广西柳州市2021届高三第一次模拟考试数学(文)试题 扫描版含答案
广西柳州市2021届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(图片版)
柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分,满分60分)123456789101112B C A D B C D C D C B C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．714．15215．1216．512+三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++-+-+-==，.....................................2分()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++-+-+-==，.................................................4分8182221593ˆ24812845125682i i i i i x y nxyb xnx ==--⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑，...........................................................................6分∴91518ˆ2ˆ42ay bx =-=-⨯=，...............................................................................................7分故线性回归方程为1142ˆy x =+，..............................................................................................8分（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω-..............................................9分而数学偏差为128-120=8，...........................................................................................................10分∴1191.5842ω-=⨯+，.............................................................................................................11分解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．.............................................12分18．解：（1） ()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，.....................................................................................1分由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，............................................................................2分由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，................................................3分A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，.................................4分 sin 0B ≠，∴1cos 2A =.......................................................................................................5分由()0,A π∈，则3A π=..............................................................................................................6分（2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，..................................................................... 3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴2153sin 3cos 234ABC S BCD △π=⨯⨯=-，................................................................... 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆⨯⨯⨯=，...............................................................................9分∴5353sin 3cos 2sin 4453324ABDC S D D D 四边形π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎭+⎝，..............10分∴sin()13D π-=，............................................................................................................................ (0,)D π∈，即56D π=.............................................19．解法一：（1） //AB CD ,所以1,2AM AB MC CD ==即13AM AC =．........................................................................................................................... //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，...........................................................................................2分∴//MN PC ．..........................................................................................................................3分∴13AN AM AP AC ==，即13λ=．............................................................................................4分(2) 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==，....................5分又 1PD =，2PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥，...................................................................................................7分又 DA DB D ⋂=，∴PD ABCD ⊥平面.....................................................................8分 PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ， 平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ．............................................................................................................9分又 //MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离．........................................10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则32h =，...............................................................11分 23MD MC BD AC ==，∴2333ME h ==，即N 到平面PCD 的距离为33．.............12分解法二：（1）同解法一．（2） 0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==，....................................................................................................................5分又 1PD =，2PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥，...................................................................................................7分又 DA DB D ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．..................................................................8分设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =，.................................9分∴2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==，......................................................................................10分即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅ ． 1322ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠= ，112PCD S PD CD =⋅= ，1PD =，..................................................................................................................................11分∴231923d ⨯=，解得33d =，即N 到平面PCD 的距离为33．.................................................................................12分20．解：（1）设焦距为2c ，由已知32c e a ==，22b =，∴1b =，2a =，..........................................................................................................................2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=..........................................................................................4分（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440k x kmx m +++-=，.........................................................................................5分依题意，()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①................................................................................................................6分2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，...........................................................................................7分()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，........................................................8分若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =，即121245y y x x =，...................................................................9分∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，...................................................................................10分∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，............................................................11分即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②............................12分21．解：（1）'1()0(),x f x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1()x m∈-+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减。
