近世代数引论
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数引论-006
推论2 设G为群. (1)g G, 经g共轭诱导出 G的一个自同构 .
证明 (1)若G经共轭作用于自身上 . 根据定理4的证明可知：
近世代数引论
(2)存在同态G Aut(G),其核: C(G) {g G | gx xg, g G}.
设 : G S ()是一个置换表示 .在上定义如下的关系：
对于a, b , a ~ b g G, 使得ga b. (1)a ~ a : (1G )是的恒等置换 (3)若a ~ b, b ~ c.
a ,1G a a,即a ~ a.
(2)a ~ b b ~ a : 如果a ~ b
对于每个 g G,映射 g : G G, g ( x) gxg1是一一对应 .
g ( xy) gxyg1 gxg1gyg1 g ( x) g ( y)
g是同态, 且是同构 . (2)令G经共轭作用于自身上 . 根据定理4,同态：G A(G)的象包含在 Aut(G)中.
一个群G到置换群S ()的同态叫G的置换表示 .
一个群G到矩阵群的同态叫 G的线性表示 .
近世代数引论
群在集合上的作用
定义 群G叫做作用于集合 S上, 是指存在一个函数 GS S
(通常表示为 ( g , x) gx),使得对每个 x S和g1 , g2 G, 有
ex x, ( g1 g2 ) x g1 ( g2 x).
Ker H 也是H的所有共轭子群的交 .
例4 设A是群G的任意子集 .取 {aAa1 | a G}, 定义
: G S (), ( g )(aAa1 ) gaAa1g 1 ( ga) A( ga)1
近世代数定理
近世代数(抽象代数)
“近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程（组）是否可解，如何求出代数方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
近世代数引论-002
与a的周期为m矛盾.
Zhang Aili
（5）设k | m.
近世代数引论
当0 r m / k时, (a k )r e :
若不然的话 , a kr e, kr k (m / k ) m
(a k )m / k a m e.
这与 | a | m矛盾. k | a | m / k.
设Q n / m , 其中n / m是有理数 .
Q n / m {r (n / m) | r Z}
但1 /(2m) Q,1 /(2m) {r (n / m) | r Z}
这是一个矛盾 .故Q不是一个循环群 .
2015-1-18
Zhang Aili
13
例3 设G是个阶大于 1的群. 若对于G中的任意元素 g及任意自然数 n, 方程x n g在G中
2015-1-18 Zhang Aili 3
定理2 加法群Z的每个子群 H都是循环群 .
近世代数引论
H 0 或H m , 其中m是H中的最小正整数 . 如果H 0 , 则H是无限群 . 证明 若H 0 , 则H显然是循环群 . 若H 0 , 则H包含一个最小的正整数 m. H是Z的一个子群且 m H m {km | k Z } H 反之, 如果h H , 则h qm r, q, r Z ,0 r m. r h qm H r 0(根据m是H中的最小的正整数 ) H m h qm, 故H m
证明 A, B a d , 这里的d是s, t的最大公因数 .
证明 a (a )
s
d s/d
a , a (a )
d t
d t/d
近世代数引论-70
Zhang Aili
Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
Zhang Aili
Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
Zhang Aili
Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
S构成R的子环的充分必要条件是 : a, b S a b S a, b S ab S 证明 ()S R S在R中加法和乘法分别构成群和半群. a, b S , 有a b S及ab S. ()由第一个条件可知S是( R,)的加法子群. 由第二个条件可知S是( R, )的乘法半群. 因为结合律、分配律在R中成立
则I叫作是环R的右理想.
若I同时是环R的左理想和右理想, 则称I是R的一个理想.
例1 设R是环, R的中心是集合C {c R | cr rc, r R} 则C是R的子环.
r (c c) rc rc cr cr (c c)r c c C r (cc) (rc)c c(rc) ccr (cc)r cc C. 故C是R的子环.
Zhang Aili Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
命题 令{ Ai | i I }是环R的(左)理想族, 则 Ai也是(左)理想.
定义3 设X是环R的子集合.令{ Ai | i I }是包含X的(左)理想.
结合律、分配律在S中成立.故S R.
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
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Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
证明(1)I
{ra
as
na
m
riasi
|
r, s, ri , si
R, m N *, n Z}.
i 1 m
ra as na riasi I
i 1m
ra as na riasi (a)
a,b I ab I
I是R的加法子环 又a I, r R ra I. I是R的理想
关于右理想的情况类似可证.
