从阶乘的推广到分数阶导数
导数的基本公式与运算法则
y y 3 3 3 3 3 3 ( x ( x 2 2 ) ) ， ， 即 3 即 3 x x 4 4 y y 8 8 3 3 0 0 。 。 2 2 4 4
六、对数求导法
1
2
(x1)3x1
y 观 察 函 数
,
yxs方i法xn : .
(x4)2ex
3
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化
因 f ( x ) ( x ) ( x a ) ( x )
故 f(a)(a)
正确解法:
f(a)lim f(x)f(a)lim(xa)(x)
x a xa xa xa
lim(x) (a) xa
八、小结
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ; 注[意u(: x)] u(x).
dx dudx
例6 求函 yl数 n six n的导 . 数
解 y ln u ,u six .n
dy dy du 1 cos x cos x coxt
dx du dx u
sin x
注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量
推广 复 合 函 数 y f{ [( x ) ] } 的 导 数
五、隐函数的导数
即 y f( x ) 形 式 的 函 数 称 为 显 函 数 .
显函方 数程 ： x y 3 1 0 能 确 定 一 个 函 数 y f( x ) 3 1 x，
形如 y sin x ，y ln x的函数。 这种由方程确定的函数称为隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
分数阶导数简介-徐杭
0
e t t 1dt 为 Gamma 函数 [2 ] 。
结合上面的 阶 Riemann-Liouville 分数阶积分的定义以及经典微积分中的整数阶微积 分
[13]
可以给出如下的 阶Riemann-Liouville分数阶微分的定义：
[1]
定义 2
设 f C 0, , 0 , m 是大于或等于 的最小正整数( m 1 )，记
导数的初步推广——分数阶导数的简介
08990217 徐 杭 数学与应用数学 综合理科 082 班 指导教师：张 翼 数理与信息工程学院
【摘 要】 分数阶导数已经在较多地方发挥重要作用。 本文首先阐述了分数阶导数的研究现 状， 然后通过对分数阶导数的几种不同定义, 进行分析与比较, 说明它们的一些联系。 并举 出了一些实际应用分数阶导数的例子。 【关键词】分数阶导数；Riemann-Liouville 定义；Grunwald-Letnikov 定义；Caputo 定义
1. 引言
分数阶导数，简单来讲就是对整数阶导数理论的拓展。例如，我们一般对某个性质较好 的可导函数，可以求出它的一阶导数、二阶导数、 ……、 n 阶导数。那么我们是否可以对 函数求分数阶导数呢？比如
1 导数。再如某个函数不满足求导条件，我们是否可以使用微 2
积分理论对这个函数进行分析性质的研究呢？根据多方文献的参考得知， 答案是肯定的， 这 也是分数阶导数产生的源动力。 早在 1695 年，Leibniz 给 L’Hospital 写了一封信，问:“整数阶导数的概念能否自然地推 广到非整数阶导数。 ” L’Hospital 对这个问题感到很新奇， 作为回信他反问了一个简单的问题： “如果求导的次数为
高中数学分数阶导数
分数阶导数1引言我们都熟悉的导数的定义。
通常记作1()()df x D f x dx 或 222()()d f x D f x dx 或这些都是很容易理解的。
我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如[()()]()()D f x f y Df x Df y +=+但是像这样的记号1/21/21/2()D ()d f x f x dx或者又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。
因为几乎没有任何教科书会提到它。
然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz 已经开始探讨。
在之后的岁月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville 等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。
现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。
近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。
此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。
Wheeler 在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。
本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。
而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。
我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。
首先我们从熟悉的n 阶导数的例子开始，比如D n axn axe a e =。
然后用其他数字取代自然数字n 。
这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。
我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。
我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。
（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。