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柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分, 满分60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112B C A D B C D C D C B C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．7 14．152 15．12 16 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++−+−+−==， .................. 2分 ()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++−+−+−==， ....................... 4分 8182221593ˆ24812845125682i ii i i x y nxy b xnx ==−−××=== −−×∑∑， .................................... 6分 ∴91518ˆ2ˆ42a y bx =−=−×=， .............................................. 7分 故线性回归方程为1142ˆy x =+， ............................................. 8分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω− ............................................ 9分 而数学偏差为128-120=8， .................................................... 10分 ∴1191.5842ω−=×+， ..................................................... 11分 解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ...................... 12分18．解：（1）Q ()()22222cos b c b a c abc C −−+=， ∴()()2222cos 2b c b c a a C bc −+−=， ......................................... 1分 由余弦定理可得()2cos cos b c A a C −=， ..................................... 2分由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C −=，....................... 3分Q A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， ................ 4分 Q sin 0B ≠，∴1cos 2A = ..................................................................................................... 5分 由()0,A π∈，则3A π=. ........................................................................................................... 6分（2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+−××=−，.................................. 7分 Q 3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴21sin 23ABC S BC D △π=××=， ................................ 8分 Q 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆×××=， ...................................... 9分∴sin 2sin 32ABDC S D D D 四边形π =+=+−= ， ...... 10分 ∴sin(13D π−=， ............................................................ 11分 Q (0,)D π∈，即56D π= ............................................................................................................ 12分 19．解法一：（1）Q //AB CD ,所以1,2AM AB MC CD == 即13AM AC =． ............................................................ 1分 Q //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PCD PC =， ............................................ 2分 ∴//MN PC ． ........................................................... 3分 ∴13AN AM AP AC ==，即13λ=． .......................................................................................... 4分 (2) Q 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................... 5分又Q 1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又Q DA DB D ∩=，∴PD ABCD ⊥平面 .................................................................... 8分 Q PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，Q 平面PCD ∩平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ． ........................................................................................................... 9分又Q //MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离． ...................10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则h = ............................... 11分Q 23MD MC BD AC ==，∴23ME h ==，即N 到平面PCD ． ............. 12分 解法二：（1）同解法一．（2）Q 0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................................................................................................................. 5分又Q 1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又Q DA DB D ∩=，∴PD ⊥平面ABCD ． ................................................................ 8分 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， ............................... 9分 ∴2233N PCD A PCD P ACD V V V −−−==， .................................................................................... 10分 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅V V ．Q 12ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠=V ，112PCD S PD CD =⋅=V ， 1PD =， ............................................................................................................................... 11分∴2193d =，解得d =即N 到平面PCD ． ............................................................................... 12分20．解：（1）设焦距为2c，由已知c e a ==，22b =， ∴1b =，2a =， ........................................................... 2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ........................................... 4分 （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+ += 得()222418440k x kmx m +++−=， ........................................... 5分 依题意，()()()2228441440km k m ∆=−+−>， 化简得2241m k <+，① ...................................................... 6分2121222844,4141km m x x x x k k −+=−=++， ............................................ 7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ........................... 8分 若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ................................. 9分 ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ........................................ 10分 ∴()()22222418454404141m km k km m k k − −⋅+⋅−+= ++ ， ............................. 11分 即()()()2222224518410k m k m m k −−−++=，化简得2254m k +=，② ............. 12分 21．解：（1）'1()0(),xf x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分 若0m ≥，则()0f x ′>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当1()x m∈−+∞，时，()0f x ′<，()f x 单调递减。
