球面距离(沪教版)
上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第十讲球的体积及球面距离
沪教版数学高二下春季班第十讲课题 球的体积及球面距离单元第十五章 学科数学年级十一学习 目标 1．理解球的有关概念，掌握球的性质及有关公式；2．理解球面距离的概念，会计算常见的球面距离； 3．解决常见的与球有关的计算问题．重点 1．球面距离的计算方法；2．球的表面积与体积的计算问题；3．掌握常见的球内接与外切问题的解决方法 难点 掌握常见的球内接与外切问题的解决方法1、球的定义：半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做球，记作球O 。
半圆绕着它的直径旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球．大家要注意球面和球是不同的两个概念．点O 到球面上任意点的距离都相等，把点O 称为球心，原半圆的半径和直径分别成为球的半径和球的直径。
球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆．教学安排版块时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 105 课后练习30球的体积及球面距离知识梳理2、球的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r=22d R -3、球的表面积、体积公式：表面积：24R S π=；球的体积公式：334R V π=．4、球的体积公式高中数学教材对球的体积公式343V r π=球(r 为球的半径)作了要求，但只是简单地说“利用祖暅原理和圆柱、圆锥的体积公式”可得出此公式，未作具体推导.鉴于部分学有余力的学生想了解其推导过程，现提供几种用高中数学知识就可推导的方法.方法一:利用祖暅原理为方便起见，现只计算半球的体积.正如教材中所说的方法，利用祖暅原理关键是要构造一个和半球等高且横截面面积处处相等的几何体.如图1，在一个底面半径为r 、高为r 的圆柱中挖去一个底面半径为r 、高为r 的圆锥， 则距离下底面h 的横截面为一圆环，面积为22r h ππ-.又半球距离下底面h 的横截面为一个圆，由勾股定理，半径为22r h -，面积也为()22r h π-.因此，所构造几何体的体积与半球的体积相等，为圆柱的体积减去圆锥的体积，即2231233r r r r r πππ⋅-⋅=， 所以球的体积为343V r π=球.方法二：把球分割成无穷多个小圆柱高中生已经学过极限的知识，可以尝试这个方法.同样，只计算半球的体积. 如图2，把半球的高n 等分，作n 个半球的横截面，再以这些横截面为底面，作n 个高为rn 的圆柱.这些圆柱的底面积分别为2r π，22r r n π⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，222r r n π⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()221,n r r n π⎡⎤-⎛⎫⎢⎥-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 所以这些圆柱的体积之和是()222222212n n r r r r V r r r r n n n n π⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅+-+-++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L()()222222121r rnr n n nπ⎡⎤=⋅-+++-⋅⎢⎥⎣⎦LO()()331111216r n n n n π⎡⎤=⋅-⋅--⎢⎥⎣⎦32211326r n n π⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭当n →∞时，圆柱体积之和就无限趋近于半球的体积，即32lim 3n V r π→∞=n ，所以球的体积为343V r π=球.方法三、把球分割成无穷多个小圆锥把球面近似分成n 个部分，当n →∞时，每个部分可看做一个圆.以这些圆为底面，以球心为顶点做圆锥，则所有圆锥体积的和即为球的体积.如图3.设每个圆的面积为12,,,nS S S L ，则所有圆锥体积的和为()121211113333n n S r S r S r r S S S +++=+++L L 又球的表面积为()212lim 4n n S S S r π→∞+++=L ，所以球的体积为()31214lim 33n n r S S S r π→∞+++=L . 这种推导方法比较简单易懂，但需要用到球的表面积公式，而他无法用高中数学知识推导，顾此方法的说服力不如前两种方法. 4、经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0o经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数5、球面距离：球面上两点之间的最短距离，也是过两点的大圆的圆弧（劣弧）长度．（1）两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 即： l R ϕ=(ϕ为球心角的弧度数)．ϕBA RR O（2）半球的底面：已知半径为R的球O ，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面．1、球的概念与球的截面【例1】①当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；②过球面上两点只能作一个球大圆；③过空间四点总能作一个球；④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【例2】已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为π6和π8，则两平行截面间的距离为（）A．1B．2C．1或7D．2或6【难度】★【答案】C【例3】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。