）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。
对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。
那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……2指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数ax e 的导数。
分数阶导数简介-徐杭
3.4 三种分数阶导数定义的关系 Riemann-Liouville 定义是 Grunwald-Letnikov 定义的扩充，其应用范围也就更广泛。与 Grunwald-Letnikov 定义扩展到 Riemann-Liouville 定义的思维方式相似 , Caputo 定义也是对 Grunwald-Letnikov定义的另一种改进。对于函数 f ( x) 的正的非整数 阶导数,先进行 m 阶 导数, 再进行 m 阶积分。 Riemann-Liouville定义与Caputo定义都是对Grunwald-Letnikov定义的改进。在阶数 为 负实数和正整数时, 它们是等价的。由文献【15】分析可知，在条件：(1)函数 f ( x) 有 m 1 阶连续导数, m 至少取 [ ] n 1 。（2） f
[3]
、软物质研究、地震分析
[9 ]
[4]
、粘弹性阻尼器
[10][11]
[5 ~8]
、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、
分形理论
、分数阶PID控制器设计
。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域
相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。 在数值算法方面主要存在的问题有： （1）长时间历程问题一直没有找到一个满意的解决 途径，在数值模拟中，随着时间历程的增加计算量成指数增长。同时一些学者提出的短期记 忆方法只对很少一些情况有效， 并不具有普适性。 因而长时间历程问题的解决任重道远。 （2） 在原有算法基础上开发出时间－空间混合的分数阶导数方程的算法和软件。 一种数学工具要 在工程中有广泛的应用， 那么就必须有成熟的算法与软件， 像有限元的计算模拟软件就有很 多，所以有限元才能在工程界有如 此广泛的应用。 （3）分数阶导数的定义还不完善，现在 分数阶导数的定义有多种，至今还没有一个完善到大多数学者能够接受的定义。 现阶段，分数阶导数方程的数值算法主要包括
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠，它在众多领域都发挥着至关重要的作用。
无论是研究函数的性质、解决优化问题，还是探索物理世界中的变化规律，导数都提供了强大的工具。
接下来，让我们一同深入了解导数的基本公式及运算法则。
首先，我们来认识一些常见的基本导数公式。
对于常数函数＄C$ ，其导数为＄0$ ，即＄（C)＇＝ 0$ 。
这很好理解，因为常数函数的值是固定不变的，没有任何变化率。
幂函数＄x^n$ （＄n$ 为实数）的导数为＄nx^｛n 1}＄。
例如，＄x^2$ 的导数是＄2x$ ，＄x^3$ 的导数是＄3x^2$ 。
指数函数＄e^x$ 的导数还是它本身，即＄（e^x)＇＝ e^x$ 。
这是指数函数的一个非常独特且重要的性质。
对数函数＄＼ln x$ 的导数为＄＼frac{1}｛x}＄。
正弦函数＄＼sin x$ 的导数是＄＼cos x$ ，余弦函数＄＼cos x$ 的导数是＄＼sin x$ 。
了解了这些基本公式后，我们再来看看导数的运算法则。
加法法则：若＄f(x)＄和＄g(x)＄的导数都存在，那么＄（f(x) ＋g(x)）＇＝ f'（x) ＋ g'（x)＄。
也就是说，两个函数之和的导数等于它们各自导数的和。
减法法则与加法法则类似，＄（f(x) g(x)）＇＝ f'（x) g'（x)＄。
乘法法则：＄（f(x)g(x)）＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)＄。
这个法则相对复杂一些，但通过一些具体的例子就能很好地理解。
比如，若＄f(x) ＝ x^2$ ，＄g(x) ＝ e^x$ ，那么＄f'（x) ＝ 2x$ ，＄g'（x) ＝e^x$ ，＄（x^2e^x)＇＝ 2xe^x ＋ x^2e^x$ 。
除法法则：＄＼left(＼frac{f(x)｝｛g(x)｝＼right)＇＝＼frac{f'（x)g(x) f(x)g'（x)｝｛（g(x)）＾2}＄，其中＄g(x) ＼neq 0$ 。
分数阶导数
分数阶导数1引言我们都熟悉的导数的定义。
通常记作1()()df x D f x dx 或 222()()d f x D f x dx 或这些都是很容易理解的。
我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如[()()]()()D f x f y Df x Df y +=+但是像这样的记号1/21/21/2()D ()d f x f x dx或者又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。
因为几乎没有任何教科书会提到它。
然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz 已经开始探讨。
在之后的岁月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville 等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。
现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。
近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。