广西柳州市2021届高三第一次模拟考试 语文(含答案)
2021届高三第一次模拟考试语文(考试时间 150分钟满分150分)注意事项：1.本试题分为选择题和非选择题两种类型，请把答案填写在答题卡上，否则答题无效。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1~3题。
以易解史，即是以易学思维来认识历史、评论历史，这是中国传统史学的一个显著特点。
班固作为封建正统史家的代表，他撰述《汉书》，“综其行事，旁贯《五经》”，自觉以儒家思想作指导。
而在儒家“六经”中，《周易》在班固心目中占有独特的地位。
他以“六经”为诸子之源，而视《周易》为“六经”之首，“《易》的尊崇地位的确立，班固是立了功的。
”正因此，《汉书》重视以易解史，成为汉代史学以易解史的重要代表。
《汉书》深受《周易》及汉易时代天人一体思维的影响，以易学思维为依据，以历史学的形式对天人关系做出了新的探讨，从中表达了对于社会和谐的向往与追求。
首先，“列人事而因以天时”。
《四库全书》说：“《易》之为书，推天道以明人事者也。
”《汉书》在天人关系上，明确认为人事需要顺应天道。
《律历志上》说：《易》金火相革之卦曰“汤武革命，顺乎天而应乎人”，又曰“治历明时”，所以和人道也。
班固明确认为，“列人事而因以天时”，这是孔子作《春秋》的旨趣，也符合《易》的精神。
这里所引“汤武革命，顺乎天而应乎人”和“治历明时”，分别出自《革卦》的《彖辞》与《象辞》，前者以汤武革命之事发论，肯定其乃顺天应人之举，所以取得成功;后者字面含义是整治历法以明四时之序，意为治理国事需要取象历法。
二者其实都是强调人事需要取法天道，也只有取法天道才能成功。
其次，“财成辅相天地之宜”。
人道仿效、顺从天道是促成人事的先决条件。
如何仿效、顺从天道?《汉书》以《易传》为依据，提出了“财成辅相天地之宜”的思想。
《汉书》的这一思想，集中见于《货殖传》的叙述，文中阐发了“育之以时，而用之有节”的思想，主张要顺应自然节气，养育积蓄万物，以足备功用。
广西省柳州市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析
广西省柳州市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f xx x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 2．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.3． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）．故选D ．4．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据在关于4X =对称的区间上概率相等的性质求解． 【详解】4μ=Q ，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()P X m P X m μμ≤-=≥+．5．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得222i=(2)i=3a b z a b +--+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则222i=(2)i=3a bz a b +--+，所以22320a b a b ⎧+⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题. 7．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 8．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合12x π=为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.【详解】函数()sin 2cos 2f x x a x =+，由辅助角公式化简可得()()2,tan f x x a θθ=+=， 因为12x π=为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，代入可得sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12=(20a -=，即a =所以()sin 22f x x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.9．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 10．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.11．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题. 12．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年广西柳州市高三(上)摸底数学试卷(文科)(附答案详解)
2021-2022学年广西柳州市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x−5<0}，集合B={x|y=√x−2}，则A∩B=()A. (−1,2]B. [2,5)C. [0,5)D. [2,3)2.复数z=2+i2−i(i为虚数单位)，则其共轭复数z−=()A. 35+45i B. 45+35i C. 35−45i D. 45−35i3.在等差数列{a n}中，若a2+a6=10，a5=9，则a10=()A. 20B. 24C. 27D. 294.已知F是抛物线y2=8x的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 85.阅读如图的程序框图，输出的结果为()A. 17B. 10C. 9D. 56.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B. 若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件D. 命题“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题7.在三棱锥P−ABC中，若PA=PB=PC，则顶点P在底面ABC上的射影O必为△ABC的()A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心8.若曲线f(x)=e x+2x在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为4，则x0=()A. ln2B. ln4C. 2D. −ln29.2020年初，新型冠状病毒(COVID−19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y(单位：十人)38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为ŷ=b̂x+1，则此回归模型第5周的残差(实际值减去预报值)为()A. −1B. 0C. 1D. 210.我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征．如函数y=(x3−x)⋅3|x|的图象大致是()A. B.C. D.11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1和F2，点F1关于渐近线bx−ay=0的对称点恰好落在圆(x−c)2+y2=c2上，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. 2√2D. 312.已知函数f(x)=cos(cosx)+sin(cosx)，x∈R，有下述四个结论：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是π；③函数f(x)在[0,π2]上是减函数；④函数f(x)在[π2,π]上的最大值是1． 其中正确的结论一共有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设平面向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，c ⃗ =(2,3)，则(2a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ = ______ ． 14. 已知变量x ，y 满足{y ≥0y ≤x x +y −3≤0，则x =2x +3y 的最大值为______．15. 将函数f(x)=2sin(ωx −π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若数y =g(x)在[−π4,π3]上为增函数，则ω的取值范围是______． 16. 若球O 是直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球O 表面积的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题.为了调查某地区老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：(Ⅰ)估计该地区老年人中，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例以及女性老年人的比例；(Ⅱ)根据统计数据能有多大的把握认为该地区的老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别有关？请说明理由． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 参考数据：18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)求cosB+cosC的取值范围．19.设数列{a n}的前n项和S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{1a n }的前n项和为T n，求使得|T n−1|<1500成立的n的最小值．20.如图，直四柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，E为BA1的中点，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ADC=60°．(1)证明：E，C1，A，D四点共面；(2)求点E到平面A1CD的距离．21. 已知函数f(x)=2x −ax −(a +2)lnx(a ∈R)．(1)当a =4时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的单调性．22. 已知动点P 到点F 1(−1,0)的距离与到点F 2(1,0)的距离之和为2√2，若点P 形成的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过F 1作直线l 与曲线C 分别交于两点M ，N ，当F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最大时，求△MF 2N 的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={x|x 2−4x −5<0}={x|−1<x <5}， 集合B ={x|y =√x −2}={x|x ≥2}， ∴A ∩B =[2,5)． 故选：B ．先解不等式求出集合A ={x|−1<x <5}，集合B ={x|x ≥2}，再利用交集运算即可求解．此题考查了交集及其运算，不等式的解法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z =2+i2−i =(2+i)2(2+i)(2−i)=3+4i 5=35+45i ，则z −=35−45i ， 故选：C ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设公差为d ，则{a 2+a 6=2a 1+6d =10a 5=a 1+4d =9，解得{a 1=−7d =4，所以a 10=a 1+9d =−7+36=29． 故选：D ．由通项公式得{a 2+a 6=2a 1+6d =10a 5=a 1+4d =9，解出a 1，d 即可．本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的方程y2=8x可得2p=8，所以p=4，,0)，即(2,0)，所以焦点F(p2准线方程l的方程为：x=−2，所以可得焦点到直线的距离为2+2=4，故选：B．由抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点坐标及准线方程，求出焦点到准线的距离．本题考查抛物线的性质，由方程求出抛物线的焦点坐标及准线方程，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：程序开始，第1次循环，S=0+2=2，a=2×2−1=3，第2次循环，S=2+3=5，a=2×3−1=5，第3次循环，S=5+5=10，a=2×5−1=9，退出循环，最后输出a的值为9．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】D【解析】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”故A错误；对于B：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故B错误；对于C：“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故C错误；对于D：命题“若x=y，则x2=y2”为真命题，故它的逆否命题为真命题，故D正确．