Microsoft Mathematics求定积分-微积分上的应用
Mathematica中微积分使用
一个返回的是y[x]的表达式，并不能给出y[0],y’[x] 一个返回的是y的纯函数
例：
DSolve[y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y, x] DSolve[{y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y[1]==2E}, y, x]
2
1 (1 x )
2
dx
0
分段函数的积分
Hale Waihona Puke 2| x 1 | dx
0
原函数无法用初等函数表示的积分
sin x x
dx
极限概念的理解
方法：列表、作图、动画
数列极限的直观说明
观察数列 an=1/n2在n趋于无穷时的变化趋势
函数极限的直观说明
考察函数f(x)=sinx/x当x趋向于0时的变化趋势
它有时求不出，可结合极限存在的条件 有时需对被求极限的式子作一变形 无穷振荡处极限的表示方法
导数和微分
导数： D[f,x] 计算偏导数 D[f,x1,x2,…] 计算多重导数 D[f,{x,n}] 计算n阶导数 微分 Dt[f] 计算全微分 Dt[f,x] 计算全导数 Dt[f,x1,x2,…] 计算多重全导数 Dt[f,x, constants—>{c1,c2,…}] ， 其中c1,c2,…为常数
求最值所对应的程序
f[x_] = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 zhudian = Solve[f'[x] == 0, x] fxyvalue = Union[({x, f[x]}/.zhudian), {{a,f[a]}}, {{b, f[b]}}] fvalue = Transpose[fxyvalue][[2]] fmax = Max[fvalue] fmin = Min[fvalue] xx1 = Position[fxyvalue, fmax] xx2 = Position[fxyvalue, fmin] xmax = fxyvalue[[xx1[[1, 1]]]] xmin = fxyvalue[[xx2[[1, 1]]]]
Mathematica求定积分以及相关应用问题
§6 Mathematica求定积分以及相关应用问6. 1用Mathematica求定积分1定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。
Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下(1)Integrate[f, {x,下限，上限}](2)J ? f(x)dx例6.1计算定积分解Zn[l]:= J,Out[1]=4-2ArcTan[2]和不定积分一样，除了我们指定的积分变量之外，其它所有符号都被作常数处理.2数值积分如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时，我们就可以用数值积分求解。
数值积分只能进行定积分的运算，即必须指定上、下限。
用Mathematica求解数值积分有两种形式：(1)NIntegrateEf, {x, a, b}] x 从d 到b，做/(x)的数值积分。
(2)N[J力(x)心] 求定积分表达式的数值例 6. 3 求定积分J f sin(sin x)dx。
解用Integrate命令无法求sin(sin x)的定积分,用NIntegrate命令即可求得其数值积分。
In[l]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, Pi/3}]Out[l]=O. 466185求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。
In[2] := N|J ^3Sin[Siii[A]]dx]0ut[2]=0. 466185例6. 4求定积分J詁的近似值。
解被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。
In[3]:=NIntegrate[Exp[~x~2], {x, 0, 1}JOut[3]二0. 7468243近似值积分用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点a <x Q< %! < =b将区间[a,方]分成"个长度相等的小区间，每个小区间长度为人b-a (b-a)i b-a「、5=——=a + ——x/+1 = x{------ 儿=/(x)n n n矩形法公式：[^f{x)dx« 上上(旳+ y i + …+ 儿-)J nf afMdx «^-(>'1 + 乃…+ 儿)J n梯形法公式：f afWdx Q [；(〉'o + 儿)+〉'l +〉'2 + …+ y,i-\ ]J n 2抛物线法公式：f a f(x)dx «—^[(JO + 儿)+ 2(〉，2 +〉'4 + …+ y n-2) + 4(” +『3 + …+ y n-\ )1J 3/7例6. 5分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分Jh?必。
最新6Mathematica求定积分以及相关应用问题练习解答汇总
