球面距离的计算
15球面距离
2
A 、 B 、 C三点
O C A H d 1
每两点间的球面距离都为 2 AOB BOC AOC 90
又 OA OB 1 ，在直角三角形 AOB中 AB 2
，同理得：
B
AC
2
BC
2 AOB 为正三角形
2 3 6 ，在直角三角形 HB AB 3 2 3 2 6 3 2 BOH中 , OH 1 3 3
又
3 AOC 3 3 AC R 3 AB 1 , BC 2 , AC 3
球心 O 在平面ABC内的射影一定在 AC上， 所以点 O到平面ABC的距离为 OH
ABC 为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆
3 3 OO1 OA O1 A 3 2 2
A B
注意：
球面距离是球面上两点间的最短距离
2、球面距离的求解：
O B
.
A
关键：球心角(弧度)
请问：R，d，r 三者之间的关系？
R d
r二、球的性质球源自与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆r R h
2 2
2 2
O
R
h
O`
r
三、地球仪中的经纬度
1、经线和纬线的规定：过南北极的半大圆是经线， 平行于赤道的小圆是纬线。 2、经度和纬度的规定： (1)P地的纬度就是经过P点的 球半径和赤道平面所成的线 北极 面角∠POA的度数. 等于∠GPO的度数 G P
A
C O
O1
B
D
∴纬线圈中 AB 的长度为
2 2 . R R 2 2 4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
球面经纬度两点弧长公式
球面经纬度两点弧长公式英文回答：The great-circle distance between two points on a sphere, given their latitudes and longitudes, can be calculated using the following formula:d = R arccos(sin(φ1) sin(φ2) + cos(φ1) cos(φ2) cos(Δλ))。
where:d is the great-circle distance between the two points.R is the radius of the sphere.φ1 and φ2 are the latitudes of the two points.Δλ is the difference in longitude between the two points.This formula can be used to calculate the distance between any two points on a sphere, regardless of their location. It is important to note that the great-circle distance is not always the shortest distance between two points on a sphere. For example, the shortest distance between two points on a sphere that are located on opposite sides of the equator is not along a great circle, but rather along a path that crosses the poles.Here is a Python implementation of the great-circle distance formula:python.import math.def g reat_circle_distance(φ1, λ1, φ2, λ2, R):"""Calculates the great-circle distance between two points on a sphere.Args:φ1: The latitude of the first point in radians.λ1: The longitude of the first point in radians.φ2: The latitude of the second point in radians.λ2: The longitude of the second point in radians.R: The radius of the sphere in meters.Returns:The great-circle distance between the two points in meters."""return R math.acos(math.sin(φ1) math.sin(φ2) + math.cos(φ1) math.cos(φ2) math.cos(λ2 λ1))。