沪教版——15.6球面距离PPT
A
在A、B之间的劣弧的长越小！
在过A、B点的球的截面中半径最大的是
过球心的大圆
球面距离
A、B两点的球面距离：
过A、B两点的大圆
在A、B间的劣弧长
O
度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
过球面上两点的大圆是唯一的吗？
当A,B,O三点共线时，不唯一； 当A,B,O三点不共线时，唯一。
A B
小试牛刀
球的概念
复习1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋转 所成的曲面叫做球面．
球面所围成的几何体叫做球体． 简称球．
球的概念
球的直径
球心
球的半径
球的性质
复习2．球的性质
性质1：球心和截面圆心的连线垂直 于截面．
性质2：球心到截面的距离 d与
球的半径 R及截面的半径 r 有下面的
关系：r R 2 d 2
O
A 赤道
南极
经线
例1、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东经 1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求 两个城市间的距离。（精确到1km）
城市D位于东经121°，南纬29°
A
B
P
O
赤道
C
D
(2)P地的经度的规定： 经过P点的经线与地轴确定的半
平面和本初子午线与地轴确定
性质3：球面被经过球心的平面截得的 圆叫做大圆，被不经过的截面截得的圆 叫做小圆。
• 从北京飞往纽约沿哪个方向能最快到达呢？
平面上两点连线线段的长度 ---平面上两点间的距离 球面上联结两点的最短路径的长度--- 球面上两点间的距离
球面上两点间的距离该如何去寻求呢？
B
球面距离计算公式的推导及举例
球面距离的盘算及其盘算公式在球面上,不在统一向径上的两点之间的最短距离,就是经由这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度,我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1,A.B 为球面上不在统一向径上的两点,O 为圆心,⊙O 为过A.B 的大圆,⊙O '为过 A.B 的任一个小圆,我们把这两个圆画在统一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ,α'='∠2B O A ,球半径为R ,半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=,AB小圆弧长rl α'=2r a R r R l L '='=ααα22 （1）但αα'==sin 2sin 2r R AB ,即ααsin sin '=r R （2）将（2）代入（1）得αααααααsin sin sin sin ''='⋅'=a l L（3）∵r R >,由（2）式知αα>'.因为20παα<'<<,故只需证实函数()xxx f sin =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2.0π内为单调递减即可.∴()()0tan cos sin cos 22<-=-='xx x x x x x x x f , ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时,有x x >tan ）∴()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减,由（3）式不可贵到1<lL,即l L <. 故大圆劣弧最短.球面距离公式：设一个球面的半径为R ,球面上有两点()11,βαA .()22,βαB . 个中1α,2α为点的经度数,1β.2β为点的纬度数,过A .B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ,则有()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ⋅+-=（弧度）A.B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L 证实：如图1,⊙1O 与⊙2O 分离为过A.B 的纬度圈,过A.C 的大圆,过B .D 的大圆分离为A.B 的经度圈,而经度圈与纬度圈地点的平面互相垂直,作⊥AE 面BC O 2,垂足E位于C O 2上,贯穿连接EB.AB. 则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中,由余弦定理,得：()212222222cos 2αα-⋅++=B O E O B O E O BE 故()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ-⋅--=+=R BE AE AB又()θθθcos 122sin 42sin 222222-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=R R R AB ,比较上述两式,化简整顿得： ()212111sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=,从而可证得关于θ与L 的两个式子.盘算球面距离的三种类型现行教材中,介绍了球面距离的概念,这方面的习题许多,同窗们进修时广泛觉得艰苦．下面给出这类习题解答的示范,以供同窗们参考．1．位于统一纬度线上两点的球面距离例1 已知A ,B 两地都位于北纬 45,又分离位于东经 30和 60,设地球半径为R ,求A ,B 的球面距离．剖析：请求两点A ,B 的球面距离,过A ,B 作大圆,依据弧长公式,症结请求圆心角AOB ∠的大小（见图1）,而请求AOB ∠往往起首请求弦AB 的长,即请求两点的球面距离,往往要先求这两点的直线距离．解：作出直不雅图（见图2）,设O 为球心,1O 为北纬 45圈的圆心,贯穿连接OA ,OB ,A O 1B O 1,AB．因为地轴⊥NS 平面B AO 1．∴1OAO ∠与1OBO ∠为纬度 45,B AO 1∠为二面角B OO A --1的平面角．