6M a t h e m a t i c a求定积分以及相关应用问题练习解答§6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题练习解答1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx e x x 211)5cos(3⎰-; (2)dx x x ⎰sin ; (3)dx x sin 35120+⎰π; (4) dx x a x a2220-⎰;(5) dx x ba )log(⎰2. 计算下列积分的数值积分 (1)dx x ⎰+1)(sin 310; (2)dx x x sin 0⎰π 3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x e x f x ，求dx x f )1(20-⎰4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.6. 求半径为r 的圆的周长.7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x ta y , )20(π≤≤t 的全长. 8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.练习5.6答案1. (1) 解 In[1]:= dx x Exp x Cos ]2[]5[311⎰-Out[1]=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--])5[5]5[2(29129]5[5]5[2322Sin Cos e e Sin Cos (1) 解 In[2]:= dx xSinx ⎰π0 Out[2]=SinIntegrate[π](2) 解 In[3]:= dx x Sin ][35120+⎰πOut[3]=2π (4) 解 In[4]:=dx x a x a 2220-⎰ Out[4]=24][16][a Sign a Sign a π (5) 解 In[5]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]Out[5]=a-b-aLog[a]+bLog[b]2. (1) 解In[1]:=NIntegrate[Sqrt[1+Sin[x]^3],{x,0,1}]Out[1]=1.08268(2) 解In[2]:=NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]Out[2]=1.851943. 解In[1]:=f[x_]:=If[x<0,1/(1+E^x),1/(1+x)]NIntegrate[f[x-1],{x,0,2}]Out[1]=1.313264. 解(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a];n=20;a=1;b=5; y[x_]:=dx x 32512+⎰;s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1” s2=”,s2]Out[2]=s1=8.72358 s2=9.03513(1) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=s3=8.87936(2) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y 4+…+2y n-2*)ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y 3+…+2y n-1*)s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[“s4=”,s4]Out[4]=s4=8.87919191438631169895. 解首先画出函数的图形，如图1所示In[1]:=Plot[{x^2,-Sqrt[x],Sqrt[x]},{x,0,2}]图1Out[1]=-Graphics-然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y-x^2==0,y^2-x==0},{x,y}]Out[2]={{x →0,y →0},{x →1,y →1}}再以y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[Sqrt[y]-y^2,{y,0,1}]Out[3]=31 6. 解取圆心在原点半径为r 的圆的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==t r x tr y cos sin , )20(π≤≤t 取r =1,首先画出圆的图形，如图2所示In[1]:=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]图2Out[1]=-Graphics-再利用定积分计算曲线的弧长In[2]:=dx=D[r*Cos[t],t]Out[2]=-rSin[t]In[3]:=dy=D[r*Sin[t],t]Out[3]=rCos[t]In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=2πr7. 解取1=a ,首先画出星形线的图形，如图3所示→Automatic]图3Out[1]= -Graphics-再利用定积分计算弧长In[2]:= dx=D[a*Cos[t]^3,t]Out[2]=-3aCos[t]2Sin[t]In[3]:=dy=D[a*Sin[t]^3,t]Out[3]=3aCos[t]Sin[t]2In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=6a8. 解圆的参数方程为{b t a x ta y +==cos sin , )20(π≤≤t首先画出图形（略）In[1]:=x[t_]=a*Cos[t]+b;d[t_]:=a*Sin[t];dy=D[y[t],t];v=2*Integrate[Pi*(x[t]^2*dy),{t,0,Pi}] Out[1]=2a2b 2。