此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。
Wheeler 在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。
本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。
而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。
我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。
首先我们从熟悉的n 阶导数的例子开始，比如D n axn axe a e =。
然后用其他数字取代自然数字n 。
这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。
我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。
我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。
（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。
）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。
对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。
那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……2指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数ax e 的导数。
分数阶leibniz法则
分数阶leibniz法则分数阶Leibniz法则是微积分中常用的一种计算方法，也称为分数阶多项式展开法则。
它与常规的Leibniz法则相似，但是使用的是分数阶导数来适应复杂函数的分数阶微积分。
一、分数阶导数分数阶导数是指将微积分中的整数阶导数扩展到分数阶导数，它主要用来描绘不光滑的函数或不充分可微分的物理现象。
分数阶导数可以用两种方法来定义：一种是通过傅立叶变换，另一种是通过Riemann-Liouville分数阶积分。
定义如下：$$D^{v}_{x}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-v)}\frac{d^n}{dx^n}\int^{x}_{0}\frac{f(t)}{(x-t)^{v+1-n}}dt$$其中，v是一个实数，f(x)是函数，$\Gamma$是gamma函数，n是大于v的最小整数。
常规Leibniz法则用于求两个函数的乘积的导数。
如果f(x)和g(x)是两个函数，则它们的乘积的导数可以表示为：$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$$$D^v_x (f(x)g(x))=\sum_{k=0}^{v} {v\choose k} D^{v-k}_x f(x) D^k _x g(x)$$其中，v是一个实数，f(x)和g(x)是函数。
在这个公式中，D表示分数阶导数，${v\choose k}$表示组合数。
这个公式可以解释为：通过求取所有D^{v-k}_x f(x)的k阶导数，以及所有D^k _x g(x)的v-k阶导数，然后将它们相乘，并用组合数加权求和来得到两个函数的乘积的分数阶导数。
四、例子以$f(x)=x^{\alpha}$和$g(x)=x^{\beta}$为例，其中$\alpha$和$\beta$是实数。
首先，使用常规Leibniz法则求出它们的一阶导数，$$\frac{d}{dx}(x^{\alpha}x^{\beta})=\alpha x^{\alpha-1}x^{\beta}+\betax^{\alpha} x^{\beta-1}$$$$D^{\gamma}_{x}(x^{\alpha}x^{\beta})=\sum_{k=0}^{\gamma}\frac{\gamma!}{k!(\gamma-k)!}D^{\gamma-k}_{x} (\alpha x^{\alpha-1}x^{\beta})D^k_{x}(\betax^{\alpha}x^{\beta-1})$$$$=\sum_{k=0}^{\gamma}\frac{\gamma!}{k!(\gamma-k)!}\al pha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}x^{\beta}+$$$$\sum_{k=0}^{\gamma}\f rac{\gamma!}{k!(\gamma-k)!}\beta(\beta-1)\cdots(\beta-k+1)x^{\alpha}x^{\beta-k }$$这个公式可以用来计算更为复杂的函数乘积的导数，例如用于模拟金融工具价格波动时的模型。
分数阶导数
分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。
例如：
对x^n求1/2阶导数：
首先对x^n求1阶导数后为nx^(n-1)。
2阶导数后为n(n-1)x^(n-2)。
那么m<n时，m阶导数后为n(n-1)(n-2)..(n-m+1)x^(n-m)，也就是n!/(n-m)!
导函数
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间，导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。
进一步判断则需要知道导函数在附近的符号，对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。
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，应有
( x n ) ( ) Pn x n n! x n (n )!