∴3030601=-=∠B AO（经度差）．Rt △1OAO 中,R R OAOOA A O 2245cos cos 11=⋅=∠=． △AB O 1中,由余弦定理,B AO B O A O B O A O AB 11121212cos 2∠⋅-+=22223230cos 222222222R R R R R -=⋅⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．△OAB中,由余弦定理：43222322cos 2222222+=--+=⋅-+=∠R RR R OBOA ABOB OA AOB ,∴ 21≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R Rππ60721180=⋅． 2．位于统一经线上两点的球面距离例 2 求东经 57线上,纬度分离为北纬 68和 38的两地A ,B 的球面距离．（设地球半径为R ）．解：经由B A 、两地的大圆就是已知经线．303868=-=∠AOB ,618030RR AB ππ=⋅⋅=．3．位于不合经线,不合纬线上两点的球面距离例3A 地位于北纬 30,东经 60,B 地位于北纬 60,东经 90,求A ,B 两地之间的球面距离．（见图4）解： 设O 为球心,1O ,2O 分离为北纬 30和北纬 60圈的圆心,贯穿连接OA ,OB ,AB ．\Rt △A OO 1中,由纬度为 30知 301=∠OAO ,R R OAO OA O O 2130sin sin 11==∠= , R R OAO OA AO 2330cos cos 11==∠= ．Rt △B OO 2中, 602=∠OBO , ∴R R O O 2360sin 2=⋅= ,260cos 2R R B O =⋅= ,∴R R R OO OO O O 21321231221-=-=-=． 留意到A O 1与B O 2是异面直线,它们的公垂线为21O O ,所成的角为经度差306090=-,应用异面直线上两点间的距离公式．αcos 22122122212B O A O O O B O A O AB ⋅-++=（α为经度差）2222432530cos 212322132123R R R R R R -=⋅⋅⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．△AOB 中,RR R R R OBOA ABOB OA AOB ⋅--+=⋅-+=∠243252cos 2222228205.08323≈+=．∴ 35≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R R ππ36735180=⋅．。
沪教版高三上册第15章简单几何体15.6球面距离 课件 共14张PPT
O A’
四、巩固练习
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国
台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大
的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371
千米.
（1）求中国台北到上海的
O’
距离.答（ ）．（结果
A上海
C亚特兰大
精确到1千米）
B中国台北
A. 3336km O
课题 球面距离(1)
一、形成概念 已知上海的位置约为 东经121o,
北纬 30o，开罗的位置约为 东经 31o, 北纬 30o，你能求出开罗到上海的距离吗？
（结果精确到1千米）
经度 ——本地经线平面与本初子午线平面的夹 角（二面角）。
北极
地东
0
度
轴 地心
经
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
经
121
线 121度 度
纬度 ——本地点到球心连线与赤道平面的夹角
AB
=
R 2
, 求A, B两点的球面距离.
3．求解巩固练习（2）.
4．课本书后练习题1.
5．课本书后练习题2.
（二）选做题
1.长方体ABCD - A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上， AB = AA1 = 1，BC = 2 ，求A, B两点的球面距离.
2．习题册15.6 A组1. 3．习题册15.6 A组3. 4．习题册15.6 B组1. 5．习题册15.6 B组2.
B. 2780km
C. 319km
D. 556km
巩固练习：
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国 台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大 的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371 千米.
球面距离(沪教版)
A OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
cos AOB 0.1647 AOB 99.48
AB的弧长 2 6371 99.48
360
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1)解：在BOO1中，
OO1B 90°,OB R,
2
OBO1 45 , BO1
∴纬线圈中AB 的长度为
2
R.
m
O1
A
B
O
. 2 R 2 R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中， m
AO OB AB R
O1
A
B
AOB
N
解 EOB EOA
AOB, 又 EOB 68
B
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
练习： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
定义：球面上，两点 之间的最短连线的长 度，就是经过这两点
的大圆在这两点之间 B 的劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点 的球面距离.
