数学史上的三大几何问题
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。
比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。
这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
数学史三大难题
古希腊的成绩：欧氏几何最初的几何概念，来源于生活。
自从人类有了意识，人类所接触的物体，都为咱们提供了这些概念的来源。
尤其是古代的经活动，包括土地的丈量（用来决定税收，古代是按照土地的大小来纳税的），各类衡宇的建造，各类物品工具的制造，使得人们有了几何概念的大体雏形。
目前较为一致的观点是，一个较为系统的几何学的产生是从古代埃及进展起来的（由于尼罗河水的按期泛滥冲垮农田，人们为了从头丈量土地，产生了“测地术”，英文中的,geometry一词中的“geo-”有大地的意思，而“-metry”又有测量的意思，而中文中的“几何”则是“geo-”的译音。
）虽然几何学的产生起源于古代的埃及而从科学进展的历程来看，数学的进展，真正从一门比较完善学科学科的形成来讲，几何学的进展较为迅速，而且也较早形成一个完整的学科体系。
对于几何概念的科学，能够追溯到古希腊文明。
泰勒斯，比达格拉斯的老师，被誉为世界上第一个科学家和数学家，对那时从经验得来的事实进行了理论解释，朝几何学的系统化迈出了第一步。
他研究了图形全等、图形相似的概念，将实际的经验归纳为抽象的原理，使得原来的经验，能够有更广漠的应用。
他还提出了一个逻辑推理系统。
而物理空间的提出，成为以后几何研究的一个重要内容。
研究了平方数、三角形数。
更重要的一个发现是比达格拉斯定理，也就是中国古代的勾股定理：直角三角形的两个直边长度的平方和，等于斜边长度的平方。
在研究正方形对角线长度时，比达格拉斯已经发现这个数无法精确表示。
这已经很接近无理数的概念，可惜他放弃了，只好由两千多年后的德国数学家康托来完成无理数理论的基础。
几何学的一个里程碑是欧几里德的《几何原本》的出版。
《几何原本》集当时几何学研究的大成，对希腊人所了解的几何学知识进行了条理化和系统化。
《几何原本》首先定义了几何学中的概念和符号，使得几何学便于交流。
同时，《几何原本》开创现代科学研究的公理化系统：基于有限的公理，一门学科中其他的定理都可以被推导出来。
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题古希腊三大几何难题提出者：智者学派展开雅典有一个智者学派，代表人物有希比阿斯、安提丰、普罗泰格拉等。
智者学派以诡辩著称，当时流行几何，哲学家、数学家常常看口闭口都是几何。
于是三大几何难题就诞生了。
（1）化圆为方：作一个正方形，使其面积与已知圆面积相等。
（2）倍立方：作一个正方体，使其体积是已知正方体的2倍（3）三等分角：三等分任意角于是呢，有一堆数学家就开始做。
题目规则是尺规作图。
可他们没做出来，于是就做，做呀做呀，他们殚精竭虑、千方百计，就是没做出来，一个都没有，但是一直有人做，于是阿基米德螺线诞生了，于是圆锥曲线诞生了……但是这么多几何线诞生，也没把题目做出来，于是两千年过去了。
19世纪有一个人叫旺策尔，证明了这个题目光用尺规是作不出来的。
证明这个几何题目的方法，竟然是代数。
推理方法很值得借鉴。
简单说一下---------------------------------------------------------------------------------推理第一步：尺规作图可以怎么折腾归纳只有5点：①做连接两点的直线段，或延长此线段；②作两直线的交点；③以已知点为圆心；④作圆与直线交点；⑤作两圆交点；第二步：只用尺规可以作出什么样的线段设a1、a2、a3、a4、…… an是已知线段，同时用ai表示它们的长度，并设a1=1. 则光用尺规只能将之进行＋、一、×、÷、√（根号），即进行加、减、乘、除、开偶次方根。
ai＋aj没问题，ai －aj没问题，若x=ai× aj，则有1/ai=aj/x ，作一个相似三角形即可。
同样，若x=ai÷aj则1/x=ai/aj，若x=√（ai），则x^2=ai/×a1，x 是ai/与a1的比例中项，仿照射影定理的模型可以作出。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
三大作图难题
引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。
三大数学难题
三大数学难题数学一直都是人们所追求的一门科学，从古至今，人们都在探索数学的奥妙。
在数学的发展过程中，人们有时会遇到一些难题，这些难题不仅考验了人们的智慧和耐心，同时也推动了数学的发展。
下面，我们将介绍三大数学难题。
一、费马大定理费马大定理，又称费马最后定理，是数论中的一项著名定理。