故选：D．直接利用命题的否定和否命题的关系，充分条件和必要条件，四种命题，命题真假的判定的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：命题的否定和否命题的关系，充分条件和必要条件，四种命题，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC ，∴顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即0必为△ABC 的外心， 故选：D ．由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即0必为△ABC 的外心．本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查．8.【答案】A【解析】解：由f(x)=e x +2x ，得f′(x)=e x +2， ∴f′(x 0)=e x 0+2， 由题意可得，e x 0+2=4， 即x 0=ln2． 故选：A ．求出原函数的导函数，得到函数在x 0处的导数，再由f′(x 0)=4即可求解x 0，是基础题． 本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．9.【答案】A【解析】解：x −=15(1+2+3+4+5)=3，y −=15(3+8+10+14+15)=10，即样本点的中心坐标为(3,10)，代入y ̂=b ̂x +1，可得10=3b ̂+1，解得b ̂=3，∴线性回归方程为y ̂=3x +1，取x =5，得y ̂=16， ∴此回归模型第5周的残差为15−16=−1． 故选：A ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得b ̂，得到线性回归方程，进一步求得第5周的预报值，则残差可求．本题考查线性回归方程，考查残差的求法，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设f(x)=(x3−x)⋅3|x|，其定义域为R，有f(−x)=−(x3−x)⋅3|x|=−f(x)，函数为奇函数，排除BD，在区间(0,1)上，f(x)=(x3−x)⋅3|x|<0，排除A，故选：C．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD，再分析区间(0,1)上，f(x)的符号，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：根据题意作出如下所示的图形，其中F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线相交于点N，∴N是F1M的中点，∵O为F1F2的中点，∴ON//F2M，|ON|=12|F2M|=c2，在Rt△OF1N中，|OF1|=c，|ON|=c2，∴∠F1ON=60°，即渐近线bx−ay=0的斜率为tan60°=√3，∴ba=√3，∴离心率e=ca =√1+(ba)2=2．故选：B．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线相交于点N，由中位线的性质知|ON|=1 2|F2M|=c2，再在Rt△OF1N中，推出∠F1ON=60°，然后结合ba=tan60°和离心率e=√1+(ba)2，得解．本题考查双曲线的几何性质，点关于直线的对称问题，考查数形结合思想，运算求解能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：A选项，f(−x)=cos[cos(−x)]+sin[cos(−x)]=cos(cosx)+sin(cosx)= f(x)，所以f(x)为偶函数，①错误；B选项，f(0)=cos1+sin1，f(π)=cos(−1)+sin(−1)=cos1−sin1，所以f(0)≠f(π)，所以π不是周期，②错误；令t=cosx，则y=f(x)=cost+sint=√2sin(t+π4)=g(t)，所以g(t)在[−3π4,π4]上单调递增，[π4,5π4]上单调递减．C选项，当x∈[0,π2]时，t∈[0,1]，所以g(t)在[0,π4]上单调递增，[π4,1]上单调递减，所以f(x)在[0,π2]不是单调函数，③错误；D选项，当x∈[π2,π]时，t∈[−1,0]，所以t=cosx在[π2,π]上递减，g(t)在[−1,0]上递增，所以f(x)在[π2,π]上递减，最大值为f(π2)=cos0+sin0=1，④正确．故选：A．化简f(−x)，并由奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性；计算f(0)，f(π)，根据f(0)≠f(π)得π不是f(x)的周期；t=cosx，则y=f(x)=cost+sint=√2sin(t+π4)，设g(t)=√2sin(t+π4)，则f(x)的单调性由t=cosx与g(t)的单调性共同决定，利用复合函数的单调性法则“同增异减”判断C、D选项．本题考查函数的周期性，奇偶性，复合函数的单调性，属于综合题．13.【答案】−6【解析】解：∵2a⃗−b⃗ =(3,−4),c⃗=(2,3)，∴(2a⃗−b⃗ )⋅c⃗=6−12=−6．故答案为：−6．可求出向量2a⃗−b⃗ 的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算即可．本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：画出不等式组{y ≥0y ≤x x +y −3≤0表示的平面区域如图所示：令z =2x +3y 可得y =−23x +13z ，则13z 为直线2x +3y −z =0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线l ：2x +3y =0，把直线向上平移可得过点B 时2x +3y 最大，由{y =x x +y −3=0，解得y =32，x =32，此时z =2×32+3×32=152． 故答案为：152．画出约束条件表示的平面区域，结合几何意义，求出目标函数z =2x +3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数求出答案．本题考查了简单的线性规划问题，画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解题的关键．15.【答案】(0,32]【解析】解：g(x)=f(x +π3ω)=2sin[ω(x +π3ω)−π3]=2sinωx(ω>0)， ∵y =g(x)在[−π4,π3]上为增函数， ∴{−π4ω≥−π2π3ω≤π2，解得0<ω≤32，故答案为：(0,32].利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可求得g(x)=2sinωx({ω>0)，再解不等式组{−π4ω≥−π2π3ω≤π2可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的单调性及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：如图，在Rt△ABC中，不妨设∠BAC=90°，AB=c，AC=b，则BC=√b2+c2，取BC，B1C1的中点分别为O2，O1，则O2，O1分别是Rt△ABC和Rt△A1B1C1的外接圆的圆心，连接O2O1，又直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心为O，则O为O2O1的中点，连接OB，则OB为三棱柱外接球的半径，设半径为R，因为三棱柱为直三棱柱，所以BB1=O2O1=4，所以三棱柱O−ABC的高为2，即OO2=2，因为三棱柱ABC−A1B1C1体积为4，即V ABC−A1B1C1=12bc×4=2bc=4，解得bc=2，在Rt△OO2B中，R2=(12BC)2+(OO2)2=(12√b2+c2)2+4=14(b²+c²)+4，则球的表面积S=4πR2=4π×(b2+c24+4)=π(b2+c2)+16π≥2πbc+16π=4π+ 16π=20π，当且仅当b=c时取得“=”，所以球O的表面积最小值为20π．故答案为：20π．根据题意，画出图形可知O为O2O1的中点，且有BC=√b2+c2，进而可求出球O的表面积表达式，利用基本不等式即可求出最小值本题考查三棱柱外接球表面积求法，数形结合是关键，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由统计数据可知，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人数为160，调查总人数为200，故愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为160200=45；由统计数据可知愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的女性老年人数为270，调查总人数为300，故愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为270300=910；(Ⅱ)由列联表的数据可得，K2的观测值K2=500×(40×270−30×160)270×430×200×300=3000301≈9.967>7.879，故有99.5%的把握认为是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别有关．【解析】(Ⅰ)由题中的数据，求出愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性和女性老年人数，结合总人数，即可得到答案；(Ⅱ)利用列联表中的数据，计算K2的观测值，对照临界表中的数值，即可判断得到答案．本题考查了独立性检验的应用，考查了统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，属于基础题．18.【答案】解：由b2+c2=a2+bc．得a2=b2+c2−bc．又由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccosA，所以cosA=12，则内角A=π3，(2)∵A=π3，可得：C=2π3−B，∴cosB+cosC=cosB+cos(2π3−B)=12cosB+√32sinB=sin(π6+B)，∵B∈(0,2π3)，可得：π6+B∈(π6,5π6)，∴cosB+cosC∈(12,1]．【解析】(1)由余弦定理和特殊角的余弦函数值，可得所求角，(2)由(1)得：C=2π3−B，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosB+cosC=sin(π6+B)，由B ∈(0,2π3)，可得：π6+B ∈(π6,5π6)，由正弦函数的图象和性质即可得解．本题考查三角形的余弦定理的运用，以及特殊角的三角函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)S n =2a n −2．∴n ≥2，S n−1=2a n−1−2，相减可得：a n =2a n −2a n−1， 化为a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−2，解得a 1=2， ∴数列{a n }是等比数列，公比与首项都为2， ∴a n =2n ．(2)数列{1a n}的前n 项和T n =12+122+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ．|T n −1|<1500化为：12n <1500，解得n ≥9， ∴使得|T n −1|<1500成立的n 的最小值为9．【解析】(1)S n =2a n −2.n ≥2，S n−1=2a n−1−2，相减利用等比数列的通项公式即可得出．(2)利用等比数列的求和公式可得数列{1a n}的前n 项和T n ，代入|T n −1|<1500化简即可解出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连接AB 1，C 1D ，则AB 1C 1D 是平行四边形， 因为E 为BA 1的中点，所以AE//C 1D ，AE =12C 1D ，所以四边形AEC 1D 是梯形，所以E ，C 1，A ，D 四点共面；(2)解：取AA 1的中点M ，连接EM ，MC ，MD ，取AD 中点N ，连接CN ， 因为E 为BA 1的中点，所以EM//AB ，因为AB//CD，所以EM//CD，因为EM⊄平面A1CD，DC⊂平面A1CD，所以EM//平面A1CD，所以点E到平面A1CD的距离等于点M到平面A1CD的距离，设为d，因为底面ABCD是边长为4的菱形，∠ADC=60°，所以CN⊥AD，CN=2√3，AD=AC=4，因为AA1⊥平面ABCD，CN⊂平面ABCD，所以AA1⊥CN，因为AA1∩AD=A，所以CN⊥平面ADD1A1，因为V M−A1CD =V C−A1DM，即13S△A1CD⋅d=13S△A1DM⋅CN，又因为A1C=√A1A2+AC2=√22+42=2√5，A1D=√AA12+AD2=√22+42=2√5，CD=4，所以S△A1CD =12×4×√(2√5)2−22=8，因为S△A1DM =12A1M⋅AD=12×1×4=2，所以13×8d=13×2×2√3，解得d=√32．即点E到平面A1CD的距离为√32．【解析】(1)连接AB1，C1D，可得AE//C1D，AE=12C1D，可得AEC1D是梯形，即可得证；(2)取AA1的中点M，连接EM，MC，MD，取AD中点N，连接CN，则可得EM//平面A1CD，利用等积法即可求出答案．本题主要考查四点共面的证明，点到平面距离的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a=4时，函数f(x)=2x−4x−6lnx，x∈(0,+∞)．f′(x)=2+4x2−6x=2(x−1)(x−2)x2，可得函数f(x)在(0,1)，(2,+∞)上单调递增；在(1,2)上单调递减．