球面的距离公式及其应用
一
Ｒ 。 Ｅ ｃ ｏ ｓ Ｏ ／ ￣ Ｃ Ｏ Ｓ ｙｃ ｏ ｓ （ ｍ ￣ －． 。 ）
十ｓ ｉ ｎ口 。 ｓ ｉ ｎ ］ ．
一１ ， 纬度差是 ｌ ａ 。 ＋ Ｉ ． ２ ） 两 地 的经度 差 的计 算规 则是 ： 当 Ａ， Ｂ两地 为 ０ 。 经线 的 同侧 经度 时 ， 取 ｋ －Ｏ ， 得ｌ ｍ 。 一 。 Ｉ ． 当 Ａ， Ｂ两地为 Ｏ 。 经线的异侧经度时， 取
１ ） 两地的纬度差的计算规则是 ： 当Ａ， Ｂ两地 为赤道 （ Ｏ 。 纬线） 的同侧纬 度时， 取ｔ ＝Ｏ ， 纬度差是 ｌ ａ 。 一 Ｉ ； 当 Ａ， Ｂ两地 为 赤道 的异 侧 纬 度 时 ， 取ｔ
‘
Ｎ 的直线为 ２轴 ， 建立空 间直角坐标 系， 则 点 Ａ， Ｂ 的坐标分 别 为 Ａ（ Ｒ ｃ ｏ ｓ口 。 Ｃ Ｏ Ｓ ｍ 。 ，
设￣ Ａ Ｏ Ｂ－ － － Ｏ ， 则
ｃｏｓ ＝
需
ｋ ＝ｌ ， 得ｒ ｎ 。 ＋咒 。 有如下两种情况 ： ①若 ｍ 。 ＋ 。 ≤１ ８ ０ 。 时， 则为 ／ ｎ 。 ＋ 。 ；
－
－
Ｃ Ｏ ｔ 。 ）
ｍ。 一（ 一１ ） １ ０ 。 ：９ ０ 。 。
（ 一１ ） ， ｚ 。 ］ ＋ｓ ｉ ｎ 口 。 ｝
推 论 ２ 同经度不 同纬度 两地 问 的球 面
距离 ： 由于 ７ ， ｌ 一７ ｚ ， 取ｋ ＝Ｏ ， 所 以
ｃ ｏ ｓ （ ｍ。 一 。 ） 一Ｉ ，
当ｋ ＝０时 ， Ａ， Ｂ在 Ｏ 。 经线 的同侧 ， 得 ｍ。
球 面距 离 为 ：
球面距离的几种证明方法
球面距离的几种证明方法
球面距离是指在椭球面上，任意两点之间的最短路径，它是椭球面上任意两点的距离。
在地球表面的航行中，球面距离是最常见的几何距离，它以地球表面的维度和经度表示。
需要定义两点的维度经度，使用数学计算就能求出两点之间的球面距离，求出的球面距离与实际距离无论大小都有较大的差异，所以球面距离的应用非常广泛。
在此，本文将介绍几种球面距离的证明方法。
第一种证明方法：三角形证明法。
通过建立两点之间的三角形，定义出三条边长，利用三角形和地球球面之间的特殊关系，可以计算出三角形的面积，进而确定两点之间的球面距离。
第二种证明方法：空间分析法。
通过对两点之间连接的弧的长度和圆心角的空间分析，可以求出两点之间的球面距离。
第三种证明方法：旋转投影法。
这种证明方法基于地球球面的旋转特性，将空间点图投影到局部圆锥曲面上，求出局部圆锥曲面上的距离，最终得出两点之间的球面距离。
第四种证明方法：GPS定位法。
GPS定位法是利用GPS定位技术，根据卫星定位两点坐标，通过计算得出两点的经纬度和高度，最后求出两点之间的球面距离。
第五种证明方法：椭球体参数法。
两个经纬度算距离公式及方法
两个经纬度算距离公式及方法在地理定位和导航应用中，计算两个经纬度之间的距离是一个常见的需求。
本文将介绍两种常用的经纬度计算距离的公式及方法。
1. 大圆距离公式（Haversine Formula）大圆距离公式，又称为哈弗辛公式（Haversine formula），是一种计算球面（如地球）上两点之间距离的准确方法。
它基于球面三角学的概念，通过经纬度的差异来计算球面上两点之间的最短距离。
公式如下：a = sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) * cos(φ₂) * sin²(Δλ/2)c = 2 * atan2(√a, √(1−a))d = R * c其中，φ₁和φ₂表示两个纬度，Δφ表示纬度的差异，Δλ表示经度的差异，R表示地球的半径。
如果结果单位是千米，可以将R取值为 6371；如果结果单位是英里，可以将R取值为 3956。
这个公式在计算距离时假设了地球是一个完全的球体，没有考虑地球的形状变化。
因此，对于较短的距离，这个公式的计算结果是相对准确的。
但当计算跨越很大距离时，由于地球的扁平形状，这个公式会引入一定的误差。
2. 球面劣弧距离公式（Spherical Law of Cosines）球面劣弧距离公式（Spherical Law of Cosines），是利用余弦定理来计算球面上两点之间的距离的公式。
与大圆距离公式相比，这个公式更适用于计算大距离的情况。
