一元非线性回归分析
一元非线性回归分析
模型，并预测第14年的销售额预测值。
年序号 t
1 2 3 4 5 6 7
年销售额 Y
年序号t
3
8
8
9
12
10
10
11
25
12
14
13
18
年销售额 Y
36 32 57 70 115 150
预测结果：
年销售额的指数拟合结果
年销售额Y
年销售额估计值
160
140
120
100
80
60
40
20
0
年
0
2
4
6
8
10
X
3
二.指数函数
指数函数 Y aebX 设 V ln Y 则 V ln a (b ln e)X
Y
Y
a
O
X
(b> 0)
a
O
X
(b< 0)
4
三.对数函数
对数函数 Y a bln X 设 U ln X 则 Y a bU
Y
Y
O
X
(b> 0)
O (b< 0)
X
5
四.双曲线函数
双曲线函数
一元非线性回归分析
• 非线性回归分析方法就是用一条曲线来拟合因变 量对于自变量的依赖关系。根据问题的性质，拟 合曲线可以是指数曲线、对数曲线、平方根曲线 以及多项式曲线等。具体采用何种曲线主要由两 方面的因素决定。一方面就是自变量与因变量之 间本来就存在着一种内在函数依赖关系，而这种 依赖关系是分析者根据自己的知识背景和经验已 经了解的。另一方面，根据由自变量和因变量观 测值作出的散点图，可以看出它们之间的依赖关 系。
《非线性回归分析》课件
封装式
• 基于模型的错误率和复 杂性进行特征选择。
• 常用的封装方法包括递 归特征消除法和遗传算 法等。
嵌入式
• 特征选择和模型训练同 时进行。
• 与算法结合在一起的特 征选择方法，例如正则 化（Lasso、Ridge）。
数据处理方法：缺失值填充、异常值 处理等
1
网格搜索
通过预定义的参数空间中的方格进行搜
随机搜索
2
索。
在预定义的参数空间中进行随机搜索。
3
贝叶斯调参
使用贝叶斯优化方法对超参数进行优化。
集成学习在非线性回归中的应用
集成学习是一种将若干个基学习器集成在一起以获得更好分类效果的方法，也可以用于非线性回归建模中。
1 堆叠
使用多层模型来组成一个 超级学习器，每个模型继 承前一模型的输出做为自 己的输入。
不可避免地存在数据缺失、异常值等问题，需要使用相应的方法对其进行处理。这是非线性回归 分析中至关重要的一环。
1 缺失值填充
常见的方法包括插值法、代入法和主成分分析等。
2 异常值处理
常见的方法包括删除、截尾、平滑等。
3 特征缩放和标准化
为了提高模型的计算速度和准确性，需要对特征进行缩放和标准化。
偏差-方差平衡与模型复杂度
一种广泛用于图像识别和计算机 视觉领域的神经网络。
循环神经网络
一种用于处理序列数据的神经网 络，如自然语言处理。
sklearn库在非线性回归中的应用
scikit-learn是Python中最受欢迎的机器学习库之一，可以用于非线性回归的建模、评估和调参。
1 模型建立
scikit-learn提供各种非线 性回归算法的实现，如 KNN回归、决策树回归和 支持向量机回归等。
非线性回归分析常见曲线及方程
非线性回归分析常见曲线及方程Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x其中a>0，7.S型曲线(Logistic)1e x ya b-=+8.对数曲线y=a+b log x,x>09.指数曲线y=a e bx其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程2ˆct=.+btas+解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[ 10];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y＝＝＝ u c bv +＝bx y ae ＝ln ln c a u y＝＝u c bv +＝b xe y a＝1ln ln x c a v u y=＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y＝＝ u bv +＝a。
一元非线性回归分析
y
x
0.00082917 0.00896663x
第八章 方差分析与回归分析
第22页
三种方法的拟合效果比较：
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
R2 =0.97292374957556 R2 =0.87731500489620
第八章 方差分析与回归分析
第9页
format long
x=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19];
y=[106.42 108.20 109.58 109.5 110 109.93 110.49 110.59 110.60 110.9 110.76 111 111.20];
y 106.3147 3.9466ln x
y 106.3013 1.1947 x y 100 11.7506e1.1256/ x
第八章 方差分析与回归分析
第16页
三种方法的拟合效果比较：
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
plot(x,y,‘k+’);%数据的散点图
非线性回归分析
非线性回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了数据分析领域中一种常用的统计分析方法。
线性回归和非线性回归是回归分析的两种主要方法，本文将重点探讨非线性回归分析的原理、应用以及实现方法。
一、非线性回归分析原理非线性回归是指因变量和自变量之间的关系不能用线性方程来描述的情况。
在非线性回归分析中，自变量可以是任意类型的变量，包括数值型变量和分类变量。
而因变量的关系通常通过非线性函数来建模，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的一般形式如下：Y = f(X, β) + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，f表示非线性函数，ε表示误差。
二、非线性回归分析的应用非线性回归分析在实际应用中非常广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 生物科学领域：非线性回归可用于研究生物学中的生长过程、药物剂量与效应之间的关系等。
2. 经济学领域：非线性回归可用于经济学中的生产函数、消费函数等的建模与分析。
3. 医学领域：非线性回归可用于医学中的病理学研究、药物研发等方面。
4. 金融领域：非线性回归可用于金融学中的股票价格预测、风险控制等问题。
三、非线性回归分析的实现方法非线性回归分析的实现通常涉及到模型选择、参数估计和模型诊断等步骤。
1. 模型选择：在进行非线性回归分析前，首先需选择适合的非线性模型来拟合数据。
可以根据领域知识或者采用试错法进行模型选择。
2. 参数估计：参数估计是非线性回归分析的核心步骤。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。