∴x=1时，函数f(x)取得极大值，f(1)=−2；x=2时，函数f(x)取得极小值，f(2)=2−6ln2．(2)f′(x)=2+ax2−a+2x=2(x−a2)(x−1)x2，a ≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．0<a <2时，函数f(x)在(0,a2)，(1,+∞)上单调递增；在(a2,1)上单调递减． a =2时，f′(x)=2(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．a >2时，函数f(x)在(0,1)，(a2,+∞)上单调递增；在(1,a2)上单调递减．【解析】(1)当a =4时，函数f(x)=2x −4x −6lnx ，x ∈(0,+∞).f′(x)=2(x−1)(x−2)x 2，研究其单调性即可得出极值． (2)f′(x)=2+a x 2−a+2x=2(x−a 2)(x−1)x 2，比较a 与2的大小关系，对a 分类讨论，进而得出函数的单调性．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)动点P 到两顶点F 1(−1,0)，F 2(1,0)的距离之和为2√2，所以|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F 1F 2|=2， 则动点P 的轨迹是F 1，F 2为焦点的椭圆， 所以2a =2√2，c =1， 即a =√2，b 2=a 2−c 2=1， 所以曲线C 的方程为x 22+y 2=1．(2)①当直线l 的斜率不存在时，x =−1， 则M(−1,√22)，N(−1,−√22)，此时F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =72， S △MF 2N =12×2×|√22−(−√22)|=√2，②当直线l 的斜率存在时，设为y =k(x +1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1，所以y 1y 2=k(x 1+1)⋅k(x 2+1)=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−k 22k 2+1，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=2(k 2−1)2k 2+1+4k 22k 2+1+2k 2+12k 2+1−k 22k 2+1=7k 2−12k 2+1=72−94k 2+2<72，综合①②可得，当直线l ：x =−1时，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值， 所以S △MF 2N =√2．【解析】(1)根据椭圆的定义可得动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，求出a ，b 的值，即可得出答案．(2)对直线l 的斜率分类讨论，若斜率不存在，直接求出F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和S △MF 2N 的最值；若斜率不存在，设直线方程和点M ，N 坐标，联立方程组，并消元得到一元二次方程，根据韦达定理表示出x 1+x 2，x 1x 2，y 1y 2，进而表示出出F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，化简求值，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
广西省柳州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
广西省柳州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得R =，此外接球的体积为3，三棱锥O EFG -体积为3，得到答案. 【详解】 如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，33HD BC ==，133R OH OA ==，由勾股定理：22233R R ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得R =， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则12233R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==所以三棱锥O EFG -体积为211434433⨯⨯⨯⨯=，所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 2．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】【分析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象； （2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分； （3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分； （4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.3．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ． 【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x '=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 4．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.5．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）A ．12πB ．3πC ．6πD ．9π 【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C.【点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种 【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题7．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系 8．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-【答案】C【解析】【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为22高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积， 即21V 12222222ππ=••-•••=-，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C【解析】【分析】 根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=； 第三次循环：3n =，131344S =⨯=； 第四次循环：4n =，141455S =⨯=； 第五次循环：5n =，151566S =⨯=； 第六次循环：6n =，161677S =⨯=； 第七次循环：7n =，171788S =⨯=； 第九次循环：8n =，181899S =⨯=； 第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.10．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-， 由1,y y x x=-=在()1,+∞递增， 所以1t x x =-在()1,+∞递增 又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x =-在()1,+∞递增，故排除B 、C当1x ≤时()cos x f x e π=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而t y e =是增函数所以()cos x f x eπ=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】 本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞【答案】B【解析】【分析】 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，又()()()()x x g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数， 从而()()211a e f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.12．已知向量a r ，b r 夹角为30°，(a =r ，2b =r ，则2a b -=r r ( )A ．2B ．4C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【详解】由于2a b -===r r 2=， 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西柳州市数学高三文数一模试卷
广西柳州市数学高三文数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 已知全集，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数的实部为1，且，则复数的虚部是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·黑龙江模拟) 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A .B .C .4. （2分）(2017·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A . 24πB . 12πC . 8πD . 6π5. （2分）下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A . 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定.B . 数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C . 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定D . 数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定6. （2分）(2018·衡水模拟) 已知函数与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（）A .B .C .7. （2分）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则的值为（）A .B .C .D . 18. （2分） (2016高三上·安徽期中) 在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则 =（）A . 0B . 4C .D . ﹣9. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 若是方程的解，是方程的解，则等于（）A .B . 1C .D . -110. （2分） (2015高二上·柳州期末) 如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， |F1F2|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 311. （2分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A . 8πcm2B . 12πcm2C . 16πcm2D . 20πcm212. （2分） (2018高二下·鸡泽期末) 已知函数的零点，且（，），则（）A . 5B . 4C . 3D . 2二、填空题 (共4题；共12分)13. （5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为________ ．14. （5分） (2017高二下·雅安期末) 函数f（x）=x3+sinx，（﹣1＜x＜1），若f（x2）+f（﹣x）＞0，则实数x的取值范围是：________．15. （1分）一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为________ m．