。 (32)
为了保证结果在 x = 0 处有意义，我们要求 n 。 由上式容易验证
( x )
n ( ) ( )
( x n )( )
( )
( x n ) ( )
(14)
综合(13)和(14)式，最终得到
k 1 x k ln x! x ln ln k k k 1
，
(15)
或者
x!
k 1
1 x 1 1 k k
x
1
。
(16)
上面给出了在满足连续可导性条件下阶乘在实数集合中的推广， 可以从形 式上认为是 x 个自然数的连乘积。由于(16)式是无穷连乘积的形式，使用 不够方便，通常用它的恒等变形 [ 3]
n! n ( n 1)! n ( n 1) ( n 2)! ( n) k ( n k )!, n k
。
(2)
其中 (n) k n (n 1) (n 2)(n k 1) 。 自然数集合 N 是整数集合 Z 的子集，Z 是有理数集合 Q 的子集，Q 又 是实数集合 R 的子集，推广阶乘概念第一步应该是把定义域扩充到整数 集合 Z 中。如果没有限制条件，这种扩充可以有无限多种可能，但是仅当 扩充后能够保持原来的性质时才是合理的推广，才能够继续称之为阶乘。 这就要求我们按照阶乘的固有性质(2)来进行扩充。由(2)式，我们得到
Pnm ( n) m
n! ( n m)!
。
(18)
另一方面我们也可以将(18)式作为排列数的定义，把原定义作为性质。这 样在上节的基础上，我们容易把排列数的概念推广到整数集合
4
m Pn
n!/ (n m)! n 0, n m 0 mn 0
由此可知，当 m 0 时有
L x
1
。
(35)
( m)
p Lx ! p
m
m 1
。
(36)
而按照本文的推广定义，我们有
7
L x
( )
! x L ( )!
1 ! p
n! xn m (n m)!
6
。
(31)
上式的推导中已经用了推广的排列数的性质。 不难看出任意一个幂函数的 负 n 次导数恰好是其从 0 到 x 的 n 次积分，由于积分是求导的逆运算，上 述推广具有非常明显的合理性和实用意义。根据叠加原理，由上式可以推 出任意在原点邻域解析的函数负整数阶导数。 为了进一步把导数概念推广到非整数阶， 我们很自然地设想对非整数
。
(3Байду номын сангаас)
这表明推广的定义能够很好地保持求导的原有性质。 由于任何实数都可以 分解为整数部分与小数部分之和，根据(33)式，对非整数阶求导可以只考 虑小数阶情况，即 0 1 。作为一个具体的例子，我们有
( x n ) ( 1/ 2 )
n! x n 1/ 2 1 (n 2 )!
。
(21)
类似地，我们可以把组合数的概念推广到整数集合
Cnm
n! m!(n m)!
m ( 1) m Cm n 1 n 1 ( 1) n m C m 1
n m 0 m 0n 0n m 其它
。 (22)
0
也可以把组合数的概念进一步推广到实数集合，即
f ( x) ak ( x b) k
k 0
。
(29)
因此上式的导数完全由幂函数的导数所决定。由原始定义(28)式，幂函数
x n 的 m 次导数为
( x n ) ( m) Pnm x n m
。
(30)
我们假定上式可以推广到 m 为负整数的情况，即
( x n ) ( m) Pn m x n m
k 1
1 xk
。
(10)
在上式中令 x = 0，又得到
() ( 0)
k 1
1 k
。
(11)
比较上面两式，不难推出
( x) ( 0)
k 1
1 k
1 x k
。
(12)
将上式对变量 x 积分，积分范围从 0 到 x，可以得到
(n 1)! n!/ n
。
(3)
在上式中取 n = 1，我们得出 0 ! = 1。这样就把阶乘的定义域扩充到了非 自然数零， 这个结果与高中代数教材上的补充定义是一致的 [ 2 ] ， 表明了该 补充定义实质上是一种合理的推广。 容易看出继续推广可以通过在(3)式中 取 n = 0 得到，将 n = 0 代入(3)式后，我们发现
从阶乘的推广到分数阶导数*
倪 致 祥
( 阜 阳 师 范 学 院 物 理 系 ， 安 徽 阜 阳 236032 )