其内容是：x^(n)+y^(n)=z^(n)在自然数域N中，n>2时，无正整数解x，y，z。
该定理由法国数学家费马在17世纪提出，但其证明在20世纪才获得。
该难题的发现推动了数论的研究，同时也成为了数学史上一个重要的里程碑。
费马大定理之所以难题在于，其证明需要高深的数学理论和技巧，需要运用到多个领域的数学知识，在数学史上被称为“最优美的定理，最艰深的证明”。
二、黎曼猜想黎曼猜想是数学界中的一个著名难题，其内涵是对于所有正整数n，该等式π(n)~Li(n)成立的情况。
其中，π(n)表示小于等于n的素数个数，Li(n)表示自然对数函数的积分。
该难题由德国数学家黎曼在19世纪提出，至今未得到证明。
黎曼猜想的重要性在于，其关系到数学领域中的诸多领域，如数字理论、代数、解析数论、几何学等等。
三、庞加莱猜想庞加莱猜想，也叫庞加莱-比格所猜想，是拓扑学中的一项重大难题。
其内涵是：在超过2个维度的球面上，是否存在全局的象限域？该难题由法国数学家庞加莱在20世纪初提出，至今依然未被证实或证伪。
该难题在此后的近百年中引起了众多数学家的广泛关注，数学家们克服许多困难，一直在为这一难题探索解决方法。
综上所述，数学难题是人们在数学研究中所遇到的一些困难点，它们不仅考验了人们的智慧和耐心，同时也推动了数学领域的不断发展。
尽管这些难题尚未完全解决，但我们相信，随着数学理论的不断深入，人们终将能够掌握这些难题的奥秘，推动数学的发展更加繁荣。
世界上十大数学难题
世界上十大数学难题【实用版】目录1.世界近代三大数学难题2.世界七大数学难题3.其他著名数学难题4.几何尺规作图问题5.蜂窝猜想正文数学是一门充满挑战和神秘的学科，自古以来，人们一直在探索数学的奥秘。
在世界数学史上，有许多著名的数学难题一直困扰着数学家们。
本文将介绍一些世界上著名的数学难题，包括世界近代三大数学难题、世界七大数学难题以及其他著名数学难题。
首先，我们来了解一下世界近代三大数学难题。
这三大数学难题分别是：费尔马大定理、四色问题和哥德巴赫猜想。
费尔马大定理是法国数学家费尔马在 17 世纪提出的，他猜想对于任何大于 2 的整数 n，方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
这个猜想直到 1994 年才被英国数学家怀尔斯证明。
四色问题则是关于地图染色的问题，数学家们一直在探讨是否存在一种方法，能够用四种或更少的颜色为任何地图上的区域染色，使得相邻的区域颜色不同。
哥德巴赫猜想则是关于质数的猜想，哥德巴赫猜想认为，任何一个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和。
接下来，我们来看看世界七大数学难题。
这些难题分别是：P（多项式时间）问题对 NP（nondeterministic polynomial time，非确定多项式时间）问题、霍奇 (Hodge) 猜想、庞加莱 (Poincare) 猜想、黎曼(Riemann) 假设、杨米尔斯 (Yang-Mills) 存在性和质量缺口、纳维叶斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程的存在性与光滑性以及贝赫 (Birch) 和斯维讷通戴尔 (Swinnerton-Dyer) 猜想。
这些难题都具有很高的难度，目前还没有被解决。
除了上述著名的数学难题外，还有许多其他著名的数学难题有待破解，例如：Abc 猜想、考拉兹猜想、周氏猜测（梅森素数分布猜测）、阿廷猜想（新梅森猜想）、哥德巴赫猜想、孪素数猜想、克拉梅尔猜想、哈代李特尔伍德第二猜想以及六空间理论等。
从一传说谈“三大几何难题”尺规作图
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南京 师 范大学 附属 实验 学校 周 蕾
传 说 公 元 前 ４ ０年 时 ， 希 腊 的 第 罗 斯 岛 上 流 行 着 一 种 可 怕 的传 染 ０ 古 病 ， 时 人 心 惶 惶 ， 可 终 日． 们 来 到 阿 波 罗 神 像 前 ， 求 阿 波 罗 神 的 一 不 人 请 指 示 ． 波 罗 神 给 了祈 求 人 这 样 一 个 指 示 ： 神 殿 前 有 一 个 正 方 体 祭 坛 ， 阿 “ 如 果 能 不 改 变 它 的形 状 而 把 它 的体 积 增 加 １倍 ， 么 就 能 消 灭 传 染 病 ． 那 ”
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（ ）全 市 初 中 生 视 力 正 常 的 学 生 人 数 约 等 于 ３ ０ ５ ００ ０× ［７ ＋ ５ ） （０ ０ ÷ ２ ０ ， 为 １ ０ ４ ］即 ５ ０名 ． ０
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个 任 意 角 ； 一个 正 方 形 ， 它 面 积 等 于 已 作 使