A
α
O
一般地：球面距离L=αR （α称为球心角）
1.已知A，B是半径为3的球面上
两点，且AB= 3 3 ，求A，B两
点的球面距离.
球面距离
OC2 OD2 CD2
cos COD
0
2OC OD
COD 90
B的位置可能是：东经110 ,西经 70
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离 方法：直接代公式
(2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
在东经90 20 70，北纬45处。
四、作业
1.设地球的半径为R， 若甲地位于北纬60O，东经120O； 乙地位于南纬15O度，东经120O， 求甲、乙两地的球面距离。
甲
O
乙
2.地球是一个半径为R的球， A在北纬45°，东经70°， B在北纬45°，东经160° 求A、B两地的球面距离。
的两地A ，B的球面距离．(设地球半径为R).
N 解： EOB EOA
B
AOB, 又 EOB 68
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
巩固及时练： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置 约为东经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210, 北纬250, 求两个城市间的距离。
3
地球仪中的经纬度
经度：
经过P点的经线与地轴确 Q 定的半平面和本初子午 线与地轴确定的半平面 所成的二面角的度数 A （即∠AOB的度数）
M
P
O
B
经度是二面角
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或AOB 的
度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第12讲 空间向量 (核心考点讲与练)解析
第12讲空间向量 (核心考点讲与练)1、空间向量的概念与运算（１）空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等）与平面向量情形相同．（２）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地，平面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间向量．考点一：空间向量的概念与运算一、填空题1．（2019·上海市延安中学高二期中）给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④ 【分析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.2．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）若a 、b 、c 是空间中的三个向量，1a =，2b =，3c =，且()()0a b a c -⋅-=，则b c -的最小值为___________．【答案】1 【分析】建立平面直角坐标系，求得D 点的轨迹，结合圆的知识求得BC 的最小值.设a OA =，b OB =，c OC =，∴AB AC ⊥，求BC 的最值，O 、A 、B 、C 在同一平面时，BC 有最值，如图建系，不妨设1,0A ，(),B m n ，(),C p q ，BC 中点(),D x y ， 可知224m n +=，229p q +=，0.5()x m p =+，0.5()y n q =+ ，由AB AC ⊥可知(1)(1)0m p nq --+=，消参可得22 2.75x y x +-=，即D 点轨迹为22 2.75x y x +-=，D 点的轨迹是1,02⎛⎫⎪⎝⎭.所以min 12AD =，即min 1BC =．故答案为：13．（2022·上海金山·高二期末）在空间直角坐标系O xyz - 中，已知向量()1,0,3a =，则a 在x 轴上的投影向量为________. 【答案】(1,0,0) 【分析】根据向量坐标意义及投影的定义得解. 【详解】因为向量()1,0,3a =，所以a 在x 轴上的投影向量为(1,0,0). 故答案为:(1,0,0)4．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）空间四边形ABCD 中，E ､F ､G ､H 分别是AB ､BC ､CD ､DA 边的中点，如果2AC =，4BD =，则22EG FH +=___________.【答案】10首先构造平行四边形，然后利用向量法计算出22EG FH +. 