð=Ð，在DMN V 和V DMF 中，DN DF MDN MDF DM MD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS DMN DMF V V ≌，∴MN MF =，∴MF BF BM BM CN MN =+=+=，∴AMN V 的周长2AM AN MN AM MB BF AN AB AN CN AB AC AB ++=+++=++=+=．∵AMN V 的周长是6∴3AB =故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．如图，已知点D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，6AD =，点F 是线段AD 上一动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【分析】连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ．【详解】解：连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，如下图：∵ABC V 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴BF CF =，∴BF EF CF EF CE +=+=，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ∵D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，∴AD CE =，∵6AD =，∴6CE =，∴BF EF +的值最小值为6．故选：B ．【点睛】此题主要考查了轴对称求最短距离，解题关键是掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质．8．如图，在等边ABC V 中，4BC cm =，动点D 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 方向运动．同时动点E 从点B 出发以相同的速度沿BC 方向运动，当点D 运动到点A 时，点E 也随之停止运动．连接DE ，将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对称点为点F ，设点D 的运动时间为t 秒，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y 与t 的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．【详解】解：由折叠的性质可得：BDE DEF S S =△△，①当02t ££时，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为BDE y S =V ，由题意得：cm BD BE t ==，过点D 作DH BE ^于点H ，如图，∵ABC V 是等边三角形，由题意得：cm==，则BD BE t∵60，，B BD BEÐ=°=∴BDEV是等边三角形，4综上，y 与t 之间函数关系式为由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开9．点D 是等边三角形ABC 的边AB 上的一点，且12AD BD ==，，现将ABC V 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，若54BF =，则CE 的长为（ ）A ．53B ．75C ．125D ．3510．如图，在等边三角形ABC 中，10cm AB AC ==，4cm DC =．如果点M ，N 都以1cm/s 的速度运动，点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动，点N 在线段BA 上由点B 向点A 运动．它们同时出发，当两点运动时间为t 秒时，BMN V 是一个直角三角形，则t 的值为（ ）A ．103B ．209C ．103或203D ．53或103【答案】C【分析】根据题意，用含t 的式子表示出,,10CM t BN t BM t -===，分两种情况讨论，当90BMN Ð=°时，2BN BM =，求出t 的值；当90BNM Ð=°时，2BM BN =，求出t 的值．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，10AB AC ==cm ，∴10BC =cm ，∵点M 、N 都以1cm/s 的速度运动，设CM t =，BN t =，线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A．5B C．D．6【答案】A【分析】连接CQ、CP，过点C作CH AB^，根据勾股定理求出^于H，根据切线的性质得到CQ PQPQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．【详解】解：连接CQ、CP，过点C作CH AB^于H，∵PQ 是C e 的切线，∴CQ PQ ^，∴22PQ CP CQ =-=当CP AB ^时，CP 最小，12．如图，O 为ABC V 的外心，OCP △为正三角形，OP 与AC 相交于D 点，连接OA ．若70BAC Ð=°，AB AC =，则ADP Ð为（ ）A ．110°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C 【分析】由三角形的外心可知OA OC =，结合AB AC =，70BAC Ð=°先求出ACO Ð，再利用OCP △是正三角形以及外角的性质即可求解ADP Ð的度数．【详解】解：O Q 是ABC V 的外心，AB AC=OA OC BAO CAO ACO\=Ð=Ð=Ð，=70BAC аQ =35CAO ACO \Ð=аOCP Q △是正三角形60PCO P \Ð=Ð=°25PCD PCO ACO \Ð=Ð-Ð=°256085ADP PCD P \Ð=Ð+Ð=°+°=°故选C ．【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．13．