数学史上三大危机
历史上三大数学危机之三
第三次数学危机一、起因魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在本世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。
但必须注意到，贝克莱悖论只是在相对意义下得到了解决，因为实数理论的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性，而集合论的无矛盾性至今仍未彻底解决。
二、经过经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。
看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。
法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。
然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。
1918年，罗素把这个悖论通俗化，成为理发师悖论。
罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。
罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。
于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。
产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。
如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。
三、影响第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。
为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。
由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。
数学史上三大危机和三大猜想
数学史上三大危机和三大猜想数学史上的三大危机分别为无理数理论，微积分理论，罗素悖论，数学史上的三大猜想分别为费马大定理，四色定理，哥德巴赫猜想，这三大危机和三大猜想都间接地推动了整个数学理论的进步，许许多多的数学家也因此付出了巨大的贡献，才有了今天数学的伟大辉煌。
一、无理数理论众所周知，世界上所有的实数都可以分为有理数和无理数。
然而，在最初的时候并没有发现无理数的存在，所以很多数学家认为所有数都是有限小数，而希帕苏斯首先提出了二的算术平方根概念，发现了世界上有一类数，他们是无限不循环小数，然而遭受了当时科学界的否定。
二、微积分理论微积分是世界数学史上璀璨的辉煌，微积分使用微元的概念，解决了很多不能够解决的问题。
特别对于复杂的图形，有很厉害的求解作用，但是由于微积分刚提出来的时候，理论非常复杂，没有在当时的数学界广为接受。
三、罗素悖论罗素悖论是对于集合理论的悖论，世界上所有的物体都能够通过集合来表达，但是罗素指出，如果一个集合中所有的元素都不是他本来的元素，那么这样的一个集合是否还能表现为原有的集合，这理论被称为罗素悖论，后来根据数学家修改集合的.定义规则，才避免了这样的悖论。
四、费马大定理费马大定理有这样一个猜想当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n无正整数解。
这样的一个看似简单的地理，后来经过后世许多人的证明，终于确定费马大定理成立，是数学史上的一个伟大猜想。
五、四色定理四色定理表明，如果许多国家围绕着一个点拥有很多的边界，那么只要用四种颜色就能够将所有的国家全部区分开来，四色定理是对二维空间的终极解释，也表明了两个直线，只要相交一定有四个区的出现。
六、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想，如果把1算做一个质数，那么世界上任何大于二的数都可以由三个质数通过相加的方式得成，后来科学家们经过艰难的计算，终于算出了哥德巴赫猜想。
(完整版)简述数学史上的三大危机
简述数学史上的三大危机世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。
实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。
在古希腊，哲学家都是格外重视数学。
像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。
在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。
这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。
“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。
他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。
“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。
然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。
这还得从一个有趣的故事说起。
有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。
然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。
这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。
但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。
因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。
如今发现边长为1的正方形的对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。
这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。
当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。
哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。
第二次数学危机我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。
古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
数学史上的三大数学危机
3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无
穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”
C1
1
11
下边证明，当 c2 2时，c 不能表成整数比。
如（果不不妨然 设，n 有是两既个约正分整数数即m(m和, nn) 使1）c。两mn端
m
平方得 2
n2 m2
，即
2m2
n2。
由此知 n2 是偶数。由于偶数的平方是偶
数，奇数的平方是奇数，∴ n 是偶数。
12
因 n “既约”，m 不能再是偶数，于是 m 是奇数。
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0
的瞬时速度，先求S
t
。
S
S (t1)
S (t0 )
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02 ]
1 2
g[2t0t
(t)2 ]
∴
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