【详解】画出图象如下图所示，1////,22EH BD FG EH FG BD ===，1////,12EF AC GH EF GH AC ===， 所以四边形EFGH 是平行四边形.EG EF EH =+，FH FE FG =+， ()22EG EF EH=+，()22FH FE FG =+，22142,142EG EF EH FH FE FG =++⋅=++⋅，两式相加得221022EG FH EF EH FE FG +=+⋅+⋅，22102210EG FH EF EH EF FG +=+⋅-⋅=.所以2210EG FH +=. 故答案为：105．（2022·上海金山·高二期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则集合{},1,2,3,,8i y y AB AP i =⋅=中的元素个数为______．【答案】1 【分析】根据空间平面向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅． 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，所以2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1,2,3,,8i y y AB AP i =⋅=中的元素个数为1．故答案为：16．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD '⊥α，DBD '∠=30°，如果AB =a ，AC =BD =b ，则C 、D 间的距离为_____________；【分析】根据图像将CD 用,,CA AB BD 表示出来，然后求模即可得到结果． 【详解】解：线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD AB ⊥，线段DD α'⊥，30DBD ∠'=︒，如果AB a ，AC BD b ==，由题意可知：CD CA AB BD =++， 因为AC ⊥α，DD '⊥α，运算AC DD '∕∕，又DBD '∠=30°，所以异面直线,AC BD 所成的角为60︒，∴22222()222CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++++22222cos120b a b b =+++︒22a b =+．所以C 、D7．（2021·上海中学高二期中）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=且对任意x 、y R ∈，12010200|()||()|1(,),b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈则00b x y ++=______【答案】3+3 【分析】根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可. 【详解】由12010200|()||()|1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈可知： 当00,x x y y ==时，12|()|b xe ye -+有最小值1，22222212121222()222b xe ye b xb e yb e x e y e xye e ++=-⋅-⋅+⋅++⋅因为12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=,空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=,所以()22222221243()452724y b xe ye b x y x y xy x y b -⎛⎫++=--+++=++--+ ⎪⎝⎭, 显然当40220y x y -⎧+=⎪⎨⎪-=⎩时，212()b xe ye ++有最小值，最小值为1，所以217b =-+， 解得：2128x y b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即当001222b x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时成立，因此00322b x y ++=+故答案为：3+【点睛】关键点睛：根据最值的定义利用配方法是解题的关键.二、解答题8．（2019·上海·复旦附中高二期中）如图，在四棱锥中P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD DC ⊥，AB ∥DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE PD ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求线段PF 的长.【答案】（1）略；（2【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，分别表示出BE 和PD 的坐标，数量积为0即可证明两向量垂直；（2）设F 点的坐标，由BF AC ⊥计算出F 点的位置，再根据向量计算出PF 的长。