公式如下：d = arcCos(sin(φ₁) * sin(φ₂) + cos(φ₁) * cos(φ₂) * cos(Δλ)) * R其中，φ₁和φ₂表示两个纬度，Δλ表示经度的差异，R表示地球的半径。
同样，如果结果单位是千米，可以将R取值为 6371；如果结果单位是英里，可以将R取值为 3956。
与大圆距离公式不同，球面劣弧距离公式在计算距离时考虑了地球的扁平形状。
因此，它在计算大距离时准确度更高。
然而，使用这个公式计算较短距离时可能会引入一些误差。
球面两点距离计算公式
球面两点距离计算公式在我们的数学世界里，有一个挺有趣的东西，那就是球面两点距离的计算公式。
这玩意儿可不像咱们平时在平地上算两点距离那么简单。
咱们先来说说啥是球面两点距离。
想象一下，你手里有个地球仪，上面随便标了两个点，这两个点之间沿着球面的最短路径长度，就是球面两点距离。
那这计算公式到底是咋来的呢？其实啊，它背后有一整套复杂又巧妙的数学原理。
给大家举个例子吧，有一次我带着学生们在操场上做了个小实验。
我在操场上画了一个大大的圆，假装那是个球面。
然后让几个同学站在不同的位置，就像是球面上的两个点。
我们试图用绳子去测量他们之间的最短距离。
一开始，同学们都有点懵，不知道从哪儿下手。
有的说直接拉直线，有的说绕着圈儿走。
后来经过一番讨论和尝试，大家慢慢发现，不能像在平面上那样简单粗暴地拉直线，得考虑这个“球面”的弯曲特性。
这就好比我们在地球上，如果要从北京到纽约，不能直接在地图上画直线，而是要沿着地球的弧线走。
咱们再回到球面两点距离计算公式。
这个公式通常会涉及到经度和纬度的差异，还有球的半径等因素。
比如说，已知两个点的经纬度，通过一些数学运算，就能算出它们之间的距离。
在实际生活中，这个公式也有不少用处呢。
像飞机飞行的航线规划，航海时船只的路线选择，都得靠它来帮忙，算出最短、最省油、最省时的路径。
不过，对于很多同学来说，一开始接触这个公式可能会觉得有点头疼。
但别担心，只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门。
学习球面两点距离计算公式，就像是一场有趣的冒险。
虽然过程中可能会遇到一些小挫折，但当你最终搞懂它，能够熟练运用的时候，那种成就感可真是无与伦比。
所以啊，同学们，别害怕这个公式，勇敢地去探索它的奥秘，说不定你会发现数学的世界原来这么奇妙！。
根据经纬度计算地理距离的公式
根据经纬度计算地理距离的公式地理距离是根据地球上两点的经纬度坐标计算出来的，它是衡量两点之间实际距离的一种方法。
而计算地理距离的公式则是基于大圆距离计算的，也被称为球面距离公式。
公式的推导过程比较繁琐，这里我们只介绍最常用的球面距离公式，即Haversine公式。
Haversine公式可以计算两个经纬度坐标之间的地理距离，它的公式如下：d = 2 * r * arcsin(sqrt(sin²((lat2 - lat1)/2) + cos(lat1) * cos(lat2) * sin²((lon2 - lon1)/2)))其中，d为地理距离，r为地球平均半径，lat1和lon1为第一个点的纬度和经度，lat2和lon2为第二个点的纬度和经度。
1. Haversine公式的原理Haversine公式的原理基于大圆距离的概念，即地球上两点之间的最短距离是它们所在大圆弧的长度。
在球面上，大圆弧可以看作是两点之间的弧线，而球面距离就是沿着这条弧线的长度。
2. Haversine公式的应用Haversine公式广泛应用于地理信息系统、导航系统和航空航海等领域。
通过输入两个经纬度坐标，可以计算出它们之间的地理距离。
这在实际生活中有很多应用，比如导航系统可以根据用户当前位置和目的地位置计算出最短路径。
3. Haversine公式的计算步骤为了使用Haversine公式计算地理距离，我们可以按照以下步骤进行：- 将经纬度坐标转换为弧度制，因为Haversine公式中的三角函数需要用弧度来计算；- 根据公式计算出lat1、lon1、lat2、lon2之间的差值（单位为弧度）；- 代入公式计算出地理距离d，单位与地球半径r相同。
4. 公式的局限性需要注意的是，Haversine公式只能计算地理距离，不考虑地貌因素和实际路径的可行性。
在实际应用中，还需要考虑道路、地形等因素，以确定真正的最短路径。
球面距离公式及其应用
高中数学教与学
球面距离公式及其应用
丁佩 ( 江苏省扬州中学树人集团, 225002)
球面距离的概念和球面距 离的求法 是中 学数学教学中颇感棘手 的问题. 5全 日制 普通 高级中学教科书( 试验修订本 # 必修)6 对于这 一知识点的 处 理方 法 是 就题 论 题, 许 多教 学 参考书 也未 给 出详 细 的球 面 距离 计 算公 式. 为此本文介绍球面距 离公式 并举例 说明 其应 用.