为 ：１ ．三 等 分 角 ； ．倍 立 方 ； ．化 圆 为 方 ． 表 面 上 看 ， ３个 问题 并 不 ２ ３ 从 这 起 眼 ， 乎 很 简 单 ， 希 腊 学 者 也 研 究 出 了各 种 画 法． 是 ， 有 解 答 都 似 古 但 所 无 法 严 格 遵 守尺 规 作 图 的 限 制 （ 规 作 图是 指 只 用 圆 规 和 没 有 刻 度 的 单 尺
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用 直 尺 和 圆 规 作 出？
２ ．化 圆 为 方 设 圆 的 半 径 为 一 个 单 位 ， 作 一 面 积 等 于 单 位 圆 的 要 正 方 形 ， 这 个 正 方 形 边 长 为 ， 设 则 。一 ７ 【 ．于 是 ， 题 相 当于 能 否 用 尺 问
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数学史上的三大几何问题
一、立方倍积
关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。
”由此可见这神是很喜欢数学的。
居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛棱长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，
使他们都又惊奇又惧怕。
结果被一个学者指出了错误：「稜二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。
」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟疫仍不见消灭。
人们困扰地再去问神，这次神回答说：「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状却并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状
仍是正方体。
」居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。
由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家们的脑汁。
而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。
数学史上的三大几何问题
二、化圆为方
方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。
有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。
由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等。
由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。
但是如何作这直角三角形的边。
即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。
我们都知道化圆为方是由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的，但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。
实际上，这个化圆为方问题中的正方形的边长是圆面积的算数平方根。
我们假设圆的半径为单位1，那么正方形的边长就是根号π。
直到1882年，化圆为方的问题才最终有了合理的答案。
德国数学家林德曼（Lindemann,1852~1939)在这一年成功地证明了圆周率π=3.1415926......是
超越数，并且尺规作图是不可能作出超越数来，所以用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是不可能实现的。
数学史上的三大几何问题
三、三等分角
三等分任意角的题也许比那两个问题出现更早，早到历史上找不出有关的记载来。
但无疑地它的出现是很自然的，纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。
二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。
直到1830年，18岁的法国数学家伽罗华首创了后来被命名为“伽罗华理论” 理论，该理论能够证明倍立方积和三等分角问题都是尺规作图不
能做到的问题。
1837年，法国数学Wantzel（1814~1848)终于给出三等分角和倍立方积的问题都是尺规作图
不可能问题的证明。