浅析“球面距离”概念的教学
浅析“球面距离”概念的教学上海中学数学?2010年第l2期37一,问题的提出浅析"球面距离"概念的教学200050上海市长宁教育学院沈子兴"球面距离"是立体几何中的重要概念,上海市二期课改教材(高三年级)第41页关于"球面距离"的概念是这样阐述的:"可以证明,在连接球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,因此该弧的长度就是这两点的球面距离."最近在上海市青年数学教师教学评优中,共有8节课,课题都是"球面距离",可谓同课异构,各显神通,精彩纷呈."异构"中最大的差异就在于"球面距离"概念教学的处理,课本中"可以证明"这几个字让教师费尽心机,让学生疑虑重重.听完课以后,观摩教师议论纷纷,总感到"球面距离"概念的教学有欠缺,大家都存在这样的疑问:"球面距离"的概念到底该如何教?首先让我们一起赏析几位参赛教师的教学设计.二,教学设计及分析设计一:情境引入,呈现概念(以下为师生的一段对话)师:在三棱柱ABC_A1B1C1中,一只蚂蚁在平面A1.B上某一点P处向平面B1C上一点Q处爬行,蚂蚁爬行的最短路径如何确定?生:将三棱柱沿着棱A1A展开成平面图形,平面上两点间线段最短,连接PQ的线段长即为所求最短距离.师:在圆柱和圆锥中也有类似的问题,我们也是通过这种方法解决问题的.那么在球上两点A,B之间,它们的距离又该如何确定?课本上是这样定义的:(略)(接着,通过一个练习,强化定义,落实关键词:大圆,劣弧.)【赏析】本设计通过实例揭示距离的本质是"最短",直接给出球面距离的概念,开门见山,使学生很快了解了球面距离概念的两个关键词"大圆,劣弧",很快进入"如何求两点间的球面距离?"的环节,显然教学的重点是掌握球面距离的计算方法.但情境的刨设不尽合理,虽然展开图让学生知道了距离本质是最短,但同时也强化了另一认识:在空间图形中要求距离就需要展开图.听课时笔者在担心:在教师提出如何求球面上两点之间距离时,假如有学生提出将球面展开成平面图形,教师又该如何回答?如果教师讲球面不能展开成平面图形,学生追问为什么,教师该如何解释?"可以证明……"这句话是难以让学生信服的,这些都给学生留下了谜团.设计二:1.实例引入,形成冲突上海在靠近北纬3O度东经120度A点,美国洛杉矶在靠近北纬3O度西经120度的B点,上海航空公司的航班客机从上海飞往洛杉矶, 请你设计飞机航线.2.动手实验,探索新知在地球仪上,选定上海和洛杉矶两点,用橡皮筋两端固定并绷紧,这就是球面上两点间的最短距离.再用几何画板演示,过球面上两点的圆中,半径越大,劣弧越短.3.思辨论证,得出结论为了体现数学的严密性,必须对实验结果严格论证,但证明过程中涉及到函数—slnx~E(0,)上的单调性.几位教师的处理各有特厶色,大致有三种处理方法:一种是由于证明较复杂,留给同学们课后思考;第二种是利用单调性的定义,借助于三角比的不等式0<sinx< tanx,∈(o,-5"-)进行放缩,得出结论;第三种作厶出—sinx在zE(0,-5"-)图像,在图像上任取一厶点P(x,sinx),当从0增加到时,从图上直'观地看到,直线OP的斜率越来越小,因此说明函数.)I:在E(o,詈)上单调递减.厶4.形成概念,完善结构在以上基础上,给出球面距离的概念,突出关键词,揭示距离的本质,即最小性.【赏析】本设计中教学的重点设定在揭示球面距离概念的形成过程,通过设计一个实际问题情境, 32上海中学数学?2010年第12期使学生的认识与实际情况之问出现矛盾,产生冲突,激发学生的探究欲望,接着从研究方法上进行引导,先从实验出发,形成感性认识,再从数学的角度进行严格的证明,整个过程展示了实验猜想…论证这一科学研究的基本方法,让学生经历了概念形成过程,通过与其它距离的比较,加深了对球面距离概念的理解,并将球面距离的概念纳入到距离概念的体系之中, 进一步完善学生的知识结构.但不足之处是显然的:1.教学情境的创设必须与本节课研究的问题密切相关,本设计所用实例"飞行航线的确定"不仅是航线最短的问题,最主要的是安全问题,设计航线涉及的因素很多,包括气流的变化,地形地貌的变化,因此让学生设计航线就很困难,这类题属于指向不明,虽然激疑,但疑惑的解决与本节课所学习, 研究的内容没有很直接的因果关系,不能将学生的思维聚焦在"距离"上.没有发挥情境应有的作用.2.对函数一三在∈(0,)的单调性,￡'虽然各自处理方法不同,但从课堂上学生的反应来看,这三种处理方法都不妥当,都没有达到效果.留给学生课后思考,对绝大多数学生来说是一句卒话.都已经到了这一步,突然停止."