16. （1分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A=， a=2，bcosC﹣ccosB=2，则∠B=________三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高三上·崇礼期中) 数列{an}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a1=2，且a2 ， a4 ，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an•2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2016高二下·南阳期末) 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班a=________b=________50乙班c=24d=2650合计e=________f=________100（2）现从乙班50人中任意抽取3人，记ξ表示抽到测试成绩在[100，120）的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：K2= ，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.204 6.6357.87910.82819. （10分）如图，在四棱锥A﹣BECD中，已知底面BECD是平行四边形，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BECD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．20. （10分）(2019·浙江模拟) 对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆的两条切线，则切点所在直线的方程是，利用此结论解答下列问题：已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线（是坐标原点）的距离是，（Ⅰ）当时，求线段的长；（Ⅱ）求的最大值.21. （10分）(2017·莆田模拟) 设函数f（x）=xex﹣ax（a∈R，a为常数），e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的任意一条切线都不与y轴垂直，求a的取值范围；（2）当a=2时，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整数k．22. （10分） (2019高三上·沈河月考) 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系 .（1）求和的参数方程；（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点，与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.23. （10分） (2019高一上·盘山期中) 已知函数 .（1）若的零点为2，求；（2）若在上单调递减，求的最小值；（3）若对于任意的都有，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共12分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
广西柳州市2023届新高三摸底考试数学(文)试题含答案
柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-2.设m ∈R ，若复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则12z z ⋅=（）A.3i-+ B.1i-- C.3i- D.3i--3.已知向量,a b ，的夹角为3π，且2a = ，3b =r ，则()a b a ⋅-= （）A.－1B.4C.－2D.14.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%5.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为()A.2B.32C.53D.856.若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（）A.c b a >>B.b c a >>C.c a b>> D.a b c>>7.若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A.－2425B.725 C.－725D.24258.设变量x ，y 满足约束条件202011x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则目标函数z x y =+的最小值为（）A.2B.－3C.－2D.09.已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A.15 B.43C.12D.51210.若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin(4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（）A.9B.7C.11D.311.已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（）A.(1,2)B.(,1)-∞ C.(2,)+∞ D.(,1)(2,)-∞⋃+∞12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A.52B.3C.2D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3450,3a a a =+=，则11S =___．14.若函数()ln 1f x x x =+，则()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为___．15.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PF PF +的最小值为___．16.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段11B D 上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥1E A BD -的体积为定值；④三棱锥1E A BD -外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C =．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，a =，求△ABC 的面积．18.已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式.19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．21.已知函数()ln 2af x x x x=+-．（1）讨论当0a >时，f (x )单调性．（2）证明：()222e xa x xf x x--+>．22.已知平面上动点Q （x ，y ）到F （0，1）的距离比Q （x ，y ）到直线:2l y =-的距离小1，记动点Q （x ，y ）的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程．（2）设点P 的坐标为（0，－1），过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，再利用交集运算求解.【详解】因为21x ≤，所以11x -≤≤，即{}|11A x x =-≤≤，所以A B = {}|11x x -≤≤.故选：B.2.设m ∈R ，若复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则12z z ⋅=（）A.3i -+B.1i-- C.3i- D.3i--【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得m 的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则1m =，则21i z =+，因此，()()122i 1i i z z ⋅=-++=--.故选：D.3.已知向量,a b ，的夹角为3π，且2a = ，3b =r ，则()a b a ⋅-= （）A .－1B.4C.－2D.1【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】()22123212a b a a b a ⋅-=⋅-=⨯⨯-=-r r r r r r 故选：A4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%【答案】B【解析】【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．【详解】这五个社团的总人数为88010%=，804%2000=．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为1210%15%8⨯=，所以脱口秀社团人数的占比为110%15%30%25%20%----=，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为25%20%45%+=，D错误．故选：B．5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2B.32C.53D.85【答案】C 【解析】【详解】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.6.若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（）A.c b a >>B.b c a>> C.c a b>> D.a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.【详解】因为lg 0.3lg10<=，所以0a <；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===，21log 3b=，而22log 3log >所以11b c>，即b c <.故选：A.7.若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A.－2425B.725 C.－725D.2425【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C8.设变量x ，y 满足约束条件202011x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则目标函数z x y =+的最小值为（）A.2B.－3C.－2D.0【答案】C 【解析】【分析】作出平面区域，结合图像求直线y x z =-+在y 轴截距z 的最小值，通过平移直线y x =-可得在在点()1,1A --处取到最小值，代入运算求解．【详解】根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数z x y =+，即y x z =-+，则求直线y x z =-+在y 轴截距z 的最小值结合图像可得在点()1,1A --处取到最小值()112z =-+-=-故选：C ．9.已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A.15 B.43C.12D.512【答案】B 【解析】【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =而1d ===，所以1d ==，解方程即可求出答案.【详解】圆()()22:214C x y -+-的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =，而1d ===，所以1d ==，解得：43k =.故选：B.10.若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin(4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（）A.9 B.7C.11D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈，由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin(4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增，而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>，所以ω的最小值为11.故选：C11.已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（）A.(1,2)B.(,1)-∞ C.(2,)+∞ D.(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由(1)f x -是定义为R ()f x 关于(1,0)-点对称；再结合(1)0f -=，即可得出(3)(1)(1)0f f f -=-==.再结合f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，可知函数()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.【详解】因为(1)f x -是定义为R 上的奇函数,所以(1)(1)f x f x -=---;函数()f x 关于(1,0)-点对称.当2x =时：(3)(1)0f f -=-=；当0x =时：(1)0f -=;所以()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.所以当232x -<-时233x ->-，解得0x <;当2230x -≤-≤时231x -<-，解得01x ≤<;当230x ->时231x ->，解得2x >;综上所述：不等式()230xf -<的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A.2B.173C.102D.