_
东京到旧金山 的距离为 P#
6
371 180
@
74
= 8 241. 34( km) .
^ sin 37bsin 40b+ cos 37bcos 40bcos 49b =
0. 78.
arccos( sin 37bsin 40b + cos 37bcos 40b #
cos 49b) = 38b.
_
旧金山到纽约 的距离为 P#
= 2 R2 - 2 R 2cos BB cos BA cos( AA
- AB ) - 2 R 2sin BA sin BB . 在等腰 & A OB 中,
cos N A OB =
OA 2 + OB 2 - A B 2 2 OA # OB
= cos BA cos BB cos( AA - AB ) + sin BA sin BB .
32
1, 求 A 、B 两
点的球面距离.
解 AA = P4 , BA = P4 , AB = - P4 , BB =
arcsin
32
1,
_ AB =
R arccos
sin P4 sin
arcsin
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球面距离的计算经典范例1．位于同一纬度线上两点的球面距离例1 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面．∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．△中，．△中，由余弦定理，．△中，由余弦定理：，∴．∴的球面距离约为．2．位于同一经线上两点的球面距离例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）解经过两地的大圆就是已知经线．，．3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．△中，由纬度为知，∴，．△中，，∴，∴．注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．（为经度差）．△中，．∴．∴的球面距离约为．球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。
对于地球上过A 、B 两点大圆的劣弧长由球心角AOB 的大小确定，一般地是先求弦长AB ，然后在等腰△AOB 中求∠AOB 。
下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。
地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α=-30º，南纬40º为纬度β=-40º ），这样简单自然，记球面上一点A 的球面坐标为A （经度α，纬度β），两标定点，清晰直观。
设地球半径为R ，球面上两点A 、B 的球面坐标为A （α1，β1），B （α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-2π，2π]，如图，设过地球O 的球面上A 处的经线与赤道交于C 点，过B 的经线与赤道交于D 点。
设地球半径为R ；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。
另外，以O 为原点，以OC 所在直线为X 轴，地轴所在直线ON 为Z 轴建立坐标系O-XYZ （如图）。
则A （Rcos β1,0,Rsin β1）,B(Rcos β2cos （α1-α2）,Rcos β2sin （α1-α2）,Rsin β2)cos ∠AOB =cos 〈OA ，OB 〉=cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2∠AOB=arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] 其中反余弦的单位为弧度。
于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：⋂AB =R ²arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] （I ）上述公式推导中只需写出A ，B 两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。
由公式（I ）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB ，只需两点的经纬度即可。
公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A 、B 两点的经度或纬度相同时，有： 1、β1=β2=β，则球面距离公式为：B A=R ²arcos[cos 2βcos （α1-α2）+sin 2β] （II ）2、α1-α2=α，则球面距离公式为：B A=R ²arcos （cos β1cos β2+sin β1sin β2）=R ²arcoscos （β1-β2） （III ）例1、设地球半径为R ，地球上A 、B 两点都在北纬45º的纬线上，A 、B 两点的球面距离是3πR ，A 在东经20º，求B 点的位置。
分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II ）得：3πR= R ²arcos[cos 245ºcos （20º-α2）+sin 245º]cos 3π=21 cos （20º-α2）+21∴cos （20º-α2）=0, 20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º 所以B 点在北纬45º，东经110º或西经70º例2、（2002年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京--纽约直飞首航成功完成。
这是中国承运人第一次经极地经营北京--纽约直飞航线。
从北京至纽约原来的航线飞经上海（北纬31 ，东经122 ）东京（北纬36 ，东经140 ）和旧金山（北纬37 ，西经123 ）等处，如果飞机飞行的高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少。