早知此刻,何必当初"呢?第二种处理方法,教师花费力气将结论加以证明,由于证明难度较大, 对绝大多数学生来说这个证明是无效的,同时又为本节课制造了一个新的难点,是否有喧宾夺主的嫌疑,花费了许多时问,完成了一个对本节课来说是"非主流"的证明,使得后面的教学非常急促,实在不值得.第三种处理方法虽然设想得很巧妙.但从图像上直线OP斜率的变化情况也是不容易看出的,而且也不能达到严格证明的目的,完全可以在开始时就直接通过直观演示得出结论,不必要绕这么大的一个圈子, 因此从教学的实际来看,要说明"过A,B两点的圆中,半径越大,劣弧越短"的结论,不宜将问题引到函数y一在∈(0,鲁)的单调性进f'行讨论,否则不仅浪费了时间而且又讲不清楚, 教师费尽心机.学生形同雾里看花.三,对教学的启示1.情境的创没应具有启发意义,能让学生进入情境后对新问题的解决有导向作用,因此创设情境环节应强调"两个适合":一是适合学生,情境是学生熟悉的,感兴趣的才能引发思考;二是适合后续问题的展开与研究,设置情境引发思考,要对后续问题的解决具有启发意义, 且具有一定的逻辑关系及类比关系,绝不能让学生在情境中迷失方向,节外生枝.2.数学中无论是概念还是定理,法则的教学,都需要一个让学生认同,接受的过程,尽管只有一个概念如"球面距离".学生仍会有很多疑虑:为什么过球面上两点作截面与球的交线一定是圆?为什么过这两点的大圆的劣弧最短?可能有教师认为学生现有的知识不能解释这些问题,但绝不能用"可以证明"四个字蒙混过关,虽然不能证明,我们可以借助多媒体,通过直观的演示让学生感受到"确实是这样",消除疑虑,才能进一步地学习,否则总是学生的一块"心病".3.《上海市中小学数学课程标准》对球面距离的教学给出了明确的要求:知道球面距离和经度纬度等概念,进一步认识数学与实际的联系.由此可以看出教学设计二的教学要求是偏高了,并且与学生现有水平有了距离.新教材与旧教材相比,立体几何内容变化最大,新教材对立体几何教学的要求是加强直观,淡化沦证,转化方式,降低难度.因此对一些学生难以理解的概念,性质,可更多地借助于直观模型,借助于媒体,直观地描述空间图形特征,加深学生的理解,而对一些复杂线面关系的证明转化为利用空间向量处理,这样有效地解决了几何学习证明难的问题,包括一些角的计算如线面角,二面角等,都转化为向量所成的角进行计算,因此在立体几何学习过程中,如果每个结论都要利用课堂时问进行严格证明,显然是不可取的.四,教学建议1.教学情境的设计应符合学生的认知心理,使学生感到数学问题来源于现实生活.例如:上海在靠近北纬3O度东经12O度A点,美国洛杉矶在靠近北纬3o度西经120度的B点, 问上海到洛杉矶的最短距离是多少?2.概念的引入通过实验…观察一归纳的过程,采用直观与论证相结合的办法实现.如:在地球仪上,选定上海和洛杉矶两点,学生用橡皮筋两端固定并绷紧,从而感受到这就是球面上两点间的最短距离.再用几何画板演示.过球面上两点的圆中,半径越大,劣弧越短.如果只是老师讲解哪段弧最长最短,学生不太相信,难以接受,而通过亲手实验,动手操上海中学数学?2010年第l2期33一节动态生成的习题探究课315500浙江省奉化二中金晖浙江省奉化中学孙伟奇教学有预设的一面,也有生成的一面.从某种意义上说,课堂教学中的生成比预设更有意义和价值.在生成的过程中,师生双方超越了传统的教与学的理念,积极互动,课堂中充满了对智慧的挑战和对好奇心的满足,焕发了师生的生命活力.精彩往往缘自生成!最近笔者就上了这样一节高三习题课.案例记录一,抛砖引玉,发现结论例已知抛物线—4x的焦点为F及其准线上一点M(一1,1),经过点F任作一条直线交抛物线于A(l,Ly1),B(x2,yz)(.yl>0,2<O)两点,则是M4+是Ⅷ一()11A.÷B.1C.一÷D.一1厶题目刚拿出不久,就有个同学举手了.生1:答案是D吗?师:非常正确,你在这么短的时间就做出答案了,真是太了不起了,你能告诉我你是怎么思考的吗?生1:通过点M我可以求出抛物线的方程,然后直线既然是任意的,那我就取了一条特殊的垂直于轴的,这样A,B两点的坐标就求出来了.其他的同学都哗然了,纷纷在小声地赞叹他.师:你真是太聪明了!作为选择题,我们就作后,学生有了感受,对这一结论也就信服了,并借助于媒体演示在同一平面上过A,B两点的圆中,"半径越大,劣弧越短"的现象,让学生从感性上认识到这个结论是正确的,是不容置疑的,如果教师想严格论证,那将会陷入困境,因此在立体几何教学中学生的直觉思维非常重要,有些问题学生目前没有能力进行严格论证, 但这是一个正确的结论,那么可以通过实验,通过观察图形的变化验证这一结论,这样学生的"思维链"不会断裂,保证了学生思维的流畅性, 从而对这一问题形成正确的认识,在此基础上引出球面距离的概念就显得很自然.应该选择最优的解法,取特殊的元素就是非常好的做法.值得推荐!上面的题目是点M为定点,直线动,现在若反过来呢?