【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用2||BF 表示11||,||,||BF AF AB ，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线,CA DB 都过点1F ，如图，有1AB BF ⊥，13cos 5BAF ∠=，设2||BF m =，则1||2BF a m =+，显然有14tan 3BAF ∠=，133||||(2)44AB BF a m ==+，231||24AF a m =-，因此，1271||2||24AF a AF a m =+=-，在1Rt ABF ，22211||||||AB BF AF +=，即222971(2)(2)()1624a m a m a m +++=-，解得23m a =，即1282||,||33BF a BF a ==，令双曲线半焦距为c ，在12Rt BF F 中，2222112||||||BF BF F F +=，即22228()()(2)33a a c +=，解得173c a =，所以E 的离心率为173.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3450,3a a a =+=，则11S =___．【答案】33【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出首项和公差，再利用前n 项公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 中，30a =，由36453a a a a +=+=得63a =，则公差63163a a d -==-，首项1322a a d =-=-，所以11111(111)1111(2)55332S a d -=+=⨯-+=.故答案为：3314.若函数()ln 1f x x x =+，则()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为___．【答案】0x y -=【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得出答案.【详解】解：由函数()ln 1f x x x =+，得()11f =，()0,x ∈+∞，则()1ln f x x '=+，故()11f '=，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，即0x y -=.故答案为：0x y -=.15.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PF PF +的最小值为___．【答案】1【解析】【分析】利用椭圆的定义知124PF PF +=，利用基本不等式即可求出1211PF PF +的最小值.【详解】因为12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，所以124PF PF +=.所以124PF PF =+≥，所以124PF PF ⋅≤（当且仅当12PF PF =时等号成立）.所以12121211414PF PF PF PF PF PF ++==⋅.即1211PF PF +的最小值为1.故答案为：116.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段11B D 上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥1E A BD -的体积为定值；④三棱锥1E A BD -外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．【答案】①③【解析】【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过E 到11A B 的距离来计算E 到AB 的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象E 在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．【详解】易证AC ⊥平面11BB D D ，DE ⊂平面11BB D D ，所以恒有AC DE ⊥，直线DE 与直线AC 所成角为90°，所以①是真命题．点E 到直线AB 的距离与点E 到直线11A B 的距离有关，所以②是假命题．因为11//B D BD ，由线面平行的判定定理可得11//B D 平面1A BD ，故点E 到平面1A BD 的距离d 为定值，则1113E A BD A BD V d S -=⋅△为定值，所以③是真命题．11//B D 平面1A BD ，E 在11B D 上变化，例如点E 在1D 处和在11B D 的中点处时，三棱锥1E A BD -的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故答案为：①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C =．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，a =，求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=（2）2【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；（2）由余弦定理与面积公式求解即可【小问1详解】由已知及正弦定理知：2sin sin A C C =．因为C 为锐角，则sin 0C ≠，所以sin 2A =．因为A 为锐角，则3A π=【小问2详解】由余弦定理，2222cos b c bc A a +-=．则244cos73c c π+-=，即2230c c --=即()()310c c -+=，因为0c >，则3c =所以△ABC的面积11sin 32sin 2232S bc A π==⨯⨯=．18.已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式.【答案】（1）证明见解析，21nn a =-（2）122n n S n+=--【解析】【分析】（1）由已知得a n +11+=2（a n 1+），112a +=，从而能证明{a n 1+}是首项为2，公比为2的等比数列，并能求出{a n }的通项公式．（2）利用分组求和可求解【详解】(1)由121n n a a +=+可得112(1)n n a a ++=+,即1121n n a a ++=+所以{}1n a +是一个以2为首项，以2为公比的等比数列所以12nn a +=,所以21nn a =-(2)123123(21)(21)(21)(21)n n n S a a a a =++++=-+-+-+- ()1232(12)2222(1111)12n nn-=+++-++++=-- 122n n+=--【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和的合理运用．19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）910.【解析】【分析】（1）根据给定数据，完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值表比对作答.（3）对5人编号，利用列举法结合古典概型概率公式计算作答.【小问1详解】根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣台计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得()22200903020602006.061110901505033K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，6.061 5.024>，所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.【小问2详解】记至少1人对冰球有兴趣为事件D记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取2人，有(,),(,),(,),(),(),(),(),(),(),()A m A n B m B n C m C n A B A C B C m n ,,,,,,,，共10个结果，其中2人对冰球都有兴趣的有(,),(,),(,)A B A C B C ，共3个结果，1人对冰球有兴趣的有(,),(,),(,),(),(),()A m A n B m B n C m C n ,,,，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，所以所求事件的概率9()10P D =．20.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）证明,PO AC PO OB ⊥⊥，利用线面垂直判定定理求解；（2）利用等体积法求点C 到平面POM 的距离即可.【小问1详解】连接OB ，如图，∵2,AB BC AC ===，∴222AB BC AC +=，即△ABC 是直角三角形，又O 为AC 的中点，∴OA OB OC ==，又∵PA PB PC ==，∴POA POB POC≅≅ ∴90POA POB POC ∠=∠=∠= ．∴,,PO AC PO OB OB AC O ⊥⊥= ，OB 、AC ⊂平面ABC ∴PO ⊥平面ABC ．【小问2详解】由（1）得PO ⊥平面ABC ，PO ==在COM V 中，45OCM ∠= ，103OM ∴==．1110152233POM S PO OM =⨯⨯== 122233COM ABC S S =⨯⨯= 设点C 到平面POM 的距离为d ，由1133P OMC C POM POM OCM V V S d S PO --=⇒⨯⋅=⨯⨯ ，解得5d =，∴点C 到平面POM 的距离为2105．21.已知函数()ln 2af x x x x=+-．（1）讨论当0a >时，f (x )单调性．（2）证明：()222e xa x xf x x--+>．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）对函数求导，按18a ≥和108a <<两类讨论，得出函数的单调性；（2）要证()222e xa x xf x x--+>，即证e ln 2x x >+．构造函数()e ln 2(0)x h x x x =-->，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，转化求解即可．【详解】（1）解：由题意可知()222120,2a x x ax f x x x x -+>=--=-对于二次函数22,18y x x a a =-+∆=-．当18a ≥时，()0,0f x '∆≤≤恒成立，f (x )在0x >上单调递减；当108a <<时，二次函数220y x x =-+-有2个大于零的零点，分别是12118118,44x x +==，当118118,44x ⎛+∈ ⎝⎭()0f x '>，f (x )在11811844x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；当1180,4x ⎛⎫⎫-∈⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()0f x '<，f (x )在1180,4x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭和118,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减综上：当18a ≥时，f (x )在（0，＋∞）单调递减当108a <<时f (x )在118118,44x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；1181180,,44x ⎛⎫⎛⎫-+∈+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭单调递减．（2）证明：要证()222e xa x x f x x--+>，即证e ln 2x x >+．（方法一）设()e ln 2(0)xh x x x =-->，则()1e xh x x='-，()h x '在（0，＋∞）上为增函数，因为()10,102h h ⎛⎫''<> ⎪⎝⎭，所以()h x '在（12，1）上存在唯一的零点m ，且()1e 0m h m m '=-=，即1e ,ln m m m m==-．所以h (x )在（0，m ）上单调递减，在(),m +∞上单调递增，所以()()min 1e ln 22220m h x h m m m m==--=+-≥-=，．因为1,12m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以等号不成立，所()e ln 20x h x x =-->，所以e ln 2x x >+，从而原不等式得证（方法二）不妨设()()e 1x h x x =-+，则()()e 1,00xh x h ''=-=，当0x <时，()00h '<，当0x >时，()00h '>，因此()()()00,e 10xh x h x ≥=-+≥恒成立，．则()()()ln ln 100h x x x h =-+≥=恒成立，．则()()()e 1ln 1e ln 20xx x x x x ⎡⎤-++-+=-+≥⎣⎦恒成立，即e ln 2x x ≥+．又ln x x ≠，所以等号不成立，即e ln 2x x >+，从而不等式得证22.已知平面上动点Q （x ，y ）到F （0，1）的距离比Q （x ，y ）到直线:2l y =-的距离小1，记动点Q （x ，y ）的轨迹为曲线．（1）求曲线C 的方程．（2）设点P 的坐标为（0，－1），过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意列出方程化简求解即可；（2）要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=，利用斜率公式及根与系数的关系化简即可得证.【小问1详解】Q （x ，y ）21y =+-，当2y ≥-时，1y =+，平方可得24x y =，当2y <-时，3y =--，平方可得28(1)x y =+，由28(1)0x y =+≥可知1y ≥-，不合题意，舍去.综上可得24x y =，所以Q 的轨迹方程C 为24x y =．【小问2详解】不妨设2,(0)4t A t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为24x y =，所以2x y '=，从而直线PA 的斜率为24201t t t -+=，解得2t =，即A （2，1），又F （0，1），所以//AF x 轴．要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=．设直线m 的方程为1y kx =-，代入24x y =并整理，得2440x kx -+=．首先，()21610k ∆=->，解得1k <-或1k >．其次，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4x x k x x +==，()()21121212121111FM FN x y x y y y k k x x x x -+---+=+=()()21121222x kx x kx x x -+-=()121222x x k x x +=-8204k k =-=，故AFM AFN ∠=∠.此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞．。