mathematica积分
mathematica积分
Mathematica积分是一种将两个或更多的变量的函数的总和运算为
一个单独的函数的运算。
这是通过定义函数的变量来求解一个积分方程，得到函数在一定区间上的积分值，比如面积或体积。
Mathematica
中可以使用各种不同类型的积分技术来求解积分方程，其中包括数值
积分和符号积分。
数值积分是通过一系列规定的划分来近似积分方程中定义的函数，然后根据划分的结果，计算出积分值。
在Mathematica中，数值积分
的核心是函数NIntegrate。
该函数通过在积分区间上的指定的网格划分，并结合自动多项式有限差分，逐步精确地计算积分值。
符号积分是一种基于多项式或者其他符号表达式来对积分方程中
定义的函数进行积分的运算方式，以获得函数在指定区间上的积分值。
在Mathematica中，符号积分的核心函数为Integrate，它可以将多项
式转化为符号、生成符号表达式的积分，从而得到函数在特定区间上
的积分值。
Mathematica积分是一种非常实用的技术，它可以用来求解大量复
杂的积分方程，而且它还可以与其他工具，如微分方程，集成，以便
求解更为复杂的问题。
Mathematica软件定积分以及相关应用问题
实习六 定积分以及相关应用问题实习目的1.掌握用Mathematica 求定积分2.用定积分求面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。
实习作业1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx ex x 211)5cos(3⎰-; 输入：Integrate[3Cos[5x]/Exp[2x],{x,-1,1}]输出：(2)dx xx ⎰sin ; 输入：Integrate[Sin[x]/x,x]输出：SinIntegral[x] (3)dx xsin 35120+⎰π; 输入：Integrate[1/(5+3Sin[x]),{x,0,2Pi}]输出：2 (4) dx x a x a2220-⎰;输入：Integrate[x^2*Sqrt[a^2-x^2],{x,0,a}]输出：(5) dx x ba )log(⎰输入：Integrate[Log[x],{x,a,b}]输出：2. (1)dx x ⎰+1)(sin 310;输入：NIntegrate[Sqrt[Sin[x]^3+1],{x,0,1}]输出：1.08268(2)dx xx sin 0⎰π输入：NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]输出：1.851943. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x ex f x ，求dx x f )1(20-⎰输入：4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.矩形法输入：Clear y ,x,s1,n,b,a ;n 40;a 0;b 1;y x _ : 2x ^23;s1 b a n Sum y a i b a n , i ,0,n 1 N;s2 b a n Sum y a i b a n , i ,1,n Print "s1 ",s1"s2 ",s2 输出：s1= 1.32177 s2= 1.32632梯形法输入：Clear y ,x,a,b,ss3,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;ss3 Sum y a ib a n , i ,1 s3 y a 2y b 2ss3 b a Print "s3 ",s3 输出：s3= 1.32409输入;Clear y ,,x,a,b,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;m 10;ss1 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss1 2y 22y 4¡2y n 2 ss2 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss2 2y 12y 3¡2y n 1 s4 N y a y b ss12ss2 b a 3 n ,2 Print "s4 ",s4输出：s4= 1.3240274507181334834 5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.输入：Plot[{x^2,Sqrt[x],-Sqrt[x]},{x,0,1.5}]输出：输入：Solve[{y-x^2==0,x-y^2==0},{x,y}]输出：x 0,y 0 , x 1, x 1 1 3,y 1 x 1 2 3,y1 输入：Integrate[-x^2+Sqrt[x],{x,0,1}]输出： 3 6. 求半径为r 的圆的周长.输入：v=D[r*Sin[t],t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 输入：u=D[a*Cos[t]^3,t];v=D[a*Sin[t]^3,t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.令a=b=1输入：ParametricPlot[{Cos[t]+1,Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] 输出：Graphics输入：x[t_]:=a*Cos[t]+b;y[t_]:=a*Sin[t];dx=D[x[t],t];V=Integrate[Pi*(y[t])^2 *dx,{t,0,Pi}]输出：。
