2017年第八届启智杯参考答案与评分标准(B2组)

a 12b
2a b

728

a b

336 28

a

b

308
（2）、当将正方形分割成 2 行 6 列时，依题意有：
2a 6b
2a b

728

a b

273 91

a

b

182
（3）、当将正方形分割成 3 行 4 列时，依题意有：
A2
B
A3
D
A8
O
A7
A4
A5
A6
12（10 分）将 13 颗大白兔奶糖，分成数量互不相等的三份，由少到多地分别放在 A、B、
C 三个盒子中.请来甲、乙、丙三人参与游戏活动，规定每人每次只能打开一个盒子，清点
盒中的糖果数，但不能把颗数告诉其他两人。下面是甲、乙、丙三位观察后所说的话语：
1）甲打开 A 盒，数了 A 盒中奶糖的颗数后讲：“我没有办法知道 B、C 两个盒中奶糖
都是 728 cm ，求小矩形的长与宽的差是多少厘米。
【参考答案】小矩形的长与宽的差是 308 厘米或 182 厘米或 52 厘米。
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【考查方向】分类讨论、方程思想、计算。
【解答】：因为12 112 26 34 。所以有三种情形；设小矩形的长和宽分别是 acm 、
bcm 。
（1）、当将正方形分割成 1 行 12 列时，依题意有：
3 y
y2 26
3x 5y 1 3 4x 5y 7
24

x

y
1 2
（7 分）
所以 A (1 2x 3y, 4x 5y 7) 为 A (3, 21) ；
B (3x 5y 1, 7x 2 y 2) 为 B (8, 9) ；
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AP S1 S3 S1 S3 S S2
PD SBDP SCDP
S2
S2
同理
BP S S3 ， CP S S1
PE S3
PF S1
由已知
S S1 S S2 S S3 2017
S1
S2
S3
则有
S S S 2020
S1 S2 S3
S (S1S2 S2S3 S3S1) S1S2S3 S1S2 S3
2019
（10 分）
题目分析：该题可适用于初二初三年级的学生。主要考查了学生
的转化能力，把三角形边长的比值转为面积的比值。
11. （10 分）已知正九边形 A1A2 A8 A9 中， A1A2 acm ，
A6 A8 bcm ，求 A1A5 A6 A8 A1A2 的值。
7（10 分）如图所示，正五边形 PQRST 中， 、 、 （i=1，2，3，4，5）分别是 PQ、
QR、RS 上的五等分点，设直线 与 的交点为 ，（i=1，2，3，4，5；j=1，2，3，
4，5），求
的大小。（图中示例为
）
【参考答案】108 度。 实际上，无论 i,j 取何值，三角形
A
A
1
2
A
3
即 2020S1S2S3 S(S1S2 S2S3 S3S1)
所以
（4 分） （5 分） （6 分） （7 分）
AP BP CP (S2 S3)(S3 S1)(S1 S2 )
PD PE PF
S1S 2 S3
(S1 S2 S3 )(S1S2 S2S3 S3S1) S1S2S3 S1S2 S3
数列的规律是：第 1 组：1 个 0；第 2 组：2 个 1；第 3 组：3 个 2；
第 4 组有 4 个 3；第 5 组有 5 个 4；……，则第 n 组有 n 个数字（ n 1）。（4 分） 要求第 2017 个数是多少，只要求出 1+2+3+4+……+ n 接近 2017 即可。 （5 分）
个等式为
2n
12
+
2n