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G ，CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC Ð=°；③ABG DBF ≌△△；④连接GF ，则GBF V 是等边三角形，以上结论正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A 【分析】利用等边三角形,ABD BCE V V 的性质，证明 ,ABE DBC V V ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC V V ≌可得,EAB CDB Ð=Ð 再利用三角形的内角和定理可判断②，得出60ABG DBF Ð=Ð=°，进而证明ABG DBF ≌△△，判断③，得出BG BF =，即可判断④【详解】解：,ABD BCE QV V 为等边三角形，,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE \=Ð=°==Ð=°，，,ABD DBE CBE DBE \Ð+Ð=Ð+Ð 即,ABE DBC Ð=Ð()SAS ,ABE DBC \V V ≌,AE DC \= 故①正确；Q ,ABE DBC V V ≌,EAB CDB \Ð=Ð,DGH AGB Ð=ÐQ180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB Ð=°-Ð-ÐÐ=°-Ð-ÐQ60DHG ABD \Ð=Ð=°，120AHC \Ð=°，故②正确；60ABD EBC Ð=Ð=°Q ，60DBF \Ð=°，,EAB CDB Ð=ÐQ 则GAB FDBÐ=Ð在,ABG DBF V V 中GAB FDB AB DBABG DBF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()ASA ABG DBF \V V ≌，故③正确；BF BG\=又60DBF Ð=°Q ，\GBF V 是等边三角形，故④正确故选：A ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键．14．如图，P 为O e 外一点，PA PB 、分别切O e 于点A 、B ，AC 是O e 的直径，若10AC =，30BAC Ð=°，则PAB V 的周长为（ ）A．8B．C．20D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，60A Ð=°，10AC =，将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，此时点A ¢恰好在AB 边上，则点B ¢与点B 之间的距离为（ ）A ．10B ．20C ．D ．【答案】D 【分析】连接BB ¢，证明ACA ¢V 是等边三角形，得出60ACA ¢Ð=°，从而得出60BCB ¢Ð=°，证明BCB ¢V 是等边三角形，得出BB BC ¢=，根据勾股定理，结合含30°角的直角三角形性质，求出BC 即可．【详解】解：如图，连接BB ¢，∵将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，∴BCB ACA ¢¢Ð=Ð，CB CB ¢=，CA CA ¢=，∵60A Ð=°，∴ACA ¢V 是等边三角形，∴60ACA ¢Ð=°，∴60BCB ¢Ð=°，二、解答题16．在AOB V 中，已知90AOB Ð=°，OA OB =，点P 、D 分别在AB OB 、上．(1)如图1，若45PO PD OPD =Ð=°，，则POB Ð=______°（直接写答案）(2)如图1，在（1）的条件下，求证：BOP △是等腰三角形．(3)如图2中，若12AB =，点P 在AB 上移动，且满足PO PD =，DE AB ^于点E ，试问：此时PE 的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．【答案】(1)67.5°(2)见解析(3)PE 的值不变，6PE =，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；（2）首先根据等腰直角三角形的性质得到45B A Ð=Ð=°，然后利用三角形内角和定理和067.5BOP P D Ð=Ð=°得到BOP BPO Ð=Ð，进而求解即可；（3）解：PE的值不变，如图，过点O作OM∵90Ð=°，AOB AO∴BOMV是等腰直角三角形，1∴()AAS POM DPE ≌V V ，∴6OM PE ==，∴PE 的值不变，PE 的值为6．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17．如图，ABC V 中， 15AB AC ==，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．(1)若BCD △的周长为21，求BC 的长；(2)若42A Ð=°，求DBC Ð的度数．【答案】(1)6(2)27DBC Ð=°【分析】（1）通过垂直平分线的性质判断边等，将三角形周长换成边的和，据此求解即可．（2）等腰三角形推出角等，通过角度的数量关系求解即可．【详解】（1）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\BD AD =，Q BCD △的周长是21，15AB AC ==，\BCD △的周长21BD CD BC AD CD BC AC BC =++=++=+=，\6BC =；（2）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\AD BD =，ABD A Ð=Ð，Q ABC V 中，AB AC =，\ABC C Ð=Ð，Q 42A Ð=°，\69ABC C Ð=Ð=°，\27DBC Ð=°．【点睛】此题考查垂直平分线的性质，解题关键是找到等角和等边的数量关系求解．18．已知，点P 为等边三角形ABC 所在平面内一点，且120BPC Ð=°．(1)如图（1），90ABP Ð=°，求证：BP CP =；(2)如图（2），点P 在ABC V 内部，且90APB Ð=°，求证：2BP CP =；(3)如图（3），点P 在ABC V 内部，M 为BC 上一点，连接PM ，若180BPM APC Ð+Ð=°，求证：BM CM =．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）证明BPC BCP Ð=Ð即可；（2）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，首先证明EAP V 是等边三角形，从而得出3090CEP CPE Ð=°Ð=°，，再利用含30°角的直角三角形的性质，可得答案；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理得EAP V 是等边三角形，过点C 作CN 平行于BP ，交PM 的延长线于点N ，再利用ASA 证明CPE CPN @V V ，得CE CN =，再证明()AAS CMN BPM @V V ，从而解决问题．【详解】（1）ABC QV 是等边三角形，60ABC ACB A \Ð=Ð=Ð=°，90,ABP Ð=°Q 90906030,PBC ABP ABC °\Ð=-Ð-Ð=°-°=°30BPC °Ð=Q ，180PBC BPC BCP Ð+Ð+Ð=°，1801801203030PCB BPC PBC \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，,PBC BPC \Ð=Ð，BP CP \=；（2）AP BP ^Q ，90APB \Ð=°，将ABP V 绕A 逆时针旋转60°，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，则90AE AP CE BP CAE BAP AEC APB ==Ð=ÐÐ=Ð=°，，，，∴EAP CAE CAP Ð=Ð+Ð60BAP CAP BAC =Ð+Ð=Ð=°，∴EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，∴906030CEP AEC