Mathematica教程-4基本微积分
求解微分方程函 数y
Dsolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,….},x] 求解微分方程组
解y[x]仅适合其本身，并不适合于y[x]的其它形式， 如y’[x]，y[0]等，也就是说y[x]不是函数。 例如我们如果有如下操作，y’[x],y[0]并没有发生变化
解的纯函数形式
这里y适合y的所有情况
In[1] : Limit[ Sin 5 * x S in 3 * x / Sin x ,x 0]
Out[1] 2
lim arctan x
x
In[6] : Limit ArcTan x ,x Infinity
Out[6]
NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi}]
幂级数（泰勒公式）展开
一个函数描述了在某个区域内值的对应关系， 有时考察一个函数在某一点附近的性质时，可以用 一个有限次的多项式作为这个函数的近似，这就是 幂级数展开（Taylor展开）的意义。Mathematica 可以非常方便地求出任一个复杂函数表达式的任意 阶幂级数展开。运算格式：Series[f[x],{x,x0,n}]： 表示f(x)在x=x0做Taylor展开至 (x x0阶)n(带余项）。
当x趋向于x0时求 expr的极限
Limit[expr,x->x0,Direction->1]
当x趋向于x0时求 expr的左极限
Limit[expr,x->x0,Direction->-1]
当x趋向于x0时求 expr的右极限
例：求下列极限
sin 5x sin 3x lim x0 sin x
Dt[f,x1,x2,…]
Dt[f,x,Constants->{c1,c2,….}]
mathematica 积分过程
mathematica 积分过程【最新版】目录1.Mathematica 简介2.积分的概念与方法3.Mathematica 进行积分的过程4.示例：使用 Mathematica 计算积分5.总结正文【1.Mathematica 简介】Mathematica 是一款强大的数学软件，由沃尔夫冈·克莱因（Wolfram Research）开发，广泛应用于科学、工程和教育等领域。
Mathematica 可以帮助用户解决各种数学问题，包括微积分、线性代数、概率论等。
【2.积分的概念与方法】积分是微积分中的一种重要运算，表示求解一个函数在某一区间上的累积量。
积分的方法有多种，如不定积分、定积分等。
【3.Mathematica 进行积分的过程】使用 Mathematica 进行积分的过程相对简单。
首先，打开Mathematica 软件，输入需要积分的函数表达式；然后，使用积分函数（如Integrate）进行计算；最后，Mathematica 会自动给出积分结果。
【4.示例：使用 Mathematica 计算积分】假设我们要计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分，可以使用以下步骤：1.打开 Mathematica 软件，输入函数表达式：f[x] = x^22.输入积分函数：Integrate[f[x], {x, 0, 1}]3.Mathematica 自动计算结果：2/3【5.总结】Mathematica 作为一款强大的数学软件，在解决积分问题方面具有很高的效率和准确性。
通过简单易用的操作界面，用户可以轻松地完成各种积分计算。
1.数学软件Mathematica在积分计算中的应用
1 JSinCos[1, x] ． 3
退出系统后，对 Integrate 的修改自动还原．
1.3 无法计算的不定积分 如果不定积分既不能用初等函数表示，也无 法用特殊函数表示， Mathematica 直接以不定积分 形式输出．
例 7：计算不定积分
∫ sin(sinx)dx ．
1.2 特殊函数的不定积分 有些函数的不定积分不能用初等函数表示， 这里 Mathematica 软件通常能夠用特殊内部函数 表示．
2011 年第 3 期 第 27 卷（132 期）
重庆三峡学院学报 JOURNAL OF CHONGQING THREE GORGES UNIVERSITY
No.3.2011 Vol.27 No.132
数学软件 Mathematica 在积分计算中的应用
欧 鹏 王绍恒 高成政 刘雪莲 吴梦蝶
（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州，404100）
NIntegrate[ 1 , { x, −1,1}] ． Abs[ x]
1 is not Abs[ x ]
该提示表明 x=0 为被积函数的瑕点．我们只 要加入 0 作为中间点，就可以计算其数值解了． 运行 NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，0， 1}]得 4． 在 7.0 以上版本下运行 NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，1}] 可以直接得出结果 4．
∫ (ax
2
+ bx + c ) dx 与
∫ (ax
2
+ bx + c ) da ．
运行 Integrate[a*x^2+b*x+c，x]得
cx + bx 2 ax 3 ． + 2 3