12
2
1
=
2n

12
2
1
；
2 2
或写作：

2n

12
+
2n

n

1
2
=
2n

n

1

2
1
（2） 第 12 个等式为： 252 +3122 =3132
【评分标准】答对规律给 8 分【写法不唯一，可以用公式，也可以用文字，表达清晰、 正确即可】；正确写出第 12 个等式给 2 分。若写不出规律，但写出了第 12 个等式给 5 分。 【考察方向】数式规律、归纳猜想
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于是 A1D A1A2 ， A5D A2 A4 A6 A8
所以 A1A5 A1D DA5 A1A2 A6 A8 a bcm 。
（9 分）
A1A5 A6 A8 A1A2 a bb a b2 a2
（10 分）
A1
A9
3 三根木棒的长度分别为 a, b, c ，满足： a2017 b2017 c2017 ，请说明，①一定可以将这
三根木棒首尾顺次相连，围成一个三角形。②这个三角形一定不是直角三角形。 【参考答案】显然 c 比 a 和 b 都大，接下来只需证明 a＋b＞c，a²＋b²≠c²即可。事实上，
（1） c2017 =a2017 b2017 ac2016 bc2016, c a b.
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乙由 B 镇向北走 6 个单位长度，再向东走 3 个单位长度，甲乙都可以到达 C 镇.求 A、B、 C 镇的坐标. 【考察方向】将实际问题转化为方程问题解决的能力、计算能力；
【参考答案】A (3, 21) ，B (8, 9) , C (5, 3)
【解答】：依题意得：
1 2x 7x 2
A
4
Q
B 1B 2B 3B 4
P
P 14
R
C1
C2
C3
T
SC 4
与 总是全等的。
因此，
=
，根据四边形的内角和为 可知，
等于正五边形的内角 .
【评分标准】发现全等得 3 分。如果求出了一个特定的角为 明一般的结论，才得满分。【考察方向】旋转不变性。
，可以再得 3 分。只有说
8 在 直 角 平 面 坐 标 系 中 ， A 镇 位 于 1 2x 3y, 4x 5y 7 ， B 镇 3x 5y 1, 7x 2y 2 ；若甲由 A 镇向南走了 24 个单位长度，再向西走 2 个单位长度，
2017 年（第 8 届）启智杯参考答案与评分标准(B2 组)
1（10 分）下述式子是正确的
（1） 32 +42 =52 ；（2） 52 +122 =132 ；（3） 72 +242 =252 。
根据以上三个等式，你发现了什么规律？请按照这种规律，写出第 12 个等式。
【参考答案】
（1） 规律：
第
n
【参考答案】 b2 a2
A2 A3
A4
A1
A9
A8 O
A7
A5
A6
【考查方向】化归思想，图形的平移、旋转、转化为基本图形解决问题的能力。 【解答与评分标准】：
延长 A1A2 与射线 A5 A4 相交于点 B，因为多边形 A1A2 A8 A9 是正 9 边形，
所以
A5
A1B

A1
A5
B

3


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（2） c2017 =a2017 b2017 a2c2015 b2c2015, c2 a2 b2.
【评分标准】两步各占 5 分。【考察方向】三角形三边关系，勾股定理，不等式放缩 4 有一数列，按照下列规律排列：
0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6，6，6， 6，6, 6,……， 请求出这列数中的第 2017 个数，并写出解题过程． 【答案】第 2017 个数是 63。 【答解与评分标准】：
有 2、4、7 符合“好”的要求。
如果“好 = 2”，“2杯”的个位数为杯，杯 = 0，这与乘积中杯是万位数不合；
如果“好 = 4”，由“4 杯 + 1”的个位数为杯，杯只能等于 3，此时“4 智 + 1”的个位数也为 杯=3，得到智=3 或 8, 3 与题意不符，若智=8，此时“4 启 + 3”的十位数也为杯=3，得启=7。
而 1+2+3+4+……+ n n 1 n ，
2
（6 分）
当 n =63 时 n1 n 631 63 2016 ，
2
2
即到第 63 组时，一共有 2016 个数字。
而 2016 2017 ， 2017 2016 1
所以，第 2017 个数在第 64 组，即是 63。
C (8 3, 9 6) 即 C (5, 3) 。（10 分）
【评分标准】正确列出方程组，可得 5 分，正确解出 X、Y 的值时得 7 分；然后正确写出 A、 B、C 三点的坐标，每写对一个得一分，共计 10 分。
9（10 分）如图所示的简笔画中，ABCD 是一个等腰梯形，且 CD=1，AB=3，梯形的高也是 3. 又 CB=CE，CB CE。求 AE 两点的距离。
启智杯好=7834.
如果“好=7”，此时，成=9， “7 杯 +4”的个位数为杯，得杯 = 1，“7 智 +1”的个位数为 1，
得智 = 0，“7 启”的十位数为 1，得启=2，赛=4.，启智杯好=2017