AEP Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵360360906012090CPE APB APE BPC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-°=°，∴2CE CP =，∴2BP CP =；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理可知，EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，180,APC BPM Ð+Ð=°Q 180APE EPC BPM \Ð+Ð+Ð=°，120EPC BPM \Ð+Ð=°，又120,BPC CPM BPM Ð=Ð+Ð=°.FPC CPD \Ð=Ð，过点C 作,CN BP ∥交PM 的延长线于点N ，则,PBC NCB Ð=Ð120,BPC Ð=°Q 18012060,PBC PCB \Ð+Ð=°-°=°又60,60ACP PCB ABP PBC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，,ACP PBC \Ð=Ð由旋转得，,ACE ABP BP CEÐ=Ð=∴60ACE ACP PBC ABP Ð+Ð=Ð+Ð=°又60NCB BCP PBC BCP Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PCE PCN Ð=Ð，在PCE V 和PCN △中，EPC NPC PC PCPCE PCN Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴PCE PCN @V V ，∴CE CN =，∴BP CN =，在BPM △和CNM V 中，PBM NCM PMB CMN BP CN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BM CM=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．19．在ABC V 中，90B Ð=°，1AB =，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当50BAC Ð=°时，则AED Ð的大小；(2)当60BAC Ð=°时，①如图2，连接AD ，AED △的形状是 三角形；②如图3，直线CF 与ED 交于点F ，满足CFD CAE Ð=Ð．P 为直线CF 上一动点．说明P 点在什么位置时，PE PD -有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D 关于直线CF 的对称点）【答案】(1)80AED Ð=°(2)①等边②点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，最大值为2，理由见解析【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）①ADE V 是等边三角形，证明EA ED =，60AED Ð=°即可；②结论：2PE PD AB -=．如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，利用全等三角形的性质证明ED AC ¢=，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，50BAC Ð=°，905040ACB \Ð=°-°=°，18040140ACD \Ð=°-°=°，280EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36028080AED \Ð=°-°=°．（2）解：①如图2中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，60BAC Ð=°，906030°°\Ð=-°=ACB ，18030150ACD \Ð=°-°=°，300EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36030060AED \Ð=°-°=°，ADE \V 是等边三角形；②如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，180CFD CFE Ð+Ð=°Q ，CFD CAE Ð=Ð，。
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第一部分 考点研究
第四单元 三角形
第18课时 等腰三角形
浙江近9年中考真题精选(2009～2017)
命题点 1等腰三角形的相关计算(杭州2考，台州3考，绍兴3考)
1. (2016杭州9题3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m
A. m2＋2mn＋n2＝0 B
. m2－2mn＋n2＝0
C. m2＋2mn－n2＝0 D
. m2－2mn－n2＝0
2. (2017台州8题4分)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为
半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A. AE＝EC B. AE＝BE
C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE
第2题图
3. (2017绍兴8题4分)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了上图，
该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠
FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD
的度数是( )
A. 7° B. 21° C. 23° D
. 24°
第3题图
4. (2017丽水12题4分)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．
5. (2015嘉兴14题5分)如图，一张三角形纸片ABC，AB＝AC＝5，折叠该纸片使点A落在
边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为________．
第5题图
6. (2013绍兴15题5分)如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝
P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是________．
第6题图
7. (2015绍兴13题5分)由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小
敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图①，衣架杆
OA
＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点间的距离是________cm.