21
当 t 变成无穷小时，右端的
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt 0 ，这就是物体在 t0 时的瞬时速度，
它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。
《数学史上的三次危机》课件
Three crises in Mathematics
第一次危机 first
出现
1
希帕索斯发 现：两直角边都 为1的等腰直角三 角形，其斜边的 长度是上帝都不 知道的数。这是 人类数学史上发 现的第一个无理 数。
2 a ？ b
2 因为这一背
经离道的发现， 希帕索斯被扔 到海里淹死了。
4 毕达哥拉斯认定类似于“根号
2
第一个图形 反比例函数图形
第二个图形 双曲线的图形
Three crises in Mathematics
第二次危机 Second
背景 2、无穷小与0
3 中国庄周所著《庄子》
一书的《天下篇》中， 也记有“一尺之棰，日 取其半，万世不竭”。
5
而现在，我们高中生都 知道，无穷小不是一个实数， 而是一个以0为极限的变量。 无穷小不一定是0，但0是 无穷小，不仅如此，0还是 实数内唯一一个无穷小。
Three crises in Mathematics
第二次危机
Second
出现
2 无穷小量的概念对于
微积分理论乃至高等数学 的发展有着基石性的作用， 当时人们的认知是不严谨 和不完整的，牛顿和莱布 尼兹纷纷采用“先用了再 说”的方式进行研究，才 照成了第二次数学危机。
1
1734 年 ， 英 国 哲 学 家 、 大 主 教贝克莱把矛头指向微积分的基 础--无穷小的问题。他指出微积分 理论在推导过程中存在逻辑上的 自相矛盾：“无穷小量是一个幽 灵，说它是0吧，又可以做为分母， 不是0吧，又可以舍去。总之看起 来是0又不是0。与其相信无穷小 的灵魂，还不如相信上帝”。微 积分的合理性就这样遭到严重质 疑，险些要把整个微积分理论推 翻
4
数学三大危机
数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasus，米太旁登地方人，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
史上数学三大危机简介
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相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
从数学的三大危机看数学与哲学
从数学的三大危机看数学与哲学IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】从三次数学危机浅谈数学与哲学的关系摘要哲学是人类关于自然、社会、思维的基本规律,数学是一门高度抽象而又逻辑严谨的科学.哲学像是望远镜,指导着数学发展的方向.数学像是显微镜,探索着世界的奥秘.本文将从三次数学危机出发,浅谈哲学与数学的关系.§1“万物皆数”观点的破灭与再生--第一次数学危机毕达哥拉斯学派主张”数”是万物的本原,而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比.他们认为：1是最神圣的数字,1生2,2生诸数,数生点,点生线,线生面,面生体,体生万物.有趣的是,正是毕达哥拉斯自己的发现,导致”万物皆数”观点的破灭.毕达哥拉斯（也许是他的门徒希帕索斯）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的,它们的比不能归结为整数或整数之比.这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解从而触发了数学史上的第一次危机.为避开这一障碍,数学家们走上了几何学的研究道路,从而在对无理数的争论过程中诞生了欧几里德几何学.之后,大约在19世纪20年代左右又诞生了非欧几何.提出”万物皆数”的观点是一个错误.因为数是概念,不是物.但这个错误背后是一个人类认知上的大进步——认识到数量关系在宇宙中的重要性.而”万数皆数”观念的破灭,同样是一个错误.错误在于,认为数不足以表达万物了.错误又是由于一个大的进步引起的：发现了无理数.人们发现了无理数,又不敢承认它是数,这就是第一次数学危机.正如数学家克莱因所说,非欧几何真正的诞生是”不需要任何技术性的数学推导而是需要认识到平行公理的正确性仅是基于经验,并非不证自明”：认识到”任何一组假设如果不导致矛盾的话,就一定提供一种可能的几何”；更要认识到”抽象的或数学的空间是不同于感性认识的空间”.而要具备这些观念,首要的是否定”物质世界必然是欧几里德式的”,否定”欧几里德几何是唯一的与必然的”.自从非欧几何诞生之后,人们从传统的形而上学观念中解放出来了,重新开始对数学性质的理解,以及对数学和现实世界的关系的理解.认识到了区别数学抽象和感性直观的重要性,使人们对空间形式的认识从直观空间上升到抽象空间.§2量的鬼魂--第二次数学危机十七世纪末,牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成功的应用,但是当时的整个微积分是建立在极不严密的无穷小概念之上,没有一个坚实的基础.贝克莱主教曾猛烈攻击牛顿的微积分观点,他讽刺地挖苦到”无穷小”既不是0,也不是非0的数量,那么它一定是量的鬼魂.虽然贝克莱的哲学观点大都荒谬,但他的这次攻击还是切中要害的.牛顿和当时的数学家在逻辑上无法严格解释,数学家们相信它,只是因为它用起来十分有效,得出的结果总是对的.这就是数学史上的第二次危机.后来法国数学家柯西发展和建立了极限理论,从而解决了第二次危机.同时从哲学上,这最终地驳斥了芝诺”飞矢不动”的诡论.在一瞬间,尽管物体占据了一个确定的位置,但不等于说静止了.因为我们能实实在在地求出它的瞬时速度来! §3罗素悖论引起的轩然大波--第三次数学危机在历史既将跨入20世纪的时候,数学界出现了研究数学基础的高峰.人们把数学基础理论的无矛盾性,归结为集合论的无矛盾性,集合论已成为整个现代数学的逻辑基础,数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了.然而,事隔不到两年,英国着名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的,并不存在什么绝对的严密性!史称”罗素悖论”.1918年,罗素把这个悖论通俗化,成为理发师悖论.罗素悖论的发现,无异于晴天劈雳,把人们从美梦中惊醒.罗素悖论以及集合论中其它一些悖论,深入到集合论的理论基础之中,从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性.于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波,形成了数学史上的第三次危机.为了解决第三次数学危机,数学家们作了不同的努力.由于他们解决问题的出发点不同,所遵循的途径不同,所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派,这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派.这三大学派的形成与发展,把数学基础理论研究推向了一个新的阶段.时至今日,第三次数学危机还不能说已从根本上消除了,因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决.然而,人们正向根本解决的目标逐渐接近.可以预料,在这个过程中还将产生许多新的重要成果.§4数学与哲学的关系§哲学指导数学的发展哲学是人类认识世界的先导,关心的首先应当是科学的未知领域.在人类的科学手段、科学方法尚未达到真切认识事物的时候,哲学往往有很强的前瞻作用,这种认识往往会指导人类去准确定位客观事物,对科学的发展方向能够正确把握.哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前,哲学家谈论元素在化学家谈论元素之前,哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前.