世界近代三大数学难题：哥德巴赫猜想
世界近代三大数学难题之一-哥德巴赫猜想
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。
但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。
欧拉一直到死也没有对此作出证明。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。
随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。
世界最难的3大数学题
世界最难的3大数学题
1、哥德巴赫猜想
2、费玛大定理——内容:他断言当整数n \u003e2时，关于x, y, z 的方程x +-y = z没有正整数解。
3、四色问题——又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之-。
地图四色定理最先是由一位毕业于伦敦大学叫格里斯的英国大学生提出来的。
1、哥德巴赫猜想
内容:随便取某一个奇数，比如77,可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7; 再任取一个奇数，比如461,可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。
例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。
2、费玛大定理
简述:费玛大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶德费玛提出。
费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年,英国数学家安德鲁怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。
3、四色问题
四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。
地图四色定理最先是由一位毕业于伦敦大学叫格里斯的英国大学生提出来的。
内容:任何一-张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说在不引起混淆的情况下一-张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示:将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之- 来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
哥德巴赫猜想：数学史上的一大难题
• • • •
（1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数； （3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向吗？
想一想？
写出下列命题的否定 1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 3)x R, x 2 2 x 1 0 否定:
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假： 1）所有的素数都是奇数；
2）x R, x 1 1;
2
3）对每一个无理数x，x 也是无理数.
2
• 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判 断一个全称命题为假时，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
作业：
• P20－21 习题5 1、4
结论：由命题的定义出发，（1）（2）不 是命题，（3）（4）是命题。 分析（3）（4）分别用短语“对所有 的”“对任意一个”对变量x进行限定， 从而使（3）（4）称为可以判断真假的语 句。
2 ）所有的正方形都是矩形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立. 简记为:x M,p(x)
2
1 0
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题
它的否定
p : x M,p(x)
p : x M,p(x)
2
例1 写 出下列特 称命题 的否定： 1）p:x R,x +2x+3 0；
如何解出世界十大无解数学题哥德巴赫猜想
如何解出世界十大无解数学题——哥德巴赫猜想一、引言数学作为一门古老而又神秘的学科，一直以来都有许多难以解决的问题。
这些问题有的历经数百年甚至数千年依然未能解决，而其中最著名的就是哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想是世界数学史上最著名的未解问题之一，它声名远扬，备受世人关注。
数学家们长期以来努力寻找解答，但至今仍未有明确的证明。
本文将就如何解出世界十大无解数学题之一——哥德巴赫猜想展开讨论。
二、哥德巴赫猜想的历史及概念1. 哥德巴赫猜想的历史哥德巴赫猜想最早可以追溯到1742年，德国数学家Christian Goldbach首次在给友人哥德巴赫的信中提出了这一问题。
这一问题被命名为哥德巴赫猜想是因为它首先被提出时是由哥德巴赫亲自提出的。
哥德巴赫在信中提到：“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
” 这就是哥德巴赫猜想的由来。
从此之后，数学家们开始对这一问题进行研究，但至今尚未找到证明。
2. 哥德巴赫猜想的概念哥德巴赫猜想的表述很简单，即任何一个大于2的偶数都可以分解为两个质数之和。
数字4可以被分解为2+2，数字6可以被分解为3+3，数字8可以被分解为3+5，以此类推。
三、哥德巴赫猜想的重要性哥德巴赫猜想之所以备受关注，是因为它涉及到了数论和素数的研究。
解决了哥德巴赫猜想，将有助于深化对素数分布规律的认识，对数论研究会有显著的推动作用。
哥德巴赫猜想的解答也将对现代密码学和计算机安全领域产生一定的影响。
解决哥德巴赫猜想对于数学领域的发展具有重要的意义。
四、哥德巴赫猜想的证明尝试1. 历史上的尝试自哥德巴赫猜想被提出以来，数学家们对此进行过多次证明尝试。
这些尝试大多基于对素数性质的研究，但很遗憾，至今仍未有一个符合数学领域普遍认可的证明方案。
2. 近年来的尝试随着数学计算能力的提升和数学工具的不断发展，近年来有一些新的证明尝试出现。
有数学家运用了复杂的计算机算法和程序来进行尝试。
然而，这些尝试大多还处于实验阶段，尚未获得全面的认可。
哥德巴赫猜想被称为是数学皇冠上的明珠，为何感觉没什么用处
哥德巴赫猜想被称为是数学皇冠上的明珠，为何感觉没什么用处哥德巴赫猜想是一道数学难题，被称为是“世界近代三大数学难题之一”。
它首先是在1742年，由哥德巴赫提出来的。
他提出来后，自己没办法证明。
于是便写信给当时的大数学家欧拉，请欧拉证明。
但是欧拉至死都没能证明，这道难题就留了下来。
（哥德巴赫）此后，世界各国的大数学家，很多人穷尽一生来证明这道数学难题。
虽然各自都取得了一些成果，但是都没能完全证明。
最接近证明的，是我国的大数学家陈景润，他在1966年证明了“1+2”，算是目前在哥德巴赫猜想难题证明上的最高成就。
不过依然没能再往前推进一步，证明出最终的命题“1+1”。
说到这个“1+1”，很多不太懂数学的老百姓心中，还产生了一个误会。
大家都以为，哥德巴赫猜想是要证明“1+1=2”。
很多人都说，“1+1=2”这样的问题，有什么可以证明的呢？显然，这明显是误会。
所谓“1+1”，按照现在通行的描述，是证明“任一大于2的偶数，都可写成两个素数（质数）之和”。
比如10可以写成3+7，24可以写成13+11等等。
而陈景瑞证明的“1+2”，当然也不是证明“1+2=3”，而是证明“任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”。
也就是说，陈景瑞证明的“陈氏定理”，是哥德巴赫猜想的一部分，而不是全部。
今天咱们在这里讨论的，并不是哥德巴赫猜想是怎么证明的问题，而是这个牵动整个世界数学界的，被称为是数学殿堂皇冠上的明珠的命题，证明来究竟有什么用？（陈景润旧照）之所以出现这样的疑问，是因为有两个方面的原因。
一方面，我们知道，科学只有转化为技术，转化为生产力，才能对人类起作用。
比如物理学中的电磁现象等等，当其理论提出来后，直接催生了一场技术革命，让人类走进了电气时代，其影响力是巨大的。
就算是数学，很多数学对人类的日常生活也有巨大作用。
比如微积分和级数理论，它在滤波、数据压缩、电力系统的监控、电子产品的制造等等，都有重要作用。
世界近代三大数学难题
世界近代三大数学难题四 色 猜 想四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
后来陆续请教了著名数学家德.摩尔根、著名数学家哈密尔顿，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
（美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
看来这种推进仍然十分缓慢）。
直到电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
四色猜想的计算机证明，轰动了世界。
它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。
不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
费尔马大定理费尔马大定理, 肇源于两千多年前, 挑战人类三个多世纪, 多次震惊全世界, 耗尽人类最杰出大脑的精力, 也让千千万万业余者痴迷. 古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”, 经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候, “算术”的残本重新被发现研究. 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。
近代数学三大难题
近代数学三大难题费尔马大定理（已证） 四色猜想（已证） 哥德巴赫猜想1.费尔马大定理：费马大定理的表述很简单：对于正整数，不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的和。
换句话说就是，方程n n n x y z +=当2n >时，不存在正整数解。
起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。
终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。
古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。