第7题图
命题点 2等边三角形的相关计算(温州2014.20)
8. (2011台州14题5分)已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直
线DE翻折，使点B落在B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G.若∠ADF＝80°，则∠
EGC
的度数为________．
第8题图
9. (2017衢州16题4分)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第
二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点
B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M
经过的路径长为________．
第9题图
10. (2014温州20题10分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，
且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
第10题图
答案
1．C 【解析】根据题意，如解图，则AC＝m，BC＝n，AC＝CD＝m，AD＝BD＝n－m，根据
勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝n2＋m2－2mn，整理得：m2＋2mn－
n2＝0.故选C.
第1题解图
2. C 【解析】由题图知，BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠
BCE＝∠BEC＝∠CBA，∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC，∠BAC＝180°－∠BCA－∠CBA
，∴
∠EBC＝∠BAC.
3．C 【解析】设∠ACF＝x，则∠AFC＝∠ACF＝x＝∠FAE＋∠E，而∠FAE＝∠E，∴∠E＝
1
2
x，∵∠B＝90°，∴∠BCE＋∠E＝(∠ACB＋∠ACF)＋∠E＝(21°＋x)＋12x＝90°，解得x
＝46°，即∠ACF＝46°，∴∠ECD＝90°－∠ACB－∠FCA＝90°－21°－46°＝23°.
4．100° 【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这
个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.
5．2.5 【解析】本题考查了图形的折叠，如解图，∵A点的对应点A′是BC的中点，
AB
＝AC，∴AA′⊥BC，由折叠可知，EF垂直平分AA′，∴EF∥BC，∴E为AC的中点，即
AE
＝2.5.
第5题解图
6．12° 【解析】如解图，设∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P
1
＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…，∠P7P6P8＝
∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，
即x＋7x＋7x＝180°，解得x＝12°，即∠A＝12°.
第6题解图
7．18 【解析】∵OA＝OB＝18 cm，∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴此时A，B
两点之间的距离是18 cm.
8．80° 【解析】由翻折可得，∠B′＝∠B＝60°，∴∠A＝∠B′＝60°，∵∠AFD＝
∠GFB′，∴△ADF∽△B′GF，∴∠ADF＝∠B′GF，∵∠CGE＝∠FGB′，∴∠CGE＝∠
ADF
＝80°.
9．(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图①，易得：
第9题解图①
三角形的三顶点的对应位置变化以翻转3次为一个周期，翻滚3次后B点坐标为B3(5，3)
点M的变化如解图②：
第9题解图②
MM1︵＝23π×3＝233π，M1M2︵＝23π×1＝23π，M2M3︵＝23π×1＝23π，从而推出，M3M4︵＝23π×3
＝233π，…，∴点M翻折一个周期经过的路径长为233π＋23π＋23π＝(23＋43)π.∵
2017÷3＝672……1，∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为(134633＋896)π.
10．解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.(2分)
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°－∠EDC＝90°－60°＝30°；(4分)
(2)解法一：∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC为等边三角形，
∴ED＝DC＝2，(7分)
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4；(10分)
解法二：∵△ABC为等边三角形，DE∥AB，
∴∠EDF＝∠DEC＝60°，
∴EC＝DC＝2，(6分)
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝90°－∠DEC＝30°＝∠F，(8分)
∴CE＝CF＝CD，
∴DF＝DC＋CF＝2CD＝4.(10分)