在这道题的基础上,笔者将其做了以下变式:变式l:已知抛物线Y0—4x的焦点为F及其准线上一点M,经过点F作倾斜角为6O.的直线交抛物线于A(zl,y1),B(X2,y2)(yl>0,y2<O)两点,若+尼:m,则是MF一.学生很快给出下面的解答:解:设M(～1,a),联立直线与抛物线的方fv2—4x一1程:c一,可解得A(3,2√3),B(÷,【=43(一1)29一—一a一).又因为是_Ⅵ4+尼=m,所以有一.1一(一1)+二f_一,&一一,所以一.十——,&一一,所以定一百. 笔者在备课时觉得像这样挖掘一下就差不多了,顶多再把抛物线方程变得更一般些,根本没有往深的地方去想,可是学生的反应远远超出我的预料.生:我觉得上面的题目好像有志+忌MB一2七M,这个结论,我验证了刚才的那道题也是成立的.很快有一部分同学都表示赞同,但也有人表示怀疑:"会不会是巧合啊?".师:想知道结论是否恒成立,大家自己去证3.概念形成后应强化对关键词的理解.球面距离的概念出现之后,必须对概念进行分析,揭示其内涵和外延,明确定义中的关键词:大圆,劣弧,这样更有利于学生对概念的理解和记忆.由以上的分析可以看出,在教学过程中必须正确把握教学基本要求,根据学生的实际设计科学而且合理的教学过程,立体几何教学是高中新课程的难点,要突破这一难点,教师不仅要正确掌握教学的内容,而且要准确把握新旧教材的差异,这样才能使新课程的教学要求真正落到实处.。
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A
C
O1
B
OD
2OC OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
cos AOB 0.1647 AOB 99.48
AB的弧长 2 6371 99.48
360
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
60l
R
3
O
∴ A、371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。 AOC BOD 40,
COD 360 (116 74 ) 170
由余弦定理，得：
AB2 CD2 OC 2 OD2
N
解 EOB EOA
AOB, 又 EOB 68
B
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
练习： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
P
A
纬度是线面角
经度：
经过P点的经线与地轴确 定的半平面和本初子午 线与地轴确定的半平面 Q 所成的二面角的度数 （即∠AOB的度数）
A
M
P
O
B
经度是二面角
二.应用举例
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1. 求东经 57线上，纬度分别为北纬 38 和 68
的两地A ，B的球面距离．(设地球半径为R).
A
OA 2 OB 2 AB 2 cosAOB
2OA OB
cosAOB - 1 2
AOB 2
3
B O
A， B的球面距离为2 R
3
2.设地球的半径为R， 若甲地位于北纬60O，东经120O；乙地位 于南纬15O度，东经120O，求甲、乙两地 的球面距离。
回顾：经度与纬度
纬度： P的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度．
(1)解：在BOO1中，
OO1B 90°,OB R,
2
OBO1 45 , BO1
∴纬线圈中AB 的长度为
2
R.
m
O1
A
B
O
. 2 R 2 R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中， m
AO OB AB R
O1
A
B
AOB
(1).位于同一经线上两点的球面距离 方法：直接代公式
(2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
2.球面距离公式 l R
定义：球面上，两点 之间的最短连线的长 度，就是经过这两点
的大圆在这两点之间 B 的劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点 的球面距离.
A
α
O
一般地：球面距离L=αR （α称为球心角）
1.已知A，B是半径为3的球面上
两点，且AB= 3 3 ，求A，B两
点的球面距离.
解：
在ABO中， OA OB 3， AB 3 3
上海与台北在同一经线上，
他们在同一个大圆上
A AOB 31 25 6
O
B r 6371
AB的弧长 2 6371 6
360
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度; (2) 求经过A、B两地的球面距离？