摘 要：本文从创新思维的角度，把阶乘的定义从自然数推广到了实数
域。在此基础上，进一步对排列、组合和二项式定理进行了推广。并创 造性地给出了导函数概念从自然数阶到分数阶的推广。
关键词：阶乘，二项式定理，导数，推广 分类号：O411
*
安徽省自然科学基金（99047217 号）和安徽省教育委员会资助课题 1
给出了导数概念从自然数阶到实数阶的推广结果；最后是一个简明的小 结。 2．阶乘的推广 阶乘是一个非常重要和常用的数学概念。按定义，n 的阶乘是前 n 个 自然数的连乘积，即
n! 1 2 3n
。
(1)
由于个数总是自然数， 因此从映射的观点看， 阶乘的定义域为自然数集合。 很明显，阶乘 n!具有性质
(1)! 0!/ 0
。
(4)
这表明在通常的意义下，负整数的阶乘没有意义。然而如果我们把负一的 阶乘看成是一个特定的超限数，即记 (1)! ，则由(3)式我们不难推出
(n 1)! (1)n / n! n 0
。
(5)
上式虽然不能给出负整数阶乘的具体数值， 但给出了它们与超限数 的明
1．引言 人类的进步史归根结底是一部创造史，创造是历史进步的真正动力 [1] 。 在科学技术的范围内，创造主要指科学创新和技术发明。科学创新大体上 可以分为两个层次：原始创新与继承创新。原始创新指的是发现前人未曾 发现的新现象、新规律等；继承创新指的是在原始创新基础上在新的领域 发现同类现象或把同类规律推广应用到新的范围。 两者在方法上有各自的 特点，但没有绝对的区别。科学推广是继承创新的常用方法，在科学创造 的过程中具有相当重要的作用。本文从数学上最常用的阶乘概念出发，把 阶乘的定义从自然数推广到了实数域。在此基础上，进一步对排列、组合 和二项式定理进行了科学推广。 上述推广的合理性和有用性已得到了实践 的检验。除此之外，本文还创造性地给出了导函数概念从自然数阶到分数 阶以及实数阶的推广。 本文的第 2 节给出了阶乘概念从自然数集合到实数集合的推广过程； 第 3 节给出了排列、组合和二项式定理的推广过程；在此基础上，第 4 节
( x)
d ln x! dx
。
(7)
利用性质(2)，不难得到
( x 1) ( x)
由上式容易递推出
1 x 1
。
(8)
( x n) ( x )
k 1
n
1 xk
。
(9)
在(9)式中取 n ，我们得到
( ) ( x )
x!
0
e t t x d t ( x 1)
，
(17)
这也是有的文献把伽玛函数称为广义阶乘的原因。 3．排列、组合和二项式定理的推广 3.1．排列组合数的推广 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Pnm 。在通常情况下要求 n m 1 ， 这时有性质
x k x ln x! ( 0) x ln k k k 1
，
(13)
3
在推导中我们已经利用了条件 0 ! = 1。将 x = 1 代入(13)式，我们有
1 k 1 0 ( 0) ln k k k 1
。
n
1 2
。
(34)
上面结果的数学意义为：1/2 阶求导是把一个函数变换成另一个函数的线 性变换，该变换重复两次的结果恰好是通常的一阶求导。 上述推广的合理性还可以通过对结果的拉普拉斯变换看出来。 按拉普 拉斯变换，我们有 [ 4 ]
L x ! p 1
L f '( x) p L f ( x ) f (0)
C
! !( )!
。
(23)
3.2．二项式定理的推广 二项式定理的一个常用形式为
(1 x) Cnk x k
n k 0 n
n0
。
(24)
考虑到组合数的性质(22)，上式可以改写为
(1 x) n Cnk x k
k 0
n0
。
5
(25)
我们猜想当上式中左边的指数为负整数时公式依然成立，即
m ( 1) m Pm n 1
0n m n 0, n m
。
(19)
我们还可以把排列数的概念推广到实数集合，即
P ! / ( )!
。
(20)
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数，叫做组合数，记 为 Cnm 。组合数有性质