3. 模型诊断：模型诊断主要用于评估拟合模型的质量。
通过分析残差、偏差、方差等指标来评估模型的拟合程度，进而判断模型是否适合。
四、总结非线性回归分析是一种常用的统计分析方法，可应用于各个领域的数据分析任务中。
通过选择适合的非线性模型，进行参数估计和模型诊断，可以有效地拟合和分析非线性关系。
在实际应用中，需要根据具体领域和问题的特点来选择合适的非线性回归方法，以提高分析结果的准确性和可解释性。
非线性回归分析常见曲线及方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S 型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1. 双曲线1b a y x =+2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a /e b x 其中a>0， 7.S 型曲线(Logistic) 1e x y a b -=+ 8.对数曲线 y=a+b log x,x >0 9. 指数曲线y =a e bx 其中参数a >01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta ，r ，J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool （x ，y ，’model’, beta0，alpha ）2．预测和预测误差估计：[Y ，DELTA]=nlpredci （’model’, x，beta ，r ，J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性水平为1-alpha 的置信区间Y ，DELTA.例2 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a /e b x ，建立M 文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。
非线性回归分析
2．向前选择法（Forward Selection）
（1）算出因变量和每个自变量的相关系数，选择具有最大 相关系数的自变量进入回归模型；
（2）对回归系数进行检验，如果检验结果是回归系数为零 ，则放弃回归方程，否则进入下一步；
（3）在上一步的方程中选入的自变量作为控制变量，分别 计算因变量与其他自变量的偏相关系数，将具有偏相关系数 绝对值最大的自变量选入回归方程，并对相应回归系数进行 检验，如果检验结果是回归系数为零，则停止进一步选择， 有效方程为前一步所建的方程，否则进行下一步的选择；
（1）拟合优度检验 回归方程的拟合优度检验就是要检验样本数据 聚集在样本回归直线周围的密集程度，从而判断回 归方程对样本数据的代表程度。
回归方程的拟合优度检验一般用判定系数 R2
实现。该指标是建立在对总离差平方和进行分解的 基础之上。
（2）回归方程的显著性检验（F检验） 回归方程的显著性检验是对因变量与所有自变 量之间的线性关系是否显著的一种假设检验。一般 采用F检验，利用方差分析的方法进行。
回归参数显著性检验的基本步骤： ① 提出假设； ② 计算回归系数的t统计量值； ③ 根据给定的显著水平α 确定临界值，或者计算
t值所对应的p值； ④ 作出判断（t对应的显著性水平小于0.05或0.1，
认为其对应的系数不会显著为0）。
例一：已知10户居民家庭的月可支配收入和消费支出数据，试
采用一元线性回归分析方法，根据可支配收入的变化来分析
多元线性回归就是研究某一个因变量和多 个自变量之间的相互关系的理论与方法。
p
y b x a i
j ji
i
j 1
i 1, 2,.....n
多元线性回归方程中变量的选取
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
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其实上面两个准则所选方程总是一致的， 因为 s
小必有残差平方和小， 从而 R2 必定大. 不过，这两个 量从两个角度给出我们定量的概念. R2 的大小给出了
总体上拟合程度的好坏， s 给出了观测点与回归曲线
偏离的一个量值. 所以，通常在实际问题中两者都求 出，供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归.
函数图象
线性化方法
令 v y, u 1 ,则 v a bu.
x
⑵ 双曲线函数 1 a b
y
x
函数图象
b<0
b>0
线性化方法
令
v 1, u 1,
y
x
则
v a bu.
⑶ 幂函数
函数图 象
y axb
b<0
0<b<1
b>1
线性化方法
令 v ln y , u ln x, 则 v ln a bu.
b>0
b<0
线性化方法
令 v y , u ln x, 则 v a bu.
⑺
S型曲线
y
a
1 be x
函数图象
线性化方法
令 v 1/ y , u ex,
则 v a bu.
2. 回归方程的评价方法
对于可选用回归方程形式，需要加以比 较以选出较 好的方程，常用的准则有：
⑴ 决定系数 R 2
定义
R2 1 SSE , SST
称为决定系数.显然 R2 1 . R2 大表示观测值 yi 与拟 合值 yˆi比较靠近，也就意味着从整体上看，n个点的散
布离曲线较近.因此选 R2 大的方程为好.
⑵ 剩余标准差 s
定义
s SSE /(n 2)
s 称为剩余标准差. 类似于一元线性回归方程中对 s 的估计. 可以将 看成是平均残差平方和的算术根，
使之“线性化”化为一元线性
函数 v a bu 的形式，继而利用线性最小二乘估计的
方法估计出参数a和b ，用一元线性回归方程 vˆ aˆ bˆu
来描述 v 与 u 间的统计规律性，然后再用逆变换
y v1(v)
x
u1
(u)
还原为目标函数形式的非线性回归方程.
常用非线性函数及其线性化方法
⑴ 倒幂函数 y a b x
⑷ 指数函数 y aebx
函数图象
方法
令v ln y , u x, 则 v ln a bu. ⑸ 倒指数函数 y aeb/ x
函数图象
b>0
b<0
线性化方法
令 v ln y , u 1/ x, 则 v ln a bu. ⑹ 对数函数 y a bln x
函数图象
⑶ F检验（类似与一元线性回归中的F检验）
F SSR /1 , SSE /(n 2)
其中
n
SST ( yi y)2, i 1 n
SSE ( yi yˆi )2 , i 1
SSR SST SSE.
一元非线性回归分析
1. 常用的目标函数及其线性化方法
在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的， 那时就应该用曲线去进行拟合.用曲线去拟合数据首先要 解决的问题是回归方程中的参数如何估计？
解决问题的基本思路
对于曲线回归建模的非线性目标函数 y f (x), 通过
某种数学变换
v u
v( u(
y) x)