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柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分, 满分60分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．7 14．152 15．12 16．12三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++-+-+-==， .................. 2分 ()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++-+-+-==， ....................... 4分 8182221593ˆ24812845125682i ii i i x y nxy b xnx ==--⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑， .................................... 6分 ∴91518ˆ2ˆ42a y bx =-=-⨯=， .............................................. 7分 故线性回归方程为1142ˆy x =+， ............................................. 8分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω- ............................................ 9分 而数学偏差为128-120=8， .................................................... 10分 ∴1191.5842ω-=⨯+， ..................................................... 11分 解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ...................... 12分 18．解：（1）()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc -+-=， ......................................... 1分 由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=， ..................................... 2分 由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=， ....................... 3分A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， ................ 4分sin 0B ≠，∴1cos 2A = ..................................................................................................... 5分 由()0,A π∈，则3A π=. ........................................................................................................... 6分 （2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，.................................. 7分3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴2153sin 3cos 23ABC S BC D △π=⨯⨯=-， ................................ 8分 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆⨯⨯⨯=， ...................................... 9分 ∴5353sin 3cos 2sin 5332ABDC S D D D 四边形π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎭+⎝， ...... 10分 ∴sin()13D π-=， ............................................................ 11分(0,)D π∈，即56D π= ............................................................................................................ 12分 19．解法一： （1）//AB CD ,所以1,2AM AB MC CD == 即13AM AC =． ............................................................ 1分 //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PCD PC =， ............................................ 2分 ∴//MN PC ． ........................................................... 3分 ∴13AN AM AP AC ==，即13λ=． .......................................................................................... 4分 (2) 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................... 5分又1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又DA DB D ⋂=，∴PD ABCD ⊥平面 .................................................................... 8分PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ． ........................................................................................................... 9分 又//MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离． ................... 10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则2h =， ............................... 11分23MD MC BD AC ==，∴23ME h ==，即N 到平面PCD ............. 12分 解法二：（1）同解法一．（2）0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................................................................................................................. 5分又1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又DA DB D ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ． ................................................................ 8分设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， ............................... 9分 ∴2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， .................................................................................... 10分 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅．122ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠=，112PCD S PD CD =⋅=， 1PD =， ............................................................................................................................... 11分∴2193d =，解得d =即N 到平面PCD ..................................................................................... 12分20．解：（1）设焦距为2c，由已知2c e a ==，22b =， ∴1b =，2a =， ........................................................... 2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ........................................... 4分 （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222418440k x kmx m +++-=， ........................................... 5分 依题意，()()()2228441440km k m ∆=-+->， 化简得2241m k <+，① ...................................................... 6分2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ............................................ 7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ........................... 8分 若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ................................. 9分 ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ........................................ 10分 ∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭， ............................. 11分 即()()()2222224518410k m k m m k---++=，化简得2254m k +=，② ............. 12分 21．解：（1）'1()0(),xf x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分 若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1()x m∈-+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减。