解：本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，再计算北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和，然后求它们的差。
球1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________． 由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径32=r ，∴ 23=r ．球体积．π2323π34π3433=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⋅r V 2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A 、B ，A 、B 的球面距离是________（设地球半径为R ）． ．设球心为O ，∵ A 、B 在赤道这个大圆上，∴ ∠AOB ＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴ 2π=∠A O B ，∴ A 、B 的球面距离为R 2π． 3．设正方体的全面积为2cm 24，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）．A ．34 π 3cm B ．38 π3cm C ．332 π3cm D ．6 π 3cm A ．由正方体全面积为2cm 24，则棱长为2cm ，内切于正方体的球的直径为2cm ，则球的半径为1，其体积为π341π343=⋅．3cm 4．一个正方体的顶点都在球面上，其棱长为2cm ，则球的表面积为（ ）．A ．8π2cm B ．12π2cm C ．16π 2cm D ．20π 2cm ．B ．球的直径与正方体的对角线长相等，∴232⋅=R ，∴ 3=R ，球表面积π12)3(π42==⋅S ．)(cm 2 5．设地球半径为R ，在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长是2πR，则这两地的球面距离是（ ）．A ．R 43 B ．R 3π C ．R 57D ．R 2．B ．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为O '，球心为O ，则260cos R R B O A O =︒='='⋅，∵ A 、B 在纬度圈上的弧长为R 2π，则π212π=='∠R RB O A ，∴ A 、O '、B 三点共线，∵ OA ＝OB ，︒='∠60AO O ，∴ △AOB 是正三角形，∴ 3π=∠A O B ，∴ A 、B 的球面距离等于R 3π．6．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（ ）． A ．1∶33B ．1∶22C ．1∶383 D ．1∶42．A ．设正方体的棱长为2a ，则其内切球半径为a ，外接球半径为a 3，二球体积比为．331)3(1)3(π34π34333:==⋅⋅a a 7．球面上有A 、B 、C 三点，AB ＝BC ＝2cm ，cm 22=AC ，球心O 到截面ABC 的距离等于球半径的一半，求球的体积．．∵ A 、B 、C 是球面上三点，∴ OA ＝OB ＝OC ．设截面圆圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，∴ C O B O A O 111==，∴ 1O 是△ABC 的外接圆圆心． ∵ AB ＝BC ＝2，22=AC ，∴ 222AC BC AB =+，∴ ∠ABC 是直角．在△O AO 1中，︒=∠901A OO ，21=A O ，21R OO =，OA ＝R ，∴ 有2222)2(R R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得382=R ，362=R ，球体积π27664362π343=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅V ．)cm (38．半径为1的球面上有三点A 、B 、C ，其中A 和B 、A 和C 的球面距离为2π，B 和C 的球面距离为3π，求球心到平面ABC 的距离． 3．设球心为O ，由球面距离的定义可知2π=∠AOB ，2π=∠AOC ，3π=∠BOC ．∵ OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，∴ OA ⊥平面BOC ．∴ 三棱锥O －ABC 的体积12314331==⋅⋅V． 在△ABC 中，2=AB , 2=AC ,BC ＝1，取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，21=MB ，27=AM ．设点O 到平面ABC 的距离为h ，∵B OC A ABC O V V --=，∴1232131=⋅⋅⋅h BC AM ， ∴ 72173==h ．即点O 到平面ABC 的距离为721．球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r R d =-22，（计算公式）（3）球的截面是圆面：球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。
9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r 的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。
解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形ABP ，设球心为O ，PC 为圆锥的高，取出球后，水面为EF ，其高度为PH ，连结OC 、OA 。
则OCr OA r AB r PC r ====，，，2233 ∴V BC PC r P ABC -==13323ππ²∵V r 球=433π。
∵V r 球=433π， ∴V V V r P EF P ABC 锥锥球--=-=533π 又∵PH PCV V P EF P ABC 3359==--锥锥 ∴PH PC r PH r 3333591515===，∴。