2020/6/26
Zhang Aili
Zhang Aili
4
Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
(1)(a)
{ra
as
na
m
ri asi
|
r,
s,
ri
,
si
R,
m
N
*,
n
Z}.
i1
(2)若R含有么元素, 则(a)
n{Βιβλιοθήκη ri asi|ri
,
si
R,
n
N
*}
i 1
(3)若a属于R的中心,则(a) {ra na | r R, nZ}
(4)Ra {ra | r R}是R的左理想, aR {ar | r R}是R的右理想.
证明 如果f : R S是环同态,则Kerf是(R,)的加法子群.
a,bKerf ,有f (ab) f (a) f (b) 0 abKerf a,Kerf ,r R有f (ra) f (r) f (a) f (a) f (r) 0 ra, ar Kerf
Kerf是R的理想. a,bImf ,x, y R有ab f (x) f (y) f (xy) abImf
若S是环R的子环,当R有单位元时, S未必有单位元.
若S是环R的子环,当S有单位元时, R未必有单位元.
若S是环R的子环,当S和R都有单位元时,未必有1R 1S.
若S是环R的子环,未必是R的理想.
例2 如果f : R S是环同态,则Kerf是R的理想. Imf是S的子环,但Im f不一定是S的理想.
若R有么元素,则a Ra, a aR. (5)若R有么元素并且a属于R的中心,则Ra (a) aR.
(6)若R有么元素而X包含在R的中心之中,则理想
2020/6/26
Zhang Aili
( X ) {r1a1 rnan | n N *, ri R, ai X}
Zhang Aili
6
命题 令{Ai | i I}是环R的(左)理想族,则 Ai也是(左)理想. iI
定义3 设X是环R的子集合.令{Ai | i I}是包含X的(左)理想.
称 Ai为由X生成的(左)理想.这个理想表示成(X ). iI
X中的元素叫作理想(X )的生成元.
若X {x1, x2, , xn},记( X ) (x1, x2, , xn ), (X )称为有限生成的.
2.理 想
定义1 假设(R, , )是环而S是非空的子集合. 若S对于R的加法和乘法也构成环,则称S是R的子环.(S R)
定理1 假设(R, , )是环而S是非空的子集合.
S构成R的子环的充分必要条件是 : a,b S a b S
a,b S ab S
证明 ()S R S在R中加法和乘法分别构成群和半群.
Im f是(S,)的加法子群. Im f是S的子环.
2020/6/26
Zhang Aili
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定理2 环R的非空子集I是左理想
(1)a,b I a b I,且(2)a I, r R ra I.
r(c c) rc rc cr cr (c c)r
c cC
c, cC
r(cc) (rc)c c(rc) ccr (cc)r
2020/6/26
Zhang Aili
ccC. 故C是R的子环.
Zhang Aili
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a,b S,有a b S及ab S.
()由第一个条件可知S是(R,)的加法子群.
由第二个条件可知S是(R, )的乘法半群.
因为结合律、分配律在R中成立
结合律、分配律在S中成立.故S R.
2020/6/26
Zhang Aili
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环R的非空子集I是右理想
(1)a,b I a b I,且(2)a I, r R ar I.
证明 ()设R的非空子集I是左理想
a,b I有a b I(因为I是R的子环)
R的非空子集I是左理想
a I, r R ra I. ()设a,b I a b I
I是R的加法子群 a I, r R ra I.
由一个元素生成的理想(x)叫作主理想. 若环的每个理想均是主理想, 称这环为主理想环.
是主理想环的整环称为主理想整环.
2020/6/26
Zhang Aili
Zhang Aili
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定理3 设R是环, a R, X R
显然I
{ra
as
i 1
na
m
riasi
|
r, s, ri , si
R, m N *, n Z}
i 1
是包含a的理想.
(a)
{ra
as
na
m
ri asi
|
r,
s,
ri
,
si
R,
m
N
*,
n
Z}.
i1
(2) ra ra1R, as 1R as, na n(1R a) (n1R )a
若R含有么元素,
定义2 设I是环R的子环. 若r R, x I rx I
若r R, x I xr I
则I叫作是环R的左理想. 则I叫作是环R的右理想.
若I同时是环R的左理想和右理想,则称I是R的一个理想.
例1 设R是环, R的中心是集合C {c R | cr rc,r R}
则C是R的子环.
证明 c,cC