1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat ）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想： n n n a b c +=是不可能的（这里n 大于2；a ，b ，c ，n 都是非零整数)。
此猜想后来就称为费尔马大定理。
费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。
一般公认，他当时不可能有正确的证明。
猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n ＝3,4,5,7四种情形。
1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n （例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。
历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。
其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。
他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908－2007年。
无数人耗尽心力，空留浩叹。
最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N ，但这对最终证明无济于事。
1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n ，最多只有有限多个a ，b ，c ，振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。
历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰—志村五朗猜想 ” 之中。
童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。
世界三大数学猜想
1621年，20岁的费马在阅读一套公元三世纪希腊著名数学家丢番图的《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第 8命题旁关于不定方程x2+y2=z2的全部正整数解这一页上写了一段话，概括起来说就是：“形如xn+yபைடு நூலகம்=zn的方程， 当n>2时不可能有整数解。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” （拉丁文原文： "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi。 Hanc marginis exiguitas non caperet。"）
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作 时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的 颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明 这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
猜想 史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。 1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了一个大胆的猜想： 任何不小于3的奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2+2+3，当时1仍属于质数）。 同年，6月30日，欧拉在回信中提出了另一个版本的哥德巴赫猜想： 任何偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2+2。当时1仍属于质数）。 这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，前者是后者的推论。因此，只需证明后者就能证明前者。 所以称前者为弱哥德巴赫猜想（已被证明），后者为强哥德巴赫猜想。由于1已经不归为质数，所以这两个猜想分 别变为 任何不小于7的奇数，都可以写成三个质数之和的形式； 任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和的形式。
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世界近代三大数学难题：哥德巴赫猜想
哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。
把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。
后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。
若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。
弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。
猜想提出
1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。
例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。
”
1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。
这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。
同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。
但是这个命题他也没能给予证明。
研究途径
研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径。
这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。
殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数。
现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。
用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。
显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1+1"。
在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。
“a + b”问题的推进
1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
稍后证明了“3 + 3”和“2 + 3”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”，中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了“1 + 2 ”。
例外集合
在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。
x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。
我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。
这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。
当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。
在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。
这就是例外集合的思路。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。
第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。
业余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。
实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。
这个结论华老早在60年前就真正证明出来了。
三素数定理
如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。
我们可以把这个问题反过来思考。
已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。
这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。
这个小素变数不超过N的θ次方。
我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。
潘承洞先生首先证明θ可取1/4。
后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。
这个数已经比较小了，但是仍然大于0。
几乎哥德巴赫问题
1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。
在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。
这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。
我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。
因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。
这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。
显然，如果k
等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。
但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。
1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。
这第一个可容许值后来被不断改进。
其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。
目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。