希尔伯特曾直言不讳,他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念.罗素从分析哲学的基本立场出发,坚持逻辑即数学的青年时代,数学即逻辑的壮年时代的观点.一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论的问题时,哲学才沉默了,它倾听科学的发现,准备提出新的问题.哲学在某种意义上是望远镜,面对着浩淼的宇宙,面对着人类的种种困难问题,哲学的望远镜不受限制.数学则相反,它最容易进入成熟的科学,获得了足够丰富事实的科学,能够提出规律性假设的科学.它好像是显微镜只有把对象拿在手中,甚至切成薄片,做成标本,才能用显微镜观察它.哲学从一门学科的退出,意味着这门学科的诞生.数学渗入一门学科,甚至控制一门学科,意味着这门学科达到成熟的阶段.哲学的地盘在缩小,数学的领域在扩大,这是科学发展的结果,人类智慧的胜利.”§数学始终影响着哲学柏拉图有句名言：”没有数学就没有真正的智慧.”智慧是被运用于生活中的哲学,是哲学的生活化、实际化.历史上,很多着名的哲学家同时也是伟大的数学家.比如：古希腊的泰勒斯(公元前624一前547),他是着名的哲学家,同时又是希腊几何学的鼻祖；古希腊的毕达哥拉斯(约公元前580一前497),他是古希腊数学家、天文学家、哲学家,他发现了勾股定理,他的哲学基础是”万物皆数”；古希腊的德谟克利特(公元前460一约前370),他是唯物主义哲学家,”原子论”的创立者,又是几何学家；法国的笛卡尔(1596—1650),他是数学家、哲学家、物理学家,解析几何的奠基人之一;法国的莱布尼茨(1646—1716),他是德国的数学家、哲学家、科学家.他独立创建了微积分,并发明了优越的微积分符号,他在哲学上是客观唯心主义者,”单子论”是他的着名哲学观点.为什么哲学家如此重视数学呢当哲学家要说明世界上的一起时,他看到,万物都具有一定的量,呈现出具体的形.数学的对象寓于万物之中.当哲学家谈论怎样认识真理时,他不能不注意到,数学真理是那么清晰而无可怀疑,那样必然而普遍.当哲学家谈论抽象的事物是否存在时,数学提供了最抽象而又最具体的东西,数、形、关系、结构.它们有着似乎是不依赖于人的主观意志的性质.当哲学家希望在争论中把概念弄得更清楚时,数学提供了卓有成效的形式化方法.§6地平线仍在前方数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究,恰像一次向远处的地平线走去的旅行.终点似乎就在前面,但走过去之后发现,它还在前方.但旅行者毕竟一次又一次地大开眼界,他发现了越来越广大的世界.数学经历了三次危机.第一次危机的结果,是严格的数学理论的建立.数学家回答了”什么是连续性”这个古老的哲学问题.第二次危机的结果,是微积分的严密基础的建立.数学家掌握了描述运动与变化的有效方法.彻底弄清了”芝诺悖论”,回答了运动是怎么回事”这个古老的哲学问题.第三次数学危机,涉及”数学自身的基础是什么”在这次危机产生前后,一些卓越的数学家卷入了关于数学本质问题的激烈争论中,危机的结果,产生了”数学基础”这个至今尚在蓬勃发展的数学领域.矛盾是事物发展的动力.这个原理在数学发展过程中不断得到证明.参考文献[1]戴峰,哲学视域下的第三次数学危机,2010.[2]郭翠花,浅谈数学与哲学的关系,中山大学研究生学报,26-3,2005[3]张景中,数学与哲学,大连理工大学出版社,2008。
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数学史上三大危机
数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580~约前500)建立了毕达哥拉斯学派。
他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。
经过一番刻苦实践，他提出"万物皆为数"的观点:数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数)，这一不可公度性与毕氏学派的"万物皆为数"(指有理数)的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。
被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。
科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的"孔隙"。
而这种"孔隙"经后人证明简直多得"不可胜数"。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。
不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为"无理的数"，17世纪德国天文学家开普勒称之为"不可名状"的数。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。
很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。
第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的边长为1的正方形的对角线，无法用两个整数的比来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数
i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。
但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。
第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿（Isaac Newton，英国，1643年1月4日—1727年3月31日）和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz，德国，1646年7月1日—1716年11月14日）开辟了新的天地——微积分。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？
的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如
说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇
到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以
Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。
从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是
把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。
首先进行这个工作的是德
国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合
论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的
集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下
来。
现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为康托尔（Georg Cantor，1845年3月3日—1918年1月6日，出生于俄国的德国数学家。
创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。
他还提出了集合的势和序的概念）集合论和公理化集合论，集合是先定义了全集I，空集Φ ，在经过一系列一
元和二元运算而得来得。
而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了
罗素悖论，使现代数学得以发展。